初中数学教程完全平方公式
《完全平方公式》教案【通用七篇】
《完全平方公式》教案【通用七篇】(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学讲义初二上册完全平方公式(基础)知识讲解
完全平方公式（基础）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、（2016•普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．224x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.【答案】B ；【解析】A 、221x x -++其中有两项-x 2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；B 、2221(1)x x x -+-=--，符合完全平方公式特点，故本选项正确；C 、221x x --其中有两项x 2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；D 、224x x -+，不符合完全平方公式特点，故本选项错误.【总结升华】本题主要考察了能用完全平方公式分解因式的式子特点，熟记公式结构是解题的关键.举一反三：【变式】（2015春•临清市期末）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．﹣1B ． 7C ． 7或﹣1D ． 5或1【答案】C.2、分解因式：（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+． 【答案与解析】解：（1）22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+．（2）22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-． （3）2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （4）222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．举一反三：【变式】分解因式：（1）29()12()4a b a b +-++； （2）222()()a a b c b c ++++； （3）21025a a --； （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-． 【答案】解：（1）29()12()4a b a b +-++22[3()]23()22a b a b =+-⋅+⋅+ 22[3()2](332)a b a b =+-=+-．（2）222()()a a b c b c ++++22[()]()a b c a b c =++=++．（3）()2210251025a a a a --=--+2(5)a =--． （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-22()2()2()[2()]x y x y x y x y =+++-+-22[()2()](3)x y x y x y =++-=-．3、分解因式：（1）2234162x y xy y ++；（2）4224168a a b b -+；（3）222(3)(1)x x x +--． 【答案与解析】解：（1）2234162x y xy y ++22222()()1624x xy x y y y y =++=+． （2）4224168a a b b -+222222(4)[(2)(2)](2)(2)a b a b a b a b a b =-=+-=+-． （3）222(3)(1)x x x +--22(31)(31)x x x x x x =++-+-+ 2222(41)(21)(41)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解． 举一反三：【高清课堂400108 因式分解之公式法 例4】【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．（3）2244x y xy --+；（4）322344x y x y xy ++；（5）()()2222221x xx x -+-+；【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++ 22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+- 22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．（3）原式()()222442x y xy x y =-+-=--（4）原式＝()()222442xy x xy yxy x y ++=+ （5）原式()()242211x x x =-+=-类型二、配方法4、（2015春•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．【思路点拨】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值．【答案与解析】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y ）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x 2y 2﹣（x 2+y 2）+1=64﹣25+1=40．【总结升华】要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简化计算.举一反三：【变式】已知x 为任意有理数，则多项式x －1－142x 的值为（ ）． A ．一定为负数 B ．不可能为正数 C ．一定为正数 D ．可能为正数，负数或0【答案】B ；提示：x －1－142x ＝221111042x x x ⎛⎫⎛⎫--+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
初中数学同步 8年级上册 第28课 完全平方公式(学生版)
第28课完全平方公式目标导航课程标准1.能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2.会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识精讲知识点01 公式法——完全平方公式两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的 2 倍，等于．即a2+ 2ab +b2=，a2- 2ab +b2= .形如a2 + 2ab +b2 ，a2 - 2ab +b2 的式子叫做.要点诠释：(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；(2)完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的 2 倍. 右边是两数的和(或差)的平方.(3)完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.