刚体的基本运动形式

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刚体定轴转动定律

角称为角坐标（或角位置）。角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt

3-1刚体的基本运动

3－1
刚体的基本运动
例3-1 一半径 r 0 .5 0 m 的飞轮,转速n 6 0 0 r m in 1 , 制动后转过 1 0 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加速度和法向加速度.
0
0
第三章刚体的定轴转动
3－1
刚体的基本运动
t d dt
瞬时角速度（角速度）
lim
t 0

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示 .
z
面对 O z 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时针转动;反之,刚体顺时针转动.
z

0
0
1
3 1 .4 rad s
1
轮边缘某点的线速度
v r 0 .5 3 1 .4 m s
1
1 5 .7 m s
1
切向加速度
a t r 0 .5 3 1 .4 m s
2
1 5 .7 m s
2
法向加速度
a n r
3－1
刚体的基本运动
三、匀变速转动公式匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比质点匀变速直线运动
v v 0 at
x x0 v 0t 1 2 at
2
刚体绕定轴作匀变速转动
0 t
0 0t
第三章作业 P83
15、17、18、19、21、23
第三章刚体的定轴转动
解（1） 0 5 π rad s

第三章-刚体力学基础

薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析：由每分钟150转可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解）假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解：（用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O

1.3大学物理(上)刚体力学基础

dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t

刚体力学基础

非专业训练，请勿模仿
例解由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零外力切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri

刚体的定轴转动定律

物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3）运动描述仅需一个坐标 .
三、匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i

第5章刚体的定轴转动

m J 1 mR 2 2 2 pR l
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。
例3、求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：转轴通过棒的中心O并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直 A h
如图建立坐标，以物体初始位置为势能零点。根据机械能守恒：
y
1 J w 2 1 mv2 mg h 0 2 2
滑轮转动动能物体动能
物体势能
mg
O
1 MR2 , w v 代入可解得: 将J 2 R
物体的速度：
滑轮角速度：
4mgh v 2m M
v 4mgh R w 2m M R
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
2、定轴转动的动能定理
质点系动能定理 A外 A EKB EKA 也适用于刚体。内由于刚体内质点的间距不变，一切内力作的功都为零。而对于定轴转动而言，外力作的功总表现为外力矩作的功，故有： 1 2 1 2
dA Md
力对转动刚体作的元功等于相应的力矩和角位移的乘积。
在一微小过程中力矩作的功
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设在力矩作用下，刚体的角位置由 1 2 则力矩的功：
2 1
X X
1
w2 w1
O
2
M
M
A dA Md (2)
B
O质
B
A
h L
O质
dm
X
x
dx

第七章刚体的基本运动

7
第二节刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正顺时针为负
第二节刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时，刚体内（刚体外）有一条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴；（2）其余各点都在垂直于转轴的平面上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动刚体上任一点的速度分布：
第三节定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a

dv dt

d dt
(R)

d
dt
R

R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an

v2 R

(R)2
R

R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向：
tg

| a an
|

R| | R 2

| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线（垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。

第3章刚体的定轴转动

绕通过质心由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1）两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章刚体的定轴转动
z
M
F
F
O

刚体

解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，
o
1
o
J11 J 2 2
J1 J 0 2ml 60 2 5 1 70kg m
2 1
2
2
2
60 2 5 0.22 60.4kg m2 J 2 J 0 2ml2 J11 3 70 -1 2 3.5s 由转动惯量的减小，
0 例：在摩擦系数为桌面上有细杆，质量为 m、长度为 l， m,l o 以初始角速度 0 绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。 0
确定细杆受的摩擦力矩细杆的质量密度为：
m / l l/2 分割质量元dm dm dx 质元受的摩擦力矩 dM dmgx
2 .转动惯量的计算分立质点系 J z
( mi ri ) Ji
2
质量连续分布的刚体
J z r dm
2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布
质量为面分布
dm dl
dm ds 质量为体分布 dm dV
其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
当 J 转动惯量是一个恒量时，有
d M J dt
或
M J
刚体在做定轴转动时，刚体的角加速转动定律：
度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
转动惯量J是刚体转动惯性的量度
例：质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。
2
A

第五章刚体的运动

ωdω=βdθ
ω θ
=[3gsinθ/(2l)]dθ
θ
p O N
ωdω= 0 [3gsinθ/(2l)]dθ 0 ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
例题一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物体，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角加速度和绳的张力。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同，其角动量也会不同。
锥摆
O

L 0 ro m m v
Lo ' r mv
L 0 lm v
方向变化
L o ' lm v sin
②积分形式：

其中：
t2 t1
t2 t1
M d t L 2 L1
M d t 称冲量矩
—力矩对时间的积累作用
例题锥摆的角动量
r ①对O点： om T 0 rom m g l sin （ mg ）
锥摆
O
T l
m
v mg
解: m1, m2 及定滑轮切向受力如图, 以运动方向为坐标正向. T1–m1g=m1a1 m2g–T2=m2a2
T1 m1 T1
T2
T2 m2
T2R2–T1R1=Jβ
β=a1/R1=a2/R2 J=M1R1
2/2+M 2R2 2/2
m1g
m2g
2(m2R2–m1R1)g 解得 β= 2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R22

