3热传导方程的初边值问题
热传导方程及其定解问题的导出
第一章 热传导方程本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇到这类方程.§1 热传导方程及其定解问题的导出热传导方程的导出物理模型在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化.以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和.在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律.设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3), q是热流密度(焦耳/秒·米2),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒).注意到在dt 时段内通过D 的边界D ∂上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ⋅-(n是D ∂的外法向),从而由能量守恒律,我们有,)||(2121120⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅-=-∂==t t Dt t DDt t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρ（） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比,u k q ∇-=（梯度⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂==∇z u y u x u gradu u ,,） （）这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数.,nu k n u k n q ∂∂-=⋅∇-=⋅从而式可改写为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∂∂=-∂==2121120)||(t t Dt t D D t t t t dxdydz f dt dS n uk dt dxdydz u u c ρρ 假设(,,,)u x y z t 在柱体(0,)Ω⨯+∞内具有连续微商222222,,,zu y u x u t u ∂∂∂∂∂∂∂∂.则应用散度定理(或高斯公式)立得:[]22110()t t t t DDudt c dxdydz dt k u f dxdydz t ρρ∂=∇∇+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由于被积函数在(0,)Ω⨯+∞内连续,以及],[21t t ,D 的任意性,又由于物体均匀,各向同性, k c ,,ρ都是常数,立得:,)(0f u k tuc ρρ+∇∇=∂∂ ,)(0cf u c kt u +∇∇=∂∂ρ ,,,,,)(222222u zuy u x u z u z y u y x u x z u y u x u z y x u ∆∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇⋅∇记为令,,02cf f c ka ==ρ∆是三维Laplace 算子,则 ,2f u a tu+∆=∂∂ （） 称为热传导方程.当0≥f 时表示热源,当0≤f 时表示热汇.为了具体确定物体内部的温度分布,我们还需要知道物体的初始温度分布以及通过物体的边界受周围介质的影响. 初始条件Ω∂⋃Ω=Ω∈=),,(),,,()0,,,(z y x z y x z y x u ϕ边界条件有三类: 1.已知边界上的温度分布),,,,(t z y x g u =∑这里[0,)∑=∂Ω⨯∞.特别当≡g 常数时,称物体的边界保持恒温. 2.已知通过边界Ω∂的热量),,,,(t z y x g nu k=∂∂∑(n 为Ω∂上的单位外法向量),0≥g 表示流入,0≤g 表示流出,特别当0≡g 表示物体绝热. 3已知通过边界Ω∂与周围介质有热交换.(),00∑∑-=∂∂u g nu kα或),,,,(t z y x g u n u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂∑α这里0g 表示周围介质温度,00>=kαα表示热交换系数.定解问题为了具体确定物体的温度场,我们需要求解热传导方程的某一特定的定解问题. 设Ω是空间3R 中的有界开区域.第一初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g u z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第二初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g nu z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第三初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g u nuz y x z y x z y x u t z y x f u a t u αϕ 初值问题(或称Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧∈=∞⨯∈=∆-∂∂332),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,R z y x z y x z y x u R t z y x f u a tu ϕ 什么是定解问题的解(解说一下)验证2212),(x t a t x u u +==是方程0222=∂∂-∂∂xu a t u 的一个解; ()0,21),(2242>=--t eta t x u ta x ξπ(ξ是参数)是方程0222=∂∂-∂∂x u a t u 的一个解. 数学物理方程的主要问题,在推导出方程之后,求出方程的解.然而求出一个偏微分方程的精确解一般是困难的. 附注1 方程f u a tu=∆-∂∂2虽然通常称为热传导方程,但绝不只用来表述热传导现象.事实上,自然界还有很多现象同样可用这个方程来刻划,一个重要的例子是考虑某类分子在介质(如空气,水,…)中的扩散.浓度u 的不均匀产生分子运动(扩散),它遵循质量守恒定律.根据Nernst 实验定律:分子运动速度与浓度的梯度成正比:u D v ∇-=,D 称为扩散系数.从而同样可导出分子浓度u 适合的方程f u a t u=∆-∂∂2,这里2a 是一个与扩散系数成正比的常数,f 表示反应项.因此人们通常把方程f u a tu=∆-∂∂2称为扩散方程,而u a ∆-2称为扩散项.附注 2 对某些三维问题,如果根据问题的某些性质,适当选取坐标系,可以化归为或近似地化归为一维或二维问题来处理.这样的简化对于 求解定解问题,特别是求问题的近似解带来方便.例 1. 如果物体可看成一根细杆,它的侧表面绝热,它与周围介质的热交换只在杆的两端l x ,0=进行;如果在任意一个与杆的轴线垂直的截面上,初始温度和热源强度的变化很小,那么我们可以近似地认为杆上的温度分布只依赖于截面的位置.因此如果取杆的轴线为轴,那么方程可改写为),(222t x f xu a t u =∂∂-∂∂ （） 我们称它为一维热传导方程.同样,如考虑薄片物体上的热传导,薄片的侧面绝热,可得二维热传导方程.例2 考虑一半径为R 的球体,它通过球表面与周围介质有热交换.如果在球面上所有各点所受周围介质的影响都相同,且球内任意一点的初始温度和热源强度只依赖于它到球心的距离而与它的方位无关,那么如果我们选择以球心为坐标原点并引进球坐标,从而球内的温度),(t r u u =适合方程),(2222t r f r u r r u a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂ 这是由于222),,(),,,(z y x r t r v t z y x u u ++===.rx r v x r r v x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂, rvr x r r x r v r x x r v r x r v r x r v x x u ∂∂-+⋅∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⋅∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂∂∂=∂∂3222222222222, 同理 r vry r r y r v y u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222, r vrz r r z r v z u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222, 于是222222zuy u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆ ()r v r z y x r r z y x r v ∂∂++-+++⋅∂∂=322222222223 r vr rv ∂∂+∂∂=222 .