b
x 2-=，a b ac y 442-=最大值．
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a
b
x 2-=，a b ac y 442-=
最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，
c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；
如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=12
1最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最小．
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不等分析法求最值．
[例1]：求下列二次函数的最值：
（1）求函数322
-+=x x y 的最值． 解：4)1(2
-+=x y
当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．
（2）求函数322
-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2
-+=x y
∵30≤≤x ，对称轴为1-=x
∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．
[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，
1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=
)60010(102
---=x x
6250)5(102
+--=x
当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）
)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x
6125)5.2(202
+--=x
当5.2=x ，即：定价为元时，6125max =y （元）
综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．
[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202
+--=x 当5=x ，4500max =y （元）
答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．
2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）
答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．
[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数．
⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．
则1525,
220k b k b +=⎧⎨
+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•
即一次函数表达式为40+-=x y ．
⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元
y x w )10(-=)40)(10(+--=x x
400502
-+-=x x
225)25(2
+--=x
当25=x ，225max =y （元）
答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．
x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿
色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，
30400
20
,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨
⎨
+==⎩⎩
解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202
-+-=x x
∵020<-=a ∴P 有最大值．
当35)
20(21400
=-⨯=
x 时，4500max =P （元）
（或通过配方，4500)35(202
+--=x P ，也可求得最大值）
答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
⑶∵44804500)35(2041802
≤+--≤x
16)35(12
≤-≤x ∴31≤x ≤34或36≤x≤39． 4．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，销售价x （元/千克） … 25 24
23
22
…
销售量y （千克）
… 2000 2500 3000 3500 …
（1图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？ 解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，
设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，
∴200025500
,
:25002414500k b
k k b b =+=-⎧⎧⎨
⎨
=+=⎩⎩
解得 ， ∴y=-500x+14500．
