高等数学教材1

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目录

一、函数与极限 ·······························································································错误!未定义书签。

1、集合的概念 ·························································································错误!未定义书签。

2、常量与变量 ·························································································错误!未定义书签。

2、函数 ·····································································································错误!未定义书签。

3、函数的简单性态 ·················································································错误!未定义书签。

4、反函数 ·································································································错误!未定义书签。

5、复合函数 ·····························································································错误!未定义书签。

6、初等函数 ·····························································································错误!未定义书签。

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7、双曲函数及反双曲函数 ·····································································错误!未定义书签。

8、数列的极限 ·························································································错误!未定义书签。

9、函数的极限 ·························································································错误!未定义书签。

10、函数极限的运算规则 ·······································································错误!未定义书签。

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合

⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说

A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。

⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。

⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:

①、任何一个集合是它本身的子集。即A A

②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

⑶、补集:

①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集,记作C U A。

即C U A={x|x∈U,且x A}。

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