陕西省高考数学备考复习易错题二：基本初等函数

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易错点03 基本初等函数(含答案解析)

所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
【易错警示】
易错点1．函数定义域理解不透
2.已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域
【答案】 .
【解析】
【分析】由求解可得．
【详解】错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，
∴ 的定义域是[1，2]
易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解
8.已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.
【答5＝ .
易错点8．关于方程根考虑不全面
9.已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
【答案】＜－2.
【解析】
【分析】对参数的取值情况进行分类讨论，再结合再分类，即可求得参数范围.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时要注意函数的定义域，否则易出错．
易错点6．不理解符合函数的单调性
7.函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.
【答案】A={x|2<x< }.
【解析】
【分析】由奇偶性把不等式变为f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2)，然后由单调性求出不等关系，同时要注意函数的定义域．
【详解】错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3

高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元易错题提高题学能测试

高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元易错题提高题学能测试一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误；对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.2．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )A ．21(1)()2f t t f ++>B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】ABC 【分析】先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可【详解】因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立因为2231120224t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭所以21t t ++比12离对称轴远所以21(1)()2f t t f ++>，所以选项A 成立因为()()2232250t t t +-+=+>所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立因为20t -<<，所以()()222123t t t +-+=+符号不定所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立所以D 答案不一定成立故选：ABC 【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.3．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<，当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-，即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍），所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，12b =.所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x =，212x =，所以12a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.4．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有3个零点D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.5．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ．【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数，故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同，而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确；作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5，由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=，令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-，当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．6．已知函数1()xx f x e+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC 【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】()x x f x e'=-，故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <，因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==，由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-，由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ．【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．7．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x ex =+，下列命题正确的是（）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e -<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e-=-，()2120f e-=-<，()10f -=，作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.8．已知函数()221,0log 1,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案.【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =±-，则2022a <-≤故211212a <+-≤+，212121a -≤--<，当212t a =--时，即2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解，当212t a =+-时，若t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x ee -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．已知函数1(),f x x x =+221()g x x x=+则下列结论中正确的是（） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】2211()()f x g x x x x x+=+++ ()22221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-++-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭()()22221111()()f x x x x xg x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝∴-⋅-=⎭()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；2211()()224f x g x x x x x +=+++≥+=，当且仅当1x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭令1t x x=+()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得3t >或3t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC. 【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.11．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点C ．当10k >>，有4个零点D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-，函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx =对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确；对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误；对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确；故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．12．下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确；对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.13．已知函数()()2214sin 2x xe xf x e -=+，则下列说法正确的是（） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xx f x e x e'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xx g x e x e=-+，则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增，又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.14．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+，令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称，要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =，即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+15．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x Q D x x Q∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误.【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则Rx Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，所以当((0,1),A B C 时成立，正确；故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.16．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ．【详解】对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误；对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确；对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．17．下列函数求值域正确的是（）A．()1f x x =+的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C．()h x =(0D．()w x =的值域为[2【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B；()h x ==利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()w x =()24w x =，由于()0w x >，可得()w x =2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，，其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-，当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立，当1x >-时，10x +>，此时11(1)(1)211x x x x ++≥+⨯=++，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立，所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确；对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，， (11)(11)()111111x x x x h x x x x x x x ++-+--=+-==++-++-，因为1y x =+1y x =-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x =+-[1)+∞，上是增函数，又11y x x =+-[1)+∞，上恒不等于0，则11y x x =++-在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()12h = 又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(02]，，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，， ()2()131313213w x x x x x x x x x =-+=-++=-+++-⋅+222(1)(3)422342(1)44x x x x x =-++=--++=-+++设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]240,4t +，[]2444,8t +∈，则2()2(1)442,22w x x ⎡=-+++⎣，()w x 的值域为[222]，，故选项D 正确，故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用；（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.18．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.19．已知函数()sin sin xxf x e e=+，以下结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为5【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，当0x π≤≤，()sin 2cos xf x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()[]2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos xx f x x ee -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()12,f x e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，22x π<，()2f x x π=无实根.()3,x π∈+∞时，()max 262x e f x π>>=，()2f x xπ=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然x π=为方程之根.()sin sin x xf x e e -=+，()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯=⎪⎝⎭，单独就这段图象，()302f f ππ⎛⎫'='=⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有3个零点，又5252f e π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合图象，知D 正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手：（1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.20．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC. 【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.。

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题测试题

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题测试题一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.2．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果. 【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，，由2122t x x ==--12117117x x -+⇒=由2234151512t x x x x -+=-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=，因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=，所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>，即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确；④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，；当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.3．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确.因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且13022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>，所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．【详解】解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.5．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可．【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确；对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=；当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=；当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确．故选：ABC ．【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．6．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数，则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确；对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==，因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤，由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误；故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.7．下列说法中，正确的有（） A ．若0a b >>，则b a a b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误；对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确；对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>，所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx x xf x -+-=-==+++，则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x xf x f x --------====-+⋅++，所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数，由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确；对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.8．下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确；对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.二、导数及其应用多选题9．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2-C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2e y =- 【答案】BD【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断；对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x e kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2e h x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x=-=-， ()322121022x m x x x x +'∴=+=>，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误；对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立，所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤，所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-，故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2e y k x -=，即2e y kx =-，则222x e kx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2e y =-，下面证明()2e h x ≤-，令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x '=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>； ∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G ==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2e h x ≤-， ∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2e y =-，D 正确. 故选：BD .【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.10．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数 B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数【答案】BC【分析】由承托函数的定义依次判断即可.【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞，∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()x h x e ax =-，则()xh x e a '=-，若0a =，由题意知，结论成立，若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数，∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -，∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，∴ln 0a a a -≥，即ln 1a ≤，∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立，故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误.故选：BC .【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．。

2021届新高考数学二轮复习易错题03 基本初等函数 (原卷word版)

易错点03 基本初等函数【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天D. 3.5天【易错警示】易错点1．函数定义域理解不透【例1】已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域易错点2．没有理解分段函数的意义【例2】已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .易错点3．忽略函数的定义域【例3】判断函数()(1f x x =+的奇偶性. 易错点4．奇偶性的判别方法不灵活【例4】判断2()log (f x x =+的奇偶性.易错点5．不理解定义域和单调性的联系【例5】已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.易错点6．不理解符合函数的单调性【例6】已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解【例7】已知18log 9,185,ba ==求36log 45易错点8．关于方程根考虑不全面【例8】已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 易错点9．应用题理解题意有误【例9】将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.易错点10．不理解二次函数在闭区间上恒成立【例10】已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围.【变式练习】1．函数2232y x x =--的定义域为( ) A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)()1,22,⋃+∞D ．111,,122⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦2．已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，(2)f x -的定义域是（）A ．[2,3)-B ．[1,4)-C ．[0,5)D ．[1,6)3．若0.33133,log 0.3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<4．幂函数()()2122af x a a x-=--在()0+∞，上是减函数，则a =（） A ．3- B ．1-C ．1D ．35．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （） A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天6．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）（） A ．()20y ax bx a =+且1)a ≠D ．(0x y a b a =+>且1)a ≠7．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则a =（）A ．4B ．2C ．14D ．128．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,310．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．3[1,]2-B ．3[,1]2-C ．1[1]2-， D ．1[,1]2-【真题演练】1．【2020年高考全国I 卷理数】若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减4．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．695．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a 0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<07．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．【2020年新高考全国Ⅱ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天10．【2020年新高考全国Ⅱ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-11．【2020年新高考全国Ⅱ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞13．【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞14．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 15．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是16．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >017．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是．。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数(学生版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a 1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。

