等差数列求和性质二
等差数列求和2
§2.3 等差数列的前n 项和主备人:武果果 组长：李英 时间：2013年8月30学习目标1. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些与前n 项和有关的问题.2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；一、课前准备（等差数列的性质）⑴如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？⑵已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列吗？若是，公差为？（见例1）⑶已知等差数列{},n a 若项数为n 2，则奇偶S -S =nd ，偶奇S S 1+=n n a a ；若项数为12-n ，则()n n a S na S 1-n ,==偶奇（见例2）（4）两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n n T S ,，则nn n n b a T S =--1212.（见例3） 二、典型例题例1. 若 12530a a a +++= ， 671080a a a +++= ， 求111215a a a +++ .例2 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.例3两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n n T S ,，若132+=n n T S n n ，求nn b a .例4 设数列{}n a 满足10a =，n a a n n 21-=-，求通项公式.思考：用等差数列推导过程，即累加法能求吗？变式：数列{}n a 满足：)2()1(1 ,111≥∈-=-=*-n N n n n a a a n n 且，求数列{}n a 通项公式.三、课后练习1. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）A. 24B. 26C. 27D. 282 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.A. 70B.210C. 140D. 1704. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？5等差数列{n a }中，24,2163==S S ，求n S 并求数列{}n a 的前n 项和n T .。
等差数列的性质和求和公式
等差数列的性质和求和公式等差数列是数学中常见且重要的数列类型之一。
它的性质和求和公式在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，讨论其求和公式，并举例说明。
1. 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
以$a_1$表示首项，$d$表示公差，$n$表示项数，则等差数列可以表示为：$$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, ..., a_1 + (n-1)d$$其中，$a_k$表示第$k$项。
等差数列具有以下性质：(1) 首项：$a_1$(2) 公差：$d$(3) 第$n$项：$a_n = a_1 + (n-1)d$(4) 第$n$项和：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$2. 等差数列的求和公式为了求得等差数列的前$n$项和$S_n$，我们可以利用等差数列的性质和求和公式。
首先，我们知道等差数列的第$n$项和$S_n$可以表示为：$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d)$$将等差数列中的各项按照首项与公差的关系进行重排，可以得到：$$S_n = (a_1 + a_1 + (n-1)d) + (a_1 + d + a_1 + (n-2)d) + ... + (a_1 + (n-1)d + a_1)$$将每对括号内的两项相加，可以得到：$$S_n = (2a_1 + (n-1)d) + (2a_1 + (n-1)d) + ... + (2a_1 + (n-1)d)$$由于括号内的每项都相同，因此可以简化为：$$S_n = n(2a_1 + (n-1)d)$$这就是等差数列的求和公式。
3. 求和公式的应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明等差数列的求和公式的应用。
例1：求等差数列$5, 8, 11, 14, 17$的前$5$项和$S_5$。
等差数列求和公式有七种方法,还有一些特殊性质,你都知道
【干货分享】等差数列求和公式有七种方法，还有一些特殊性质，你都知道吗？，等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
（一）等差数列求和公式1.公式法2.错位相减法3.求和公式4.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
5.裂项相消法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。
注意：余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
【例】求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+ n(n+1)(n+2)(n+3) =[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明：当n=1时，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+ k(k+1)(k+2)(k+3) =[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + ……+ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + ……+ k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证7.并项求和法（常采用先试探后求和的方法）例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n方法一：（并项）求出奇数项和偶数项的和，再相减。
等差数列求和 2
巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
例1、有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？例2、有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？例3、有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
