对称性在振动和波问题中的运用

对称性在振动和波问题中的运用

对称性是简谐振动和简谐波的重要特性，而在处理实际问题时，这一特性往往会被它们的另一重要特性──周期性所冲淡，不被学生重视，以至于对一些考查对称性方面的问题，学生感觉很棘手。事实上对称性、周期性是反映振动和波本质的两大特性，两者相辅相成，相得益彰。对称性在简谐运动和简谐波中普遍存在，描述质点振动的一切表征量如回复力、加速度、速度、时间、能量等都具有对称性。下面列举几例来说明一下对称性在具体问题中的应用。

一、对称性在简谐振动中的应用

例1一弹簧振子做简谐运动，周期为，则（）

A．若时刻和时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于的整数倍

D．若时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于的整数倍

C．若，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等

D．若，则在时刻和时刻振子运动的加速度一定相同

分析：此题是简谐运动中对称性运用的一个典型范例。分析过程中务必注意不能将考察点放在特殊位置，即平衡位置或端点处。

由过程的对称性可知，振子相邻两次经过同一点时，运动的速度大小相等、方向相反。如图可得A错。

或

如图，两位置关于平衡位置对称，振子运动的位移的大小相等、方向相反，可知B错。

同上图，前后弹簧可以分别处于压缩状态和伸长状态，弹簧实际长度并不相等。因此c错。

前后，振子恰好完成一次全振动，即t时刻和（t－△t）时刻振子的振动状态完全相同，所以D正确。解：选项正确。

说明：选择一般位置作为考察点，利用排除法进行分析，是处理此类振动问题的常用手段和方法。

例2如图所示，两木块的质量分别为、，中间弹簧的劲度系数为，弹簧下端与连接，

与弹簧不连接，现将下压一段距离后释放，它就上下做简谐运动，振动过程中始终没有离开弹簧，试求：

（1）振动的振幅的最大值；（2）以最大振幅振动时，对地面的最大压力。

分析：与弹簧没有相连接，即将脱离的临界状态是：在最高点两者接触不挤压。该状态下，弹簧恰好没有形变。

到达最低点时对地的压力最大，根据对称性可知：①最低点与平衡位置间距离和最高点与平衡位置间距离相等；②在最低点具有竖直向上的加速度（大小为）。

解：（1）在平衡位置时，设弹簧的压缩量为，则有：

要使振动过程中不离开弹簧，振动的最高点不能高于弹簧的原长处，所以振幅的最大值。

（2）以最大振幅振动时，由对称性可知，最低点弹簧的压缩量为。

对受力分析，根据平衡条件得：

由牛顿第三定律得，对地面的压力。

说明：求解物体对地面的压力的问题一般可以转化为超失重问题。在利用对称性得到“在最低

点具有竖直向上的加速度（大小为）”后，对整体运用超失重观点：压力=整体重力+超重的量-失重

的量，即（注：此处超重，既不超重也不失重），可以更方便地求解出结果。

例3如图所示，自由下落的小球下落一段时间后与弹簧接触，当弹簧被压缩到最短时，小球的加速度大小为（）（设重力加速度大小为）

A．小于B．等于C．大于 D．无法判断

分析：若小球与弹簧接触后立即与弹簧粘合在一起，那么小球以后将做简谐运动，而现在，至少在小球反弹离开弹簧前，小球的运动可看成简谐运动的一部分，仍然可以考虑利用简谐运动的对称性。

如图，小球在接触点仅受重力，加速度大小为，根据振动的对称性，小球在对称点的加速度大小也为，从对称点到最低点，弹簧压缩量进一步增加，弹力进一步增加，小球加速度也随之增大，所以小球在最低点的加速度大小应大于重力加速度。

解：选项正确。

说明：熟悉弹簧振子、单摆等典型振动的基本特性，在类似问题中灵活地加以迁移运用，可以将复杂的问题简单化，快速而又准确地找到最后的结果。

二、对称性在简谐波中的应用

例4如图所示，为上下振动的波源，振动频率为，所产生的横波左右传播，波速为，已知、两质点距波源的距离为，。当通过平衡位置向上振动时，、两质点的位置是（）

A．在波峰，在波谷B．都在波峰 C．都在波谷D．在波峰，在波峰分析：产生的机械波向左、右均匀传播，两侧的传播过程关于对称。

利用（）间距离与波长的关系可判断出（）点振动状态；或者借助对称点先判断出、振动状态之间的关系，然后再判断、两点中任意一点的振动状态。

解：如图，设是关于的对称点，则

而，即

可知与的振动反相，则与的振动也反相。所以、两选项可首先排除。

又，即，结合上图可知，通过平衡位置向上振动时，处在波谷。所以正确选项为。

说明：在同种均匀介质中，波源振动产生的机械波向四周均匀传播，以波源为中心的各对称点振动情况完全相同，这一点可作为解决类似问题的突破口。

例5在波的传播方向上有、两点，在时，和加速度相同而速度不同，经时，和的速度首次变为相同，此波的波长为，则波速可能为（）

A． B． C． D．

分析：此题考查的是机械波传播过程中，不同质点加速度、速度的对称性。如果不从对称性入手分析，很难让学生理解。

解：由于、两质点初态加速度相同，所以、两点在初态的位移相等，而、两点的速度不等，则初态时、关于波峰或波谷对称，如图（其中、的平衡位置分别用、表示，初态位置分别用、表示）。

又由于、两质点末态的速度相等，则、的末态位置关于中间一处于平衡位置的质点对称。综合初、末状态的情况分析，可画出如图所示的波形（其中、末态位置分别用、表示）。

由图可知，到时间内，点恰好从初态位置回到平衡位置。

若波向右传播，则传播的距离为，对应的时间为，所以。

若波向左右传播，则传播的距离为，对应的时间为，所以

。

此题正确的选项为、。

说明：对两个质点振动情况已知的问题，一定要充分利用两质点位置、速度或加速度的关系尤其是它们之间的对称性描绘出两质点间的可能波形，找出传播距离与波长或传播时间与周期间的关系后，再利用振动法或波形平移法进行计算。