我们称它为球对称问题的热传导方程.例 3 考虑一高为H ,半径为R 的圆柱形物体.引入柱坐标系,取柱体的轴线为z 轴,下底落在0=z 平面上,假设在柱体的侧表面和上下底上给出的边界条件只分别依赖于z 和r (点到轴线的距离),且柱体初始温度和内部热源亦只是z r ,的函数.这样在柱体内温度),,(t z r u u =适合方程),,(122222t z r f z u r u r r u a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ 这是一个二维轴对称问题的热传导方程. 这是由于22),,,(),,,(y x r t z r v t z y x u u +===r vrx r r x r v x u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222 r v r y r r y r v y u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222 rv r r v y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂1222222 若进一步假设柱长无穷,且通过柱体侧表面受周围介质的影响是相同的,又若柱体的初始温度的内部热源只依赖于r ,这样在柱体内温度),(t r u u =适合方程.),(1222t r f r u r r u a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂ 附注3 如果物体内部的热源以及它和外界的热交换与时间无关.这样在相当长时间以后物体内部的温度渐趋于稳定。
harnack不等式_热传导方程_概述说明
harnack不等式热传导方程概述说明1. 引言1.1 概述在数学和物理学领域中，热传导方程是一个重要的方程模型，用于描述物质内部的热传输过程。
它在许多实际问题中具有广泛的应用，例如材料科学、地球物理学和工程等领域。
本篇文章旨在介绍热传导方程以及与之密切相关的Harnack 不等式。
1.2 文章结构本文将按照如下的结构进行组织和详细说明：- 引言：对文章主题进行概述，说明文章结构和目的。
- Harnack不等式：介绍Harnack不等式的定义、背景以及其在数学领域中的重要性和应用。
- 热传导方程：给出热传导方程的方程模型及其基本性质，并介绍相应的初边值问题和解的存在唯一性。
- 概述说明：探讨Harnack不等式与热传导方程之间的关联性，并总结基于Harnack不等式所进行的研究，同时探讨实际应用案例。
- 结论：对全文进行回顾总结并展望未来对这一领域进一步的研究和发展。
1.3 目的本文的目的是通过对热传导方程和Harnack不等式的综述，使读者了解热传导方程及其性质，并认识到Harnack不等式在这一领域中的重要作用。
同时，希望激发读者对于研究热传导方程以及利用Harnack不等式进行相关探索和实际应用的兴趣。
通过该篇论文，读者可以系统地了解研究现状，为未来工作提供参考和启示。
2. Harnack不等式:2.1 定义和背景:Harnack不等式是数学上的一个重要不等式，最早由德国数学家阿道夫·海因里希·哈纳克在19世纪末提出。
它是研究热传导方程及其解的性质时经常使用的基本工具。
热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的演化规律，是表达多种自然现象的一种偏微分方程模型。
在研究热传导方程解的性质时，我们常常需要借助Harnack不等式来推导结论。
2.2 Harnack不等式的表述:Harnack不等式可以用下述方式进行简单陈述：设u(x, t)是满足某些正则条件的关于空间变量x和时间变量t的函数，且满足热传导方程。
热传导方程
布在同一截面是相同的，则温度函数u仅与坐标x和时间t有关，我们就得到:一::维:::热:::传::导::
方程
:::::
∂u ∂t
=
c2
∂ ∂
2u x2
.
(1.19)
同样，如考察薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程 :::::::::::::::::::
∂u ∂t
=
c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
Ω
其中ν为介质的比热，ρ为密度。因此就成立
t2 t1
S
k
∂u ∂n
dSdt
=
νρ[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz.
Ω
(1.3)
假 设 函 数u关 于 变 量x, y, z具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 关 于t具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 利
6
§ 2. Cauchy问题
Fourier 变换在经典分析中是很重要的工具，是分析学中的基本变换之一，它在理论 分析以及工程技术中具有十分重要的应用。在本节中我们利用Fourier变换来求解热传 导方程的Cauchy问题。我们首先应用形式推导的方法给出解的表达式，然后通过严格 的数学验证，证明其的确是所求Cauchy问题的解。
界条件。
::::::::
第三类边界条件 考察介质放在另一种介质，不妨称为介质1中的情形：我们能测量
到的只是与所考察介质接触处的介质1的温度u1，它与所考察介质表面上的温度u往往 并不相同。在u1已知时研究边界条件的提法还必须利用另一个热传导实验定律，即牛 顿定律：从所考察介质流到介质1中的热量和两者的温度差成正比，即
2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
热传导方程的热传输的边值问题
热传导方程的热传输的边值问题一、引言热传导方程是描述热能传输的偏微分方程。
在热传输的研究中，边值问题是一个关键的问题，因为通过边界的能量交换是决定热平衡的主要因素。
本文将着重探讨热传导方程的边界问题，包括定解问题、第一类边值问题、第二类边值问题和第三类边值问题等。
二、定解问题热传导方程的定解问题需同时确定初始条件和边界条件。
通常初始条件是物体初始的温度分布，而边界条件则是物体与外界的热交换方式。
其中边界条件的选择对于解的质量有着至关重要的作用。
我们将从第一类边值问题开始探讨。
三、第一类边值问题第一类边值问题也称为Dirichlet边值问题，它的边界条件为固定的温度分布。
在第一类边值问题的研究中，需要根据温度场的分布确定物体内部的热流分布，以及物体与环境之间的热通量。
Dirichlet边值问题的一个典型应用是研究物体表面温度的分布，对于特定的材料和结构，可以通过先前的实验数据来确定温度的分布。
四、第二类边值问题第二类边值问题也称为Neumann边值问题，它的边界条件为固定的热流密度。
在第二类边值问题的研究中，需要根据热流密度的分布确定物体内部的温度分布，以及物体与环境之间的热通量。
通常情况下，第二类边值问题用于研究物体表面的热通量分布。
五、第三类边值问题第三类边值问题也称为Robin边值问题，它的边界条件为固定的温度和热流密度的线性组合。
在第三类边值问题的研究中，需要根据温度和热流密度的线性关系来确定物体内部的温度分布，以及物体与环境之间的热通量。
Robin边值问题具有较广泛的应用，例如许多机械工程中的冷却问题就可以归类为第三类边值问题。
六、总结本文主要探讨了热传导方程的边值问题，包括了定解问题、第一类边值问题、第二类边值问题以及第三类边值问题等。
在实际的工程应用中，热传导方程是研究热传输问题的基础，而针对不同的物理场景和问题，不同类型的边值问题也需要采取不同的求解方法。
对于工程领域中的热传输问题，深入地研究热传导方程的边值问题具有非常重要的意义。
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题介绍热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一类偏微分方程。
在实际生活和工程中，了解和解决热传导问题对于保护环境和优化工艺非常重要。
本文将详细介绍热传导方程的初边值问题及其解决方法。
初边值问题的定义初边值问题是指在给定一定空间区域和时间区域内，求解偏微分方程在这些区域内满足一定初值和边界条件的解。
对于热传导方程，我们通常关注的是物体内部的温度分布随时间的变化，因此需要给出初始时刻物体内各点的温度，并指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式。