例4、求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
.例5、计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？4、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？5、求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
6、求等差数列2.6，10，14……的第100项。
（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60 （4）2+6+10+14+18+22（5）5+10+15+20+…+195+200 （6）9+18+27+36+…+261+270 （7）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（8）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)。
等差数列的性质与求和
等差数列的性质与求和等差数列是数学中的重要概念之一，它的性质和求和公式在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，探讨其求和公式的推导，并结合实例进行说明。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中n为项数根据等差数列的性质，我们可以得出以下几个重要的结论：1. 第n项与首项的关系第n项可以通过首项与公差相乘再加上n-1乘以公差来求得。
2. 公差与项数的关系项数n可以通过首项与第n项的差值再除以公差加1来求得。
3. 项数与和的关系项数n与等差数列的和Sn之间存在如下关系：Sn = (a + an) × n / 2这个公式是等差数列求和的基本公式，可以通过将首项与尾项相加再乘以项数的一半得到。
通过以上性质，我们可以更好地理解等差数列的规律，并在解决问题时运用这些性质。
二、等差数列求和公式的推导为了得到等差数列求和的公式，我们可以利用数列的性质和一些数学推导。
设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，数列的和为Sn。
首先，我们可以通过数列的性质得到：Sn = (a + an) × n / 2将an替换为a + (n-1)d得到：Sn = (a + (a + (n-1)d)) × n / 2化简后得：Sn = (2a + (n-1)d) × n / 2进一步化简可得：Sn = (2a + (n-1)d) × (n/2)Sn = (2a × n + (n-1)d × n) / 2Sn = (2an + dn^2 - dn) / 2Sn = an + dn^2/2 - dn/2注意到等差数列的首项为a，最后一项为an，将其替换进去得：Sn = a + (n-1)d + dn^2/2 - dn/2Sn = a + dn(n-1)/2这就是等差数列求和的公式。
等差数列通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
等差数列与等比数列的性质与求和
等差数列与等比数列的性质与求和等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用。
本文将分别介绍等差数列与等比数列的性质以及它们求和的方法。
一、等差数列的性质与求和等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的性质如下：1. 任意项与对应项之差相等。
等差数列的每一项与其前一项之差都相等，即an - an-1 = d。
2. 等差数列的前n项和为n倍首项与公差之和的一半。
等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
二、等比数列的性质与求和等比数列是指数列中每一项与其前一项的比都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比，n 表示项数。
等比数列的性质如下：1. 任意项与对应项之比相等。
等比数列的每一项与其前一项的比都相等，即an / an-1 = r。
2. 等比数列的前n项和为首项与公比的n次幂减一的商与公比减一的商。
等比数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
等差数列的应用包括：1. 数学中常见的算术运算中，如加减、乘除等。
2. 财务、经济学中的计算和推导。
3. 物理学中时间、距离等方面的推导。
等比数列的应用包括：1. 数学中常见的指数运算，如乘方、开方等。
2. 经济学、金融学中的计算和推导。
3. 生物学、物理学中比例关系的研究。
等差数列的求和公式与性质
等差数列的求和公式与性质等差数列是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
等差数列的求和公式是一种重要的工具，用于求解等差数列的各项和。
本文将介绍等差数列的求和公式及其性质，帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指具有相同公差的数列，其中公差是指数列中相邻两项的差值。
一般来说，等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
根据等差数列的定义，我们可以总结出等差数列的性质：1. 每一项与它的前一项之差都等于公差d。
2. 每一项与它的后一项之差也等于公差d。
3. 第n项与第m项之差等于(m-n)d。
这些性质对于理解等差数列的求和公式有很大的帮助，下面将进一步介绍等差数列的求和公式及其推导过程。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是一种通过已知数列的首项、末项和项数来求解数列和的公式。
下面将介绍两种求和公式：算术平均数法和通项公式法。
1. 算术平均数法算术平均数法是一种通过求出数列的项数及其平均值来计算数列和的方法。
假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的平均值为：平均值 = (a1 + an) / 2根据等差数列的性质，我们知道每一项与平均值的差值等于公差d。
所以，数列的和可以通过平均值乘以项数来求解：数列和 = 平均值 ×项数 = (a1 + an) / 2 × n2. 通项公式法通过等差数列的通项公式也可以求解数列的和。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
根据等差数列的性质，我们知道第n项与第一项之间有(n-1)个公差d。