2020年高考文科数学易错题《基本初等函数》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《基本初等函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一幂函数的图像与性质例1 已知幂函数()x f y =的图象过点），（2221，则()2log 2f 的值为( ) A.21B ．21-C ．1-D ．1【答案】A【解析】由幂函数()ax x f =的图象过点），（2221，得22)21()21(==αf ，21=a ，则幂函数()21x x f =， ∴()2122=f ，∴()212log 2=f .故选A . 【易错点】幂函数的运算法则，以及对数的运算公式. 【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数类型()ax x f =.例2 如果幂函数()23212++-=p p x x f ()Z p ∈是偶函数，且在()+∞,0上是增函数，求p 的值，并写出相应的函数()x f 的解析式.【答案】1=p ，()2x x f =.【解析】因为()x f 在()+∞,0上是增函数，所以023212>++-p p ，，所以31<<-p . 又因为()x f 是偶函数且Z p ∈，所以1=p ，故()2x x f =.【易错点】易忘记Z p ∈这一关键条件，以及幂函数在()+∞,0递增时指数的特征.【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数()ax x f =的奇偶性特征，以及幂函数在()+∞,0上是单调递增时幂函数的指数恒为正数.题型二二次函数的图像和性质（最值）例1 已知()532-+=x x x f ，[]1,+∈t t x ，若()x f 的最小值为()t h ，写出()t h 的表达式 .2【答案】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-+-≤<---≤-+=)23(53)2325(429)25(15)(22t t t t t t t t h【解析】如图所示，函数图像的对称轴为23-=x （1）当231-≤+t ，即25-≤t 时，()()1512-+=+=t t t f t h . （2）当123+≤-≤t t ，即2325-≤<-t 时，()42923-=⎪⎭⎫⎝⎛-=f t h .（3）当23->t 时，()()532-+==t t t f t h . 综上可得22551,22953(),422335.2t t t h t t t t t ⎧⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+->-⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≤ 【易错点】首先要注意二次函数的开口方向，然后才可以根据二次函数的对称轴去进行分类讨论. 【思维点拨】所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.例2 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+-=020222x xx x x x x f ，若关于x 的不等式()[]()022<-+b x af x f 恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】作出函数()x f 的图象如图实线部分所示，由()[]()022<-+b x af x f 得()24242222b a a x f b a a ++-<<+--，若0≠b ，则()0=x f 满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以0=b ，所以()0<<-x f a ，且整数解x 只能是3，当42<<x 时，()08<<-x f ，所以38-<-≤-a ，即a 的最大值为8，故选D .【易错点】这是二次函数的复合函数，务必理清楚和掌握函数的图像.【思维点拨】根据数型结合画出函数的图像，然后利用方程的求根公式进行解题. 题型三指数函数例1 已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c的大小关系为（）.A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8222022log 4log 4.1log 5<<=<<，所以()()0.82212log 4.1log 5f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即c b a <<.故选C ．【思维点拨】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。

高考数学备考复习易错题二：基本初等函数

高考数学备考复习易错题二：基本初等函数一.单选题（共15题；共30分）1.已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是( )A. (1，+)B. (-,3)C. [，3)D. (1,3)2.已知函数，若，则等于（）A. B. C. D.3.已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，＞0，则的值( )A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负4.（2015·重庆）函数的定义域是（）A. B. C. D.5.（2015·湖北）函数的定义域为（）A. B. C. D.6.（2015·福建）若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A. B. C. D.7.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x ，f3（x）=log2x ，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（）A. f1（x）=x2B. f2（x）=4xC. f3（x）=log2xD. f4（x）=2x8.(2015·四川）如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0，n≥0）在区间[, 2]上单调递减，则mn的最大值为（）A. 16B. 18C. 25D.9.已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A. （﹣∞，4]B. （﹣∞，2]C. （﹣4，4]D. （﹣4，2]10.在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A. B.C. D.11.函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A. B.C. D.12.如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）A. a＜b＜c＜dB. a＜b＜d＜cC. b＜a＜d＜cD. b＜a＜c＜d13.若直线kx﹣y﹣2k+4=0恒过定点P，幂函数y=f（x）也过点P，则f（x）的解析式为（）A. y=x2B. y=x3C. y=x﹣1D. y=14.函数y=的定义域是（）A. （1，2]B. （1，2）C. （2，+∞）D. （﹣∞，2）15.已知且函数y=f（x）﹣x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. （0，+∞）B. [﹣1，0）C. [﹣1，+∞）D. [﹣2，+∞）二.填空题（共5题；共5分）16.(2015湖北）a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当________ 时，的值最小.17.（2015·重庆）若函数的最小值为5，则实数________ 。

高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元易错题难题同步练习

高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元易错题难题同步练习一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（） A ．x R ∀∈，[][]22x x =B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D ．不等式[][]2230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]22x x ≠，故A 不成立.对于B ，[][]x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[),0,1m Z r ∈∈，则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222x m r =+，若102r ≤<，则102r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；若112r <<，则112r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故C 成立.对于D ，由不等式[][]2230x x --≥可得[]1x ≤-或[]32x ≥，故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.2．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（） A ．634z x y < D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误；对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y =+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121xyzm ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.3．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.4．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.函数xy e =与ln y x =互为反函数，则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确；对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==，因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤，由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误；故选：ABC本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.5．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．【详解】根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确．对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<，存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增，且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=，所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<，又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点，所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.6．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.7．已知函数()221,0log 1,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（） A ．2 B ．6C ．5D ．4【答案】ACD【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解，当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.8．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；B ．()()220212f f -+-=；C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则14222k <<-224k =；【答案】BD 【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]0,2上单调性一致，所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]5,4--上是减函数，故A 错误；对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误；对于D ，由0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根，即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，则020001244124k k x kx x x⎧>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩，解得04k x ⎧=-⎪⎨⎪⎩，要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，则k的取值范围为：142k <<- 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点，设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得04=2k x ⎧=⎪⎨'-⎪⎩综上，方程()1f x kx =+有3个实根，则142k <<-4k =,故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．已知函数21,01()(1)1,1x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n⎡⎤⎣⎦(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21122n n n b --=+D ．(1)2n n n b +=【答案】BC 【分析】先推导出()f x 在[)()*,1n n n N+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .【详解】因为当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，所以当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()1121x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，即[)10,1x -∈时，[)10,1x -∈，()12x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()21121x f x f x -=-+=+；当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()31122x f x f x -=-+=+；………故当[),1x n n ∈+时，()()21x nf x n -=+-，当21,2n nx ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222n x n f x --=+-.所以()20202020f =，故B 正确；作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：0,1,2,3,4,5,6,,2n则()()121122101222221222n n n n n n n n b ---+=+++++==+=+，故C 正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.11．已知()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()1a <的实根个数可能为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令12t x x =+-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，判断出实根个数构成的集合. 【详解】画出()f x 的图像如图所示，令12t x x=+-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5t t =-=，由()2221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()22201t t --+=≥，解得922t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或405t <<或322t <<+合12t x x =+-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，405t <<或322t <<+时每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或22t =+，0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合12t x x=+-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有2个实数根.综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可．【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确；对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=；当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=；当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确．故选：ABC ．【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．13．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确的为（） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,C ．当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．当0a >时，不等式()122x f x a -≤在[)0,+∞上恒成立【答案】AC 【分析】对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当2a =时，3111222442222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项正确；对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，故当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫=-+=--+- ⎪⎝⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确；对于D 选项，取812a =，34x =，则331241442f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，122x a-=()311142482488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足式()122x f x a -≤，故D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.14．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，，由2122t x x ==--12x x ⇒=由223412t x x x x =-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=，因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=，所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>，即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，；当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.15．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ．【详解】对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A错误；对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确；对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．16．设函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（）．A．当2b =-+1个实根 B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则322b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误；选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b bt t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.17．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011xy -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >，又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误，故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.18．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x ππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（） A ．1ab = B ．26c d π+=C ．abcd 的取值范围是()153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得199x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d <<<<<<<<<，由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项正确；令()442x k k Z ππππ+=+∈，解得()41x k k Z =+∈，当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=，所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称，则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1，故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-，作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4；②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->，故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为2；故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.。