(4)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点02 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先；（2）如果各项没有公因式那就尝试用；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到)．知识点03 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．能力拓展考法01 公式法——完全平方公式【典例1】分解因式：(1) -3ax2 + 6axy - 3ay2 ；(2) a4 - 2a2b2 +b4 ；(3)16x2 y2 - (x2 + 4 y2 )2 ；(4) a4 - 8a2b2 +16b4 ．【即学即练1】分解因式：(1) 4(x +a)2 +12(x +a)(x +b) + 9(x +b)2 ．(2) 4(x +y)2 - 4(x2 -y2 ) + (x -y)2 ．【典例2】已知a+b=3，ab=2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3．【即学即练2】若x ，y 是整数，求证：(x+y )(x+ 2 y)(x+3y )(x+ 4 y)+y4 是一个完全平方数.考法02 配方法分解因式【典例3】用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为 1 的情况：如x2 +bx 添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1 的呢？当然是转化为二次项系数为1 了.分解因式：3x2 + 5x - 2 .考法03 完全平方公式的应用先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式 x 2±2xy+y 2=(x±y )2 及(x±y )2 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式 2x 2+12x ﹣4 的最大(小)值时，我们可以这样处理： 解：原式=2(x 2+6x ﹣2)=2(x 2+6x+9﹣9﹣2)=2[(x+3)2﹣11]=2(x+3)2﹣22因为无论 x 取什么数，都有(x+3)2 的值为非负数所以(x+3)2 的最小值为 0，此时 x=﹣3进而 2(x+3)2﹣22的最小值是 2×0﹣22=﹣22所以当 x=﹣3 时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式 3x 2﹣6x+12 的最小值是多少，并写出对应的 x 的取值．【即学即练3】若△ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,且满足 a 2 -16b 2 - c 2+ 6ab +10bc = 0 ， 求证： a + c = 2b .【即学即练4】若(2015﹣x)(2013﹣x)=2014，则(2015﹣x)2+(2013﹣x)2= ．题组A 基础过关练 1．分解因式：22216x y x -=( )A ．()2216x y -B ．2(4)(4)x y y +-C ．22(4)y x -D ．2(4)(4)y x x +- 2．下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是A ．B ．C ．D ． 3．下列因式分解正确的是( ) A ．()22()a b a b a b --=-+-- B ．229(3)x x +=+C ．214(14)(14)x x x -=+-D ．3224(4)a a a a -=- 4．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为( )分层提分①21025x x -+；②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如果x 2+2ax+b 是一个完全平方公式，那么a 与b 满足的关系是( )A ．b ＝aB ．a ＝2bC ．b ＝2aD ．b ＝a 26．下列各式能利用完全平方公式分解因式的是( )A ．21641x x ++B ．21681x x -+C ．2444x x ++D ．224x x -+7．观察如图中的图形，根据图形面积的关系，不需要连接其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是( )A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a ab b a b ++=+C ．()2222a ab b a b -+=-D ．()2a ab a a b +=+ 8．若多项式x 2﹣3(m ﹣2)x+36能用完全平方公式分解因式，则m 的值为( )A ．6或﹣2B ．﹣2C ．6D ．﹣6或29．下列各式中能用完全平方公式分解的是( )．①x 2－4x ＋4；②6x 2＋3x ＋1；③4x 2－4x ＋1；④x 2＋4xy ＋2y 2；⑤9x 2－20xy ＋16y 2.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤题组B 能力提升练10．若()2242x ax x ++=-，则a =_____．11．利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．12．因式分解：9a 2﹣12a+4＝______．13．若多项式216x mx -+能用完全平方公式进行因式分解，则m =_______.14．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是(写题号)________．①222a b ab -+ ②2441a a ++ ③222--+a b ab ④224129a ab b -+-15．(1)22929-+-=-x xy y (______)=(______)2-(______)2=(______)(______)；(2)2223-+-=x y x z y z y (______)-(______)=(______)(______)=(______)(______)(______)；(3)在多项式①2222+-+x xy y z ；②2221--+x y x ；③224441-++x y x ；④2221-++-x xy y 中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是(只写式子序号)________．题组C 培优拔尖练16．把()()2222221t t t t ++++分解因式，并求3t =-时的值． 17．下面是某同学对多项式(x 2－4x+2)(x 2－4x+6)+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x=y原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)= y 2+8y+16 (第二步)=(y+4)2 (第三步)=(x 2－4x+4)2(第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________．