江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高一下学期期中数学试题
数学---江苏省宿迁市沭阳县2017-2018学年高一上学期期中考试试题
江苏省宿迁市沭阳县2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{0,1,2,3},{1,0,1}A B ==-，则A B =I ．2．已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f = ．3．已知函数22,1,(),1,x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，那么((3))f f = ．4．函数()f x =的定义域为 ．5．函数2()22,[2,2]f x x x x =-++∈-的最大值为 ．6．设20.3120.3,2,log 2a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系是 ．7．函数()||f x x a =-的单调增区间为[1,)+∞，则a = ．8．已知函数)(x f y =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21x f x =-，则(1)f = ． 9．函数()log (2)1af x x =-+的图象恒过定点M 的坐标为 ． 10．已知函数()25x f x x =+-的零点0(,1)()x k k k *∈+ ∈N ，则k = ．11．已知集合{}2210A x mx x =-+=中的元素有且只有一个，则实数m 的值为 ．12．若函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[]0,1上的最大值与最小值之和为3，则实数a 的值为 ．13．定义在实数集R 上的奇函数()y f x =满足：①()f x 在()0,+∞内单调递增；②(2)=0f ， 则不等式()0xf x >的解集．．为 ． 14．设函数222,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若(())8f f m ≤，则实数m 的取值范围为 ． 二、解答题15．已知全集R =U ，函数()f x =A ，集合[]=,+2B a a .（1）求集合A C U ；（2）若A B A =U ，求a 的取值范围．16.（1） 已知13x x +=，求221x x+的值；（2）求值：①01log 31823⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ； ② 2(lg5)lg2lg50+⋅ ．17．已知()y f x =是二次函数，满足(0)2f =-，且函数()f x 的图象与x 轴的交点分别为()()1,02,0-、．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若方程(||)f x t =有2个不同的实数解，求实数t 的取值范围．18．经市场调查，某商品在过去30天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足()36g t t =-+(130,)t t ≤≤∈N ． 前20天的价格为()14(120,)f t t t t =+≤≤∈N ， 后10天的价格为1()452f t t =-+ (2130,)t t ≤≤∈N ．（1）试写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系式；（2）这种商品哪天的日销售额最大？并求出最大值．19．已知函数()121x a f x =-+是奇函数. （1）求常数a 的值；（2）证明：()f x 是R 上的减函数；（3）若对任意x ∈R ，都有1(2)(421)0x x x f m f +-+--<成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数()log a f x x =.（1）当3a =时，求函数()2f x -的零点；（2）若存在互不相等的正实数,m n ，使得()()f m f n =，判断函数()x x g x m n =-的奇偶性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若m n >，当t m >时，求函数()log log log 1mn m t h t t t m=⋅++ 的值域.【参考答案】一、填空题1.{}0,1 2. 2 3. 1 4.{}21x x x ≥≤或 5.3 6. c a b << 7. 1 8. 129.()3,1 10.1 11. 01或 12. 2 13.()(),22,-∞-+∞ 14.(],2-∞ 二、解答题15.解：（1）由题知：1040x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：14x ≤≤即[]1,4A =，所以A C U =(),1(4,)-∞⋃+∞ ；（2）因为A B A =U ,所以A B ⊆ ，则124a a ≥⎧⎨+≤⎩，所以12a ≤≤.16.解：（1） 7（2） ① 4；② 1 .17.解（1）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，则：20,420c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ 解得：11.2a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以2()2f x x x =--．（2）2222,0(||)||||22,0x x x f x x x xx x ⎧--≥=--=⎨+-<⎩，作出(||)f x 的图象：所以当(||)f x t =有两个解时，9{|2}4t t t t ∈>-=-或 . 18.解：（1）(36)(14),(120,),()1(36)(45),(2130,),2t t t t S t t t t t -++≤≤∈⎧⎪=⎨-+-+≤≤∈⎪⎩N N （2）（i ）当120,t t ≤≤∈N 时， ()(36)(14),(120,)S t t t t t =-++≤≤∈N ， t 对称轴=11∈[1,20]，所以当t 对称轴=11时，日销售额有最大值，max ()625S t =；（ii ）当2130,t t N ≤≤∈时，1()(36)(45),(2130,)2S t t t t t =-+-+≤≤∈N ， t 对称轴=63[21,30]∉， 所以1()(36)(45)2S t t t =-+-+在区间[21,30]上单调递减， 所以当41t =时，日销售额最大，max ()517.5S t =.因为625517.5>，所以当11t =时，日销售额最大，最大值为625答：该种商品在第11天的日销售额最大，最大值为625元．19.解：（1）方法一：()()().(0)0,10, 2.2y f x R f x f x a f a =∴-=-=∴-=∴=为上奇函数，则Q 方法二：（用定义）因为()f x 是奇函数，所以1(1)2121x x a a --=--++对于x ∈R 恒成立， 化简后得：(2)(21)0,x a -+=故20,a -=即 2.a =（2）设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，则12()()f x f x -=211212222(22)(1)(1)=.2121(21)21x x x x x x ----++++()1212121222,210,210,()().x x x x x x f x f x <∴<+>+>∴>，Q故()f x 是R 上的减函数.（3）因为()f x 是R 上奇函数，原不等式可化为：1(421)(2)x x x f f m +--<- 由（2）知，12421x x x m +-<--对x ∈R 恒成立，即：min 421x x m <--（），所以5.4m <- 20.解：（1）当a =3时，令()20f x -=,得3log 2x =或3log 2x =-； 所以9x =或19x = ，所以函数()2f x -的零点为9或19.（2）因为()()f m f n =所以log log a a m n =或log log a a m n=- 所以m n =（舍去）或1m n =()()1()()x x x x g x m m m m g x -----=-=--=-且定义域为R ，所以()g x 为奇函数.（3）由（2）得1m n =122()(log 1)log log 1log 2log 1(log 1)2m m m m m m h t t t t t t t -=-++=-++=--+ 因为0,t m n >>>，所以1m > 所以log 1m t >所以函数()h t 的值域为(),2-∞.。
宿迁中学2019-2020学年度第二学期高一数学(实验部)期中考试含答案
宿迁中学2019－2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试题（实验部）试卷满分（150分） 考试时间（120分钟）一.选择题（每小题5分，共12题，计60分）1. 圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心和半径分别是 （ ）A ．(2,3)-，1B ．(2,3)-，3C ．(2,3)-2D ．(2,3)-2 2. 已知一个三角形三边长之比为3:5:7，则其最大角等于 （ ） A. 90︒ B. 120︒ C. 135︒ D. 150︒ 3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9004. 直线x +ay -a =0与直线ax-(2a-3)y -1=0平行，则a 的值是（ ） A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．－35．已知一组数据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数132x -、232x -、332x -、432x -、532x -的平均数，方差分别是（ ）A ．12, 3B ．2, 1C ．4, 3D ．24, 36. 已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点P ，则点（5，0）到直线l 的距离最大值为（ ）A ．22B ．3C 10D ．237.若直线1=+by ax 与圆122=+y x 没有交点，则点),(b a P 与圆的位置关系是 （ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定8.若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，直线0ax y b -+=经过第四象限的概率为 ( ) A.29 B. 13C. 49D. 599 已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x 及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 等于（ ）A ．2 B.32- C.12-± D.±12+10.若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC ∆是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 11．（多选题）在一袋内分别装有红球3个，白球2个，黑球1个，这些小球除颜色之外完全相同，现在从中任取2个，则下列两个事件中互斥而不对立的有( )A ．至少有一个白球；两个红球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个红球一个黑球D ．至少有一个白球；没有白球 12．（多选题）在ABC ∆中，下列说法正确的有（ ）A ．::sin :sin :sin a b c ABC = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．sin sin A B > ⇔ A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C二.填空题（每小题5分，共4题，计20分）13.某公司生产A,B,C 三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则A 型号的轿车依次应抽取 辆.14.直线13=+y x 的倾斜角为 .15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若sin sin sin a A b B B -=，sin C B =，则A = .16.若直线y x b =+0y =恰有一个公共点，则b 的取值范围是 . 三.解答题（共6题，计70分） 17.（满分10分）在平面直角坐标系XOY 中,(1,4)A -，(4,1)B -,点C 在直线x =1上. (1)若A 、B 、C 三点共线，求点C 的坐标； (2)若090BAC ∠=，求点C 的坐标。
2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高二(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版,含解析)
2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1234,,,,3579⋯的通项公式n a 是()A ．21n n -B ．23n n -C ．21n n +D ．23n n +2．已知数据1x ，2x ，⋯，10x 的均值为2，那么数据123x +，223x +，⋯，1023x +的均值为()A ．2B ．5C ．7D ．43．已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是()A ．0b a -<B ．||||a b >C ．2a ab<D ．11a b<4．某市的A ，B ，C 三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4．如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C 应抽取的学生数为()A ．60B ．70C ．80D ．305．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S a =+，则2a 的值为()A ．4-B ．2-C ．6-D ．8-6．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比(q =)A ．4B ．3C ．2D7．不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b -的值为()A ．14B ．14-C ．10D ．10-8．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2n a 是等比数列；②1n n a a +是等比数列；③1{}na 是等比数列；④||n lg a 是等比数列．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．49．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =-，则2019(a =)A ．12-B ．23C ．3D ．201910．若3()1f x x =+，2()g x x x =+，则1x >-时，()f x 与()g x 的大小关系为()A ．()()f x g xB ．()()f x g xC ．()()f xg x <D ．随x 值变化而变化11．放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录是容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5个小时，则物质B 的半衰期为()A ．10小时B ．8小时C ．12小时D ．15小时12．正数a ，b 满足21a b +=，且22142a b t --- 恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(-∞，22B ．2[2，)+∞C ．2[2，22D ．1[2，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60]的汽车大约有辆．14．已知数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则数列{}n a 的通项公式为n a =．15．已知函数22,(1)()69,(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩，则不等式()f x f >（1）解集是．16．设正实数a ，b 满足11b a b+=，则2a b +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．17．甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷点数相同的概率；（2）求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知324a =，110S =．（1）求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．19．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y （单位：万元）与日产量x （单位：吨）之间的函数关系式为22(154)1202y x k x k =+-++，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k 万元，除尘后当日产量1x =时，总成本253y =．（1）求k 的值；（2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20．（文科做）数列{}n a 中，31a =，1(1n n S a n +==，2，3)⋯．()I 求1a ，2a ；()II 求数列{}n a 的前n 项和n S ；()III 设2log n n b S =，存在数列{}n ð使得341n n n b b ++= ð，试求数列{}n ð的前n 项和．21．