数值分析分复习(数值积分)

第四章数值积分

要点：<1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 <2）插值型求积公式的构造及余项表达式

<3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明

<4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式

<5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式

<6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形<或Simpson）公式的余项确定积分区间[a,b]的等分次数n

<7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论

<8）高斯型求积公式的概念

复习题：

1、已知求积公式为

(1> 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；

(2> 用此求积公式计算定积分

解：<1）依次取代入积分公式可发现: 左端=右端，而当取时，左端可端

可见该是求积公式具有5阶代数精确度

由于求积公式节点数为,而公式代数精确度

所以该求积公式为Gauss公式

（1）对于，有

故

2、对于2结点插值型求积公式。

<1）如果求积分公式是两结点牛顿—

科特斯求积公式，请给出求积系数，求积结点，并给出积分余项表达式<2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？

注：本题不用考虑

3、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分，比较二者的精度

解：利用梯形公式，

注：Gauss公式部分不要

对于积分。<1）写出梯形公式与辛普森公式；<2）请直接指出这两个公式的代数精度；<3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过

解：<1），

<2）梯形公式余项

辛普森公式余项

可见梯形公式代数精度为，辛普森公式代数精度

<3）根据复合辛普森公式的余项

注意到

令，解得

可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求

5、确定下列公式

中的参数，，，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。

解：依次取代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组

，解得

得公式：

取代入公式，有左端=右端

取代入公式，有左端右端

可见该求积公式代数精确度为

6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度

解：解题过程与上题类同，所得结果

代数精确度为

7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

解：解题过程与上题类同，所得结果

代数精确度为

8、求积公式具有多少次代数精确度解：依次取代入积分公式，得左端=右端

当取时，左端右端，故公式的代数精确度为

9、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得

得

公式的代数精确度为

10、试确定下列求积公式的代数精确度

解：依次取代入积分公式，得左端=右端

当取时，左端右端，故公式的代数精确度为

11、试确定常数,使求积公式

有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?

并用此公式计算积分<结果保留5位小数）

解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得

对应求积公式

依次取代入积分公式，得左端=右端

当取时，左端右端，故公式的代数精确度为

由于求积公式节点数，而代数精确度

可见该求积公式是Gauss型求积公式

12、求出二点Gauss求积公式

中系数，及节点，。

并用此公式计算积分<结果保留5位小数）解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得

由可得，

继而可求得, 及

对应求积公式：

对于，利用变量代换：，则

13、试证明高斯求积公式的求积系数恒为正

注：本题不用考虑

14、确定常数及使求积公式

具有尽可能高的代数精确度，是否为Gauss型求积公式？

并用上述所得公式计算积分的近似值<计算过程保留6位小数）. 解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得

解得：

相应求积公式：

取代入公式，有左端=右端

取代入公式，有左端右端

可见求积公式代数精确度

而公式具有节点数，而

所以，该求积公式为Gauss型求积公式

15、求积公式的代数精确度为多少阶

解：依次取代入积分公式，得左端=右端

当取时，左端右端，故公式的代数精确度为

16、利用复合梯形公式近似计算定积分，要求计算误差不小于，试估计区间等分数

解：根据复合辛普森公式的余项

这里

注意到

故有

令，解得

可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求