热传导方程热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律，其一维形式为：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)代表了某一点(x,t)处的温度，α代表热扩散系数，t代表时间，x代表空间位置。
初边值条件为了求解热传导方程的初边值问题，我们需要给出一些初始条件和边界条件。
常见的初边值条件包括： - 初始条件：u(x,0)=f(x)，给出初始时刻物体内各点的温度分布，f(x)代表初始时刻的温度函数。
- 边界条件：u(a,t)=g(t)和u(b,t)=ℎ(t)，指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式，a和b分别为空间区域的起始和结束位置，g(t)和ℎ(t)为边界处的温度函数。
初边值条件的选择对于求解问题的精确性和适用范围具有重要影响。
解法针对热传导方程的初边值问题，我们可以通过数值方法或解析方法来求解。
下面介绍两种常见的解法。
球坐标系下的分离变量法对于某些具有球对称性的问题，可以采用球坐标系下的分离变量法来求解。
通过假设解具有分离变量形式u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)，将热传导方程分解成径向、角度和时间三个单变量函数的形式，然后带入原方程得到各个变量的微分方程。
最后通过求解单变量微分方程和利用边界条件，确定解的具体形式。
差分方法差分方法是一种常用的数值方法，通过将连续的空间和时间区域离散化，将热传导方程转化为有限差分方程组，并通过迭代求解来逼近真实的解。
微分方程中的边值问题与初值问题
微分方程中的边值问题与初值问题微分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于科学和工程领域。
边值问题和初值问题是微分方程的两类基本问题。
本文将重点讨论微分方程中的边值问题与初值问题，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、边值问题边值问题是指在给定的区间内，求解微分方程的解在区间两个端点处满足一些给定的条件。
通常情况下，边值问题的求解需要利用方程的边界条件来确定解的形式。
对于一阶微分方程，边值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(a) = \alpha \\y(b) = \beta \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$a$和$b$是区间的端点，$\alpha$和$\beta$是给定的常数。
边值问题的求解可以利用一些经典的数值方法，如有限差分法、有限元法等。
这些方法将边值问题转化为一个离散的数值问题，并通过迭代求解来逼近真实的解。
边值问题在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用。
例如，在弹簧振动系统中，可以通过求解边值问题来确定系统的稳定状态。
在电路分析中，可以利用边值问题求解电路中的电压、电流分布等问题。
二、初值问题初值问题是指在给定的初始条件下，求解微分方程的解在某一点处的值。
与边值问题不同，初值问题只需要确定方程在某一点的解，而不需要确定整个区间上的解。
对于一阶微分方程，初值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(x_0) = y_0 \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$x_0$是初始点的横坐标，$y_0$是初始点的纵坐标。
初值问题的求解可以采用一些经典的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过迭代计算微分方程的斜率和步长，逐步逼近解的真实值。
初值问题在物理学、控制系统和经济学等领域有广泛应用。
3 数理方程-热传导方程的导出
电子科技大学
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L长的细杆边界上有热流进、出 长的细杆边界上有热流进、 长的细杆边界上有热流进 u(x, t ) ∂u dQ = − k dsdt L O ∂n ∂u ∂u q = −k 这里 ∂n 为沿热流方向的方向导数 ∂n 1. 在 x = L 处有热流 q 流出 ux | x=L = – q / k 2. 在 x = L 处有热流 q 流入 3. 在 x = 0 处有热流 q 流出 4. 在 x = 0 处有热流 q 流入 边界上有热交换 边界上有热交换
t2 ∂u ∂u dt ]dxdydz = ∫ [ ∫∫∫ cρ dxdydz ]dt = ∫∫∫ cρ [ ∫ t 1 ∂t t1 ∂t V V
V
t2
Q1 = Q2
∫ [∫∫∫ k[div(Grad u )]dxdydz ]dt = ∫
t1 V
t2
t2
t1
∂u [ ∫∫∫ c ρ dxdydz ]dt ∂t V
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Q1 = Q2 记 a2 = k/(cρ)
∂u k div (Grad u) = cρ ∂t
∂u a div (Grad u) = ∂t
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三维热传导方程: 三维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy + uzz ]
∂u 2 =a ∆u ∂t
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热传导问题三类边界条件
偏微分方程中的初边值问题
偏微分方程中的初边值问题偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的一个重要分支，应用非常广泛，如物理、工程、经济等领域。
在PDE中，初边值问题是研究的重点之一，本文将对初边值问题进行介绍和讨论。
一、初边值问题概述对于一个偏微分方程，首先要确定它的边界和初始条件。
在数学中，边界通常指在某些区域上具有特定边界条件的区域边缘，而初始条件是指确定该方程的初值。
因此，初边值问题是指同时给定一个方程的初值和边界条件，并求解方程在这些条件下的解。
通常，偏微分方程的解并非是一个简单的函数，而是一个函数族。
这是因为PDE通常涉及多个自变量，如时间和空间，为了得到函数的解析式，需要确定所有自变量的取值。
因此，初边值问题是在PDE中寻找一个满足边界和初始条件的特定函数。
二、分离变量和特解法寻找偏微分方程的解是一个重要的数学问题，解PDE的方法多种多样。
其中，分离变量和特解法是常用的两种方法。
分离变量法是一种通过将偏微分方程的解表示为两个或多个函数之积的方法，然后将它们分别作为各自函数的自变量，从而得到一个求解偏微分方程的一般解。
这种方法的优点是易于理解，但是它只能用于特定类型的偏微分方程，且往往只能得到特定的解。
特解法是另一种常用的方法，它基于特定技巧和技巧，寻求可以解决偏微分方程的特殊解，例如绿函数法、微积分变换法等。
该方法可以得到比分离变量法更复杂的解，但是需要相应的数学技术和策略才能成功。
三、常见的初边值问题下面介绍一些常见的偏微分方程和初边值问题：1.热传导方程热传导方程是一类描述热传输的PDE。
许多物理问题、化学工程问题和生物学问题等都可以用热传导方程来描述。
对于热传导方程的初边值问题，初始条件一般是指时间t=0时温度分布的分布，边界条件指物体的表面温度分布以及热流量。
通过求解热传导方程，可以获得物体温度在时间和空间上的分布。
2.波动方程波动方程是描述传播波的PDE，既可以是机械波，也可以是电磁波。
热传导方程习题解答
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 13 / 51
初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解:
ut = a2uxx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = ux(π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为
( ∂
) ∂u
πl2
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x
k(x) ∂x
·
x∗
4 ∆x − k1(u − u1)πl∆x.
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1, x2] 杆段的热量为
∫ t2
t1
∫ x2
x1
[ ∂ ∂x
(
)
∂u
k(x) ∂x
y,
z)
∂N ∂n
dSdt.
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为
∫ t2
D(x, y, z) ∂N dSdt = ∫ t2
t1
Γ
∂n
t1
div(DgradN)dxdydzdt.
