平面向量的基本定理及坐标表示(教学设计)

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）

2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

[教学目标]

一、知识与能力：

1． 了解平面向量基本定理。

2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

二、过程与方法：

体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算

教学难点：平面向量基本定理．

一、复习回顾：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0

2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb

3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .

二、师生互动，新课讲解：

思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？.

在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.

1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得

a=λ1e 1+λ2e 2.

把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（2）向量的夹角

已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ(0︒≤θ≤180︒)叫做向量a 与b 的夹角，

当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向.

如果a 与b 的夹角是90︒，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .

例1 （课本P94例1）已知向量e 1、e 2，求作向量-2.5e 1+3e 2。

解：

变式训练1： 如图在基底e 1、e 2下分解下列向量：

解：1222AB =-+e e ，

1233CD +=e e ，

1232EF =-+e e ，

1263GH -=e e

2． 平面向量的正交分解及坐标表示

（1）正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

（2）向量的坐标表示

思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，则对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y 使得

a=xi+yj ，

把有序数对(x,y )叫做向量a 的坐标，记作

a=(x,y ),

其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，

显然，

i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

（3）向量与坐标的关系

思考：与a 相等的向量坐标是什么？

向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同） 当向量起点被限制在原点时，作OA =a ，这时向量OA 的坐标就是点A 的坐标，点A 的坐标也就是向量OA 的坐标，二者之间建立的一一对应关系.

例2（课本P96例2） 如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标. 解：a=2i +3j=(2,3),

b=-2i +3j =(-2,3)

c=-2i -3j =(-2,-3)

d=2i -3j =(2,-3).

变式训练2： 在直角坐标系xOy 中，向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标. 解：设a=(a 1,a 2)，b=(b 1,b 2)，c=(c 1,c 2)，则

a 1=|a|cos45︒=2222⨯=，a 2=|a|sin45︒=2222

⨯=; b 1=|b|cos120︒=13322⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭

，b 2=|b|sin120︒333322=⨯=; c 1=|c|cos(-30︒)=34232⨯=，c 2=|c|sin(-30︒)=1422⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭

, 因此()()

3332,2,,,23,222⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭a b c . 例3：已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，||43OA =，60xOA ∠=︒，求向量OA 的坐标. 解：设点(),A x y ，则43cos6023,43sin 606x y =︒==︒=

即()23,6A ，所以()

23,6OA =.

变式训练3：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.

解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，

c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).

三、课堂小结，巩固反思：

1．平面向量基本定理；

2．平面向量的正交分解；

3．平面向量的坐标表示.

四、课时必记：

1、平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得功a=λ1e1+λ2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2、当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.

五、分层作业：

A组：

1、设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )

A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)

2、已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3、已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )

A.3

B.-3

C.0

D.2

4、已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .

5、已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).

B组：

C组：