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌x 与身高y 进行测量，得到数据（单位：)cm 作为样本如表所示：脚掌长()x 20212223242526272829身高()y 141146154160169176181188197203（Ⅰ）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（Ⅱ）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（Ⅲ）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：1011021()(ii i ii xx y y b xx ∧==--=-∑∑，101()577.5i i i x x y y =--=∑，1021()82.5i i x x =-=∑，24.5x =，171.5)y =22．已知函数2()2()f x x x a a R =-+∈的值域为[0，)+∞，记函数()()f x g x x=．（1）求实数a 的值；（2）存在[1x ∈-，1]使得不等式1(2)2x x g m + 成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程(|()1|)|()1|kg f x k f x -=--有5个不等的实数根，求实数k 的取值范围．2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1234,,,,3579⋯的通项公式n a 是()A ．21n n -B ．23n n -C ．21n n +D ．23n n +【解答】解：依题意，数列{}an 的前几项为：1113211a ==⨯+；2225221a ==⨯+；3337231a ==⨯+；⋯⋯则其通项公式21n na n =+．故选：C ．2．已知数据1x ，2x ，⋯，10x 的均值为2，那么数据123x +，223x +，⋯，1023x +的均值为()A ．2B ．5C ．7D ．4【解答】解：由数据1x ，2x ，⋯，10x 的均值为2x =，则数据123x +，223x +，⋯，1023x +的均值为232237X x =+=⨯+=．故选：C ．3．已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是()A ．0b a -<B ．||||a b >C ．2a ab<D ．11a b<【解答】解：若0a <，0b >，则0a ->，则0b a ->，故A 错误，||||a b >不一定成立，2a ab >，则C 不成立，10a <，10b >，则11a b<，成立，故D 正确，故选：D ．4．某市的A ，B ，C 三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4．如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C 应抽取的学生数为()A ．60B ．70C ．80D ．30【解答】解：学校C 中的学生占的比例为423345=++，故学校C 应抽取的人数为2200805⨯=，故选：C ．5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S a =+，则2a 的值为()A ．4-B ．2-C ．6-D ．8-【解答】解：依题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1n =时，1112(1)a S a ==+，解得12a =-，当2n =时，22122(2)S a a a =+=+，解得24a =-，故选：A ．6．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比(q =)A ．4B ．3C ．2D【解答】解： 各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，∴13511164a q a q a q =⎧⎨=⎩ ，且0q >，解得112a =，2q =，∴公比2q =．故选：C ．7．不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b -的值为()A ．14B ．14-C ．10D ．10-【解答】解：不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，可得12-，13是一元二次方程220ax bx ++=的两个实数根，∴1123b a -+=-，11223a-⨯=，解得12a =-，2b =-，12(2)10a b ∴-=---=-，故选：D ．8．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2n a 是等比数列；②1n n a a +是等比数列；③1{}na 是等比数列；④||n lg a 是等比数列．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：{}n a 是等比数列可得()1nn a q q a -=为定值①222211nn n n a a q a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭为常数，故①正确②21111n n n n n n a a a q a a a ++--==，故②正确③11111n n n n a a a q a --==为常数，故③正确④1n n lg a lg a -不一定为常数，故④错误故选：C ．9．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =-，则2019(a =)A ．12-B ．23C ．3D ．2019【解答】解：依题意，112a =-，则212131()2a ==--；313213a ==-；411132a ==--；所以数列{}n a 以3为周期的数列，所以3112k a +=-，3223k a +=，33k a =，所以201936733a a ⨯==．故选：C ．10．若3()1f x x =+，2()g x x x =+，则1x >-时，()f x 与()g x 的大小关系为()A ．()()f x g xB ．()()f x g xC ．()()f xg x <D ．随x 值变化而变化【解答】解：3222()()1(1)(1)(1)(1)f x g x x x x x x x x -=+--=--=-+，1x >- ，10x ∴+>，且2(1)0x - ，2(1)(1)0x x ∴-+ ，()()f x g x ∴ ．故选：A ．11．放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录是容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5个小时，则物质B 的半衰期为()A ．10小时B ．8小时C ．12小时D ．15小时【解答】解：120167.5=．设1B m =．则2A m =．设物质B 的半衰期为t ．由题意可得：12016112()()22t ⨯=，解得8t =．故选：B ．12．正数a ，b 满足21a b +=，且22142a b t --- 恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(-∞，22B ．2[2，)+∞C ．2[2，22D ．1[2，)+∞【解答】解：0a > ，0b >，21a b +=，22414a b ab ∴+=-，22142a b t ∴---恒成立，转化为142t ab +- 恒成立，令(f a ，21113)44(2844b ab ab =+-=+-=+-，又由0a >，0b >，21a b +=得：12a b =+ 18ab ∴ （当且仅当14a =，12b =时取“=”)；(f a ∴，213))44max b =+-=．22t ．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60]的汽车大约有60辆．【解答】解：由已知可得样本容量为200，又 数据落在区间的频率为0.03100.3⨯=∴时速在[50，60]的汽车大约有2000.360⨯=故答案为6014．已知数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则数列{}n a 的通项公式为n a =n ．【解答】解：数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则当2n 时，11n n a na n -=-，2121a a ⋯=，所有的式子相乘得1na n a =，整理得n a n =（首项符合通项）．故n a n =．故答案为：n15．已知函数22,(1)()69,(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩ ，则不等式()f x f >（1）解集是{|1x x <或2}x >．【解答】解： 22,(1)()69,(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩ ，f ∴（1）4=．由124x x >⎧⎨>⎩解得2x >．由21694x x x ⎧⎨-+>⎩ 解得1x <．故不等式()f x f >（1）的解集是{|1x x <或2}x >，故答案为：{|1x x <或2}x >16．设正实数a ，b 满足11b a b+=，则2a b +的最小值为5+【解答】解：设2(0)t a b t =+>，所以2b t a =-，带入11b a b+=，得2112t a a t a-+=-，化简得226(15)0a t a t +-+=，方程有根，△22(15)240t t =-- ，化简21010t t -+，解得5t +5t -由11b a b += 4a ，所以24a b t +=>所以5t +故答案为：5+三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．17．甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷点数相同的概率；（2）求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率．【解答】解：（1）甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子，基本事件：共有36个，用(,)a b 来表示两枚骰子向上的点数记“他们抛掷点数相同”为事件A ，则A 包含基本事件：(1,1)；(2,2)；(3,3)；(4,4)；(5,5)；(6,6)，共6种，故1()6P A =．（2）记“他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数”为事件B ，则B 包含基本事件有：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(4,5)，(5,4)，(3,6)，(6,3)，(6,6)共12种．故1()3P B =．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知324a =，110S =．（1）求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解答】解（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由324a =，110S =，得1122411101102a d a d ⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1408a d =⎧⎨=-⎩，∴488n a n =-；（2）由140a =，8d =-，得2(1)40(8)4442n n n S n n n -=+⨯-=-+．19．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y （单位：万元）与日产量x （单位：吨）之间的函数关系式为22(154)1202y x k x k =+-++，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k 万元，除尘后当日产量1x =时，总成本253y =．（1）求k 的值；（2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【解答】解：（1）由题意，除尘后222(154)12022(153)1202y x k x k kx x k x k =+-+++=+-++， 当日产量1x =时，总成本253y =，故21531202253k k +-++=，解得2k =．（2）由（1）229242y x x =++，总利润225929242502242L x x x x x =---=--，(0)x >，每吨产品的利润121502()506L x x x ==-+-= ，当且仅当121x x=，即11x =时取等号，∴除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元．20．（文科做）数列{}n a 中，31a =，1(1n n S a n +==，2，3)⋯．()I 求1a ，2a ；()II 求数列{}n a 的前n 项和n S ；()III 设2log n n b S =，存在数列{}n ð使得341n n n b b ++= ð，试求数列{}n ð的前n 项和．【解答】解：12()I a a = ，123a a a +=，1321a a ∴==，∴1211,22a a ==．2⋯分11()n n n n II S a S S ++==- ，∴112,2n n n nS S S S ++==，6⋯分∴{}1112n S S a ==是首项为，公比为2的等比数列．∴121222n n n S --== ．*()n N ∈．9⋯分2()log n n III b S = ，22n n S -=，2n b n ∴=-，31n b n +=+，42n b n +=+，∴111(1)(2)1,(1)(2)12n n c n n c n n n n ++===-++++ ．11⋯分∴1211111111(()()2334122224n nc c c n n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-=++++．14⋯分21．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌x 与身高y 进行测量，得到数据（单位：)cm 作为样本如表所示：脚掌长()x 20212223242526272829身高()y 141146154160169176181188197203（Ⅰ）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（Ⅱ）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（Ⅲ）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：1011021()(ii i ii xx y y b xx ∧==--=-∑∑，101()577.5i i i x x y y =--=∑，1021()82.5i i x x =-=∑，24.5x =，171.5)y =【解答】解：()I 由题意知，1011021()()577.5782.5()ii i ii xx y y b xx ∧==--===-∑∑，171.5724.50a y b x ∧∧=-=-⨯=，2⋯⋯⋯⋯'y ∴关于x 的线性回归方程为7y x ∧=；4⋯⋯⋯⋯'（Ⅱ）当26.5x =时，726.5185.5y ∧=⨯=，即脚长为26.5cm 的人，身高约为185.5cm ；7⋯⋯⋯⋯'（Ⅲ）记身高在180cm 以上的4人为A ，B ，C ，D ，其中C ，D 为身高190cm ，从这4人中随机抽取2人的情形有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，其中有C 或D 的有5种，∴所求概率为56P =．12⋯⋯⋯⋯'22．已知函数2()2()f x x x a a R =-+∈的值域为[0，)+∞，记函数()()f x g x x=．（1）求实数a 的值；（2）存在[1x ∈-，1]使得不等式1(2)2x x g m + 成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程(|()1|)|()1|kg f x k f x -=--有5个不等的实数根，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）因为22()2(1)1f x x x a x a =-+=--+，即有1x =时，f （1）0=，即10a -=，解得1a =．（2）由已知可得()1()2f x g x x x x==+-，由1(2)2x x g m + 可转化为，存在[1x ∈-，1]，2111[1()2222x x m +- 成立，令11[22x t =∈，2]，则问题转化为存在1[2t ∈，2]不等式21(1)2m t - 成立，记21()(1)2h t t =-，则()min h t h =（1）0=，0m ∴ ．（3）当0x =，2时，()10f x -=，所以0x =，2不是方程的根；当0x ≠，2时，令2|()1||2|t f x x x =-=-，则当(,0)x ∈-∞时，22t x x =-单调递减，且(0,)t ∈+∞，当(0x ∈，1]，22t x x =-单调递增，且(0t ∈，1]，当(1,2)x ∈时，22t x x =-单调递减，且(0,1)t ∈，当(2,)x ∈+∞时，22t x x =-单调递增，且(0,)t ∈+∞，故原方程有5个不等实根可转化为2(2)(1)0t k t k -+++=即为(1)[((1)]0t t k --+=，所以1t =或1t k =+，当1t =，方程有3个不等根，故要使得原方程有5个不等实根，只要11t k =+>，即0k >，所以k 的取值范围是0k >．。
2019-2020学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试数学试题(含答案)
多项是符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分．
9、AB 10、 BCD 11、 BC 12、AD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13、13
14、2、
15、 [2，+)
16、（0,1]
四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤．
江苏省沭阳县2019～2020 学年度第二学期期中调研测试
高二数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答
题卡． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效．