2020年高考理科数学易错题：《基本初等函数》题型归纳与训练

2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一指数运算与对数运算例1 已知函数2log ,0,()31,0,xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩则f (f (1))＋f 31log 2⎛⎫⎪⎝⎭的值是( ) A.5 B.3C.－1D.72【答案】A【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，31log 0,2<∴Q f 31log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭＝31log 23-+1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 【易错点】确定31log 2的范围再代入. 【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数. 例2 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2log 1,0,6,0,x x f x x -≤⎧⎨->⎩（）（）则f (2 019)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】D【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D. 【易错点】转化过程【思维点拨】x >6时可以将函数看作周期函数，得到f (2 019)＝f (3)，然后再带入3，得出f (3)＝f (－3). 题型二指对幂函数的图象与简单性质例1 函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【答案】D 【解析】由f (x )＝a x－b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.【易错点】注意b 的符号【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2例2 已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜bD.c ＜b ＜a【答案】B【解析】由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0， ∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.【易错点】①对称性的条件转化；②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小. 【思维点拨】函数()fx m -的图象关于x m =对称；指对幂函数比较大小时像本题中a,b 一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小. 题型三二次函数的图象与性质例1 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】（－22，0）【解析】由于f (x )＝x 2＋mx －1＝mx ＋(x 2－1)，可视f (x )为关于m 的一次函数，故根据题意有 2222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=++<⎪⎨+=++++<⎪⎩解得－22<m <0. 【思维点拨】恒成立问题转化为最值问题. 例2 已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．【答案】a<1时,f (x )min =a -2；a ≥1时，f (x )min =－1a.【解析】①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2. ②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x ＝1a .当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝1()f a＝1a －2a ＝－1a .当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧， ∴f (x )在[0，1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝2,1,1, 1.a a a a-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩【易错点】忽略a ＝0情形；对称轴不确定分类讨论【思维点拨】二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下：(1)当2ba-∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时，f (x )的最小值在对称轴处取得，其最小值是2424b ac bf a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭；若2b a -≤m ＋n 2，f (x )的最大值为f (n )；若2b a -≥m ＋n 2，f (x )的最大值为f (m )．(2)当2b a -∉[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若2b a-<m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <2ba-，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．(3)当不能确定对称轴2ba-是否属于区间[m ，n ]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．题型四函数图象的综合考查例1 函数ln x xy x=的图象可能是( )4【答案】B.【解析】法一函ln x x y x =的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数ln x xy x=的图象过点(－e ，－1)，排除A ，选B.法二由已知，设ln x xy x=，定义域为{x |x ≠0}.则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D ，故选B.【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后的奇偶性，进而分析图象对称性.例2 函数2()x xe ef x x --=的图像大致为（）【答案】B【解析】由f (x )的奇偶性，排除A ；f (1)>0,排除D ；当x 趋近于正无穷大时，f (x )趋近于正无穷大,故选B. 【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值.题型五复合函数的简单性质例1 设f (x )＝lg 2()1a x+-是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 【答案】(－1，0).【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg11xx+-，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<11xx+-<1，∴－1<x <0. 【易错点】奇偶性判断【思维点拨】含对数函数的复合函数如果为奇函数，代入-x 时真数部分与原真数部分互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数. 常见奇函数：1()log 1ax f x x +=-或1log 1a xx-+；)()log af x x =+或)log ax常见偶函数：()f x （如log a y x =）、2()f x （如21log 1ay x=+）例2 若函数22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，求a 的取值范围.【答案】[22]-【解析】令2()u g x x ax a ==--，∵函数2log y u =-为减函数，∴在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，∴12(10ag ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得22a -≤≤，所以，a的取值范围为[22]-.【易错点】对数型函数的定义域【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组. 题型六函数性质综合例1 设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C.【解析】设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x＋a的图象上，即－x ＝2－y ＋a，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C.2()u g x x ax a ==--6【易错点】关于直线对称的函数求法例2 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．【答案】①②④【解析】由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想．【巩固训练】题型一指数运算与对数运算1. 设函数211log ,1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩（2）则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.2. 化简：2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝________. 【答案】2.【解析】原式＝2lg 5＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(1－lg 5)2＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋1＝(lg 2＋lg 5)2＋1＝2. 3.已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为____________．【答案】3.【解析】原式＝2228log 3log log 833+==. 题型二指对幂函数的图象与简单性质1. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4 【答案】B【解析】f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＋1＝0， ∴a ＝12.2.若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝23log x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a 1时，223220,1,log 0,33xa b x c x ⎛⎫<=<=>=< ⎪⎝⎭所以c <a <b .3. 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.(0,2B.2C ．(1，2)D ．(2，2) 【答案】B【解析】由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x 1(0)2x <≤，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y8＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点1(,2)2.把点1(,2)2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是2. 题型三二次函数的图象与性质1.若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时220x ax ++>恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】9,.2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】分离参数a ,可得2,a x x >--则当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，令()()221,10,f x x f x x x '=--=-+>所以f (x )在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，所以199()(),.222f x f a ≤=->-也可利用二次函数性质分类讨论.2.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，0 B ．[2，＋∞) C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D ．[0,2] 【答案】D【解析】二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)＜0，x ∈[0,1]，所以a ＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. a ＞0也可利用f (x )＝ax 2－2ax ＋c=a (x 2－2x )＋c=a (x －1)2－a ＋c 在对称轴左边递减得到. 3.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a的取值范围．【答案】（1）a ＝2；（2）[2,3]．【解析】(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]．∴22125,(1)()1251,a a f a f a a a -+==⎧⎧⎨⎨=-+=⎩⎩即解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数， ∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2. ∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]．题型四函数图象的综合考查1.函数的图象大致是（）【答案】D【解析】从奇偶性可排除B ，且易知当x >1时，原函数大于0，排除A ，当x >0时，对函数3lg y x x =求导单调性可排除C.故选D.2.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( ) 4lg ||||x x y x=10【答案】B.【解析】自变量x 满足2110x x x x--=>，当x ＞0时，可得x ＞1，当x ＜0时，可得－1＜x ＜0，即函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D ；函数y ＝1x x -单调递增，故函数f (x )＝ln(1x x-)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B. 3.函数y ＝22x x e -在[－2,2]的图象大致为( )【答案】D.【解析】利用导数研究函数y ＝22xx e -在[0,2]上的图象，利用排除法求解． ∵f (x )＝22xx e -|，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝22x x e -，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝22x x e -在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.题型五复合函数的简单性质1.已知函数()2log 1a x f x x -=+为奇函数,则实数a 的值为．【答案】1.【解析】由奇函数得：()()22+log =log 11a x a x f x f x x x -=---+-，,1=1a x x x a x--++,21a =,因为1a ≠-,所以1.a =2.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1,25).【解析】当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数在区间(－∞，a 2]上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则1()02a a g >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得1＜a ＜2 5.3.函数1421x x y +=++的值域为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【答案】B【解析】令2x ＝t ，则函数1421x x y +=++可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.题型六函数性质综合1.设方程21411log 0log 024x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2 【答案】A.【解析】方程21411log 0log 024x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的根分别为x 1，x 2，所以1211log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12 21241log 4x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得x 2＝12，令f (x )＝21log 2xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 2.若函数6,2,()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4，＋∞)，求实数a 的取值范围．【答案】(]1,2【解析】当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x ＞2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a ＞1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2.3.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）a ＝2，b ＝1;（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。