(填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x)(x 2－2x+2)+1进行因式分解．18．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴(m 2﹣2mn+n 2)+(n 2﹣8n+16)=0∴(m ﹣n)2+(n ﹣4)2=0，∴(m ﹣n)2=0，(n ﹣4)2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；(3)已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．19．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝(y+1)2再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y(y+2)+1(第一步)＝y2+2y+1(第二步)＝(y+1)2(第三步)＝(x2+2x+1)2(第四步)．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣4x)(x2﹣4x+8)+16进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1﹣2﹣3﹣…﹣2021)×(2+3+…+2022)﹣(1﹣2﹣3﹣…﹣2022)×(2+3+…+2021)．。
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
七年级数学下册知识讲义-9完全平方公式-苏科版
【考点精讲】1. 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
这两个等式是完全平方式，它们由左到右的变形是多项式的因式分解，我们可以运用这个公式对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做运用完全平方公式法。
2. 完全平方公式的特点：等式的左边是三项式，其中有两项同号，且能写成两数平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍；等式右边是这两数和（或差）的平方。
其中三项式可用口诀来记忆：首平方尾平方，二数乘积在中央。
【典例精析】例题1 把下列各式因式分解：（1）9x2＋12xy＋4y2；（2）4a2－36ab＋81b2；（3）25x4＋10x2＋1；（4）4（m＋n）2－28（m＋n）＋49。
思路导航：本例中的四个题目直接按完全平方公式分解因式即可，但一定要分清公式中的a，b，并适当地改写成公式的形式。
答案：（1）原式＝（3x）2＋2·3x·2y＋（2y）2＝（3x＋2y）2；（2）原式＝（2a）2－2·2a·9b＋（9b）2＝（2a－9b）2；（3）原式＝（5x2）2＋2·5x2·1＋12＝（5x2＋1）2；（4）原式＝[2（m＋n）]2－2·2（m＋n）·7＋72＝[2（m＋n）－7]2＝（2m＋2n－7）2。
点评：通过本例，我们知道运用完全平方公式法因式分解的步骤：一变（将三项式转化成“首平方尾平方，乘积2倍在中央”的形式）、二套（直接套用完全平方公式进行分解因式分解）。
另外，第（4）题要利用整体思想，即公式中的a相当于2（m＋n），并注意结果的化简。
例题2 （1）简便计算：20132－4026×2014＋20142；（2）已知实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋12c－61，求（a＋b－c）2014的值。
初中数学《完全平方公式》教学设计范文（精选7篇）
初中数学《完全平方公式》教学设计初中数学《完全平方公式》教学设计范文（精选7篇）作为一名教师，编写教学设计是必不可少的，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。
那么优秀的教学设计是什么样的呢？下面是小编帮大家整理的初中数学《完全平方公式》教学设计范文，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
初中数学《完全平方公式》教学设计篇1学习目标：1、经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2、会推导完全平方公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3、数形结合的数学思想和方法。
学习重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
学习难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中a、b的广泛含义。
学习过程：一、学习准备1、利用多项式乘以多项式计算：（a+b）2 （a—b）22、这两个特殊形式的多项式乘法结果称为完全平方公式。
尝试用自己的语言叙述完全平方公式：3、完全平方公式的几何意义：阅读课本64页，完成填空。
4、完全平方公式的结构特征：（a+b）2=a2+2ab+b2（a—b）2=a2—2ab+b2左边是形式，右边有三项，其中两项是形式，另一项是（）注意：公式中字母的含义广泛，可以是，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：（□±△）=□2±2□△+△25、两个完全平方公式的转化：（a—b）2= 2=（）2+2（）+（）2=（）二、合作探究1、利用乘法公式计算：（3a+2b）2 （2）（—4x2—1）2分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a ，哪个式子相当于公式中的b2、利用乘法公式计算：992 （2）（）2分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以992可以转化（）2，（）2可以转化为（）2。
3、利用完全平方公式计算：（a+b+c）2 （2）（a—b）3三、学习对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？四、自我测试1、下列计算是否正确，若不正确，请订正；（1）（—1+3a）2=9a2—6a+1（2）（3x2—）2=9x4—（3）（xy+4）2=x2y2+16（4）（a2b—2）2=a2b2—2a2b+42、利用乘法公式计算：（1）（3x+1）2（2）（a—3b）2（3）（—2x+ ）2（4）（—3m—4n）23、利用乘法公式计算：99924、先化简，再求值；（ m—3n）2—（ m+3n）2+2，其中m=2，n=3五、思维拓展1、如果x2—kx+81是一个完全平方公式，则k的值是（）2、多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（）3、已知（x+y）2=9，（x—y）2=5 ，求xy的值4、x+y=4 ，x—y=10 ，那么xy=（）5、已知x— =4，则x2+ =（）初中数学《完全平方公式》教学设计篇2一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。
完全平方公式及各种典型问题ok课件
完全平方公式的解题思路与方法总结
完全平方公式的解题思路主要是通过 将一个二次多项式转化为两个一次多 项式的乘积，然后利用这两个一次多 项式的值来解决原问题。
VS