Ω
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 5 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
(
)
∂u 1 ∂ ∂t = cρ ∂x
∂u k(x) ∂x
−
4k1 cρl
(u
−
u1).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 4 / 51
热传导方程初边值问题的注记
第 三类边界 条件 的初 边值 问题 ． 后 不 管是 对 具第 ”其
三类 边界条 件还 是对 具 第 二 类 边 界 条件 的初 边值 问
由极 值原理 知 ，
ｍ ａ ｕ（ ，） 一 ｍａ ￡（ ． ｘ ｘ‘ｚ，）
１ 引 言
ｆ “ 微 分 方 程 ”热 传 导 方 程 部 分 的 教 学 过 程 偏 中， 热传导 方程 的极值 原 理 是 非 常 重 要 的 内容 ． 用 运
它 可 以去研 究初 边值 问题 的解 的唯 一性 和稳定 性． 有
在 下 文 中 ， 妨 假设 不
Ｑ Ｔ＝ ｛ ，）ｌ （ ０＜ ｚ＜ Ｚ０＜ ｔ Ｔ） ， ≤ ，
ＲＴ＝ Ｑ１ ＦＴ— Ｒ１一 Ｑｒ 、 ， ＇ ．
与 文［］所 不 同 的是 ， 面 直 接 运 用 极 值 原 理 来 对 ３ 下
（ｉ 甜的 上 界 ． ）
文 ［］ 讲述 这部 分 内容前 ， 定 理 ４ １ 证 明 解 ｕ ｘ，） 行估 计 ． ３在 称“ ．所 （ ￡进
ｘ（ ． “（ｚ ，ｏ ０ ｔ）＝ ｍ ａ ｕ ，）
—
ｑＴ
由于抛物 边界 ｒ Ｔ由两 侧边 和 一底 边 构成 ， 于是再 分 三种 情形 讨论 ： １ 若 （ ， ）在侧 边 ｚ＝ ０ ０≤ ￡ Ｔ上 ， 。 。 ￡ 。 ， ≤ 则
（ ￡ ，）一 ｕ Ｏ ｔ）一 ￣ （ ）一 （， ｏ －ｔ ｇ Ｏ ｌ
ｒ Ｔ 。
３ 若 （ ｏ ）在侧 边 Ｘ— ｚ０≤ ｔ Ｔ上 ， 。 ｚ， ， ≤ 则
ｍａ ／（ ，） 一 ｕ（ ，ｏ ｘ ￡ ／ １ ｔ）．
ｒ Ｔ
我们 先考 虑 文 ［ ］中 的 具 第 三 类 边 界 条 件 的初 ３ 边 值 问题
向前Euler格式求解热传导方程Dirichlet初边值问题
17 (0.5 , 0.17) -42.8371 1.9542 4.4791e+01
18 (0.5 , 0.18) 132.9477 1.9739 1.3097e+02
表 3.3
取不同步长时数值解的最大��
������∞(ℎ, ������) ������∞(2ℎ, 4������)/������∞(ℎ, ������)
k (x , t)
数值解 精确解 |精确解-数值解|
1 (0.5 , 0.01) 1.6652 1.6653 6.8968e-05
2 (0.5 , 0.02) 1.6819 1.6820 1.3932e-04
3 (0.5 , 0.03) 1.6987 1.6989 2.1107e-04
4 (0.5 , 0.04) 1.7157 1.7160 2.8425e-04
13 (0.5 , 0.13) 1.2870 1.8776 5.9063e-01
14 (0.5 , 0.14) 3.6519 1.8965 1.7554e+00
15 (0.5 , 0.15) -3.2776 1.9155 5.1931e+00
16 (0.5 , 0.16) 17.2114 1.9348 1.5277e+01
1/10 1/200 8.6337e-04
热传导方程的初边值问题
热传导方程的初边值问题热传导方程是研究物体在热传导过程中温度随时间和空间的变化规律的数学模型。
初边值问题是给定某个初始条件和边界条件，求解热传导方程的问题。
本文将讨论热传导方程的初边值问题，并介绍一些求解方法。
1. 热传导方程的基本概念热传导方程描述了物体内部的温度随时间和空间的变化规律。
它的数学表达式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0$$其中，$u$表示物体内每个点的温度，$a$代表物体的热传导系数，$\nabla^2u$表示温度的梯度。
这个方程可以描述一维、二维和三维的情况。
2. 初边值问题的基本概念在研究热传导方程时，通常需要解决初边值问题。
这个问题是在一定的时间范围内，在某些区域内确定某些温度和温度梯度的初始值和边界条件，然后根据热传导方程求解温度随时间和空间的变化规律。
初边值问题的形式可以表示为：$$\left \{\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0&\quad\Omega\times(0,T)\\&u(x,t)=u^0(x,t)&\quad\text{on }\ \partial\Omega\times(0,T)\\&u(x,0)=u_0(x)&\quad \text{in }\ \Omega\end {aligned}\right .$$其中，$\Omega$表示问题所在的区域，$T$表示时间范围，$u^0(x,t)$表示边界条件，$u_0(x)$表示初始条件。
3. 求解初边值问题的方法对于初边值问题，常见的求解方法有以下几种：（1）分离变量法分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法。
可以根据问题的对称性，将其解分解成一个时间函数和一个空间函数的乘积。
通过对每一部分采用不同的数学处理方法，最终得到问题的解。
4.7.1解的渐进性态
2
所以 → ∞时(0 , )为指数衰减。证毕。
热传导方程的柯西问题
2
2
=
൞
2
, 0 = ()
的唯一解
, =
+∞
对增加条件：如果−∞
1
+∞
න
− 2
−
42
2 −∞
() 收敛，则称 ∈ ′()，并记
+∞
1 ()
=න
−∞
()
定理 设是有界连续函数，且 ∈ ′()，则热传导方程柯西问题
解的适定性
存在性 唯一性 稳定性
热传导方程 = 2
波动方程 = 2
发展型方程
求得方程解的表达式(, )
取 → ∞时的极限，
得到解的渐近性态
问题：无法求出解的具体表达式
或者
解的表达式为
∞
σ
无穷级数 , = = (, )
积分 , = , ,
2
∞
(−)
1
−
න () 42
(, ) =
2 −∞
由()的性质知
(0 −)2
1
−
න () 42
(0 , ) =
2
记 = 0 − , 0 − ，则
2
2
1
1
− 2
− − 2
4
න () ≤ 2 4
维数。
例1 设(, )是下列初边值问题的解：
= (0 < < , > 0)
3热传导方程(扩散方程)
（3）热源提供的热量Q2
Q2
t2
[ F ( x , y , z , t )dV ]dt
t1
t2
(1.3)
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV]dt [ ( (k ) (k ) (k ))dV]dt t1 [ t1 t x x y y z z
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.