2021-2022年高考数学总复习专题2.3基本初等函数试题含解析

2021年高考数学总复习专题2.3基本初等函数试题含解析【三年高考】1．【xx课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.2．【xx天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.3．【xx北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D【解析】试题分析：设，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.28 10x==-=⨯-=，所以，即最接近，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aMM N N-=，. 4．【xx 高考新课标3理数改编】已知，，，则大小关系是．【答案】【解析】试题分析：因为，，所以．考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决． 5．【xx 高考浙江理数】已知a >b >1.若log a b +log b a =，a b =b a，则a = ，b = . 【答案】【解析】试题分析：设，因为，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 考点：1、指数运算；2、对数运算．【易错点睛】在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误． 6【xx 高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a 满足，则a 的取值范围是______. 【答案】考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．7．【xx高考天津理数】已知函数f（x）=2(4,0,log(1)13,03)ax a xax xx⎧+<⎨++≥-+⎩（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}【答案】C【解析】试题分析：由在上递减可知34013 31,0134aaa a-≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8．【xx高考浙江文数改编】已知函数满足：且.则下列四个命题中正确的命题是．①.若，则；②若，则；③若，则；④若，则【答案】②考点：函数的奇偶性.【思路点睛】先由已知条件可得的解析式，再由的解析式判断的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．9．【xx高考山东，文2】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c===，，，则的大小关系是_________. 【答案】【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故.10. 【xx高考北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是_____.A BO xy-122C【答案】【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集11. 【xx高考天津，理7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记()()0.52(log3),log5,2a fb fc f m===，则的大小关系为____________.【答案】【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以221loglog330.521(log3)log2121312,3a f f⎛⎫===-=-=-=⎪⎝⎭()()2log502log5214,2(0)210b fc f m f==-====-=，所以.12．【xx高考四川，理15】已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数，都有；（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数，使得.其中的真命题有（写出所有真命题的序号）. 【答案】①④【解析】设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x .对（1），从的图象可看出，恒成立，故正确.对（2），直线CD 的斜率可为负，即，故不正确.对（3），由m =n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x -=-.令2()()()2x h x f x g x x ax =-=--，则.由得：，作出的图象知，方程不一定有解，所以不一定有极值点，即对于任意的a ，不一定存在不相等的实数，使得，即不一定存在不相等的实数，使得.故不正确.对（4），由m =－n 得1221()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x +=+.令2()()()2x h x f x g x x ax =+=++，则.由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的a ，一定存在不相等的实数，使得，即一定存在不相等的实数，使得.故正确.所以（1）（4）【xx 年高考命题预测】纵观xx －xx 高考试题，对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测xx 年会继续加强对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.【xx 年高考考点定位】高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.【考点1】指数值、对数值的比较大小【备考知识梳理】指数函数，当时，指数函数在单调递增；当时，指数函数在单调递减. 对数函数，当时，对数函数在单调递增；当时，对数函数在单调递减. 幂函数图象永远过（1,1），且当时，在时，单调递增；当时，在时，单调递减. 【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较.【考点针对训练】 1.设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是______________________. 【答案】【解析】由题化简所给式子判断a ，b ，c 范围即可得到其大小；13133331214log log 21,log log 0,log 1,b a c 2323a b c ==<==-<=>∴<<． 2.设，且，则的大小关系是．【答案】【解析】∵，，∴，∴指数函数为减函数，∴．【考点2】指数函数的图象和性质【备考知识梳理】y ＝a x a >1 0<a <1图像定义域 R 值域 (0，＋∞)性质当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1过定点(0,1) 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【规律方法技巧】1、研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．【考点针对训练】1.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为．【答案】2．函数在上恒成立，则的取值范围是．【答案】（，+∞）【解析】由题意得max 11[()],(1)42x x a x >-+≤，令，则，因此2113()()424x x t t -+=-+≤-，从而【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质【备考知识梳理】 1．对数的定义如果，那么数叫做以为底的对数，记作其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质： ①；②；③ (2)对数的换底公式基本公式 (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)． (3)对数的运算法则：如果，，那么①(·)a a a log M N log M log N ＝＋， ②， ③ ()．3．对数函数的图像与性质a >1 0<a <1图像定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值当0<x <1，y <0 当x >1时，y >0；正负当0<x <1时，y >0当x >1时，y <0；【规律方法技巧】1、研究对数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同，同时要注意定义域.2、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．3、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．【考点针对训练】 1.若，且2222111log ()log log log 22a b a a b ++=++，则22log (2)log (2)a b -+-=___________.【答案】2【解析】∵2222111log ()log log log 22a b a a b ++=++，∴112222221log ()log log ()log a b a a b ++=++，∴1122221log ()log ()a b a a b +⨯=+∴11221()()a b a a b +=+ ∴22222log (2)log (2)log (2)(2)log (2()4)log 42a b a b ab a b -+-=--=-++==. 2.已知函数（）的图像如图所示，则的值是．【答案】【考点4】二次函数的图象和性质【备考知识梳理】二次函数的图象和性质图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【规律方法技巧】1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论. 【考点针对训练】1．在区间上存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由二次函数图像知：当时，，即；当时，，即；综上实数的取值范围是2．已知，若,)(,)(412211≤≤≤-≤-f f 且（a,b,c ），则实数的取值范围是．【答案】【考点5】幂函数的图象和性质【备考知识梳理】(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征函数性质y＝x y＝x2y＝x3定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减【规律方法技巧】1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【考点针对训练】1.已知幂函数图像过点，则该幂函数的值域是_____________．【答案】【解析】设幂函数的解析式为因为幂函数图像过点，所以，所以该幂函数的解析式为．2.设幂函数的图象经过点，则.【答案】【解析】函数为幂函数必有：，再将点的坐标带入幂函数解析式中得：，所以，所以答案为：.【两年模拟详解析】1. 【镇江市xx届高三年级第一次模拟】已知函数与函数的图象共有（）个公共点：，，…，，则．【答案】2【解析】函数与函数的图象都关于对称，共有2个公共点：所以2. 【xx年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设函数在是定义在上的周期为的奇函数，若，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由题设可得，因，故，即，解之得，故答案为：．3. 【云南师大附中xx届高考适应性月考（八）】若偶函数在上单调递减，，，，则的大小关系是 .【答案】，因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，3244222211log4log5log5log5log3log4222=<==<<=<，所以．4．【山东日照xx届高三下学期二模】函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为．【答案】5．【四川省成都市9校xx届高三第四次联合】已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是．【答案】【解析】因为函数与（为自然对数的底数）的图象上存在关于直线对称的点，所以函数与的图象有公共点，则有解，即有解，令，则在成立，在上成立，即在单调递减，在上单调递增，且()()111e e,e+,11e e eF F F⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以.6．【xx届山东省济宁市高三下学期3月模拟】定义在上的奇函数满足，且在上，则.【答案】【解析】由题意可得()()()114()12f x f xf xf x+=-=-=+-，即函数是周期为4的周期函数，又是上的奇函数，在上，故()[][][]3333log2723log243log21log2f f f f⨯=+=-++=-+⎡⎤⎣⎦6. 【xx届四川南充高中高三4月模拟三】已知函数，若不等式()()230f x ax a f-++>对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】7.【淮阴中学xx 学年度第一学期期中考试】已知函数()()log 10,1a y x a a =->≠的图象过定点A ，若点A 也在函数的图象上，则= . 【答案】-1【解析】易知点A （2，0），又因点A 在函数的图像上，所以,所以,则()2log 32log 324341f =-=-=-．8．【如东高级中学xx 届高三上学期期中考试】已知为正实数，函数，且对任意的，都有，则实数的取值范围为________ 【答案】【解析】当时，，即因此；当时，(0),(1),()f a f a f a a ≤≥-≤，即212,2,a a a a a a -+≥--+≤因此；综上实数的取值范围为9．【江苏省通东中学xx 第一阶段高三数学月考试卷】已知函数，则．【答案】010．【江苏省启东中学xx ～xx 学年度第一学期第一次阶段测试】函数是上的奇函数，满足，当时，，则．【答案】【解析】由题意1(5)(32)(32)(1)22f f f f =+=-===，又是奇函数，所以．11．【江苏省清江中学xx 届高三上学期周练数学试题】已知函数()2,013,04x x x x x f x e x ⎧>⎪⎪++=⎨⎪-≤⎪⎩，则函数的值域为．【答案】【解析】因为函数是分段函数，因此值域也需要分段求，当x>0，转化为对勾函数；当时，根据指数函数的单调性即可．()21,0,011133,0,044x x x x x x x x f x xe x e x ⎧>⎧⎪>⎪++⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎪⎩⎩ , ∴当x>0时，111112130131x x x x x x++≥⨯+=∴<≤++， ,当时，33140144xxe e ≤∴--≤＜，＜，综上函数的值域是. 12．【江苏省淮阴中学xx 学年度第一学期期中考试】(本小题满分14分)计算题 (1)求值：()222log 3332231271252log log 3log 48---⨯+⨯(2)求不等式的解集：① ② 【答案】（1）-5；（2）；。

