专升本数学3

北京交通大学现代远程教育 2007年专科起点升本科入学考试

《高等数学》试题

一、填空题：本大题共40分，每空4分. 把答案写在题中横线上 1. 极限sin 0

1

lim

ln(12)

x

x e

x →--= -1/2 .

2. 设函数2,0

(),0

x e x f x a x x ⎧+<=⎨+≥⎩在0x =处连续，则a = 3 .

3. 设()f x 的一个原函数sin x ，则()xf x dx '⎰= xsinx+cosx .

4. 以211x x

y C e C e -=+为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为

(

)dx e

e

dy x

x

--=22

5. 设3

2

2x

y

z e x y =-，则dz =()

2

32222

32

3

x xy e

y x y x y

x --+

6. 设22

()(),()x

F x tf x t dt f x =-⎰连续，则()F x '= .

7.

(2

1

1

sin x dx -+

⎰= 10 .

8. 设2

()(1)arctan f x x x =+，则(0)f '= 1 .

9. 改变1

1(,)y

I dy f x y dx =

⎰的积分顺序，则I = 1 /2+∏/4 .

10. 设幂级数1

n n n a x ∞

=∑，在3x =点收敛，在3x =-点发散，则幂级数

1

(8)n

n

n a

x ∞

=-∑的收敛域为 .

二、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

11. 下列等式中正确的是 [ D ] （A ）[()]()d f x dx f x =⎰； （B ）

[()]()d f x dx f x dx dx

=⎰；

（C ）()()df x f x =⎰； （D ）()()f x dx f x C '=+⎰.

12. 若函数()f x 在3x =处可导，且(3)2f '=，则0

(3)(

3)l i m

h f h f h

h

→+--等于 [ A ]

（A ）4； （B ）2； （C ）1； （D ）0.

13. 在下列各级数中，条件收敛的级数是 [ ]

（A ）2

11(1)

n

n n

∞

=-∑； （B

）11(1)n

n ∞

=-∑；

（C ）1

(1)

1

n

n n n ∞

=-+∑； （D

）1

(1)n n ∞

=-∑.

14. 设平面直角坐标系中，区域2

2

{(,)|4}D x y x y x =+≤，则在极坐标系中，二重积分2

2

()D

x y dxdy +⎰⎰可表示为 [ D ]

（A ）4cos 3

d r dr πθθ

⎰⎰

； （B ）4cos 2

d r dr πθ

θ

⎰⎰

；

（C ）

4

2

3

2

d r dr π

π

θ-

⎰

⎰； （D ）

4cos 2

3

2

d r dr π

θ

π

θ

-

⎰

⎰

.

15. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点可微的 [ A ] （A ）充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.

三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分.

16. 设函数()y y x =由参数方程2

arctan ln(1)

x t y t =⎧⎨=+⎩所确定，试求2

2,dy d y

dx dx .

17. 1

11lim (

)ln 1

x x

x →-

-.

18. 已知x

xe 是()f x 的一个原函数，求1

()xf x dx '⎰.

19. 过点(1,0)-作曲线y =y =，x 轴所

围成的图形的面积.

20. 设函数()f x 连续，且满足0

()()()x x

x

f x e tf t dt x f t dt =+-⎰⎰，求()f x .