在解题方法上，需要注意因式分解、 配方、运算等技巧的运用，同时还要 注意公式的适用范围和限制条件。
问题，如建筑、工程等领域的问题。
03 完全平方公式的典型例题
完全平方公式的简单应用
总结词
完全平方公式是数学中常用的公式之一，它可以用于解决各种与平方有关的问 题。
详细描述
完全平方公式可以表示为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，它通常用于计算平方和、 两数和的平方以及两数差的平方。例如，(2+3)^2=25，(2-3)^2=1，(2+3)(23)=-5等。
完全平方公式的变形应用
总结词
完全平方公式不仅可以用于简单的计算，还可以通过变形应用于解决更复杂的问 题。
详细描述
完全平方公式的变形包括(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2， a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab等。这些变形可以用于解决与平方和、 两数和的平方以及两数差的平方相关的问题。
需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领 域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用， 在几何、三角等领域也有广泛的应用。例如，
在解决几何问题时，完全平方公式可以用于 计算面积、周长等；在解决代数问题时，完 全平方公式可以用于因式分解、化简等。此 外，完全平方公式还可以用于解决一些实际
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
初中数学：完全平方公式课件
12.2 完全平方公式
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0 学习目标
1、掌握完全平方公式 2、能利用完全平方公式化简计算
1 复习旧知
课前一题
（1）（a+b)(a-b)= a²-b² （2）（a+b)(a+b)= a²+2ab+b²
(3) (a-b)(a-b) = a²-2ab+b²
总结：（-a-b）²=（a+b）² （-b+a）²=(a-b) ²
学习目标
评价任务
教学活动
（1）初始完全平方公式：
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a-b）²=a²-2ab+b²
目标3： 归纳总结完全平方公式并会用文字语 言叙述
（1）归纳总结完全平方公式
（2）文字描述：两数和（或差）的平 方，等于这两个数的平方和，加上
②
3 典例精讲
（1）（3a+2b)²是哪两个数和的平方？ （3a+2b）²=(3a)²+2(3a)(2b)+(2b)²
（2）（-2x+y）²是哪两个数和的平方？ （-2x+y）²=(-2x )²+2(-2x)( y)+( y)²
变式：（-2x+y）²还能写成哪两个数的差？
（-2x+y）²=（y-2x）²
6 公式及文字描述
完全平方公式： （a+b）²=a²+2ab+b² （a-b）²=a²-2ab+b²
口诀：首平方，尾平方， 两数乘积的两倍中间放，
符号看前方
文字描述： 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
初中完全平方公式12种变形
初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。
它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。
首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。
它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。
其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。
首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。
其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。
最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。
最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。
首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。
其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。
最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。
这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。
总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。
最新人教版初中数学八年级上册《14.2.2 完全平方公式》精品教学课件
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
探究新知
素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992.
解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404.
992 = (100 –1)2 =10000 –200+1
=9801.
(1) 说一说积的次数和项数. (2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？ (3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么 关系？它的符号与什么有关？
探究新知 公式特征： 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
方法总结：当一个数具备与整十、整百⋯ ⋯相差一个正整数时 求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较
简便．
巩固练习
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99；
(2)20162–2016×4030＋20152.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1) ＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
人教版 数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
导入新知
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据 二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,
拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.