高三数学备考易错点点睛系列二函数概念与基本初等函数

2010年高考数学备考易错点精系列之《专题2·函数与导数》【原题1】设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数【原题2】已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域．【错误分析】：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤∴(1)f x +的定义域是[1，2]【答案】：[－1，0]【解析】：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]【易错点点睛】：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了.【原题3】已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f 【错误分析】：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=-故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0. 【解析】：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2 【易错点点睛】：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.【原题4】已知()f x 的反函数是1()f x -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？【错误分析】：正确【答案】：不正确【解析】：对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深，比如函数1161()log 16x y y x ==与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上【易错点点睛】：“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.【原题5】求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域．【错误分析】：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，【答案】：[)211，【解析】：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <=()f x ∴的值域是[)211，【易错点点睛】：对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.【原题6】已知()34f x x =+，求函数1(1)f x -+的解析式【错误分析】：由已知得(1)3(1)437f x x x +=++=+37y x ∴=+即73y x -=，∴1(1)f x -+=73x - 【答案】：1(1)f x -+=113x - 【解析】：因为()34f x x =+的反函数为1()f x -＝43x -，所以1(1)f x -+＝(1)43x +- 33x -=＝113x - 【易错点点睛】：将函数1(1)f x -+错误地认为是(1)f x +的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上(1)f x +与1(1)f x -+并不是互为反函数，一般地应该由()f x 先求1()f x -，再去得到1(1)f x -+.【原题7】根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x +=+()f x （3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x+=求()f x ．【错误分析】：抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件（如：定义域、经过的特殊的点、解析递推式、部分图象特征等），它是高中数学函数部分的难点，也是与大学的一个衔接点。

高考数学(文)二化复习集合与函数易错点与典例基本初等函数(2)(解析版)

数学（文）集合与函数二轮专项提升专题06 基本初等函数（2）一、高考题型特点：高考题型主要是选择题和，填空题，主要涉及基本初等函数的性质和求值，一般不涉及解答题，大多与导数、不等式结合命题，试题难度较大. 二、重难点：基本初等函数的图像和性质。

三、易错注意点：1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.3.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.4.对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、典型例题：考点1.指数与指数函数例1-1. (2016全国卷III) 已知432a =，254b =，1325c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 【答案】A【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13y x =在R 上单调递增，指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ．例1-2.（2015山东）设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <，故选C ．例1-3．（2015福建）若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于_______．【答案】1【解析】由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1．考点2.对数与对数函数例2-1.（2019北京文7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）（A ）1010.1（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110-【答案】A【解析】由题意知，lg 2E m m E 5-=太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg 10.1E E =太阳天狼星，所以10.110E E =太阳天狼星.故选A例2-2.．(2018天津)已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】1331log log 55c ==，因为3log y x =为增函数，所以3337log 5log log 312>>=．因为函数1()4xy =为减函数，所以10311()()144<=，故c a b >>，故选D ．例2-3.（2013新课标）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >> 【答案】D【解析】33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+，由下图可知D 正确．考点3.指数函数与对数函数的综合问题例3-1.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =1xa ，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】由函数1x y a =，1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调性相反，且函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭可各满足要求的图象为D .故选D ．例3-2.（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<。