所以
f
(1)
1 ，即
3a 4
1 ，解得 a
1
………………………………4 分
（2）因为 f (x) 在 x 2 处取得极值，所以 f (2) 0 ，
即 4 4 a 0 ，解得 a 8 ，
…………………………………6 分
f
( x)
x2 2x 8 (x 1)2
（
x
1 ），
令
f
( x)
0
，即
A． e2
B． e
ln 2 C． 2
D． ln 2
7．已知函数 f x x x c2 在 x 1 处有极大值，则常数 c 的值为（ ）．
A．1 或 3
B．3
C．1
D．-1
8．已知函数 f (x) aex ln x 1，若 f (x) 0 恒成立，则实数 a 的取值范围（ ）．
宿迁市沭阳县2022年高一《数学》下学期期中试卷与参考答案
宿迁市沭阳县2022年高一《数学》下学期期中试卷与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，且，则的值为（ ）A ．B ． CD3．已知等腰三角形的一个底角为，顶角为，且，则的值为（ ）ABC ．D ．4．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做 引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为）A ．55 B ．61 C ．66 D ．71ABC △sin sin sin 357A B C =：：：：C =30︒60︒120︒150︒||||1==a b ⊥a b ()+⋅a b b 1-1αβcos m β=cos α212m -60︒350N kg 210m /s 1.732g ≈=5．已知，若，则的值为（ ）A．B ．C ．D ．6．复数为虚数单位），则（ ）A ．1B ．C ．D ．7．在菱形中，，，是的中点，是上一点，且，则（）A．B ．C ．D ．8．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：）A ．B ．C ．D．022αβππ⎛⎫⎛⎫∈∈π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，()35sin cos 513αββ+=-=-，sin α166533655665636512z =-+i 2022z =1-12-12--ABCD 60BAD ∠=︒2AB =E BC F AB 40AF BF +=BD EF ⋅=3535-175175-ABC △AB 2π3ACB ∠=AB 3.14 1.73π≈≈2572m 21448m 21828m 22028m本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省宿迁市沭阳县2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1iz i-=（其中i 是虚数单位）的虚部是（ ）. A. 1 B. iC. 1-D. i -【答案】C 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 【详解】解：()111i i i z i i i i---===---⋅，故复数z 的虚部为1-， 故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 2.下列求导数运算正确的是（ ） A. ()cos sin x x '=B. ()33ln 3x x '=C. ()ln ln -1x x x '=D.sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于(cos )sin x x '=-，故选项A 不正确； 由于()3=3ln 3x x '，故选项B 正确；由于(ln )ln 1x x x '=+，故选项C 不正确； 由于1sin cos 333x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选项D 不正确. 故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3.棣莫弗公式(cos sin )cos sin nx i x nx i nx +=+（i 是虚数单位），是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据公式(cos sin )cos sin nx i x nx i nx +=+化简6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,进而得出象限即可.【详解】由题, 666cos sin cos sin7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭,因为66cos 0,sin 077ππ<>. 故复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题. 4.函数5()ln f x x x=+的单调减区间为（ ）. A. (,5)-∞ B. (0,5)C. (5,)+∞D. (0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可． 【详解】解：因为5()ln f x x x=+，所以函数的定义域为()0,∞+， 所22515()x f x x x x-'=-+=， 令()0f x '<，解得05x << 故函数的单调递减区间为()0,5 故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题． 5.函数1()21f x x x=+-在区间(,0)-∞上（ ）. A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值【答案】A 【解析】 【分析】结合基本不等式即可求解． 【详解】解：因为函数1()21f x x x=+-，0x <； 11()21[(2)]12(2)11f x x x x x x∴=+-=--+----=---；当且仅当12x x -=-即2x =-时等号成立； ∴函数1()21f x x x=+-在区间(,0)-∞上有最大值：1--，无最小值． 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题． 6.设()()0ln ,2f x x x f x '==，则0x = （ ） A. 2e B. eC.ln 22D. ln 2【答案】B【分析】 求得导函数()'fx ，由此解方程()02f x '=求得0x的值.【详解】依题意()'1ln f x x =+，所以()0001ln 2,f x x x e '=+==.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.7.已知函数()()2f x x x c =-在1x =处有极大值，则常数c 的值为（ ）. A. 1或3 B. 3 C. 1 D. -1【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在1x =处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的c 值舍去． 【详解】解：函数2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，它的导数为22()34f x x cx c '=-+，由题意知，在1x =处的导数值为2340c c -+=，3c ∴=，或1c =，又函数2()()f x x x c =-在1x =处有极大值，故导数值在1x =处左侧为正数，右侧为负数． 当3c =时，2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--，满足导数值在1x =处左侧为正数，右侧为负数．当1c =时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--，导数值在1x =处左侧为负数，右侧为正数． 故3c =． 故选：B ．【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题．8.已知函数()ln 1xf x ae x =--，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ）.A. 1[,)e+∞B. [1,)+∞C. [2,)+∞D. [),e +∞【答案】A【分析】 依题意可得ln 1x x a e +≥在()0,x ∈+∞上恒成立，构造函数()ln 1xx g x e+=，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为()ln 1xf x ae x =--，定义域为()0,∞+，因为()0f x ≥恒成立，即ln 1xx a e +≥在()0,x ∈+∞上恒成立， 令()ln 1x x g x e+=，则()1ln 1xx x g x e --'=， 令()1ln 1h x x x =--，则()2110h x x x '=--<恒成立，即()1ln 1h x x x=--在定义域上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时()0h x >，当()1,x ∈+∞时()0h x <，即当()0,1x ∈时()0g x '>，当()1,x ∈+∞时()0g x '<，即()ln 1xx g x e +=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()ln 1xx g x e+=在1x =处取得极大值，即最大值， ()()max 11g x g e ∴==，所以1a e ≥，即1,a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9.对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A. 若0a =，则a bi +为纯虚数 B. 若32a bi i -=+，则3,2a b == C. 若0b =，则a bi +为实数 D. 纯虚数z 的共轭复数是z -【答案】AB 【解析】 【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ； 故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 10.直线12y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A. 1()f x x=B. 4()f x x = C. ()cos f x x = D. ()ln f x x =【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线12y x b =+能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．【详解】解：函数12y x b =+，可得211()2f x x '=-=不成立；所以A 不正确；4()f x x =，31()42f x x '==可以成立；所以B 正确；()cos f x x =，1()sin 2f x x '=-=，可以成立；所以C 正确；()ln f x x =，11()2f x x ==可成立．所以D 正确；故直线12y x b =+能作为BCD 函数图象的切线， 故选：BCD ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．11.如图是()y f x =的导函数()f x '的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.A. ()f x 在[2,1]-上是增函数；B. 当4x =时，()f x 取得极小值；C. ()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数； D. 当1x =时，()f x 取得极大值. 【答案】BC 【解析】 【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值． 【详解】解：由图象可以看出，在[2-，1]-上导数小于零，故A 不对；1x =-左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以1x =-是()f x 的极小值点,故B 对；在[1-，2]上导数大于零，在[]2,4上导数小于零，故C 对；1x =左右两侧导数的符号都为正，所以1x =不是极值点，D 不对． 故选：BC ．【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题．12.若函数()ln f x x ⋅在定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数为（ ）.A. 1()f x e=B. ()1f x xC. 1()x f x e=D.()x f x e =【答案】AD 【解析】【分析】根据已知中函数()f x 具有M 性质的定义，一一验证可得． 【详解】解：对于A ，()1()ln ln g x f x x x e =⋅=⋅定义域为()0,∞+，则()10g x ex'=>恒成立，故满足条件；对于B ，()()()ln 1ln g x f x x x x =⋅=-⋅定义域为()0,∞+，则()1ln 1g x x x'=-+，又2111ln 10x x x x '⎛⎫-+=+> ⎪⎝⎭，()11ln1101g '=-+=，即当01x <<时()0g x '<，函数()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时()0g x '>，函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故不满足条件；对于C ，()1()ln ln x g x f x x x e=⋅=⋅定义域为()0,∞+，()1ln xxx g x e -'=，又2111ln 0x x x x '⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()g x '在定义域上单调递减，且()110ee g e e -'=<，故不满足函数()g x 在定义域上单调递增，故错误；对于D ，()()ln ln xg x f x x e x =⋅=⋅定义域为()0,∞+，()11ln ln x x x g x e x e e x x x ⎛⎫'=⋅+=+ ⎪⎝⎭，令()1ln h x x x =+，()22111x h x x x x -'=-=，则1x >时，()0h x '>；当01x <<时()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值即最小值()()min 110h x h ==>，所以()1ln 0x g x e x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭恒成立，即()g x 在定义域上单调递增，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算(23)(23)i i -+=____. 【答案】13 【解析】 【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：()22(23)(23)2313i i i -+=-=. 故答案为：13.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.14.已知函数()tan f x x =，那么4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为______.【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，将4x π=代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，sin ()tan cos x f x x x ==，则22(sin )cos sin (cos )1()x x x x f x cos x cos x'-''==， 则21()244f cosππ'==. 故答案为：2.【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题． 15.函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.16.已知函数3334,()32,x x a x af x x x a x a⎧+-≥=⎨-+<⎩，若存在00x >，使得0()0f x =，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(0,1] 【解析】 【分析】分别求得x a <，x a 时()f x 的导数，求得单调性、极值，讨论0a =，01a <≤，1a >，0a <，结合函数()f x 存在正的零点，可得a 的范围．【详解】解：由3()34f x x x a =+-的导数为2()330f x x '=+>， 可得x a ≥为增函数，可得3()f x a a ≥-，且x a <时，3()32f x x x a =-+的导数为2()33f x x '=-，即有11x -<<时，()f x 单调递减；1x >或1x <-时，()f x 单调递增， 可得1x =为极小值22a -+，1x =-处取得极大值22a +，0a =时，0x ≥时，()0f x >；0x <时，()f x 在(1,0)-递减，(,1)-∞-递增，无正的零点；01a <≤时，x a ≥时，()()f x f a ≥，()()3210f a a a a a =-=-≤，故函数()f x 存在正的零点，满足条件；当1a >时，x a ≥时，()f x 递增，()()32()0f x f a a a a a ≥=-=->；当x a <时，()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,a 上单调递增，则1x =时函数取得极小值即最小值，()()122210f a a =-=->，故不存在00x >，使得0()0f x =；当0a <时，()f x 在()0,∞+上单调递增，且()040f a =->，故不存在00x >，使得0()0f x =；综上可得01a <≤时，存在00x >，使得0()0f x =；故答案为：(]0,1．【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.已知m R ∈，复数()()229z m m i =-+-. （1）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围；（2）若z 的共轭复数z 与复数8+5i m相等，求m 的值. 