§1.1 数学模型的建立
数学模型建立的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
三、定解问题 定义1 在区域 G [0, ) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
ut a 2 uxx 0, u x , 0 ( x ), u o, t 1 ( t ), 0 x l , t 0, 0 x l , t 0, ux l , t h u l , t 2 ( t ), t 0, h 0.
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x , y , z , t ), t y z x
(1.5)
k , 其中 a c
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u 2 u a 2 2 2 0 . t y z x
热传导 试验定 律或牛 顿定律
第三章热传导方程小结
对x求导一次得
对有限的 即 和 ，下列积分
是绝对且一致收敛的。因为对充分大的 ，每个积分
都是绝对且一致收敛的。绝对性可从 充分大后被积函数不变号看出，一致性可从充分性判别法找出优函数来。如第三个积分的优函数为
且
收敛。
因 ，故
右端为一致收敛积分的乘积，仍为一致收敛积分。因而 为绝对一致收敛的积分。从而有
界上保持常温 ，求圆板稳恒状态的温度分布。
解：引入极坐标，求稳恒状态的温度分布化为解定解问题
（拉普斯方程在极坐标系下形式的推导见第三章 习题3），其中引入的边界条件 为有限时，叫做自然边界条件。它是从实际情况而引入的。再引 则
满足
设 代入方程得
乘以 再移项得
右边为r函数，左边为 函数，要恒等必须为一常数记为 ，分开写出即得
第三章热传导方程
一、 小结
求解偏微分方程定结问题的另一个常用的方法是积分变换法。本章只限于介绍有广泛应用的傅立叶变换法。应用分离变量法与傅立叶变换法提供了热传导方程混合问题与初值问题的求解方法。
1．混合问题
一维齐次热传导方程带有齐次边界条件的混合问题，仍可用分离变量法求解。例如混合问题
的级数形式解为
(1) ;(2)
(3)用延拓法求解半有界直线上热传导方程（3.22）,假设
解：（1） 有界，故
=
=
(2)1+x 无界， 但表达式
仍收敛，且满足方程。因此
=
易验它也满初始条件.
4.用傅立叶变换求解三维热传导方程的柯西问题
：
解：令
对问题作傅立叶变换得
解之得
因
=
再由卷积定理得
热传导方程初值问题解的若干性质
热传导方程初值问题解的若干性质邢家省;李争辉【摘要】研究热传导方程初值问题解的性质,利用求解公式给出了热传导方程的解是解析函数的直接证明,对初值连续可积条件下,给出齐次热传导方程初值问题解的存在性证明.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(023)003【总页数】4页(P6-8,39)【关键词】热传导方程;初值问题;解析函数【作者】邢家省;李争辉【作者单位】北京航空航天大学,数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191;北京航空航天大学,数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191【正文语种】中文【中图分类】O175.29文献[1-5]指出热传导方程的解是解析函数,热传导的逆问题的不存在性亦用到这一结果.文献[2-8]中给出了齐次热传导方程边值问题解是解析函数的证明,然而其中的证明方法过程较为复杂.我们给出了一种直接且简单的证明方法,完善了热传导方程的理论证明.对齐次热传导方程初值问题利用Fourier变换,可得到形式解定理1[1-6]设φ(x)在(-∞,+∞)上连续且有界,则(2)式确定的函数上连续,且u(x,t)是问题(1)的唯一有界的古典解.定理2[1-6]设φ(x)在(-∞,+∞)上连续,且满足其中常数A,B,r>0,则(2)式确定的函数u(x,t)∈C((-∞,+∞)×[0,+∞)),u(x,t)∈C∞(R×(0, +∞)),且u(x,t)是问题(1)的古典解.定理3[1,2,8,12]设φ(x)∈C(-∞,+∞),且φ(x)有界,则对每一个t>0由(2)式所确定的函数u(x, t)是的整解析函数.证明设复数z∈C,考虑含复参变量的广义积分设|φ(x)|≤M,对任意t>0固定,存在δ>0,T>0使得δ<t<T.对任意r>0,容易知道积分在|z|≤r上是一致收敛的,令,显然{Un(z,t)}是解析函数列,且有{Un(z,t)}在|z|≤r上一致收敛于U(z,t),由一致收敛的解析函数列的性质定理,得U(z,t)关于|z|≤r是解析的,从而U(z,t)在整个复平面上是解析的,于是,对每一个t>0,初值问题的解u(x,t)是的是解析函数.定理4 设φ(x)∈C(-∞,+∞),且满足|φ(x)|≤A+Ber|x|,(-∞<x<+∞),其中常数A, B,r>0,则对每一个t>0由(2)式所确定的函数u(x,t)是问题(1)的古典解,且对每一个t>0,齐次热传导方程初值问题的解u(x,t)是x的整解析函数.在文献[12]中证明了,对热传导方程的解u(x,t),当t>0时,u(x,t)是(x,t)的解析函数.文献[8]中给出一例,在t≥0上,u(x,t)关于(x,t)非解析.例[8]热传导方程的柯西问题在坐标原点(0,0)的邻域中不存在解析解.证明用反证法.假设在坐标原点的邻域内问题(4)存在解析的解,把它代入方程,比较系数,得出:;由初值条件,得u2s+1,0=0,u0,0=1,u2s,0=(-1)s,(s≥0,k≥0);从而u2s+1,k=0,(s≥0,k≥0);u2s,k+1(k+1)=u2s+2,k(2s+2)(2s+1),(s≥0,k≥0);u2s,1=u 2s+2,0(2s+2)(2s+1)=(-1)(s+1)(2s +2)!/(2s)!,利用数学归纳法,可证得,系数ua1,a2具有如下形状:于是,但此时,这个级数在坐标原点无论怎样的邻域中都不收敛,因为它在任何一点(0,t),t≠0,级数是发散的.定理5[7]设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内连续且绝对可积,则有积分满足热传导方程及初值条件证明[7]当.而,故积分在t>0,-∞<x<+∞上一致收敛,从而u(x,t)是t>0,-∞<x<+∞上的连续函数.考查下列几个积分先考查(5)式中的积分:由于对|x|≤x0,0<t0≤t≤t1(x0,t0,t1任意固定)当|y|>x0时,有而故当|y|>x0时,有|f(y)e-(y-x)2/4a2t(y-x)2/4a2t2|≤M|f(y)|,其中M是某常数. 于是,根据,由魏氏判别法知,(5)式中的积分在|x|≤x0,0<t0≤t≤t1上一致收敛.同理可证,(6)式中的积分和(7)式中的积分都在|x|≤x0,0<t0≤t≤t1上一致收敛.于是,在由积分所确定的函数可在积分号下求导,由x0,t0,t1得任意性知,即得u(x,t)满足方程下面证明利用,得任给ε>0,根据f(x)在点x的连续性,可取某δ>0,使得当|y-x|≤δ,恒有|f(y)-f(x)|<ε/3,我们有下面我们分别估计I1,I2,I3,从而有又有由此可知同理可证于是,存在η>0,使得当0<t<η时,成立|I3|<ε/3,|I1|<ε/3.由此,当0<t<η时,便有|u(x,t)-f(x)|<ε/3+ε/3+ε/3=ε,故(8)式成立.从证明过程中,我们还可以发现在(-∞,+∞)内是局部一致收敛的.若f(x)只在(-∞,+∞)上绝对可积,而无连续性条件,结论就有可能不成立了[7].【相关文献】[1]Smoller J.Shock Waves and Reaction Diffusion Equations[M].Sp ringer Verlag,1983.[2]魏光祖,袁忠信,王恩三,等.索伯列夫空间与偏微分方程[M].开封:河南大学出版社,1994.[3]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2002.[4]谷超豪,李大潜.数学物理方程[M].北京:高等教育出版社,2002.[5]姜礼尚,陈亚浙.数学物理方程讲义[M].北京:高等教育出版社,1986.[6]王明新.数学物理方程[M].北京:清华大学出版社,2005.[7]费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解:六[M].济南:山东科学技术出版社,1980.[8]奥列尼克著.郭思旭译.偏微分方程讲义[M].北京:高等教育出版社,2008.[9]华罗庚.高等数学引论:三册[M].北京:科学出版社,2009.[10]邢家省,崔玉英.齐次热传导方程初边值问题的解是解析函数的证明[J].河南科学,2009,27(11);1 341-1 345.[11]邢家省,张愿章,郭秀兰.非齐次热传导方程初边值问题的形式级数解的收敛性[J].河南科学,2010,28(1):1-5.[12]John F.Partial Differential Equations[M].北京:世界图书出版公司北京公司,2009.。