新高考数学复习考点知识专题讲义 2---基本初等函数、函数与方程

新高考数学复习考点知识专题讲义第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析]1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例1(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e 答案B解析由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a<e.规律方法(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－e x－1的大致图象可能是()答案A解析当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f(0)＝ln2－e－1，由于ln2>ln e＝12，e－1<12，所以f(0)＝ln2－e－1>0，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－1 2的解集是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案A解析当x >0时，f (x )＝1－2－x >0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1函数零点的判断例2(1)(2022·长沙调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于()A．2B．2或2＋1 eC．2或3D．2或3或2＋1 e答案D解析当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)e x，当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1<x≤0时，f′(x)>0，故f(x)在(－1,0]上单调递增，所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1e.又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0<x<1时，f(x)＝x＋1.作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，由图可知1<m<2或m＝0或m＝－1e.若1<m<2，则x1＋x2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．考向2求参数的值或取值范围例3(1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．答案[－3,0)解析设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)，由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解，又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．答案[－3，－1)∪[3，＋∞)解析由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点，即g(x)的图象与x轴有两个交点．若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，即－3≤a<－1，综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为()A ．1B ．3C ．2D ．4 答案B解析作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点．(2)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2a ，x <0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为() A ．－6B ．8C ．9D ．12 答案CD解析当a ≤0时，f (x )仅有一个零点x ＝0，故f (f (x ))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a >0时，f (x )的图象如图所示，当f (f (x ))＝0时，f 1(x )＝－2a ，f 2(x )＝0，f 3(x )＝a .又f (f (x ))＝0有8个不同的实根，故f 1(x )＝－2a 有三个根，f 2(x )＝0有三个根，f 3(x )＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a >－a 24且a <2a ，解得a >8且a >0，综上可知，a >8.专题强化练一、单项选择题1．(2022·全国Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a 等于() A.116B.19C.18D.16 答案B解析方法一因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19. 方法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间()A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)答案B解析函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上连续且单调，f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，故函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝log a(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为()答案A解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(0,2)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2022·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则()A ．a 4，a >1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c <1，故a >c >b .5．(2022·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)() A ．60B ．63C ．66D ．69 答案C 解析因为I (t )＝K1＋e －0.23(t －53)，所以当I (t *)＝0.95K 时，*0.23531et K⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95，即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1，∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln19， ∴t *＝ln190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2022·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是() A ．1<a <2B ．0<a <2，a ≠1 C ．0<a <1D ．a ≥2 答案A解析令u (x )＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a >1，且u (x )min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a <2，∴a 的取值范围是1<a <2.7．(2022·太原质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x >0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g (x )＝f (x )＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于() A ．－2eB ．eC ．－eD ．2e 答案C解析g (x )＝f (x )＋kx ＝0，即f (x )＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f (x )和y ＝－kx 的图象，－2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k )x －1＝0，设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k )2＋8>0，且x 1x 2＝－12，故g (x )在x <0时有且仅有一个零点， y ＝－kx 与y ＝f (x )在x >0时相切．当x >0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f (x )＝e x ， f ′(x )＝e x ，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0，解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是() A ．(1,2) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 答案D解析作出f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f (x )，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0，解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点时才满足条件，所以1<a <2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0，解得a ≠32，综上，得1<a <2，且a ≠32. 二、多项选择题9．(2022·临沂模拟)若10a ＝4,10b ＝25，则() A ．a ＋b ＝2B ．b －a ＝1 C ．ab >8lg 22D ．b －a >lg6 答案ACD解析由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg4，b ＝lg25，则a ＋b ＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A 正确；b－a＝lg25－lg4＝lg 254>lg6且lg254<1，故B错误，D正确；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg22，故C正确．10．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，则()A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数答案AB解析∵f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝log a(x＋1)＋log a(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A对；由f(－x)＋g(－x)＝log a(－x＋1)＋log a(1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝log a(1－x2)，∵y＝1－x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝log a(1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；∵f(x)－g(x)＝log a(x ＋1)－log a(1－x)，当0<a<1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错．11．(2022·淄博模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －1.给出下列结论，其中正确的是() A ．f (2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心C ．函数y ＝f (x )在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有3个零点答案AB解析对于A ，因为f (x )为奇函数且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，则f (2)＝f (－2)＋f (2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则4为f (x )的一个周期，因为f (x )的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f (－6)＝0，f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，－6<－5，而f (－6)>f (－5)，所以f (x )在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f (0)＝0，f (2)＝0，所以f (－2)＝0，又4为f (x )的一个周期，所以f (4)＝0，f (6)＝0，f (－4)＝0，f (－6)＝0，所以函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误． 12．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)，则下列结论正确的是()A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1B ．函数y ＝f (x )在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132 答案ACD解析f (x )＝⎩⎨⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，故A 正确；函数y ＝f (x )在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f (x )在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f (x )的图象有3个交点，∴函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点，故C 正确；若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确．三、填空题13．(2022·全国Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8，则a ＝________. 答案－3解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax .因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln2)＝e －a ln2＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，则函数g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx ，x >0的最小值为________．答案2 2解析因为|lg a |＝|lg b |，所以不妨令a 0，当x ≤0时，g (x )＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2；当x >0时，g (x )＝ax ＋2ax ≥2ax ·2ax ＝22，当且仅当x ＝2a 时，等号成立，综上可知，g (x )min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．答案11－2π解析由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 16．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．答案[3,4]解析由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2，设g (x )的零点为μ，满足|2－μ|≤1，因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.21 / 21 方法一因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (3)>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a <103，得3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二因为g (μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0， a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．。

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题专项训练学能测试

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题专项训练学能测试一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011x y -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >，又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误，故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（）A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-B ．函数在定义域R 上为增函数C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立【答案】BC 【分析】对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2()2f x x x -=--，又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+，即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+，故A 错；对于B ，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2()23f x x x =+=，解得11x =，23x =-（舍去），即(1)3f =，所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <，所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对；对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，当(0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；故选：BC 【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法；（4）若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；3．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2，故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、21x =+、21x =-；若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立4．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论．【详解】[]x 是整数，若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意，故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．5．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（）A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ，则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<<所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.6．已知()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()1a <的实根个数可能为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令12t x x =+-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，判断出实根个数构成的集合. 【详解】画出()f x 的图像如图所示，令12t x x=+-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5t t =-=，由()2221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()22201t t --+=≥，解得92t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或405t <<或32t <<+合12t x x =+-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，405t <<或32t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或2t =+0t =有一个1x =与其对应，2t =x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且2t >12t x x=+-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有2个实数根.综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数构成的集合为{2,3,4}.【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.7．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（） A ．()f x x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m mf n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+，即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解；若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上得：存在“和谐区间”的是ABD.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.8．已知函数1()x x f x e +=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】 ()xx f x e '=-，故当0x <时，0f x，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx ，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <，因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==，由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-，由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.故选：ABC ．【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．二、导数及其应用多选题9．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数 B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数【答案】BC【分析】由承托函数的定义依次判断即可.【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞，∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()x h x e ax =-，则()xh x e a '=-，若0a =，由题意知，结论成立，若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数，∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -，∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，∴ln 0a a a -≥，即ln 1a ≤，∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立，故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误.故选：BC .【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题专项训练检测试题