假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的和可以分解为n个等差数列的和：数列和 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)通过将每一项与首项的差值相加，得到数列和的通项公式：数列和 = n / 2 * (a1 + an)三、等差数列求和公式的应用等差数列的求和公式在实际问题中有许多应用，下面将介绍两个常见的应用。
等差数列前n项和的性质及应用
S偶
an1
性质4:(2)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S偶－S奇= an ,
S奇 S偶
n n1
Sn 性质5: { } 为等差数列. n
两等差数列前n项和与通项的关系
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n 1 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n 1
等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也是等差数列 ,公差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= － (m+p) 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an 此时有:S偶－S奇= nd ,
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列 。 3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
95 25a 5b 1、 设Sn=an2+bn, 则有： 。 200 64a 8b
等差数列{an}前n项和的性质 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明 理由. a1+2d=12 解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
等差数列的基本性质与求和公式
等差数列的基本性质与求和公式等差数列是一种常见的数列，其中每个数与它的前一个数之间的差值是恒定的。
学习等差数列的基本性质以及求和公式对于数学的学习和应用都具有重要意义。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质和求和公式，并通过例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、等差数列的定义和特点等差数列是指数列中相邻两项之差恒为一个常数的数列。
该常数称为等差数列的公差，用字母d表示。
一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，n为项数。
等差数列的基本特点有以下几个方面：1. 公差d确定了等差数列的增量。
2. 任意相邻两项之间的差值都是公差d。
3. 等差数列的首项a1和公差d唯一决定了整个数列。
二、等差数列的求和公式求等差数列的和是常见的数学问题，可以通过等差数列的求和公式来解决。
等差数列的求和公式如下：Sn = (a1 + an) × n / 2其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
三、等差数列求和公式的推导等差数列的求和公式并不是凭空给出的，它可以通过数学推导得到。
以下是等差数列求和公式的推导过程：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
2. 可以将Sn分为两个部分：从a1开始的前n项和与从an开始的前n项和。
这两个部分的和恰好等于整个数列的和。
3. 根据等差数列的通项公式，可以写出an = a1 + (n - 1)d。
4. 将前n项和相加，并利用等差数列首项和末项之间的关系，得到Sn = (a1 + an) × n / 2。
四、例题解析为了更好地理解等差数列的基本性质和求和公式，我们来看几个例题。
1. 求等差数列2, 5, 8, 11, ...的前6项和。
首项a1 = 2，公差d = 3，项数n = 6。
代入求和公式Sn = (a1 + an) ×n / 2，得到Sn = (2 + 2 + (6 - 1) × 3) × 6 / 2 = 72。
等差数列求和(2)
等差数列的前n 项的和（2）教学目标：（1）能熟练地应用等差数列前n 项和公式解决有关问题； （2）能利用“公式法”、“裂项相消法”等常用方法求一些特殊数列的和；教学重点，难点1．等差数列前n 项和公式的应用；2．数列通项公式与前n 项和之间的关系的应用。
教学过程一．复习回顾1、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+2、等差数列{}n a 中，2519a a +=，540S =，则10____________a =；3、数列n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩二．应用例1、已知数列}{n a 中，128,2a a ==且满足212n n n a a a ++=-,求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S例2、数列{}n a 的通项公式为*)()1(1N n n n a n ∈+=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，求10S ．例3、等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且723n nS n T n +=+，求77a b 的值。
例4、数列{}n a 是首项为22，公差为整数的等差数列，且50a >，60a <， （1）求公差d ；（2）设前n 项和为n S ，求n S 的最大值；（3）当n S 为正数时，求n 的最大值。
备选练习： 1、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.2、在等差数列{}n a 中,已知848S =，12168S =，求1a 和d 。
3、教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？（说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。
等差数列求和性质
数)，那么这个数列一定是等差数列吗？
开 关
3．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再
是等差数列，如何求{|an|}的前n项和？
这一节课我们就来解答上面的问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系
问题 我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反
正整数时，Sn 取到最值．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前 n项和Sn取到最值时序号n的规律.