03刚体的定轴转动

的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
24
转动中的功和能
一. 力矩的功
设刚体上P点受到外力 F 的作用， z
位移为 d
r,
dW F ds
功为 d
三. 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚
体做匀变速转动 .
质点匀变速直线运动刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2 v02 2a(x x0 )
2 02 2 ( 0 )
5
定轴转动刚体的转动定律力矩角动量转动惯量
Li
质元mi对转轴Z的角动量为：
x
Liz
Li
cos( π 2
)
mi Riv i
sin
mi ri vi
对组成刚体的所有质元的角动量求和
z
vi
mi
ri Li
Ri
O
y
Lz Liz (rimivi) (miri2)ω
9
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J miri2
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
i
Lz Jω
刚体绕OZ轴转动的角动量
注意：
转动惯量、角动量都是相对量，都必须指明它们是

《刚体运动教学》课件

耦合应用
在实际生活中，许多机械运动都可以看作是平动与转动的耦合，如机床的工作台、汽车的转向等。因此，掌握平动与转动的耦合对于机械设计和制造等领域具有重要意义。
03
刚体的动力学
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态改变与力之间的关系。
详细描述
牛顿第二定律指出，一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与它的质量成反比。公式表示为F=ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。
空航天、车辆工程等领域。
06
刚体运动的实例分析
刚体的平面运动分析
平面运动定义
刚体在平面内运动，其上任意一点都位于同一个平面上。
平面运动分类
根据刚体上任意一点是否做圆周运动，分为刚体的平面滚动和刚体的平面定轴转动。
平面运动特点
刚体上任意一点的速度方向与该点所在平面的法线方向垂直，刚体上任意一点的加速度方向沿该点的切线方向。
自由运动分类
根据刚体的运动状态，分为自由转动和自由平动。
自由运动特点
自由转动中，刚体上任意一点绕通过该点的某一轴线做匀角速度的转动；自由平动中，刚体上任意一点做匀速直线运动。
THANK YOU
感谢聆听
刚体的定轴转动
刚体在运动过程中，其上任意两点始终保持相同的角速度和角加速度，这种运动称为定轴转动。
02
刚体的运动形式
平动
01 02
平动定义
刚体上任意两点始终保持相同的距离，即刚体在运动过程中，其上任意两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，这种运动称为刚体的平动。
平动特点
刚体在平动过程中，其上任意一点的运动轨迹都是一个点，即刚体的平动不会改变其上任意一点的相对位置。

刚体的基本运动

刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。

平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。

转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。

平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。

复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。

例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。

因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。

延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。

绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。

把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。

刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。

刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。

因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。

07 刚体的基本运动

a
n M
=0
am = a
τ
M
= π
2
方向垂直于AO1斜向右上方因为半圆盘作平动，所以其角速度
ωab = 0 。
例7-7 转子启动时的角加速度与时间成正比增大,经过5分钟转子的转速达到18000r/min,试问转子在这段时间内转了多少转？【解】设比例系数为k，则
ε = kt
即
dω = kt dt
R2 , ω 2 , ε 2 .
v A = v B , a Aτ = a Bτ
又 υ A = R1ω1 , υ B = R2ω2 , a Aτ = R1ε 1 , a Bτ = R2ε 2 R1ω1 = R2ω2 , R1ε 1 = R2ε 2
理论力学电子教程
第七章刚体的基本运动
传动比
i12 传动比
ω o R v M β A
ε o R
aτ
r
ε
A
M β
r
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第七章刚体的基本运动
设刚体上一点M相对于角速度矢量 ω 的起点A的位置用矢径表示，与ω 之间的夹角为 β ， r 则M点： v = Rω = OM ω = ω r sin β 由此，据线性代数知
υ =ω×r
（转动刚体上点的速度矢积表示法）又
s2
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第七章刚体的基本运动
§7－3绕定轴转动刚体的问题
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的. 这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求. 变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传动来完成.几个轮子的组合称为轮系. 以一对啮合轮为例： I轮: R1 , ω 1 , ε 1 . II轮:

第六章刚体的基本运动

dω dr dv d = （ω× r ) = × r + ω× a= dt dt dt dt
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2

刚体

牵连速度
r r r a = a'+a0
牵连加速度
三、加利略变换系相对于S系作匀速直线平动若S′系相对于系作匀速直线平动，则: 系相对于系作匀速直线平动，
v u = 常矢量 v v du a0 = =0 dt v v a = a′
设t=0时两坐标系的原点时两坐标系的原点重合，系相对于系相对于S系以重合，S′系相对于系以速率u朝正方向运动正方向运动,则速率朝x正方向运动则
1-6
相对运动
一、运动描述具有相对性
车上的人观察
地面上的人观察
运动是相对的静止参考系、静止参考系、运动参考系也是相对的
二、“绝对运动”、牵连运动、相对运动绝对运动” 牵连运动、三者应具有如下变换关系 “绝对位矢” 绝对位矢” 绝对位矢 1、位移变换关系相对位矢、
v v v r = r′ + r0
A x
dy d 2 2 (2) v = = ( 8.5 + t − 8.5) dt dt t v= 8.52 + t 2
dv d t a= ) = ( dt dt 8.52 + t 2 8.52 a= (8.52 + t 2 )3 2
3、一质点在、一质点在OXY平面内运动，运动学方程为：平面内运动，平面内运动运动学方程为： X=2t, Y=19-2t2 (1) 质点的运动轨道方程 (2)写出写出t=1s和t=2s时刻质点的位矢；并计算这一秒时刻质点的位矢；写出和时刻质点的位矢内质点的平均速度；内质点的平均速度； (4)在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直？这在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直？在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直它们的X、分量各为多少分量各为多少？时，它们的、Y分量各为多少？ (3)t=1s和t=2s时刻的速度和加速度；时刻的速度和加速度；和时刻的速度和加速度 (5)在什么时刻，质点离原点最近？距离是多少？在什么时刻，在什么时刻质点离原点最近？距离是多少？