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题专项训练检测试题一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根B ．当1515a --+<<时，方程有2个根 C ．当 15a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得152a -<，故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根；当15a --=21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根；当151a--<<-时，21a a->，直线y a=如图③，方程()f x a=没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A错误；151a--<<时方程有2个根，1a=时已知方程有1个根，1a>时方程有3个根，故选项B错误；当15a--=时，方程有3个根，C正确；当154a--≤-<时，方程有4个根，故D 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a-与a的关系，以确定方程()f x a=的根的情况，才能突破难点.2．已知函数222,0()log,0x x xf xx x⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（）A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1【答案】BCD【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x+=-，341x x=，341122x x<<<<，即可知正确选项.【详解】由()f x函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.3．下列函数求值域正确的是（）A．()1f x x =+的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C．()h x =(0D．()w x =的值域为[2【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B；()h x ==利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()w x =()24w x =，由于()0w x >，可得()w x =2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，，其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-，当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立，当1x >-时，10x +>，此时11(1)(1)211x x x x ++≥+⨯=++，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立，所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确；对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，， (11)(11)()111111x x x x h x x x x x x x ++-+--=+-==++-++-，因为1y x =+1y x =-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x =+-[1)+∞，上是增函数，又11y x x =+-[1)+∞，上恒不等于0，则11y x x =++-在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()12h = 又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(02]，，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，， ()2()131313213w x x x x x x x x x =-+=-++=-+++-⋅+222(1)(3)422342(1)44x x x x x =-++=--++=-+++设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]240,4t +，[]2444,8t +∈，则2()2(1)442,22w x x ⎡=-+++⎣，()w x 的值域为[222]，，故选项D 正确，故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用；（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．【详解】解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.5．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC. 【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.6．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )A ．21(1)()2f t t f ++>B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】ABC 【分析】先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可【详解】因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立因为2231120224t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭所以21t t ++比12离对称轴远所以21(1)()2f t t f ++>，所以选项A 成立因为()()2232250t t t +-+=+>所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立因为20t -<<，所以()()222123t t t +-+=+符号不定所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立所以D 答案不一定成立故选：ABC 【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.7．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意；（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解8．已知函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称【答案】BC 【分析】由已知得()()4()n n f x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t =+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D. 【详解】因为函数4()nn f x x x =+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-，当n 为偶数时，()()44()()n n n n f x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数；当n 为奇数时，()4()n n f x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时，即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t =+，而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减，所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足，所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ．【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.二、导数及其应用多选题9．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<-- 【答案】ACD【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】因为当0x >时，()'()1f x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增，所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确； ()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e ，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确,故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.10．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（）A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．()f x 存在唯一极小值点0xC ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点【答案】ABD【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f e ππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

【新课标全国卷文数】考点2 函数的概念与基本初等函数——2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练

【新课标全国卷文数】考点2 函数的概念与基本初等函数——2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练【易错点分析】1.如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有单调性，区间D 叫做函数()y f x =的单调区间.2.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上是增函数，则min ()()f x f a =，max ()()f x f b =；若函数()f x 在闭区间[,]a b 上是减函数，则min ()()f x f b =，max ()()f x f a =. 3.奇函数、偶函数的概念及图象特征：4.函数周期性的常用结论：若对于函数()f x 定义域内的任意一个x 都有：（1）()()f x a f x +=-(0,()0)a f x ≠≠，则函数()f x 必为周期函数，2||a 是它的一个周期；（2）1()()f x a f x +=(0,()0)a f x ≠≠，则函数()f x 必为周期函数，2||a 是它的一个周期；（3）1()()f x a f x +=-(0,()0)a f x ≠≠，则函数()f x 必为周期函数，2||a 是它的一个周期.5. 若二次函数()y f x =恒满足()()f x m f x n +=-+，则其图象关于直线2m nx +=对称. 6.对幂函数y x α=，当0α>时，其图象经过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限内单调递增；当0α<时，其图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，且在第一象限内单调递减. 7.指数函数图象可解决的两类热点问题及思路：（1）求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解. （2）求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解. 8.比较对数的大小：（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；（3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 9.函数图象的识别：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；（5）从函数的特殊点（与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等），排除不合要求的图象. 10.判断函数()y f x =零点个数的常用方法：（1）直接法.令()0f x =，则方程实根的个数就是函数零点的个数.（2）零点存在的判定方法.判断函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数. （3）数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题（画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数）.11.根据函数零点求参数范围的一般步骤为：（1）转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况. （2）列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.（3）结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.1.已知定义在R 上的函数()3sin 21f x x x =-+，则在[5,5]-上函数()f x 的最大值与最小值之和等于( ) A.0B.1C.2D.32.已知0.50.30.50.4,5,log 4a b c ===，则( ) A.a b c >> B.c b a >>C.b a c >>D.b c a >>3.函数sin ()1ln ||xf x x =+的大致图象为( )A. B.C. D.4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为***4,110,,210,10100,1.5,100,x x x y x x x x x x ⎧<∈⎪=+<∈⎨⎪∈⎩N N N ，其中x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A.15B.25C.40D.1305.已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则( )A.(0)(2020)(2019)f f f >>B.(0)(2019)(2020)f f f >>C.(2020)(2019)(0)f f f >>D.(2020)(0)(2019)f f f >>6.若函数21,2,()3,2,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪-⎩则函数()[()]2g x f f x =-的零点个数为( )A.3B.4C.5D.67.定义在R 上的偶函数f x （），当(,0]x ∈-∞时，2()41f x x x =-+-，则函数f x （）在(0,)x ∈+∞上的解析式为__________________.8.已知函数()2f x 的定义域为[1,4]，则函数(31)f x +的定义域为_______.9.函数y f x =（）的定义域为R ， (0)0f ≠，当0x >时，()1f x >.对任意的,a b ∈R ，有()()()f a b f a f b +=.下列结论：①(0)1f =；②对任意x ∈R ，有()0f x >；③()f x 是R 上的减函数.正确结论的序号为____________.10.已知函数()4cos 2π()f x ax x a a =--∈R 有且仅有3个不同的零点123,,x x x 且123x x x <<，则()132πsin 4x x x ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭__________.答案以及解析1.答案：C解析：设()()13sin 2,[5,5]g x f x x x x =-=-∈-，则()3sin()2()(3sin 2)()g x x x x x g x -=---=--=-，即函数()g x 为奇函数，其图像关于原点对称，则max min ()()0g x g x +=，则有[][]max min max min ()1()1()()20f x f x f x f x -+-=+-=，即max min ()()2f x f x +=，所以当[5,5]x ∈-时，函数()f x 的最大值与最小值之和等于2.故选C.2.答案：C解析：0.500.30.500.500.40.41,55 1 , log 4log 10a b c <=<==>==<=，所以b a c >>，故选C. 3.答案：D解析：易知()f x 的定义域为1{exx ≠±∣且0}x ≠，()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B ，C ；当πx =时，(π)0f =，排除选项A.故选D. 4.答案：B解析：令60y =，若460x =，则1510x =>，不合题意；若21060x +=，则25x =，满足题意；若1.560x =，则40100x =<，不合题意.综上，该公司拟录用25人.故选B. 5.答案：B解析：由(1)f x +是偶函数，得(1)(1)f x f x +=-+，即()(2)f x f x =-+. 由(1)f x -是奇函数，得(1)(1)f x f x -=---，即()(2)f x f x =---，所以(2)(2)f x f x ---=-+，则()f x 的周期8T =. 由(1)f x -是奇函数，得(01)(1)0f f -=-=. 因为()f x 在[1,1]-上单调递增，所以(0)0f >，所以(2019)(3)(1)0,(2020)(4)(0)0f f f f f f ==-===-<，即(0)(2019)(2020)f f f >>. 故选B. 6.答案：B解析：首先画出函数()f x 的图像，如图所示.令[()]20,f f x -=设(),t f x =则()2,f t =由图像可知212t -=或321t =-，解得1225log 3,.2t t ==结合图像可知2,()log 3f x =和5()2f x =共4个解，故选B.7.答案：2()41f x x x =---解析：设0x >，则220,()()4()141x f x x x x x -<∴-=--+--=---. ()f x 为偶函数，()(),f x f x ∴-=∴当0x >时， 2()41f x x x =---.8.答案：[0,5]解析：因为函数()2f x 的定义域为[1,4]，所以[1,4]x ∈，2[1,16]x ∈，所以()f x 的定义域为[1,16]. 由13116x +，得05x ，所以函数(31)f x +的定义域为[0,5]. 9.答案：①②解析：令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =，又因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，故①正确.当0x >时，1f x >（），当0x =时，01f =（），即当0x 时，()0f x >.当0x <时，0x ->，则()0f x ->.由题意得()()()f x x f x f x -=-，则(0)1()0()()f f x f x f x ==>--，故②正确.对任意的12,x x ∈R ，设12x x >，故存在正数m ，使得12x x m =+，则()()()()()()()1222222()(()1)f x f x f x m f x f x f m f x f x f m -=+-=-=⋅-.因为当0x >时，()1f x >，所以()10f m ->.因为对任意x ∈R ，有()0f x >，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③不正确.故正确结论的序号为①②.10.答案：π2解析：因为函数()4cos 2π()f x ax x a a =--∈R 有且仅有3个不同的零点，所以()0f x =有且仅有3个不等的实数根，即cos 24πx ax a =-有且仅有3个不等的实数根.令()cos 2,()4πg x x h x ax a ==-，则()g x 与()h x 的图象有且仅有3个不同的公共点.因为π04h ⎛⎫= ⎪⎝⎭且π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以π4为()f x 的一个零点，又因为()g x 的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，直线()y h x =恒过定点123π,0,4x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以123π4x x x <=<且13π2x x +=，所以()132ππππsin sin 4222x x x ⎛⎫+⋅+==⎪⎝⎭.。