序
本号
等差数列
基本量 前 n 项和 Sn Sn 的最值
课
时 栏 目 开
1 1,3,5,7,9，…，
a1＝_1_， d＝_2_
Sn＝_n_2
(Sn)min＝1， 此时 n＝1__
前n项和Sn的最小值．
解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
本 ∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….
课 时
∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
栏 目
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
时
栏
故S23＝S24最小.
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
[问题情境]
1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？
本
如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
等差数列前n项和(2)
an an1
2) an (n 1)a2
n 1 n2
an an1 a2
数列an是以a2为公差a1为首项的等差数列。
例9：已知数列an, an
N
, Sn
1 8
(an
2)2.
(1)求证an是等差数列.
(2)若b n
=
1 2
a
n
-30，求数列bn
的前n项和的最小值
S偶
a中
an
,
S奇 S偶
=
n n-1
若等差数列{an}共有2n项，则S偶-S奇=nd, S奇 = an S偶 an+1
如{an}为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44， 偶数项和为33，求数列的中间项和项数。
a中 =11，n=7
性质5、{an}为等差数列，求Sn的最值。 若a1 >0,d<0且 aann+100，则Sn最大。 若a1 <0,d>0且 aann+100，则Sn最小。
解：a n+1
Sn1
Sn
1 8
(a
n+1
2)2
1 8
(a
n
2)2
(an1 an )(an1 an 4) 0, an N
an1 an 4数列an是等差数列。
例9：已知数列an, an
N , Sn
1 8
(an
2)2.
(1)求证an是等差数列.
即n≤12时，an>0而n≥14时an<0
所以S12和S13最大
等差数列的通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
等差数列的通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1. 等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
2) 等差数列的判定方法：(1)定义法：对于数列a n，若a n1 a n d (常数)，则数列a n是等差数列。
(2)等差中项：对于数列a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列a n是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为a n a1 (n 1)d。
说明：该公式整理后是关于n的一次函数。
通项公式的变形：a n = a m+ (n- d, m n€ N.2. 等差数列性质a + b2.1等差中项：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A=-^厂.2.2已知｛a n｝为等差数列，d为公差，S为该数列的前n项和.(1) 有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1+ a n= a2 + a n-1 = a3+ a n-2=・・・=a k + a n-k+1(2) 等差数列｛a n｝中，当m+ n= p+ q 时，a m+ a n= a p+ a q( m n, p, q€ N*).特别地，若m+ n=2p,贝U 2a p= a m+ a n(m n, p€ N*).(3) 相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k, a k+m, a k+ 2m,…仍是等差数列，公差为mc(k, m€ N*).(4) 若数列｛a n｝, ｛b n｝是公差分别为d1, d2的等差数列，则数列｛pa n｝, ｛a n+ p｝, ｛pa n + qb n｝都是等差数列(p, q都是常数)，且公差分别为pd1, d1, pd1+ qd2.2.3等差数列的单调性当d>0时，数列｛a n｝为递增数列；当d<0时，数列｛a n｝为递减数列；当d = 0时，数列｛a n｝为常数列.3. 等差数列求和(倒序相加法)等差数列的前n项和：① S n n(a1 an)②S n na1 垃9d2 2说明：对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
等差数列求和与性质
合作探究：
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100+101
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创设情景
平行四 三角形 边形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.
2
3 (n 1) n ①
2 ＋1 ②
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋
2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
n (n 1) 1 2 3 (n 1) n 2
10 10 1 S10 10 500 50 7250 万元 2
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最 上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1 块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦 片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1， n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和五个元素,只要 知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.