【答案】（1）3m >（2）2m =-【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可；（2）首先求出复数z 的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由题意得22090m m ->⎧⎨->⎩，解得3m >， 所以m 的取值范围是3m >；（2）因为()()229z m m i =-+-，所以2=2(9)z m m i -+-，因为z 与复数8+5i m 相等，所以28295m m m ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得2m =-. 【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18.已知函数32(),f x x ax a R =-∈且(1)3f '=.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[0,3]上的最大值.【答案】（1）0a =（2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可；（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为32(),f x x ax a R =-∈ 2()32f x x ax =-'∴，由(1)3f '=，得323a -=，解得0a =（2）由（1）得3()f x x =，因为2()30f x x '=≥，所以3()f x x =在[0,3]上单调递增， 所以()f x 在3x =时取得最大值，()()max 327f x f ==【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19.已知复数12,34z x yi z i =+=-（,x y R ∈，i 为虚数单位）.（1）若2y =且12z z 是纯虚数，求实数x 的值； （2）若复数12=1z z -，求1z 的取值范围.【答案】（1）83x =（2）1||[4,6]z ∈ 【解析】【分析】 （1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出12z z ，再根据复数的类型求出参数的值； （2）根据复数的几何意义得到复数1z 的轨迹，即可得到复数1z 的取值范围；【详解】解：（1）12238(64)38(64)34252525z x i x x i x x i z i +-++-+===+- 由12z z 是纯虚数，得3864002525x x -+=≠，，解得83x = （2）由12=1z z -，得|(3)(4)|1x y i -++=，所以22(3)(4)1x y -++=，即1z 的轨迹是以(3,4)-为圆心，半径为1的圆，可得1||1][4,6]z ∈= 即1||[4,6]z ∈【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.20.已知函数2()1x a f x x +=+. （1）若()f x 在()1,(1)f 处的切线斜率为1，求a 的值；（2）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间.【答案】（1）1a =-（2）8a =；单调增区间为(,4),(2,)-∞-+∞；减区间为(4,1),(1,2)---【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得()11f '=，即可得到参数的值；（2）依题意可得(2)0f '=，从而求出参数a 的值，即可得到2228()(1)x x f x x +-'=+（1x ≠-），再令()0f x '=，解出x ，最后求出函数的单调区间；【详解】解：（1）因为2()1x a f x x +=+ 所以222()(1)x x a f x x +-'=+，又因为()f x 在点()()1,f x 处的切线斜率为1， 所以()11f '=，即314a -=，解得1a =- （2）因为()f x 在2x =处取得极值，所以(2)0f '=，即440a +-=，解得8a =，所以2228()(1)x x f x x +-'=+（1x ≠-）， 令()0f x '=，即22280(1)x x x +-=+，解得4x =-，2x = 当(,4)x ∈-∞-，()0f x '>；当(4,2)x ∈-且1x ≠-，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞，()0f x '>，所以()y f x =的单调递增区间为(,4)-∞-和(2,)+∞；单调递减区间为(4,1)--和(1,2)-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.21.如图所示，直角梯形公园OABC 中，,//OC OA OA BC ⊥，2OA km =，1OC BC km ==，公园的左下角阴影部分为以O 为圆心，半径为1km 的14圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路EF （点,E F 分别在OA 与BC 上），D 为切点，设DOE θ∠=.（1）试求观光道路EF 长度的最大值；（2）公园计划在道路EF 的右侧种植草坪，试求草坪ABFE 的面积最大值.【答案】（1）2km （2）33(2-平方千米 【解析】【分析】（1）求出42DOF πθ∠=-，分别求出DE ，DF ，从而求出EF 的表达式，求出EF 的最大值即可；（2）求出OABC OEFC S S S =-梯形梯形的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S 的最大值即可．【详解】解：（1）由题意可知0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 在Rt DOE 中，tan DE θ=， 在Rt DOF △中，sin 21tan tan cos cossin 1sin 42222tan()42cos 1tan tan sin cos sin 422221cos 2DF θπθθθθπθθπθθθθθθ----=-====+++， 则1sin 1tan cos cos EF DE DF θθθθ-=+=+=，又因0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当3πθ=时，min 1(cos )2θ=，此时，()max 2EF =故EF 的最长值为2km ；（2）在Rt DOE 中，1cos OE θ=，由（1）得1sincos CF DF θθ-==， 则31()22OABC OEFC S S S CF OE OC =-=-+⋅梯形梯形3sin 2(0)22cos 3θπθθ-=+≤≤ 则212sin ()2cos S θθθ-'=，令()0,S θ'=即212sin 02cos θθ-=，解得6πθ=，当(0,),()0,()6S S πθθθ'∈>单调递增；当(,),()0,()63S S ππθθθ'∈<单调递减，所以6πθ=为函数()S θ的极大值，又函数()S θ在区间[0,]3π极大值唯一，因此这个极大值也是函数()S θ的最大值.max 3()622S S π==-，所以草坪面积最大值3(2平方千米.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，属于中档题．22.已知函数()ln ,()2x f x x ax a g x xe x =-+=-.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，证明：()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论计算可得；（2）令()()()()ln 10x F x g x f x xe x x x =-=--->，求出函数的导函数，再令()1x h x xe =-，说明函数()h x 的单调性，从而得到函数()F x 的单调性，即可得证；【详解】解：（1）因为()ln f x x ax a =-+，定义域为()0,∞+， 所以()11()0axf x a x x x -'=-=>当0a ≤时，()0f x '>增区间为()0,∞+；当0a >时，令()0f x '>解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a >∴函数的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）令()()()()ln 10x F x g x f x xe x x x =-=---> 则()11()11x x xx F x xe e xe x x +'=+--=-令()1x h x xe =-，则()()10x h x x e '=+>，又(0)0,(1)0h h <>∴函数()h x 在()0,∞+上单调递增，且存在唯一零点()0,1c ∈，使得()0h c = 且()0,x c ∈时，()0h x <；(),x c ∈+∞时，()0h x >即()0,x c ∈时，()0F x '<；(),x c ∈+∞时，()0F x '>∴函数()F x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增()()ln 1c F x F c ce c c ∴≥=---，而()10c h c ce =-=，即1c ce =两边取对数得ln 0c c +=()()0F x F c ∴≥=，故()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于中档题.。
江苏省沭阳县2019-2020学年高一下学期期中考试语文试题 扫描版含答案
2019～2020学年度第二学期期中调研测试高一语文参考答案1.（3分）B（“排除外来文化的影响”错，文中说“吸收外来”。
）2.（3分）D（没有类比论证方法）3.（3分）D（“实现‘两个一百年’奋斗目标和中华民族伟大复兴中国梦”不属于“文化使命”。
）4.（3分）C本题考查学生筛选并整合文中的信息的能力。
解答此类题目，首先要认真审题，明确题干的要求，如“下列对材料相关内容的理解，不正确的一项是”，要求选出“不正确的一项”，然后浏览选项，到材料中圈出相关的内容，进行比对，做出判断。
本题中，C项，“不提倡竞争性”说法错误，原文是“弱化了竞技的竞争性”。
故选C。
5. （3分）A本题考查学生筛选整合文本信息，分析概括内容要点能力。
解答此类题目，首先要明确题干的要求，即选择“正确”或“错误”“一项”或“两项”的要求，如本题“下列对材料相关内容的概括和分析，不正确的一项是”，然后浏览选项的内容，到文章中圈出相关的句子，再一一进行比对。
本题中，A项，“目前我国的书法教育尚属空白”说法属于无中生有，原文没有相关信息。
故选A。
6. ①家长要改变教育观念，注重孩子的综合素质；②学校要探索科学的书法教学模式；③国家要完善评价体系并培养更多的书法教师。
（每点 2 分，共6分）7．（3分）D（A“如描写小男孩时运用了肖像描写、语言描写、心理描写等手法。
”错，没有“心理描写”。
B“因为‘我’能帮他们的也只有这么多”错，我联系了医院，让朋友开车接母子二人去治眼疾，面对他们的道谢“我”羞愧，真正原因是“她捞起的并非只有一份属于自己的美好愿望，更有一个旁观之人的迷途之心”，实际上是她让我明白了“这世间还有那么多更加珍贵的事物”，“我”应该感谢她。
C“这样的母子让‘我’‘恐惧’”错，让“我”恐惧的是“远处传来了窸窸窣窣的声音”，是“种种灵异传说”。
）8．①深爱儿子。
含辛茹苦，拼命攒钱为儿子治眼病。
她给儿子捞月亮，让儿子感受生活的美好。
江苏省沭阳县高一数学下学期期中试题
江苏省沭阳县2020—2021学年高一数学下学期期中试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．设复数z ＝a ﹣2＋（2a ＋1）i(其中i 是虛数单位）的实部与虛部相等，则实数a ＝ A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．32．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a 2﹣b 2＋c 2＋ac ＝0，则B ＝ A ． B ． C ． D ．23π 3．计算cos512πcos ＋cos 12πsin ＝ A ．0 B ．12C ．2D ．4．已知3a =,4b =，向量a 与b 的夹角为60°，则a b ⋅＝A ．63B ．62C ．6D ．123 5．△ABC 的内角A ，B,C 的对边分别为a ，b ，c ．若A ＝60°，a ＝，则sin A sin B sinCa b c++++＝ A ．12B ．2C ．D ． 6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ＝A ．31AB AC 44- B ．13AB AC 44- C ．31AB AC 44+D ．13AB AC 44+ 第6题7．已知2sin （πα-)＝3sin （2πα+），则sin 2α﹣12sin2α﹣cos 2α＝A ．513B ．113-C ．513-D ．1138．现有如下信息:(1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为51-． （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． (3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°＝ A ．51- B ．51+ C ．51- D ．51+二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．如图，在平行四边形ABCD 中,点E 在线段DC 上，且满足CE ＝2DE,则下列结论中正确的有 A ．AB DC = B ． C ． D ．1AE AD AB 3=+10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 第9题若A ＝45°,b ＝10,则结合a 的值解三角形有两解，则a 的值可以为 A ．a ＝7 B ．a ＝8 C ．a ＝9 D ．a ＝10 11．已知a ＝（3，﹣1），b ＝(1,﹣2)，则正确的有A ．5a b ⋅=B ．与a 共线的单位向量是(310,10-)C ．a 与b 的夹角为D ．a 与b 平行12．已知函数22()sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则下列结论正确的有 A ．﹣2≤()f x ≤2B ．()f x 在区间(0，π）上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．若()()g x f x =,x ∈（2π-，2π）,则()g x 单调递减区间为（2π-，6π-)和（，2π） 三、填空题（本大题共4小题, 每小题5分,共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上)13．已知复数z ＝(1﹣i)﹣m （1＋i ）（其中i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m ＝ ．14．tan10°＋tan20°＋tan10°·tan20°·tan 30°的值是 ． 15．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA ＝，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作等边△ABC,则四边形OACB 的面积的最大值为 ． 16．已知单位向量a ，b 满足22a b ⋅=，则a 与b 夹角的大小为 ；a xb -（x∈R ）的最小值为 ． 第15题四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知向量a ＝（2，1），b ＝（3,﹣1),c ＝（3，m ）（m ∈R ）． （1）若向量a 与c 共线，求m 的值； （2）若（a ﹣2b ）⊥c ,求m 的值．18．（本小题满分12分)在①（b ＋a ）（b ﹣a )＝c (b ﹣c ）;②AB AC 4⋅=；③sin(2π＋2A ）＋2cos 2A 2＝1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求△ABC 的面积．问题:已知△ABC 中，角A,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinC ＝2sinB ，b ＝2， ？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)19．（本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，∠BAD ＝34π，2AB ＝BD ＝4． （1）求cos ∠ADB 的值; （2）若BC ＝,求CD 长．20．（本小题满分12分）已知1tan()43πα-=，α∈（0,）．(1）求2sin 22cos ()1tan f αααα-=+的值；（2）若β∈(0，2π），且sin(34πβ+）＝，求αβ+的值．21．(本小题满分12分)如图，在扇形POQ 中,半径OP ＝2，圆心角∠POQ ＝,B 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．其中CD 在半径OQ 上，记∠BOC ＝α．(1）当∠BOC ＝45°时，求矩形ABCD 的面积；（2）求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大值．22．（本小题满分12分）如图，扇形AOB 所在圆的半径为2,它所对的圆心角为23π，C 为弧AB 的中点，动点P ，Q 分别在线段OA ，OB 上运动，且总有OP ＝BQ ，设OA a =，OB b =．(1）若2OP OA 3=，用a ，b 表示CP ,CQ ； （2）求CP CQ ⋅的取值范围．2020~2021学年度第二学期期中调研测试高一数学参考答案1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D9．ABD 10．BC 11．AC 12．ACD13．1 14． 15．．4π17．解:（1)∵()2,1a =，()3,c m =,向量a 与共线∴.23m =………………………………。
江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年度高一第一学期期中试题 数学【含解析】