素养目标
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算. 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
初中数学教案：轻松掌握完全平方公式
初中数学教案：轻松掌握完全平方公式完全平方公式是初中数学中一个非常重要的公式，也相当实用。
本文将详细讲解完全平方公式的概念、性质及其应用。
一、完全平方公式的概念完全平方公式指的是一个二次多项式的平方可以通过平方其中各项系数的平方、两项系数之间的乘积及常数项的平方这3项来表示。
例如，(a+b)² = a²+2ab+b²，(a-b)² = a²-2ab+b²。
二、完全平方公式的性质1. 表示方式唯一性任何一个二次多项式的平方都可以用完全平方公式唯一表达。
例如，(x+1)² = x²+2x+1，(x-2)² = x²-4x+4。
2. 正负性对称性对于任意实数 a 和 b，有(a+b)² = (b+a)² 和 (a-b)²=(b-a)²。
3. 对称性对于任意实数 a，有(a+0)²=a² 和 (-a)²=a²。
4. 加法公式充分利用完全平方公式的正负性对称性，可以用两个完全平方式相加，同时对系数及常数项进行合并。
例如，(a+b)²+(a-b)² =2(a²+b²)。
5. 减法公式充分利用完全平方公式的正负性对称性，可以用两个完全平方式相减，同时对系数及常数项进行合并。
例如，(a+b)²-(a-b)² = 4ab。
三、完全平方公式的应用1. 计算方程式完全平方公式在解决方程式时非常有用。
例如，当解决方程x²+4x+3=0 时，我们可以将其改写为(x+2)²-1=0 的形式，进而求出x = -2±1。
2. 满足条件的数值如果我们想要求一个数a² 的值，我们可以用完全平方公式将其转化为(a+0)²，进而求出 a 的值。
同样的，如果我们想要求两个真数的平方和为 10，可以用完全平方公式将其转化为(a+b)²=10 的形式，从而求出满足条件的 a 和 b 的值。
人教版初中数学八年级上册第十四章14.2.2第一课时完全平方公式
知识回顾 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
公式的结构特征：左边是两个二项式的乘积，即两数和与 这两数差的积；右边是两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项： 对于一般两个二项式的积，看准有无相等的
“项”和符号相反的“项”.
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
课堂反馈
1．下列式子正确的是( A ) A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C.a－b2＝a2＋2ab＋b2
B.a－b2＝a2－b2 D.a－b2＝a2－ab＋b2
2．计算(－1－x)2的结果是(D )
A．1＋x2
B．1－2x＋x2
C．1－2x－x2
D．1＋2x＋x2
3．化简：(1－x)2＋2x＝_1_＋__x_2___．
例4 已知(x + y)2 20，(x - y)2 40，求下列各式的值. (1)x2 + y2； (2)xy. 解：(x + y)2 20，(x - y)2 40， 即x2 + 2xy + y2 20，① x2 -2xy + y2 40. ② ①+②得2(x2 + y2 )=60，所以x2 + y2 =30. ①-②得4xy=-20，所以xy=-5.
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2； 解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
(2)
y
1 2
初中数学《完全平方公式》_公开课PPT1
有些整式相乘需 要先作适当变形， 再利用公式计算
小试牛刀（运用乘法公式进行运算）
}
}
}
}
(x +2y -3 ) (x -2y +3 )
A BA B
同学们思考把 哪两项作为一
个整体？
解：原式= [ x+ (2y - 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y-3)2 = x2- (4y2 -12y+9) = x2-4y2 +12y-9
1=、x2下-4y列2等+1号2y右-9边添的括号正确吗？ 若不正确，可怎样改正？
(12) 2ax+=y+- z(= 2x +()
)；
(2a) 2+xb-y--1z=) 22x - (
)；
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 第= a22课+b时2+c完2 +全2a平b+方2b公c式+2（ac.2 ）
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
2=、a2运+b用2+乘c2法+2公ab式+2计bc算+:2ac.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac. [解2x：+(原y+z式)]=[2[x(-a(y++bz))]+c ]2
符1、号下均列没等有号变右化边添的括号正确吗？ 若不正确，可怎样改正？ 添通上过“本+(节课的)”,学括习号，里你的有各何项收都获不和变体符会号？；
=a +4xb2-–yc2-=2yaz-+z2(.b – c)
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项分别是（ C ）
A. b c, b c B. b c, b c
C. b c, b c D b c,b c
.