分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题
标题：深度剖析分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题在研究热传导方程的初边值问题时，分离变量法是一种常用而有效的求解方法。
本文将对分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题进行深度剖析，并探讨其在物理和数学领域的应用。
在数学领域，热传导方程是描述物体温度随时间和空间变化的偏微分方程。
而在物理领域，热传导方程也是研究热量传递和热平衡的重要工具。
分离变量法，作为一种常见的求解方法，其原理和应用也备受关注。
1. 分离变量法的基本原理当我们面对一个包含多个变量的偏微分方程时，为了求解方程，我们常常采用分离变量的方法，将多个变量分开处理，从而简化原方程。
在解 1 维热传导方程的初边值问题中，分离变量法被广泛应用。
2. 解初边值问题的具体步骤2.1 我们需要对热传导方程进行分离变量，假设解可以表示为两个独立变量的乘积形式。
2.2 将分离后的各部分分别求解，并根据初边值条件确定待定系数。
2.3 将各部分的解线性组合，得到原方程的通解。
3. 应用举例在实际问题中，分离变量法可以应用于多种热传导问题的求解，比如杆的温度分布、矩形板的热传导以及圆环的热传导等。
这些例子不仅帮助我们理解分离变量法的具体应用，同时也展示了这一方法的广泛适用性。
回顾本文所述内容，我们深入剖析了分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题。
通过从简入繁的讲解方式，我们对分离变量法有了更深入的理解，不仅在理论上得到了加强，更加清晰地掌握了其实际应用。
我们通过具体的例子，进一步巩固了对这一方法的理解和运用能力。
个人观点和理解：分离变量法作为一种求解偏微分方程的通用方法，具有普适性和实用性。
在解决热传导方程的初边值问题时，分离变量法能够有效简化问题，并得到较为清晰的解析解。
在实际工程和科学研究中，我们可以充分发挥分离变量法的优势，解决多种与热传导相关的问题。
在知识格式的文章中，我们可以用更具体的例子和实践经验来点题问题的解决，从而更好地向读者展示这一方法的魅力和应用前景。
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题热传导方程初边值问题引言•热传导方程是描述物质内部温度分布随时间变化的重要方程之一。
•初边值问题是研究热传导方程在给定初始条件和边界条件下的解的问题。
•本文将介绍热传导方程的基本概念以及求解初边值问题的方法。
热传导方程的基本概念•热传导方程描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
•方程的形式为：∂u∂t =k⋅∂2u∂x2，其中u是温度分布函数，t是时间变量，x是空间变量，k是热传导系数。
•热传导方程的解依赖于初始条件和边界条件。
初边值问题的定义•初边值问题是指在给定初始条件和边界条件下求解热传导方程的解的问题。
•初始条件是指在t=0时刻的温度分布情况。
•边界条件是指在空间边界上温度的分布情况。
求解初边值问题的方法•求解初边值问题的方法多种多样，下面介绍两种常用的方法。
分离变量法•分离变量法是一种常用的求解热传导方程初边值问题的方法。
•首先将温度分布函数u(x,t)表示为两个变量x和t的乘积：u(x,t)=X(x)T(t)。
•然后将乘积形式的温度方程带入原方程，得到两个单独的方程：1 kX ∂2X∂x2=1T∂T∂t=−λ2。
•分别解这两个方程，得到X(x)和T(t)的表达式。
•最后将X(x)和T(t)相乘，即可得到最终的温度分布函数u(x,t)。
使用数值方法•当无法使用分离变量法求解热传导方程初边值问题时，可以使用数值方法进行求解。
•常见的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
•有限差分法将连续的空间和时间离散化为网格点，通过近似求解差分方程得到温度分布。
•有限元法将连续的空间离散化为有限个单元，建立代表温度分布的函数空间，通过求解变分问题得到温度分布。
结论•热传导方程初边值问题在工程和科学研究中具有重要的应用价值。
•本文介绍了热传导方程的基本概念和求解初边值问题的方法。
•分离变量法和数值方法是常用的求解初边值问题的方法。
•进一步深入研究和应用这些方法，可以帮助我们更好地理解和解决热传导问题。
热传导方程
2.1初边值问题的求解初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=====<<>=-)4.2.......(....................0:)3.2.....(..............................0:0)2.2.....(....................).........(:0)1.2().........0,0(02hu u l x u x x u t l x t u a u x xx t ϕ 其中h 为正常数。
用分离变量求解。
令)()(),(t T x X t x u =，这里)()(t T x X 和分别表示仅与x 有关和仅与t 有关的函数。
把它代入方程，得到T X a T X ''='2,即XX T a T ''='2.这等式只在两边均等于常数时才成立。
令此常数为λ-，则有 )6.2.......(..........0)5.2......(..........02=+''=+'X X T a T λλ 先考虑（2.6）.根据边界条件（2.3）、（2.4），)(x X 应当满足边界条件)7.2.(..........0)()(,0)0(=+'=l hX l X X对于边值问题（2.6）、（2、7），分类进行讨论。
①当0≤λ时，只有平凡解;0≡X②当0>λ时，)8.2.........(sin cos )(x B x A x X λλ+=利用边界条件().000==A X ，得于是（2.7）的第二个边界条件得到()9.2.................0)sin cos (=+l h l B λλλ为使)(x X 为非平凡解，λ应满足)10.2(..........0sin cos =+l h l λλλ即λ应是下述超越方程的正解：)11.2(..........tan h l λλ-= 令)12.2.......(..........l v λ=则（2.11）式变为 )13.2.........(tan lh v v -= 利用图解法或数值求解法可得出这个方程的根。
3 数理方程-热传导方程的导出
ux | x=L = q / k ux | x=L = q / k ux | x=L = – q / k
∂u | x = L = k1 ( u | x = L − u1 ) −k ∂x ∂u k | x = 0 = k1 ( u | x = 0 − u1 ) ∂x 电子科技大学
8/12
拉普拉斯方程与拉普拉斯算子 二维热传导方程: 二维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy] 三维热传导方程: 三维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy + uzz ]
t2 ∂u ∂u dt ]dxdydz = ∫ [ ∫∫∫ cρ dxdydz ]dt = ∫∫∫ cρ [ ∫ t 1 ∂t t1 ∂t V V
V
t2
Q1 = Q2
∫ [∫∫∫ k[div(Grad u )]dxdydz ]dt = ∫
t1 V
t2
t2
t1
∂u [ ∫∫∫ c ρ dxdydz ]dt ∂t V
∂u Q1 = ∫ [ ∫∫ k ds ]dt t1 ∂n 电子科技大学 S
t2
3/12
通过曲面进入导热体的总热量: 通过曲面进入导热体的总热量
Q1 = ∫ [ ∫∫∫ k[div (Grad u)]dxdydz ]dt
t1 V t2
温度升高所需热量: 温度升高所需热量
Q2 = ∫∫∫ cρ [u( x , y , z , t 2 ) − u( x , y , z , t1 )]dxdydz
(边界上有热流进入 边界上有热流进入) 边界上有热流进入
∂u = β ( x, y, z, t ) ∂n S
∂u III. 第三类边界条件 [ + σu] = γ ( x , y , z , t ) 第三类边界条件: ∂n S (边界上有热交换 边界上有热交换 边界上有热交换)
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例4 周期初始温度分布 求解热传导方程txx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布(,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。