江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年度高一第一学期期中试题 数学【含解析】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分.每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1.设集合{}1,0,1,2,4U =-，集合{}1,1U C M =-，则集合M =（ ） A. {}0,2 B. {}0,4C. {}2,4D. {}0,2,4【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的定义进行求解即可． 【详解】{1,1}U C M =-，{}1,0,1,2,4U =-{0,2,4}M ∴=.故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键． 2.函数y=()12log 21x -的定义域为（ ）A. （12，+∞） B. ［1，+∞)C. （12，1] D. （－∞，1）【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数真数大于零列不等式即可求函数的定义域. 【详解】要使函数()12y log 21x =-有意义,则210x ,解得12x >， 即函数的定义域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,故选A.【点睛】本题主要考査对数函数复合函数的定义域的求解，属于简单题. 求解函数的定义域要求熟练掌握常见函数成立的条件，这是解题的关键.3.已知集合[)()1,4,,A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A. 4a >B. 1a ≤C. 4a ≥D. 1a <【答案】C 【解析】 【分析】根据A B ⊆，结合数轴上位置关系知，4a >显然成立，当4a =时，(),4B =-∞也有A B ⊆． 【详解】若A B ⊆，结合数轴知，则4a >显然成立； 当4a =时，(),4B =-∞也有A B ⊆， 所以4a ≥.故选C.【点睛】本题考查集合的子集关系，利用数轴的直观性进行求解，能使解题思路更清晰． 4.下列每组函数是同一函数的是 （ ） A. f(x)=x-1, ()(21g x x =-B. f(x)=|x-3|, ()()23g x x =-C. ()242x f x x -=-, g(x)=x+2D. ()()()13f x x x =--()13g x x x =--【答案】B 【解析】分析：根据题意，先看了个函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.详解：对于A 中，函数()1f x x =-的定义域为R ，而函数()2(1)g x x =-的定义域为[1,)+∞，所以两个函数不是同一个函数；对于B 中，函数()()23,(3)f x x g x x =-=-对于C 中，函数()242x f x x -=-的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，而函数()2g x x =+的定义域为R ，所以两个函数不是同一个函数；对于D 中，函数()(1)(3)f x x x =--(,1][3,)-∞+∞，而函数() 13g x x x --义域为[3,)+∞，所以不是同一个函数， 故选B.点睛：本题主要考查了判断两个函数是否是同一个函数，其中解答中考查了函数的定义域的计算和函数的三要素的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.三个数20.320.3,log 0.3,2a b c === 之间的大小关系是 ( ) A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质、对数函数的性质确定20.320.3,log 0.3,2a b c ===所在的区间，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可知22log 0.3log 10b =<=，由指数函数的性质可知0000.31,21a c <==，b ac ∴<<，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.函数()12f x x x =-在区间12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. 1B.72C. 72-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】判断出函数的单调性，再得到其在区间12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最小值.【详解】函数()12f x x x=-是单调递减函数，所以其在区间12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最小值是在12x =-时得到，111211222f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 故选D 项.【点睛】本题考查判断函数的单调性，根据函数的单调性求最值，属于简单题. 7.集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值 范围是（ ） A. {}a |0a 6≤≤ B. {}|24a a a ≤≥或C. {}|06a a a ≤≥或D. {}|24a a ≤≤【答案】C 【解析】|x-a|<1,∴a -1<x<a+1,∵A∩B=∅.∴a -1≥5或a+1≤1,即a ≤0或a≥6.故选C.8.方程213102x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解所在的区间为（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B 【解析】 【分析】令1231()()2x f x x -=-，则13(1)120,(2)210f f =-<=->，根据零点存在定理，即可得出结论．【详解】令1231()()2x f x x -=-，则13(1)120,(2)210f f =-<=->，∴方程1231()02x x --=的解所在的区间为(1,2).故选B.【点睛】本题考查零点存在定理的定义，考查基本运算求解能力． 9.下列函数是偶函数且在(),0-∞上是减函数的是（ ） A. 1y x =+ B. 21xy x =- C. 21y x =- D. 34y x =+【答案】C 【解析】 【分析】结合偶函数的定义可知，1y x =+，34y x =+为非奇非偶函数，21x y x =-为奇函数，结合偶函数的定义及二次函数的单调性，即可得到答案．【详解】对A ，D ，通过方程可知直线不关于原点，也不关于y 轴对称，所以1y x =+，34y x =+非奇非偶函数，故A ，D 错误； 对B ，21xy x =-为奇函数，故B 错误； 对C ，由偶函数的定义可知，21y x =-为偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，故C 正确； 故选C ．【点睛】本题主要考查偶函数的定义与单调性相结合，考查数形结合思想的简单应用．10.已知10(3)()(2)(3)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(2)f 的值为（ ） A. 8 B. 8-C. 6D. 6-【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数，将2直接代入相应的解式进行求值即可． 【详解】10(3)()(2)(3)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，(2)(22)(4)4106f f f ∴=+==-=-，故选D.【点睛】本题考查了分段函数值的求法，属于基础题.11.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：x x x xe e y e e--+=-2211x e =+-为奇函数且x 0=时，函数无意义，可排除,C D ，又在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，故选A .考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.12.已知函数(21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】由题意得函数()f x 在(0,)+∞单调递减，再由分段函数单调性需满足在两段都单调递减，且在01x <≤时，函数最小值大于或等于在1x >时，函数的最大值.【详解】因为120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-， 所以()f x 在(0,)+∞单调递减，所以210,01,1(log 1)21,3a a a a ⎧⎪-<⎪<<⎨⎪⎪-≥-⎩解得：103a <≤.故选C.【点睛】本题考查已知分段函数在定义域内单调，求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，注意考虑端点处的函数值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置.13.已知幂函数()f x x α=的图象过点12,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则α=__________．【答案】12【解析】 【分析】直接把点12,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭代入幂函数的解析式，求得α的值.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点12,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以212212αα=⇒=.故答案为12. 【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，考查基本运算求解能力. 14.某工厂生产某种产品的月产量与月份之间满足关系.现已知该厂今年月份、月份生产该产品分别为万件、万件．则此工厂月份该产品的产量为________万件． 【答案】 【解析】由已知得解得∴.当时，.考点：指数函数模型.15.函数y ＝log 3（﹣x 2+x +6）的单调递减区间是___． 【答案】[12，3） 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来求得单调递减区间. 【详解】令260x x -++>，解得23x -<<.由于2y -x +x 6=+（23x -<<），开口向下，且对称轴为12x =，左增右减.而函数3log y x =在定义域上为递增函数，故函数的递减区间为1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性的求解，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.由于题目涉及对数函数，故首先要满足对数的真数要大于零这个前提，也即是求函数的单调区间，首先要求函数的定义域.复合函数的单调性，主要判断依据是根据“同增异减”这一特点来进行. 16.已知函数()1f x x x =-+，则不等式2(1)(12)f x f x ->-的解集为 ． 【答案】{}|2,1x x x ><- 【解析】【详解】试题分析：1,0()1{21,0x f x x x x x ≥=-+=-+<，不等式2(1)(12)f x f x ->-变形为21120x x -<-≤或21012x x -<≤-，解不等式得解集为{}|21x x x ><-或考点：函数图像及性质三、解答题：本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2<x<3}，B={x|﹣3≤x≤2}.(1)求A∩B； (2)求(∁U A)∪B；【答案】（1）{x|-2＜x≤2}（2）{x|x≤2，或3≤x≤4} 【解析】【详解】全集{}|4U x x =≤，集合{}{}|23,|32A x x B x x =-<<=-≤≤，故{}|22A B x x =-<≤，(){|2U A x x =≤-或}34x ≤≤， 故(){|2UA B x x ⋃=≤或}34x ≤≤18.求值：（1）2(lg 2)lg5lg 20+； （2）122302132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）1；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则求得原式等于1； （2）根据指数幂运算法则求得原式等于12. 【详解】（1）原式=222210(lg 2)lglg(102)(lg 2)(1lg 2)(1lg 2)(lg 2)1(lg 2)12+⋅⨯=+-+=+-=； （2）原式232123233331[]1[]()122222--⎛⎫⎛⎫=--+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查对数运算法则与指数幂运算法则的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意符号的正负.19.已知21()log 1xf x x+=-． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并给予证明．【答案】（1）()1,1-；（2）函数()f x 是奇函数，证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）解不等式101xx+>-即可得出()f x 的定义域为(1,1)-； （2）根据（1）知，()f x 的定义域关于原点对称，并容易得出()()f x f x -=-，从而得出()f x 为奇函数． 【详解】（1）由101xx+>-解得11x -<<， ()f x ∴的定义域为(1,1)-；（2）()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知，()f x 的定义域关于原点对称，且2211()log log ()11x xf x f x x x-+-==-=-+-， ∴函数()y f x =是奇函数．【点睛】考查对数型函数定义域的求法、函数奇偶性的定义判断、分式不等式的解法，考查基本运算求解能力．20.甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x （万元）满足20.4 3.40.8(05)()9(5)x x x R x x ⎧-++≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入－总成本）； （2）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【答案】()()()20.4 2.42(05)6.2(5)x x x f x R x G x xx ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩；（2）当工厂生产3百台时，可使赢利最大为1.6万元． 【解析】 【分析】（1）用销售收入减去总成本得出()f x 的解析式；（2）分段讨论()f x 的单调性，得出()f x 的最大值及对应的x 的值． 【详解】（1）由题意得() 2.8G x x =+，20.4 2.42,05()()() 6.2,5x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩，（2）当5x >时，函数()f x 递减，()(5) 1.2f x f ∴<=（万元）． 当05x ≤≤时，函数2()0.4(3) 1.6f x x =--+， 当3x =时，()f x 有最大值为1.6（万元）． 又1.6 1.2>，所以当3x =百台时，()f x 有最大值为1.6万元 答：当工厂生产3百台时，可使赢利最大为1.6万元．【点睛】本题考查分段函数在实际问题中的应用，考查分段函数最值的求法，求解时必需分情况讨论，即分别求出两段函数各自的最大值，再进行比较，最后确定函数的最大值．21.已知函数37().2x f x x +=+ （1）判断并证明函数()f x 在()2,-+∞的单调性；（2）若函数()f x 的定义域为()2,2-且满足2(23)()f m f m -+>，求m 的范围.【答案】（1）证明见解析，(2,)x ∈-+∞时，函数37()2x f x x +=+为减函数；（2）(2. 【解析】【分析】（1）利用分子分离法得1()32f x x =++，从而可判断出()f x 在(2,)-+∞上是减函数，根据减函数的定义证明：设任意的122x x >>-，然后作差，通分，得出211212()()(2)(2)x x f x f x x x --=++，最后说明12()()f x f x <即可；（2）由()f x 在(2,2)-上单调递减，结合定义域优先法则，可得到关于m 的不等式组，解出m 的范围即可．【详解】（1）371()322x f x x x +==+++，()f x 在(2,)-+∞上是减函数，证明如下： 设122x x >>-，则2112121211()()22(2)(2)x x f x f x x x x x --=-=++++， 122x x >>-，120x ∴+>，220x +>，210x x -<，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在(2,)-+∞上为减函数；（2）由（1）可知：当(2,2)x ∈-时，函数()f x 减函数，∴由2(23)()f m f m -+>得，2222322223m m m m -<-+<⎧⎪-<<⎨⎪-+<⎩，解得12m <<m ∴范围为2)．【点睛】本题考查分子分离法的运用、反比例函数的单调性、减函数的定义、单调性的定义证明、不等式的求解，注意在求解过程中不能忽视定义域优先法则．22.已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(] ,0-∞；(Ⅲ)1 03k -<<． 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用1x =是函数()221g x ax ax =-+的零点，代入解析式即可求实数a 的值；(Ⅱ)由不等式()ln ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数k的取值范围；(Ⅲ)原方程等价于132123021x k k k +-+--=-，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可．【详解】(Ⅰ)1x =是函数()221g x ax ax =-+的零点，()12110g a a a ∴=-+=-=，得1a =；(Ⅱ()2)21g x x x =-+，()()12g x f x x x x==-+， 则不等式()ln ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，等价为1ln 2ln ln x k x x+-≥， 1ln 2x ≤≤，∴同时除以ln x ，得2111()2ln ln k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， 令1ln t x=，则221k t t ≤-+， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，1,22t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 故()h t 的最小值为0，则0t ≤，即实数k 的取值范围(],0-∞；(Ⅲ)原方程等价为132123021x k k k +-+--=-， 0x ≠，∴两边同乘以21x -得()221|2321|130x x k k --+-++=，此方程有三个不同的实数解， 令21x u =-，则0>u ，则()223130u k u k -+++=， 得1u =或13u k =+，当1u =时，211x -=，得1x =， 当2113x k -=+，要使方程()3213021x x f k k -+-=-有三个不同的实数解， 则必须有2113x k -=+有两个解，则0131k <+<，得103k -<<． 【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