三、研学教材
知识点二 乘法公式的运用
例5 运用乘法公式计算：
（1）x 2y 3x 2y 3
解：原式＝[x＋（2y-3）][x－（
）2] y-3
＝ 4x2 y2 2 yz z2
＝ 4x2 y2 2 yz z2
三、研学教材 （2）(x+y+1)(x+y-1)
解：原式＝[（x+y）+1][（x+y） -1] ＝(x+y)2-12 ＝ (x2+2xy+y2)-1
＝ x2+2xy+y2-1
三、研学教材
(3) (3x-5)2-(2x+7)2
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
广东式进行添括号的变形； 2、学会添加适当的括号, 再运用乘法公式进行计算.
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
二、新课引入 利用去括号法则填空：
a+(b+c)=＿a＿+＿b+＿c ＿＿＿； a-(b+c)=＿＿a-b＿-c＿＿＿＿.
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
三、研学教材
三、研学教材
有些整式相乘需要先作 适当变形,然后再用公式.
三、研学教材 1、试用另一种方法计算
例5（2）a b c2
解：原式＝
＝
＝
＝
三、研学教材
2、运用乘法公式计算
（1） (a+2b-1)2
解：原式＝
＝
＝
＝
三、研学教材 2、运用乘法公式计算 (2) (2x-y-3)2
解：原式＝
＝
＝
＝
三、研学教材
认真阅读课本第111页的内容， 完成下面练习并体验知识点 的形成过程.
三、研学教材 知识点一 添括号法则
与去括号相反的,我们得到添括号法则:
a+b+c=a+(b+c)； a-b-c=a-(b+c)
+ 即，添括号时,如果括号前面是＿＿号,
括果到括括号号前里面的是各＿_项＿都＿＿号不,＿变括＿到＿括符号号里；的如＿
+ 1.添括号时,如果括号前面是 __ 号,括到
括前号 面里 是的__各__项号都,括_不_到_变_括号里符的号；各如_项_果_ 括都号
改_ 变_ 符号.即
a+b+c=a+(_b__+_c__)；a-b-c=a-(__b_+_c__).
2.乘法公式：平方差公式和完全平方公 式（默写）.
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
2、运用乘法公式计算 (3) [(x+2)(x-2)]2
解：原式=[x2-22]2 =(x2-4)2 =(x2)2-8x+42 =x4-8x+16
三、研学教材 3、先化简,再求值
(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)，其中x= 1 3
,y=－1 2
当 x= , y=- 时
原式= 12xy+10y2=12× ×(- )+10×(- )２
= -2＋2.5=0.5
三、研学教材
4、已知 a +b = 5, ab = 3，
求 a 2 b 2 的值
解：∵(a+b)2=a2+b2+2ab ∴a2+b2=(a+b)2-2ab a+b=5, ab=3 ∴a2+b2=(5)2-2×3 ∴a2+b2=19
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
四、归纳小结
解：原式=(9x2-30x+25)-(4x2+28x+49)
=9x2-30x+25-4x2-28x-49 =5x2-58x-24
三、研学教材
例5 运用乘法公式计算：
（2）a b c2
解：原式＝[(a+b)+c]2 ＝[(a+b)2+2c(a+b)+c2] ＝[(a2+2ab+b2)+(2ac+2bc)+c2] ＝a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
＿各项都＿改＿变＿＿符号。
三、研学教材
1、在等号右边的括号内填上适当的项，并 用去括号法则检验。
(1)a+b-c=a+( b-c )； (2)a-b+c=a- ( b-c )； (3)a-b-c=a- ( b+c )； (4)a+b+c=a-( -b-c ).
三、研学教材
2、a b ca b c [ a ＋ （ ）]
x ＝ x ＝
22－－（（42yy2--312)2y+9）
＝_x_2_-_4_y_2_+_1_2_y_-_9_________
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周恒
三、研学教材 运用乘法公式计算:
（1）(2x+y+z)(2x-y-z) 解：原式＝[2x+（y+z）][2x-（y+z）]
＝ 2x2 y z2