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又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an ) 即S n 2
求和公式
等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式： 于首末两项 的和与项数 n(a1 an ) 乘积的一半。
等差数列求和公式是什么_有哪些性质
等差数列求和公式是什么_有哪些性质等差数列的性质1、公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。
2、公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。
3、若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan +bn}(k、b为非零常数)也是等差数列。
4、对任何m、n ，在等差数列中有：an = am + (n-m)dm、n∈N+)，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。
5、一般地，当m+n=p+qm，n，p，q∈N+)时，am+an=ap+aq。
6、公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)。
7、在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项。
8、当公差d0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数。
等差数列的相关知识点1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)__公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)__公差和=(首项+末项)__项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数;sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
高考数学必背公式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1__X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+ … +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+ …n3=n2(n+1)2/41__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c__h 斜棱柱侧面积 S=c__h正棱锥侧面积S=1/2c__h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi__r2圆柱侧面积S=c__h=2pi__h 圆锥侧面积 S=1/2__c__l=pi__r__l弧长公式l=a__r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s=1/2__l__r 锥体体积公式V=1/3__S__H 圆锥体体积公式 V=1/3__pi__r2h斜棱柱体积V=SL 注：其中,S是直截面面积， L 是侧棱长柱体体积公式V=s__h 圆柱体 V=pi__r2h高中文科数学必背公式总结公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上 k∈Z)高三数学如何复习高三数学最为关键的是式子变形和解题思维，这需要从题目所给的题设和问题去寻求答案，而不是一拿到题就马上联想到哪个知识点或者做过类似得题。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
求解等差数列的和是数学中常见的问题，它有一个简洁的求和公式可以帮助我们高效地解决这个问题。
本文将详细介绍等差数列的求和公式及其推导过程。
一、等差数列定义及性质等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+nd，...其中，a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 通项公式：第n项an = a + (n-1)d；2. 前n项和Sn = (a + an) * n / 2。
二、等差数列求和公式的推导过程为了推导等差数列的求和公式，我们先来考虑一个等差数列的和S1和S2的关系。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有：S1 = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)，(1)S2 = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + a。
(2)将式子(2)的每一项与式子(1)的对应项相加，可得：S1 + S2 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
(3)上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：S1 + S2 = n * (2a + (n-1)d)。
(4)由等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，可以将式子(4)进一步化简为：S1 + S2 = n * (a + an)。
(5)另一方面，根据等差数列前n项和的定义，可以得到：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d。
将式子(1)乘以2，再与式子(1)相加，可以得到：2S1 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：2S1 = n * (2a + (n-1)d)。
A版等差数列求和(2)
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.
n(n 1) d 2 d sn na1 d n (a1 )n 2 2 2
结论：数列是等差数列等价于
2
sn An Bn, A 0
同步拓展
2 4 已知等差数列 5,4 ,3 , 的前n项和 7 7
为Leabharlann sn，求使得5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
11(a1 a11 ) 72 S11 11 396 . 2 2
当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活 应用等差数列的性质，用整体思想求a1+an的值.
．
合作探究
1 问题.已知数列{an }的前n项为 s n n 2 n 求这个 数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是， 它的首项与公差分别是什么？
解2：由已知条件得： 5 40 5 an a1 ( n 1) d n , an 1 n 5 7 7 7 a n 0 由 解得： n 8, 则n取7或8 7 an 1 0
于是当n取正整数7或8时，S n 取最大值。
本例解法是利用通项 n的正负情况与前 项和S n a n 的变化情况的关系 .
2
也满足①式.