2019-2020学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试数学试题(带答案)
江苏省沭阳县2019～2020学年度第二学期期中调研测试高二数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1iz i-=（其中i 是虚数单位）的虚部是（ ）． A ．1B ．iC ．1-D ．i -2．下列求导数运算正确的是（ ）． A ．()cos sin x x '=B ．()33ln 3x x '=C ．()ln ln -1x x x '=D ．sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数5()ln f x x x=+的单调减区间为（ ）． A ．(,5)-∞ B ．(0,5)C ．(5,)+∞D ． (0,)+∞5．函数1()21f x x x=+-在区间(,0)-∞上（ ）． A ．有最大值，无最小值B ．有最小值，无最大值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值6．对于函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x 的值为（ ）．A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 27．已知函数()()2f x x x c =-在1x =处有极大值，则常数c 的值为（ ）． A ．1或3B ．3C ．1D ．-18．已知函数()ln 1x f x ae x =--，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ）． A ．1[,)e+∞B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ． [,)e +∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）． A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -10．直线12y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线． A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()cos f x x =D ．()ln f x x =11．如图是()y f x =的导函数(f x '）的图象，对于下列四个判断, 其中正确的判断是（ ）．A ．()f x 在[2,1]-上是增函数；B ．当4x =时，()f x 取得极小值；C ．()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数；D ．当1x =时，()f x 取得极大值．12．若函数()ln f x x ⋅在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数为（ ）． A ．1()f x e=B ．()1f x x =-C ．1()xf x e =D ．()x f x e =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算(23)(23)i i -+= ▲ ．14．已知函数()tan f x x =，那么4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．15．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 16．已知函数3334,()32,x x a x af x x x a x a⎧+-≥=⎨-+<⎩，若存在00x >，使得0()0f x =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知m R ∈，复数()()2-29z m m i =+-．（1）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围； （2）若z 的共轭复数z 与复数8+5i m相等，求m 的值．18．（本题满分12分）已知函数32(),f x x ax a R =-∈且(1)3f '=．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[0,3]上的最大值．19．（本题满分12分）已知复数12,34z x yi z i =+=-（,x y R ∈，i 为虚数单位）． （1）若2y =且12z z 是纯虚数，求实数x 的值； （2）若复数12-=1z z ，求1z 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()1x af x x +=+．（1）若()f x 在()1,(1)f 处的切线斜率为1，求a 的值；（2）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间．21．（本题满分12分）如图所示，直角梯形公园OABC 中，,OC OA OA BC ⊥P ，2OA km =，1OC BC km ==，公园的左下角阴影部分为以O 为圆心，半径为1km 的14圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路EF （点 ,E F 分别在OA 与BC 上），D 为切点，设DOE θ∠=．（1）试求观光道路EF 长度的最大值； （2）公园计划在道路EF 的右侧种植草坪，试求草坪ABFE 的面积最大值．22．（本题满分12分）已知函数()ln ,()2xf x x ax ag x xe x =-+=-． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，证明：()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立．2019～2020学年度第二学期期中调研测试高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、C2、B3、B4、B5、A6、B7、B8、A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9、AB 10、 BCD 11、 BC 12、AD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、13 14、2、 15、[2+)∞，16、0,1]（ 四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．17． 解：（1）由题意得22090m m ->⎧⎨->⎩，解得3m >，所以m 的取值范围是3m >；………………………4分 （2）因为()()2-29z m m i =+-所以2=2(9)z m m i -+- 因为z 与复数8+5i m相等， 所以282=95m m m ⎧-⎪⎨⎪-=⎩ ………………………8分解得2m =-． ………………………10分18．解：（1）'2()32f x x ax =-，由'(1)3f =，得323a -=，解得0a =………… 6分（2）由（1）得3()f x x =，因为'2()30f x x =≥，所以3()f x x =在[0,3]上单调递增，最大值为(3)27f =……………………………………………………………………12分19． 解：（1）12238(64)38(64)34252525z x i x x i x x i z i +-++-+===+-………… 3分由12z z 是纯虚数，得38025x -=，解得83x = ………………………………6分 （2）由12-=1z z ，得|(3)(4)|1x y i -++=，所以22(3)(4)1x y -++=,即1z 的轨迹是以(3,4)-为圆心，半径为1的圆 ………………………………9分 可得1||[4,6]z ∈ ………………………………………………12分20．解：（1）222()(1)x x af x x +-'=+，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1，………2分 所以(1)1f '=，即314a-=，解得1a =- ………………………………4分 （2）因为()f x 在2x =处取得极值，所以(2)0f '=，即440a +-=，解得8a =， …………………………………6分2228()(1)x x f x x +-'=+（1x ≠-），令()0f x '=，即22280(1)x x x +-=+，解得4,2x x =-= ……………………………8分 当(,4),()0,()x f x f x '∈-∞->单调增； 当(4,2)1,()0,()x x f x f x '∈-≠-<且单调减；当(2,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调增， ……………………………11分 所以()y f x =的单调增区间为(,4),(2,)-∞-+∞；减区间为(4,1),(1,2)---．………12分 21．解：（1）由题意可知[0,]3πθ∈， ……………1分在Rt DOE V 中，tan DE θ=，在Rt DOF V 中，1sin tan()42cos DF πθθθ-=-=， ……………………3分 则1sin 1tan cos cos EF DE DF θθθθ-=+=+=，又因为[0,]3πθ∈，所以当3πθ=时，min 1(cos )2θ=，此时，EF 最长，为2km ……………………5分 （2）在Rt DOE V 中，1cos OE θ=，由（1）得1sin cos CF DF θθ-==，则31()22OABC OEFC S S S CF OE OC =-=-+⋅梯形梯形 3sin 2(0)22cos 3θπθθ-=+≤≤ ………7分 则'212sin ()cos S θθθ-=，令'()0,S θ=即212sin 0cos θθ-=，解得6πθ=，………9分 当'(0,),()0,()6S S πθθθ∈>单调递增；当'(,),()0,()63S S ππθθθ∈<单调递减， 所以6πθ=为函数()S θ的极大值，又函数()S θ在区间[0,]3π极大值唯一，因此这个极大值也是函数()S θ的最大值．max 33()62S S π==， …………………………………………………11分 所以草坪面积最大值为33(2-平方千米． ……………………………………12分 22．解：（1）()11'()0ax f x a x x x-=-=>………………………1分 当0a ≤时，'()0f x >增区间为()0,∞+； …………………2分 当0a >时，令'()0f x >得10,'()0x f x a <<<，得1x a>…………………4分 ∴增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭……………………………5分（2）令()()()()ln 10xF x g x f x xe x x x =-=--->则()11'()11x xxx F x xe e xe x x+=+--=- ……………………………7分 令()1xh x xe =-，则()'()10,(0)0,(1)0xh x x e h h =+><>∴函数()h x 在()0,∞+上单调递增，且存在唯一零点()0,1c ∈，使得()0h c =且()0,x c ∈时，()0h x <；(),x c ∈+∞时，()0h x > 即()0,x c ∈时，'()0F x <；(),x c ∈+∞时,'()0F x >∴函数()F x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增……………………………9分()()ln 1c F x F c ce c c ∴≥=---，而()10c h c ce =-=，即1c ce =两边取对数得ln 0c c += …………………………11分()()0F x F c ∴≥=，故()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立. ………………………12分。
江苏省宿迁市沭阳县2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案涂到答案卷相应位置）1.直线10x +=的斜率为（ ）B. D. 【答案】C【解析】【分析】10x +=可化为33y x =+，即可得出斜率.【详解】10x +=可化为33y x =+，则3k = 故选：C【点睛】本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.2.在ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222a c b =-，则C ∠等于（ ） A. 6π B. 3π C. 4π D. 34π 【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】由题意可得222a b c +-=，则2222a b c ab +-=即cos 2C =，(0,)C π∈，6C π∴= 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题.3.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A. 72π B. 56π C. 14π D. 64π【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.4.在ABC 中，已知AB ＝4，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为（ ）A. 4C. 8 【答案】B【解析】【分析】由内角和定理得出30C ︒=，进而得出4AB BC ==，结合三角形面积公式求解即可.【详解】30,120A B ︒︒==()1803012030C ︒︒︒︒∴=-+=4AB BC ∴==11sin 4443322ABC S AB BC B ∆∴=⋅⋅=⨯⨯⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于中档题.5.已知直线320x y +-=与直线2340x ty ++=平行，则t 的值是（ ）A. 2B. 3C. 1D. 4【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行，斜率的关系求解即可.【详解】320x y +-=可化为32y x =-+ 因为直线320x y +-=与直线2340x ty ++=平行，所以233t-=- 解得2t =故选：A【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题. 6.如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，使得∠B ′AC ＝60°．那么这个二面角大小是（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】C【解析】【分析】 根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.【详解】因为AD 是等腰直角△ABC 斜边BC 上的高，所以2,90BD DC AC ADC ADB ︒==∠=∠=，因此B DC ∠‘是二面角的平面角， ∠B ′AC ＝60°．所以B AC ∆‘是等边三角形，因此=B C AB AC =‘，在B DC ∆‘中=90B DC ︒∠‘.故选：C【点睛】本题考查了二面角的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.7.已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+，则它们的图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程,k b 的正负后可得正确的选项.【详解】对于A ，直线1l 方程中的0,0k b <>，直线2l 方程中的0,0k b >>，矛盾； 对于B ，直线1l 方程中的0,0k b ><，直线2l 方程中的0,0k b >>，矛盾；对于C ，直线1l 方程中的0,0k b >>，直线2l 方程中的0,0k b >>，符合；对于D ，直线1l 方程中的0,0k b <>，直线2l 方程中的0,0k b <<，矛盾；故选C.【点睛】如果直线方程的形式是点斜式y kx m =+，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小（也可以确定它们的符号），一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负.8.