等差数列与高斯求和

旭博教育个性化辅导教案

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猜想、探索规律型专项训练----高斯求和

一、理解什么是等差数列？高斯求和的由来？

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

求和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项—首项）÷公差+1

末项=首项+公差×（项数—1）首项=末项－公差×（项数一1）

二、例题理解

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？

分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？

分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1，

末项=首项+公差×（项数-1）。

例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

项数=（99－3）÷4＋1＝25，

原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：末项=25＋3×（40-1）＝142，

和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

三、实践与练习

一、选择题

1．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。A 、12+n

B 、12-n

C 、n 2

D 、2+n

2．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）

A ．22n +

B ．44n +

C ．44n -

D ．4n

二、填空题

3．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．

4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．

5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．

（1）

（2） （3）

……

……

（1） （2） （3）

第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形

…

……

第1个

第2个

第3个

6．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是

________

7．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．

8． 如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．

9．观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为

10．观察下列一组数：2

1，4

3，6

5，8

7，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k

个数是 ．

11．一组按一定规律排列的式子：－2

a ，52a ，－83a ，11

4

a ，…，（a ≠0）则第

n 个式子是_▲_（n

为正整数）．

12．观察下列等式：

221.4135-=⨯； 222.5237-=⨯； 223.6339-=⨯ 224.74311-=⨯；

…………

则第n （n 是正整数）个等式为________.

图8

(1) (2)

(3)

……

…

(1)

第2幅

第3幅

第n 幅

图5

课后练习：

一、求项数。

1、3，5，7，9，11，13，…199。这列数共有多少项？

2、5，9，13，17，21，25，…1177。这列数共有多少项？

二、求任意一项是多少。

1、1、3，5，7，9，11，13，…在这列数中，第99项是多少？

2、5，9，13，17，21，25，…在这列数中，第294项是多少？

三、计算。

1、2+4+6+…+96+98+100

2、1＋2+3+…+49+50

3、（2+4+6+...+1992）－（1+3+5+7+ (1991)

4、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+58+59-60