解4(,)1cos2t u x t e x -=+.初始高斯温度分布例 5求解定解问题22220,(,0)(,0),()kx u u a x t tx u x e x -⎧∂∂-=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩，其中常数0k >.解22()4(,)()x s a tu x t s eds ϕ--+∞-∞=⎰222()4x s ks a teeds --+∞--∞=⎰2222(41)24ka t s xs x a teds +-+-+∞-∞=⎰22222224(41)()41414x ka t ka t s xka t ka t a teds +-+++-+∞-∞=⎰222222(41)()41441k ka t x x s ka t a t ka t e eds+---+∞++-∞=⎰2241kx ka t e-+=2241kx ka t -+=.§3初边值问题设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布),(t x u 满足以下初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧≤<==≤≤=<<<<=-Tt t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0),()0,(0,0),,(212ϕ 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解.将边值齐次化令())()()(),(121t g t g lxt g t x U -+= 再作变换U u V -=引入新的未知函数,易知它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤-=<<<<-=-T t t l V t V l x x U x x V T t l x U t x f V a V t xx t 0,0),(,0),0(,0),0,()()0,(0,0,),(2ϕ 我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 解 设),()(),(t T x X t x u =代入方程),()()()(2t T x X a x X t T ''=',)()()()(2x X x X t T a t T ''='这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为λ-,则有,02=+'T a T λ （3.4） ,0=+''X X λ （3.5）先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),)(x X 应当满足边界条件0)(,0)0(==l X X （3.6）情形A ：当0<λ时,方程（3.5）的通解可以写成12(),X x C C e =+要使它满足边界条件（3.6）,就必须,021=+C C,021=+---lle C eC λλ由于,011≠-=------llllee eeλλλλ只能,021==C C 故在0<λ的情况得不到非平凡解. 情形B ：当0=λ时,方程（3.5）的通解可以写成,)(21x C C x X +=要满足边界条件（3.6）,,0,0211=+=lC C C 即021==C C .)(x X 也只能恒等于零.情形C ：当0>λ时,方程（3.5）的通解具有如下形式：,sin cos )(21x C x C x X λλ+=由边界条件,0)0(=X 知,01=C 再由,sin )(2l C l X λ=可知,为了使,02≠C 就必须,0sin =l λ于是),2,1(, ==k k l πλ),2,1(,222 ===k lk k πλλ （3.7）这样就找到了一族非零解),2,1(,sin)( ==k x lk C x X k k π（3.8） 称x lk C x X k k πsin)(=为常微分方程边值问题 ⎩⎨⎧==<<=''-0)()0(0,)()(l X X lx x X x X λ 的固有函数（特征函数）.而222l k πλ=称为相应的固有值（或特征值）.将固有值k λ代入方程（3.4）中,,02222=+'T lk a T π 可得tl k a k k eB t T 2222)(π-= （3.9）于是得到一列可分离变量的特解),2,1(,sin),(2222==-k x lk eA t x u tl k a k k ππ （3.10） 由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解,sin ),(),(112∑∑∞=-∞===k k tak k k x e A t x u t x u k λλ （3.11）其中222lk k πλ=.由（3.2）,为使在0=t 时,),(t x u 取到初值)(x ϕ,应成立,sinsin )0,()(11∑∑∞=∞====k k k k k x lk A xA x u x πλϕ （3.12）得出⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ. （3.13） 得到问题（3.1）－（3.3）的解,sin ),(12∑∞=-=k k ta k x eA t x u k λλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ.定理 若,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则,sin ),(12∑∞=-=k k tak x eA t x u k λλ （3.14）是 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 的古典解（经典解）.证明 由],,0[l C ∈ϕ得ϕ在],0[l 上可积.02|||()sin |l k k A d l lπϕξξξ=⎰ M d l l=≤⎰ξξϕ0|)(|2 对任意,0>δ当δ≥t 时,成立22()21(),k k n m n m a t a k k m nA e x M e t xλλδλ++--∂≤∂∂（任意整数,0m n ≥） 又对任意,0>p 而级数21k a p kk eλδλ∞-=∑收敛,所以21(sin )k m n a tk m n k A e t xλ+∞-=∂∂∂∑在δ≥≤≤t l x ,0上一致收敛.于是21(,)()k m n m n a tk m n m n k u x t A e t x t xλ++∞-=∂∂=∂∂∂∂∑，即级数∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ,当δ≥≤≤t l x ,0时,关于x 及t 具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换.由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数),(t x u 在δ≥t 时,确实满足方程及边界条件.再由0>δ的任意性,得),(t x u 在0t >时满足方程及边界条件, 且)).,0(],0([),(+∞⨯∈∞l C t x u再证)0(),(),(lim 0000l x x t x u t x x ≤≤=+→→ϕ由条件),()0(],,0[1l l C ϕϕϕ=∈02|||()sin |l k k A x xdx l l πϕ=⎰02|()cos |||l k l k l x xdx a k l l k πϕππ'==⎰()222111sin ,2k a tk k k A ex Ca C a k k λ-⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭由Bessel 不等式,知()()22012()l k k a x dx lϕ∞='≤∑⎰, 从而得到∑∞=-1sin 2k k k ta x A ek λλ在0,0t x l ≥≤≤上一致收敛, 1k k A ∞=∑在0x l ≤≤上一致收敛于()x ϕ,从而得),(t x u 在0,0t x l ≥≤≤上连续. 于是)0(),(sin sin lim ),(lim 0010100200l x x x A x A et x u k k k k k k ta t x x t x x k ≤≤===∑∑∞=∞=-→→→→++ϕλλλ.3.1初边值问题解的渐近性态定理 假设初始函数)(x ϕ满足,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则当t趋于无穷大时,问题（3.1）－（3.3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当+∞→t 时,对一切],0[l x ∈,,0|),(|12→≤-t a Ce t x u λ其中C 是一个与解无的正常数. 