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为3，则“牟合方盖”的体积为（ ）A.B. 18C. 6D. 1283【答案】B【解析】【分析】 由正方体内接球的半径以及球的体积公式得出正方体的内切球的体积，结合题意，即可得出“牟合方盖”的体积. 【详解】由题意可得正方体的内切球的半径为32 则正方体的内切球的体积31439322V ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设“牟合方盖”的体积为2V ，由题意得214V V π= 则21494182V V πππ=⨯=⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球问题，球的体积的计算，属于中档题.二、多项选择题（选错或多选得0分，选对且不全得3分，每小题5分，共20分）9.已知,m n 表示直线，,αβ表示平面，下列正确的是（ ）A. //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B. ,//,n m n m αβαβ⊥⊥⇒⊥C. //,m n m n αα⊥⇒⊥D. //,////m n m n αα⇒或n ⊂α【答案】CD【解析】【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】对A 项，若//,,m n αβαβ⊂⊂，则m 与n 可能异面或平行，故A 错误； 对B 项，若,//,n m αβαβ⊥⊥，则m 与n 可能异面，平行，相交，故B 错误； 对C 项，由线面垂直的性质可得，若//,m n m α⊥，则n α⊥，故C 正确；对D 项，当//,//m n m α时，根据线面平行的判定定理可知，若n 在平面α外，则//n α，若n 在平面α内，则n ⊂α，故D 正确；故选：CD【点睛】本题主要考查了空间中直线，平面的位置关系，属于中档题.10.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A .8,16,30a b A ===，有两解B. 18,20,60b c B ===，有两解C. 5,2,90a c A ===，无解D. 30,25,150a b A ===，有一解【答案】BD【解析】【分析】 由正弦定理，结合大边对大角，三角形内角和定理，进行判断即可.【详解】对A 项，若8,16,30a b A ===，由正弦定理可得816sin 30sin B ︒=，解得sin 1B =，则2B π=，此时该三角形只有一解，故A 错误；对B 项，若18,20,60b c B ===，由正弦定理可得1820sin 60sin C ︒=，解得sin 9C = 根据大边对大角可得C B >，则C 可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，故B 正确； 对C 项，若5,2,90a c A ===，由正弦定理可得52sin 90sin C ︒=，解得2sin 5C =，则三角形只有一解，故C 错误；对D 项，若30,25,150a b A ===，由正弦定理可得3025sin150sin B ︒=，解得5sin 12B =，由150A =，则B 为锐角，可得三角形有唯一解，故D 正确；故选：BD【点睛】本题主要考查了由正弦定理判断三角形解的个数，属于中档题.11.下列说法正确的是（ ）A. 若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C. 垂直于同一直线的两条直线相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直【答案】AD【解析】【分析】由面面垂直的判定定理以及性质判断AD ，由面面平行的判定定理判断B ，由直线与直线的位置关系判断C.【详解】对A 项，由面面垂直的判定定理可得，A 正确；对B 项，由面面平行的判定定理可知，当这两条直线平行时，这两个平面不一定平行，故B 错误；对C 项，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故C 错误；对D 项，根据面面垂直的性质定理可知，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理以及性质，面面平行判定定理，直线与直线的位置关系，属于中档题.12.下列说法中，正确的有（ ）A. 过点(1,2)P 且在x ，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B. 直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C.直线10x +=的倾斜角为60︒D. 过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线方程为50x -=【答案】BD【解析】【分析】由点(1,2)P 在直线2y x =上，结合截距的定义判断A ；令0x =，得出该直线在y 轴上的截距，从而判断B ；先得出该直线的斜率，从而得出其倾斜角，判断C ；由倾斜角为90︒的直线上的所有点的横坐标都相等，从而判断D.【详解】对A 项，点(1,2)P 在直线2y x =上，且该直线在x ，y 轴截距都为0，则A 错误； 对B 项，令0,2x y ==-，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，则B 正确；对C 项，10x -+=可化为33y x =+，则该直线的斜率tan k α==则倾斜角30︒=α，则C 错误；对D 项，过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线上的所有点的横坐标5x =，则D 正确； 故选：BD【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的变换关系，直线的截距的性质，属于中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.过点(1,2)-，且斜率为2的直线方程是___________．【答案】240x y -+=【解析】【分析】根据点斜式写出方程即可.【详解】由点斜式方程可得22(1)y x -=+，即该直线的方程为240x y -+=故答案为：240x y -+=【点睛】本题主要考查了写出直线的点斜式方程，属于基础题.14.△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，3A π=，点D 为BC 边的中点，则AD=______．【答案】2【解析】【分析】由余弦定理得出BC 的长，结合勾股定理得出AB BC ⊥，再由勾股定理得出AD 的长.【详解】由余弦定理可得BC =222BC AB AC +=，AB BC ∴⊥AD ∴===【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题.15.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且4PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为__________．【答案】6π 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理以及性质得出BO ⊥平面PAC ，从而得出BPO ∠是直线PB 与平面PAC 所成角，结合勾股定理以及直角三角形的边角关系，即可得出直线PB 与平面PAC 所成角. 【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,BD AC BD PA ⊥⊥ 由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，则BO ⊥平面PAC则BPO ∠是直线PB 与平面PAC 所成角4PA AB ==，42,2PB BO ∴==1sin 2BO BPO PB ∴∠== 直线与平面的夹角的范围为[]0,90︒︒6BPO π∴∠=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了求直线与平面的夹角，属于中档题.16.数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________【答案】340x y +-=【解析】【分析】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程.【详解】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上 设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=- 3030(1)BC k -==--，13k ∴=- 又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 所以△ABC 的欧拉线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-= 故答案为：340x y +-= 【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.四、解答题（10+12+12+12+12+12，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤）17.在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长；(2)求sin C 的值.【答案】（1；（2 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得BC 的长.（2）利用余弦定理求得cos C的值，进而求得sin C的值.【详解】（1）由余弦定理得222cosBC AB AC AB AC A=+-⋅⋅4967=+-=.（2）由余弦定理得22297427cos27237AC BC ABCAC BC+-+-===⋅⨯⨯.由于C是三角形的内角，所以221sin1cos7C C.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理求边长，考查利用余弦定理计算角的余弦值，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.18.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝π2，M是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1.（1）求证：AB1//平面BC1M（2）求异面直线AB1与BC1所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）3π【解析】【详解】（1）证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OM．∵O为B1C的中点，M为AC的中点，∴OM∥AB1.又∵AB1⊄平面BC1M，OM⊂平面BC1M，∴AB1∥平面BC1M．.（2）解：∵AB＝BC＝BB1＝1，∠ABC＝π2，D是棱AC的中点11====CM OM C O C M 11//∴OM AB AB 与1BC 所成的角即为1OC 与OM 所成角，设1θ∠=C OM ，则在1∆C OM 中， 由余弦定理知：2221111cos 22OC OM C M OC OM θ+-==-⋅ 23πθ∴= 又因为异面直线所成角取值范围为：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦1AB ∴与1BC 的夹角为3π（或在△OBM 中证明△OBM 为正三角形也可）19.已知△ABC 的顶点为(0,4),(1,2),(3,4)A B C ---．（1）求BC 边上的中线AM 所在的直线方程；（2）求AB 边上的高所在的直线方程．【答案】（1）74y x =+；（2）6210x y --=．【解析】【分析】（1）求出BC 中点M 的坐标，求出直线AM 的斜率，即可得出其直线方程；（2）先求出直线AB 的斜率，利用直线垂直的斜率关系，得出AB 边上高所在直线的斜率，最后由点斜式得出方程.【详解】（1）∵△ABC 的顶点为(0,4),(1,2),(3,4)A B C ---． (1,3)M ∴--43701+∴==+k ∴BC 边上的中线方程为74y x =+. （2）24610--==--AB k ∴AB 边上的高所在的直线方程为：14(3)6+=+y x ，即6210x y --=． 【点睛】本题主要考查了求直线方程，涉及了斜率公式，中点坐标公式，直线垂直斜率间关系的应用，属于中档题.20.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；（2）假设球半径12r cm =．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.【答案】（1）32（2）体积：31152πcm . 表面积：(214415πcm 【解析】【分析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.【详解】（1）设球的半径为r ，则圆柱底面半径为r ，高为2r ∴圆柱的体积23122V r r r ππ=⋅= 球的体积3243V r π= ∴圆柱与球的体积比为：313223423V r V r ππ== （2）由题意可知：圆锥底面半径为12r cm =，高为224r cm =∴圆锥的母线长：()2225125l r r r cm =+==∴圆锥体积：23312212115233V r r cm πππ=⋅=⨯=. 圆锥表面积：(22144144514415S r rl cm πππππ=+=+=.【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积和表面积，圆柱和球的体积，属于中档题.21.风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A ，B ，P ，Q ，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P ，Q 两棵树和A ，P 两棵树之间的距离，现可测得A ，B 两点间的距离为100 m ，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P ，Q 两棵树和A ，P 两棵树之间的距离各为多少？【答案】506 【解析】【分析】在三角形PAB 中，由内角和定理求出APB ∠的度数，由sin ,sin APB ABC ∠∠，以及AB 的长，利用正弦定理求出AP 的长即可，在三角形QAB 中，由ABQ ∠为直角，CAB ∠为045，得到QAB ∆为等腰直角三角形，根据AB 求出AQ 的长，利用余弦定理即可求解.【详解】△PAB 中，∠APB＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得＝⇒AP ＝50. △QAB 中，∠ABQ＝90°，∴AQ＝100，∠PAQ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ 2＝(50)2＋(100)2－2×50×100cos30°＝5000， ∴PQ＝＝50.因此，P ，Q 两棵树之间的距离为50 m ，A ，P 两棵树之间的距离为50 m.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到，着重考查了分析问题和解答问题的能力.22.已知直线l ：(12)(1)720++-++=m x m y m（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；（2）过定点M 作一条直线1l ，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）360x y ++=【解析】【分析】（1）将直线l 整理得：(2)(27)0x y m x y -++++=，由题意得出20270x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得出定点的坐标；（2）设出直线1l 的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得出直线1l 的方程.【详解】（1）证明：直线l 整理得：(2)(27)0x y m x y -++++= 令20270x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得：31x y =-⎧⎨=-⎩则无论m 为何实数，直线l 恒过定点(3,1)--（2）由题意可知，当直线1l 的斜率不存在或等于零时，显然不合题意 设直线1l 的方程为(3)1y k x =+-令0x =，则31y k =-；令0y =，则13x k=- 即直线1l 与坐标轴的交点为1(0,31),(3,0)A k B k --由于过定点M (3,1)--作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分则点M 为线段AB 中点，即311211332k k-⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得13k =-则直线l1的方程为123y x=--，即360x y++=．【点睛】本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程，属于中档题.。
2019-2020学年江苏省宿迁市高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年江苏省宿迁市高一(下)期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，则sin2α=______．2. 已知α，β为锐角，cosα=17，sin(α+β)=5√1314，则sinβ=______．3. 已知等比数列各项都是正数，且，，则的前5项的和为 ．4. 直线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 。