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题提高题学能测试试卷

高三数学易错函数的概念与基本初等函数多选题易错题提高题学能测试试卷一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可．【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确；对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=；当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=；当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确．故选：ABC ．【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．2．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.3．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.4．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2，故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-；若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立5．已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（） A ．3- B ．1-C ．0D ．2【答案】BC 【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，代入()212)x x f x -（，令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <，所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭．令121(),(1,0]2x g x xex x x +=-+∈-，则1()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>，所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立，从而()g x 在(1,0]-上单调递增．又5(0)0,(1)2g g =-=-，所以5(),02g x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选：BC ．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a < D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+，所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-，综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根，则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =，而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+，所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+，当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+，所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.7．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件【答案】BCD【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项．【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)，可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥，则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==，可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；8．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-；任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确；对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确；对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==；对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确；对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.二、导数及其应用多选题9．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点，所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点，所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点，令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+，所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>；当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=，解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误；对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-.①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.10．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.。

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陕西省高考数学备考复习易错题二：基本初等函数
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共15题；共30分)
1. （2分） (2019高一上·哈尔滨期中) 若函数的图象恒过定点，则定点的坐标为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2020高一上·河南期中) 下列函数中，为偶函数的是（）
A .
B . y＝2x
C . y＝x2－2x＋1
D . y＝|x|
3. （2分）若a≠b，数列a，x1 ， x2 ， b和数列a，y1 ， y2 ， y3 ， b都是等差数列，则 =（）
A .
B .
C . 1
D .
4. （2分）函数的定义域为（）
C .
D .
5. （2分） (2019高一上·遵义期中) 函数的定义域是，则函数的定义域是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高三上·北京月考) 已知函数的定义域和值域都是[0，1]，则a=（）
A .
B .
C .
D . 2
7. （2分）气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了（）．
A . 600天
B . 800天
8. （2分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（）
A . a≤3
B . a≥﹣3
C . a≤5
D . a≥5
9. （2分） (2019高二上·望城月考) 已知，且，函数，则“ ”“是
在上单调递减”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
10. （2分） (2018高一下·集宁期末) 已知函数 , 其图象与直线
相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2020高一上·黄陵期中) 若且，则函数的图象一定过点（）
C .
D .
12. （2分） (2017高一上·中山月考) 已知，则三者的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
13. （2分） (2019高一上·深圳期中) 已知函数 ( 且的图像恒过定点，点
在幂函数的图像上，则（）
A . -2
B . -1
C . 1
D . 2
14. （2分）若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（x）的定义域为（）
A . [， 1]
B . [4，16]
C . [2，4]
D . [，]
15. （2分） (2017高一上·河北月考) 已知函数，，若函数有四个零点，则的取值范围（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
16. （1分）(2019·南开模拟) 已知函数满足，若在区间
内关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是________.
17. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 如图，当输入的x值为3时，输出y的结果是________
18. （1分） (2016高一上·马山期中) 用“＞”或“＜”或“=”填空：1.70.3________0.911 ．
19. （1分）(2019·齐齐哈尔模拟) 已知函数是奇函数，且时，有，
，则不等式的解集为________．
20. （1分）已知函数f（x）=x2+bx+c在（1，2）内有两个相异零点，且f（x0）＜0，用不等号“＞”“＜”
表示下列关系：
（1）b+c+1________ 0；
（2）f（x0﹣1）________ 0．
三、综合题 (共5题；共65分)
21. （15分） (2019高三上·郑州期中) 已知函数 .
（1）求的最大值；
（2）已知，，求的取值范围.
22. （15分） (2020高二下·西安期中) 已知函数 .
（Ⅰ）若在区间上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若，，设直线为函数的图像在处的切线，求证：．
23. （15分） (2018高一上·广元月考) 已知奇函数在时的图象是如图所示的抛物线的一部分．
（1）补全函数的图象并写出函数的表达式；
（2）写出函数的单调区间；
（3）若函数，，求函数的最小值.
24. （10分） (2019高一上·安阳月考) 函数，当时，求函数的最小值．
25. （10分） (2019高一上·喀什月考) 已知函数g(x)＝，（1）点(3，14)在函数的图像上吗？
（2）当x＝4时，求g(x)的值；
（3）当g(x)＝2时，求x的值.
参考答案一、单选题 (共15题；共30分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
三、综合题 (共5题；共65分) 21-1、
21-2、
22-1、
23-1、23-2、
23-3、24-1、
25-1、25-2、25-3、。

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