证明 古典解是唯一的,∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ是唯一的古典解,其中222l k k πλ= ,2,1,sin )(20==⎰k d lk l A l k ξξπξϕ)(x ϕ在],0[l 上有界,设M x ≤)(ϕ,则有0022||()sin 2l lk k A d Md M l l lπϕξξξξ≤≤=⎰⎰ 当1≥t 时∑∞=-≤12),(k ta k k eA t x u λ∑∞=-≤122k t a k e M λ∑∞=---=1)(12122k ta ta k eMeλλλ∑∞=---≤1)(12122k ata k e Meλλλ∑∞=--≤1222122k kl a ta eMeπλta Ce12λ-≤.3.2非齐次方程求解方法—齐次化原理考虑非齐次方程⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(,0)0,(),(2t l u t u x u t x f u a u xx t . 齐次化原理：若);,(τt x w 是下述问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥===<<>∂∂=∂∂=τττττττt t l w t w x f t x w l x t x wa t w t ,0);,();,0(),(|);,(0,,222 （*） 的解（其中0≥τ为参数）,则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ是非齐次问题⎪⎩⎪⎨⎧≥===><<=-0,0),(),0(,0)0,(0,0,),(2t t l u t u x u t l x t x f u a u xx t 的解.证明 显然0),(),0(,0)0,(===t l u t u x u ,ττd t w t x f d t w t t x w tut t ⎰⎰∂∂+=∂∂+=∂∂00),();,(,0222222⎰∂∂=∂∂t d x w a x u a τ则u 满足),(222t x f x u a t u =∂∂-∂∂.),(t x u 是非齐次问题的解. 现在来求问题（*）的解.作变换τ-='t t 则问题（*）化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'=+'=+'=<<>'=∂∂-'∂∂='0,0);,();,0(),(|0,0,00222t t l w t w x f w l x t x wa t w t τττττ （**） 我们已知问题（**）的解为,sin )();,(12∑∞='-='k k t a k x e B t x w k λττλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.于是,sin )();,(1)(2∑∞=--=k k t a k x e B t x w k λτττλ故⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ,sin )(1)(2∑⎰∞=--=k k tt a k x d e B k λτττλ是非齐次问题的解.初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(),()0,(),,(2t l u t u x x u t x f u a u xx t ϕ的解为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k t t a k k k ta k x d e B x eA t x u k k λττλτλλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d l k l A 0sin )(2ξξπξϕ,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤=≤<<<=-T t t l u t u l x x x u Tt l x t x f u a u xx t 00),(),0(,0),()0,(0,0),,(2ϕ （3.15） 方法步骤 把),(t x u ,方程的非齐次项),(t x f 和初值都按照特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin展开：,sin)(),(1∑∞==k k x l k t T t x u π ,sin)(),(1∑∞==k k x lk t f t x f π ,sin)(1∑∞==k k x l k x πϕϕ 由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin在区间],0[l 上的正交性,可得 ⎰=l k xdx l k t x f l t f 0sin ),(2)(π, ⎰=l k xdx l k x l 0sin )(2πϕϕ.而函数)(t T k 暂时还是未知的.为确定)(t T k ,把上述展开式问题（3.15）代入方程和初始条件,由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin的完备性,从而得到)(t T k 适合下列微分方程和初始条件. ,sin )(sin )()()(1122∑∑∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'k k k k k x l k t f x l k t T l k a t T πππ ,sin sin )0(11∑∑∞=∞==k kk k x l k x l k T πϕπ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧===+',2,1,)0()()()()(22k T t f t T l k a t T k k k k kϕπ)()(2222)()(t f e t T ek t lk a k t l k a ππ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 从0到t 积分⎰=-tlk a k k k t lk a d ef T t T e)()(2222)()0()(τττππ ⎰---+=tt lk a k t lk a k k d ef et T 0)()()(2222)()(ττϕτππ故非齐次初边值问题解),(t x u 的表达式为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k tt a k k k a k x d e f x et x u k kλττλϕτλλ这与前面的结果一致. 能量衰减估计⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-00),(),0(,0),()0,(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 用u 乘以方程两端,在],0[l 上积分,0)(02⎰=⋅-⋅lxxtdx u ua u u220011,22lll t d u udx u dx u dx t dt∂⋅==∂⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=+-=-lx lx x lx l xx dx u a dx u u a u u a udx u a 022020202,,20222⎰⎰-=l x l dx u a dx u dt d ⎰=xx d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤x x d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤lx d t u 0),(ξξ2/1022/1021),(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰l l x d d t u ξξξ2/10221),(⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰l x dx t x u l ,⎰≤lx d u l t x u 022),(ξ,⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤l x ll x l dx u l dx dx u l dx u 02200202, ⎰⎰-≤-l l x dx u l dx u 022021 于是,2022202⎰⎰-≤ll dx u la dx u dt d002222≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰l tl a dx u e dt d , 0)0,(0202222≤-⎰⎰lltl a dx x u dx u e ,⎰⎰⎰--=≤lt l a ltl a ldx x edx x uedx t x u2202202)()0,(),(2222ϕ.定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。