互动达标
1 若sn n n 1呢？ 2
2
解：当n >1时：
2
1 1 1 2 an sn sn1 n n 1 [(n 1) (n 1) 1] 2n 当n=1时， 2 2 2
1 5 a 当n=1时：1 s1 1 1 1 不满足①式. 2 2
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
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结论 : 若an 是等差数列, 则a10n 还是等差 2.等差数列an , a1 a2 a3 35, a2 a3 a4 63, 求a3 a4 a5 转为a1和d 法一 : 基本量思想 法二 : 整体做差 3. an 是等差数列, Sn是前n项的和, 求证 : S6 , S12 S6 , S18 S12也成等差 推广 : 若an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
2o .n 13时, an 0
Tn a1 a2 an
a1 a2 an Sn
(a1 a12 ) (a13 an ) S12 ( Sn S12 ) Sn 2 S12
n2 24n
n2 24n, ( n 12) Tn 2 n 24n 288,( n 13)
等差数列an , Sn 100, S2n 500, 求S3n 等差数列an , S3 30, S6 100, 求S9 等差数列an , Sk 40, S3k 345, 求S2k
1.等差数列an , a10 30, a20 50, 求a40 转为a1和d 法一 : 基本量思想 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
2.根据an模型, 寻找通项中的正负转折项(包括零)
a1 0, d 0 a1 0, d 0
, , , , ,
Sn递增, S1最小
Sn递减, S1最大
Sn在转折项有最大值
Sn在转折项有最小值
, , , , , ,
, , ,(0),, , ,
S偶 S奇 nd
n : 项数一半
an 1 S奇 an
中间两项比 中间两项
S偶
S2 n n(an an1 )
设等差数列有2n 1项, 则 奇数项有n 1项, 偶数项有n项
n1 S奇 (a1 a2 n1 ) (n 1)an1 2 n S偶 (a2 a2 n ) nan1 2
( n 1) 1, an 2 3n1 ,( n 2)
看课本P44.例3
2
练习P 45.2
1 已知Sn n + n, 求通项公式an , 并判断是否等差数列 ? 2
1 变式 :已知Sn n + n 1, 求通项公式an , 并判断是否等差数列 ? 2
2
思考 : 等差数列求和公式是关于项数n的什么函数 ? 有什么特点?
思考 : 等差数列求和公式是关于项数n的什么函数 ? 有什么特点?
d d n( n 1) 常数项为0 Sn n2 (a1 )n Sn na1 d 2 2 S 是关于项数n的二次函数 2 n
看 3 ,的前n项和为Sn , 求使得Sn最大的序号n的值. 7 7 题型二 : Sn最值问题 1.根据Sn二次模型, 寻找对称轴
Sn最值问题一般两个方向
1.根据Sn二次模型, 寻找对称轴
2.根据an模型, 寻找通项中的正负转折项(包括零)
题型三 : an 求和
an 2n 25, 求数列an 的和Sn , 数列 an 的和Tn
S n n2 24n
1o .n 12时, an 0
Tn a1 a2 an
a1 0, d 0
an 0 an 1 0 an 0 an 1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , ,
等差数列an 中, a3 a9 , d 0, n为多少时,Sn最大?
a3 a9 0
等差数列an 中,a1 25, S17 S9 , 求前n项和Sn的最大值 等差数列an 中,a1 0, S17 S9 , n为多少时, Sn最大? 等差数列an 中,a1 0, S17 S9 , 你会有什么结论?
题型五 : 构成新的等差数列
小题可用划圈的方法
题型一 :已知和Sn , 求通项an
已知Sn 3n 2, 求通项公式an
解 : n 1时, a1 S1 1
( n 1) S1 , an Sn Sn1 ,( n 2)
n 2时, an Sn Sn1 3n 3n1 2 3n1 (对n 1不适用)
S奇 n 1 S偶 n
项数之比
S奇 S偶 an1
中间项 中间项
S2 n1 (2n 1)an1
1.一个等差数列共有10项, 其中奇数项和
25 , 偶数项和15, 求a6 2
S奇 7 2.等差数列前n项和为377, n为奇数, , 求中间项 S偶 6
3.项数为奇数的等差数列,奇数项和为44,偶数项和为33, 求项数和中间项
n2 24n 288
练习 : an 2n 10, 求数列an 的和Sn , 数列 an 的和Tn
题型四 : 奇数项和, 偶数项和
创新P 28相关结论
设等差数列有2n项, 则 奇数项有n项, 偶数项有n项
n S偶 (a2 a2 n ) nan1 2 S奇 n (a1 a2 n1 ) nan 2