大物第1章 习题答案

y B1
h
yB 2 y A2
B A
意时刻的速度为
v v0 gt
tB1 tB1 t A1 t A1
y A1
y B1 y A1 vdt (v 0 gt )dt
2 2 v 0 ( t B 1 t A1 ) 1 g ( t t B1 A1 ) h 2
y A2 yB2 v0 (t A2 t B2 ) g(t
(1) ( 2)得：
1 4
g( t A t B )(t A2 t B 2 ) 1 g( t A t B )(t B1 t A1 ) 2h 4
8h 解得：g 2 2 t A2 t B 2
1-16. 以初速度 v0 将物体斜向上抛，抛射角 ，不计 空气阻力，求物体在轨道最高点处的曲率半径。

S

（1）证明：建立坐标如图。 则石子的轨迹曲线为：
y
v0
x v0 t sin 1 2 y v0 t cos gt 2
设石子在 t 1 时刻落地，则有

S
x

S cos v0 t1 sin 1 2 S sin v0 t1 cos gt 1 2
第1章 习 题
1-6. 某质点的速度为 v 2i 8t j ，已知 t 0 时它
过点 ( 3,7) ，求该质点的运动方程。
t t 2 解：r vdt (2i 8t j )dt 2ti 4t j r0
0 0
r0 (3,7) 代入 r t 0 (3,7) 解得： r (2t 3)i (4t 2 7) j
令
v

L
dy 50 39.2 sin 0 2 3 d cos cos 51.9
x
ymax 代入求得：
12.3 m h 13m
所以此人打不到目标，在这个距离上能打到的最大
高度为12.3m
1-14. 如果把两个物体A和B分别以初速度 v 0 A 和 v 0 B 抛出去，v 0 A 与水平面的夹角为
1-8. 某质点作直线运动，其运动方程为 x 1 4t t 2 ， 求：（1）第3秒末质点的位置；（2）头3秒内的位移； （3）头3秒的路程。
2 解：（1） x(3) 1 4t t
t 3
4
（2） r x( 3) x(0) 3
（ 3） S

3
0
3 v dt 4 2t dt 5 0
角位置 为多大？
d 2 8t 解：角速度 dt
（ 1）
t 0.5
2 0 此时质点顺时针转动。
令
（2） 2 8t 0 t 0.25

t 0.25
2t 4t 0.25
2
1-19. 质点从静止出发沿半径 R 3m 的圆周作匀变速 运动，切向加速度 a 3m s 2 ，试求：（1）经过多 长时间后质点的总加速度恰好与半径成45°角？（2）
解：建立坐标系如图，设出手角度为
则石子运动的抛物线轨迹为：
gx 2 y x tan 2 2 2v cos
在水平距离 L 50 处的高度为
y
v
L
19.6 y 50 tan 2 cos

x
19.6 y 50 tan 2 cos
求其极值：
y
hmax
v B v A (v0 Bx v0 Bx ) i (v0 By v0 Ay ) j (v0 B sin v0 A sin ) k 常矢量
物体B相对于物体A的速度：
1-15. 若上抛物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔 为 t A ，而沿两个方向经过A上方h处的另一水平线B 的时间间隔为 t B ，试求重力加速度。 解：设该物体垂直向上的 初始速度分量为 v0 ，则任
2 a an a2 0.25 2 0.2 2 0.32 m s 2
其方向与行驶方向的夹角为：
a 0.2 90 arctan 90 arctan 128.7 an 0.25
1-12. 一人站在山坡上，扔出一个初速度为 v0 的小石 子，如图所示。 （1）证明小石子落到山坡上的距离
2v sin( ) cos S 2 g cos （2）由此证明当 时， 4 2
2 0
S 有最大值
v0
Smax
2 v0 (sin 1) g cos2
由运动的对称性可知： t B1 t A1 t A2 t B 2 1 (t A t B ) 2 代入上式：
1 1 v ( t t ) g( t A t B )(t B1 t A1 ) h (1) 0 2 A B 4 1 1 v ( t t ) g( t A t B )(t A2 t B 2 ) h ( 2) A B 4 0 2
解：物体在最高点时，
v0
v v 0 cos 2 v an g R 2 v0 cos2 R g
v
an

1-17. 某质点从静止出发沿半径 R 1m 的圆周运动， 其角加速度随时间的变化规律为 12t 2 6t ，试求 质点的角速度及切向加速度的大小。 解：角速度
2v cos(2 ) g cos
令
2 0 2
0

4


代入得：Smax
2 2 v0 (sin 1) g cos2
1-13. 一人扔石子的最大出手速度为 v 25m/s ，他能 击中一个与他的手水平距离 L 50 m ，高 h 13 m 处的目标吗？在这里距离上他能击中的最大高度是？
0 0
1
1
1-20. 汽车在半径为 R 400 m 的圆弧弯道上减速行驶， 设某一时刻汽车的速率为 v 10m s 1 ，切向加速度 为 a 0.2m s
2
，求汽车的法向加速度和总加速度
的大小和方向。
2 2 v 10 2 解：an 0.25m s R 400 总加速度 a an n a
在上述时间内，质点经历的角位移和路程分别为多少？
解：（1）质点线速度 v a t 3t
v 质点的总加速度与半径成45°角 a a n R 代入数据解得：t 1 s 1 1 v t 0 dt 0 tdt 0.5 rad （ 2） R
2
S vdt 3tdt 1.5 m
2v sin( ) cos 解得： S 2 g cos
2 0
（2）证明：
2 sin ( ) cos dS d 2v 0 2 d d g cos 2 2v 0 d sin ( ) cos 2 g cos d
α ， v0 B 与水平面的夹
角 ，试证明在任一时刻物体B相对于物体A的速度
为常矢量。
证明：在任意时刻t，
v A v0 Ax i v0 Ay j (v0 A sin gt ) k v B v0 Bx i v0 By j (v0 B sin gt ) k
1-10. 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过距离河面 H
的滑轮拉船靠岸，设绳子的原长是 l 0 ，人以匀速 v0
拉绳，试描述小船的运动轨迹并求其速度和加速度。
y
解：设置坐标轴如图。 由几何关系可知：
v0
H
r H l
2 2
2
Leabharlann Baidul0
其中，

r
2 2
o
x
l l 0 v0 t
r ( l0 v0 t ) H
1 2
2 A2
t ) h
2 B2
2 2 1 v0 ( t B1 t A1 ) 2 g( t B1 t A1 ) h (1) 整理得： 2 2 1 v ( t t ) g ( t t A2 B 2 ) h ( 2) 0 A2 B 2 2
dt (12t 2 6t )dt 4t 3 3t 2
0 0
t
t
线速度 v R 4t 3 3t 2
dv 2 12 t 6t 切向加速度 a dt
1-18. 某质点作圆周运动的方程为 2t 4t 2 ，在 t=0 时开始逆时针旋转，试求：（1）t=0.5 时，质点 以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，其

2 0
2

1-11. 大马哈鱼总是逆流而上，游程中有时要跃上瀑布， 这种鱼跃出水面的速度可达 32km h 1 ，它最高可跃 上多高的瀑布？ 解：v0 32km h1 8.9m/s
v0 8.9 t 0.907 g 9.8
1 2 1 2 H v0 t gt 8 .9 0 .907 9 .8 0 .907 4 .04 2 2
r ( l0 v0 t ) H
2
2
y
v0
H
dr v dt d (l0 v0 t )2 H 2 dt v0 ( l0 v0 t ) 2 2 ( l0 v0 t ) H
l0



r
o
x
v H dv a 2 2 2 2 dt ( l0 v0 t ) H ( l0 v0 t ) H