5. 使不等式x 2+(a −6)x +9>0(|a|≤1)恒成立的x 的取值范围是______．6. 已知a 1=19，a n+1=a n −3，数列{a n }的前n 项和为S n ，则当S n 取最大值时，n 的值为______．7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积S =c 2−(a −b)2，则tanC =______．8. 如图，△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC =CD ，2AC =√3AD ，AB =2AD ，则sin B 等于______．9. 已知tan(α+β)=3，tanαtanβ=12，则tanα+tanβ=______． 10. cos36°cos24°−sin36°sin24°= ______ ．11. 已知a n =2n +3n ，b n =a n+1+ka n ，若{b n }是等比数列，则k = ______ ． 12. 数列{a n }前项和S n =2n 2−3n +1，则a n =______．13. 设全集U =R ，集合A ={x|x 2−3x −4<0}，B ={x|log 2(x −1)<2}，则A ∩B = ______ ，A ∪B = ______ ，C R A = ______ ．14. 若直线ax −by −3=0(a >0,b >0)过点(1,−1)，则1a +1b 的最小值为______． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分） 15. 在等差数列{a n }中，a 1=−60，a 17=−12，(1)求通项a n ；(2)求此数列的前33项和S 33．16. 已知方程cos2x +√3sin2x =k +1．(1)k 为何值时，方程在区间[0,π2]内有两个相异的解α，β； (2)当方程在区间[0,π2]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．17. 在△ABC 中，已知向量a ⃗ =(sinA,1)，b ⃗ =(cosA,√3)，且a ⃗ //b ⃗ ，其中A ∈(0,π2)．(1)若sin(ω−A)=35，0<ω<π2，求cosω的值； (2)若BC =2√3，AC +AB =4，求△ABC 的面积．18. 已知二次函数y =f(x)最大值为3，且f(−4)=f(0)=−1(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[−3,3]上的最值．19.(1)当x∈(0,12)时，求y=x(1−2x)的最大值；(2)设x≥2，求函数y=x(x+1)x−1的最小值．20.首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且T n=4−(S n−P)23，其中P 为常数．(1)求P的值；(2)求证：数列{a n}为等比数列；(3)设{1a n }的前n项和A n，证明：n2−13<A1A2+A2A3+⋯+A nA n+1<n2．【答案与解析】1.答案：−35解析：解：∵sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，∴√22(sinα+cosα)=√2(sinα+2cosα)，∴可得sinα=−3cosα，又∵sin2α+cos2α=1，∴{sinα=3√1010cosα=−√1010，或{sinα=−3√1010cosα=√1010，∴sin2α=2sinαcosα=−35．故答案为：−35．由已知利用两角和的正弦函数公式可求sinα=−3cosα，根据同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.答案：√32解析：解：∵α为锐角，cosα=17，∴sinα=√1−cos2α=4√37，又α+β∈(0,π)，sin(α+β)=5√1314<sinα，∴π2<α+β<π，则cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−1114．∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=5√137×17−(−1114)×4√37=√32．故答案为：√32．由已知分别求得sinα与cos(α+β)的值，再由sinβ=sin[(α+β)−α]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，是基础题．3.答案：31解析：本题考查的知识点主要是等比数列的通项公式和前n 项和公式，设数列的首项为，公比为q ，则，解得：，所以，故答案为31．4.答案：解析：试题分析：由题意可知，所以在点处的切线的斜率为2，所以切线方程为，令得；令得，所以三角形的面积为考点：本小题主要考查导数的应用，三角形面积的计算．点评：导数的几何意义就是在某点处的切线的斜率，主要用来求切线方程．5.答案：(−∞,7−√132)∪(7+√132,+∞)解析：解：设f(a)=x 2+(a −6)x +9，其中−1≤a ≤1； 则不等式x 2+(a −6)x +9>0恒成立， ∴{f(1)>0f(−1)>0， 即{x 2−5x +9>0x 2−7x +9>0， 解得：x <7−√132或x >7+√132；∴不等式x 2+(a −6)x +9>0(|a|≤1)恒成立的x 的取值范围是 (−∞,7−√132)∪(7+√132,+∞)． 故答案为：(−∞,7−√132)∪(7+√132,+∞)．根据题意，设f(a)=x 2+(a −6)x +9，其中−1≤a ≤1； 不等式恒成立转化为{f(1)>0f(−1)>0，求出x 的取值范围即可．本题考查了函数的恒成立问题，关键在于合理转化，是中档题．6.答案：7解析：解：∵a 1=19，a n+1=a n −3，∴数列{a n }是首项为19，公差d =−3的等差数列， ∴a n =a 1+(n −1)d =19−3(n −1)=−3n +22， ∵a 7=1，a 8=−2， ∴当n =7时S n 取最大值时， 故答案为：7．通过首项和递推关系可求出通项公式a n =−3n +22，进而利用a 7=1、a 8=−2可得答案． 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．7.答案：815解析：解：∵S △ABC =12absinC ，cosC =a 2+b 2−c 22ab，即a 2+b 2−c 2=2abcosC ，∴已知等式变形得：12absinC =−2abcosC +2ab ， ∵ab ≠0，∴12sinC =−2cosC +2，即sinC +4cosC =4， 与sin 2C +cos 2C =1，联立解得：cosC =1517，sinC =817， 则tanC =815． 故答案为：815利用三角形面积公式及余弦定理化简已知等式，整理即可求出tan C 的值．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8.答案：√66解析：解：由题意设AD =2x ，则AC =CD =√3x ，AB =4x ， 在△ADC 中由余弦定理可得cos∠ADC =2222×2x×√3x =√33， ∴sin∠ADB =sin∠ADC =(√33)=√63， ∴在△ADB 中由正弦定理可得sinB =ADsin∠ADBAB=2x⋅√634x=√66， 故答案为：√66由题意设AD =2x ，则AC =CD =√3x ，AB =4x ，在△ADC 中由余弦定理可得cos∠ADC ，进而可得sin∠ADB ，在△ADB 中由正弦定理可得sin B本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题9.答案：32解析：解：由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tan(α+β)，且tan(α+β)=3，tanαtanβ=12， 得tanα+tanβ=tan(α+β)(1−tanαtanβ)=3×(1−12)=32． 故答案为：32．由两角和的正切公式及已知即可求得tanα+tanβ的值． 本题考查两角和正切的应用，是基础的计算题．10.答案：12解析：解：由题意cos36°cos24°−sin36°sin24°=cos60°=12 故答案为12由题设中cos36°cos24°−sin36°sin24°的形式知，应该先用余弦的和角公式化简，再利用特殊角求值本题考查两角和与差的余弦函数，解答本题的关键是熟记两角和与差的余弦函数公式，及特殊角的三角函数值，本题是基本公式考查题．11.答案：−2或−3解析：解：因为{b n }是等比数列，故有(a n+1+ka n )2=(a n+2+ka n+1)(a n +ka n−1)， 将a n =2n +3n 代入上式，得 [2n+1+3n+1+k (2n +3n )]2=[2n+2+3n+2+k (2n+1+3n+1)]⋅[2n +3n +k (2n−1+3n−1)]， 即[(2+k)2n +(3+k)3n ]2=[(2+k)2n+1+(3+k)3n+1][(2+k)2n−1+(3+k)3n−1]， 整理得16(2+k)(3+k)⋅2n ⋅3n =0， 解k−=2或k =−3． 故答案为：−2或−3利用等比中项的性质可推断出(a n+1+ka n )2=(a n+2+ka n+1)(a n +ka n−1)，整理后求得k 的值． 小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力．12.答案：{0,n =14n −5,n ≥2解析：解：∵数列{a n }前项和S n =2n 2−3n +1， ∴a 1=S 1=2−3+1=0，a n =S n −S n−1=(2n 2−3n +1)−[2(n −1)2−3(n −1)+1]=4n −5．当n =1时，4n −5=−1≠a 1， ∴a n ={0,n =14n −5,n ≥2．故答案为：{0,n =14n −5,n ≥2．利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解．本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．13.答案：(1,4)；(−1,5)；(−∞,−1]∪[4,+∞)解析：解：由A中不等式变形得：(x−4)(x+1)<0，解得：−1<x<4，即A=(−1,4)，由B中不等式变形得：log2(x−1)<2=log24，得到0<x−1<4，解得：1<x<5，即B=(1,5)，∴A∩B=(1,4)，A∪B=(−1,5)，∁R A=(−∞,−1]∪[4,+∞)．故答案为：(1,4)；(−1,5)；(−∞,−1]∪[4,+∞)求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．14.答案：43解析：解：∵ax−by−3=0(a>0,b>0)过点(1,−1)，∴a+b=3，则1a +1b=13(1a+1b)(a+b)=13(2+ba+ab)≥13(2+2)=43．故答案为：43利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：解：(1)∵等差数列{a n}中，a1=−60，a17=−12，∴a17=−60+16d=−12，解得d=3，∴a n=−60+(n−1)×3=3n−63．(2)∵等差数列{a n}中，a1=−60，d=3，∴此数列的前33项和：S33=33×(−60)+33×322×3=−396．解析：(1)利用等差数列通项公式求出公差d=3，由此能求出通项a n．(2)利用等差数列通项公式能求出此数列的前33项和．本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的前33项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．16.答案：解：(1)令f(x)=cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，作出f(x)在[0,π2]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k +1<2即0≤k <1时，f(x)=k +1有两个相异的解． (2)令2x +π6=π2+kπ，解得x =π3+kπ2，∴f(x)在[0,π2上的对称轴为x =π3， ∴α+β=2π3．解析：(1)令f(x)=cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，根据函数图象判断k 的范围； (2)求出f(x)在[0,π2]上的对称轴，根据图象的对称性得出α+β的值． 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题． 17.答案：解：(Ⅰ)由a ⃗ //b ⃗ ，得cosA −√3sinA =0，化为tanA =√33， ∵A ∈(0,π2)． ∴A =π6∵sin(ω−A)=35，可得sinω=65+cosω√3，∵0<ω<π2，∴sinω=√1−cos 2ω，∴65+cosω√3=√1−cos 2ω，整理可得100cos 2ω+60cosω−39=0，解得cosω=−3−4√310(舍去)或4√3−310； (2)∵BC =2√3，AC +AB =4，A =π6∴由余弦定理可得：12=AB 2+AC 2−2⋅AB ⋅AC ⋅sinA =(AB +AC)2−(2+√3)AB ⋅AC =16−(2+√3)AB ⋅AC ∴可解得：AB ⋅AC =2+√3 ∴S △ABC =12⋅AB ⋅AC ⋅sinA =14×2+3=2−√3．解析：(Ⅰ)由a ⃗ //b ⃗ ，得tanA =√33，由sin(ω−A)=35，可得sinω=65+cosω√3，由0<ω<π2，得sinω的值，从而有65+cosω√3=√1−cos 2ω，可解得cosω的值；(2)由余弦定理可得AB ⋅AC =2+√3，即可求△ABC 的面积．本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角形的面积公式，本题计算量较大，要求解题时认真细心，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)因为f(−4)=f(0)，所以二次函数的对称轴为：x =−2， 又y =f(x)的最大值为3，所以可设二次函数为f(x)=a(x +2)2+3，因为f(0)=−1，所以a(0+2)2+3=−1，解得a =−1， 所以f(x)=−(x +2)2+3． (2)因为−2∈[−3,3]， 所以f(x)max =f(−2)=3， 当x =3时，f(x)min =f(3)=−22．解析：(1)由f(−4)=f(0)可得对称轴x =−2，再由最大值为3可设f(x)=a(x +2)2+3，根据f(0)=−1即可求得a 值；(2)结合二次函数的图象特征即可求得其最值；本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查二次函数解析式的求法，属基础题．19.答案：解：(1)∵x ∈(0,12)，∴1−2x >0，则y =x(1−2x)=12⋅2x(1−2x)≤12⋅(2x+1−2x 2)2=18，当且仅当2x =1−2x ，即x =14时等号成立，∴y max =18； (2)由题意，设t =x −1(t ≥1)，则x =t +1，则y =x(x+1)x−1=(t+1)(t+2)t=t 2+3t+2t=t +2t+3≥2√2+3，当且仅当t =2t 时，即t =√2时，即x =√2+1时取等号， ∴函数y =x(x+1)x−1的最小值为2√2+3．解析：(1)把已知函数解析式变形，再由基本不等式求最值； (2)设t =x −1(t ≥1)，则x =t +1，把函数y =x(x+1)x−1转化为关于t 的函数，再由基本不等式求最值．本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．20.答案：(1)解：当n =1时，由1=4−(1−p)23得p =0或2.若p =0时，T n =4−S n23，当n =2时，1+a 22=4−(1+a 2)23，解得a 2=0或−12，而a n >0，所以p =0不符合题意， 故p =2；(2)证明：当p =2时，T n =43−13(S n −2)2①，则T n+1=43−13(S n+1−2)2②， 由②−①并化简得3a n+1=43−S n+1−S n ③， 则3a n+2=4−S n+2−S n+1④， 由④−③得a n+2=12a n+1(n ∈N ∗)，又因为a 2=12a 1，∴数列{a n }为等比数列，且a n =12n−1 (3)证明：由(2)知1a n=2n−1，A n =1−2n 1−2=2n−1，∴12−13⋅12n ≤A nAn+1=2n −12n+1−1=12−12(2n+1−1)<12，所以A 1A 2+A2A 3+⋯+A nAn+1>n 2−13(1−12n )=n2−13+13⋅12n >n2−13，且A 1A 2+A2A 3+⋯+A nAn+1<n2，即n 2−13<A1A2+A2A3+⋯+A nAn+1<n2．解析：(1)分别把n =1与n =2代入T n =4−(S n −P)23，结合a n >0，求出p ；(2)由(1)知p =2时，T n =43−13(S n −2)2①，则T n+1=43−13(S n+1−2)2②，由②−①并化简得3a n+1=43−S n+1−S n ③，则3a n+2=4−S n+2−S n+1④，由④−③得a n+2=12a n+1(n ∈N ∗)，又因为a 2=12a 1，从而数列{a n }为等比数列；(3)由(2)知1a n =2n−1，An=1−2n1−2=2n−1，对A n进行放缩得到12−13⋅12n≤A nA n+1<12，进而求证结论．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，属于中档题．。
江苏省宿迁市沭阳县2021-2022学年高一上学期期中调研测试 高一数学试题
沭阳县2021-2022学年高一上学期期中调研测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}10123A =-，，，，，{}13B x x =∈-<<R ，则A B =A ．[]02，B ．{}012，，C ．()13-，D ．{}10123-，，，， 2．命题p ：x ∃∈R ，20x +≤，则命题p 的否定是A ．x ∃∈R ，20x +>B ．x ∀∈R ，20x +≤C ．x ∀∈R ，20x +>D ． x ∃∈R ，20x +≥3．若函数1()271x x f x x x x --⎧⎪=⎨+->-⎪⎩，≤，，则((2))f f -= A ．－2B ．2C ．－4D ．44．为了增强学生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行田径运动会，某班60 名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人， 则该班田赛和径赛都参加的学生人数为 A ．7B ．8C ．10D ．125．若0a b <<，则A ．11a b<B ．01ab<< C ．2ab b > D ．b a a b> 6．设,,a b c ∈R ，若不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<，则关于x 的不等式2(3)(3)0b x a x c +-++>的解集为A ．{|21}x x -<<B ． {|12}x x -<<C ．{|12}x x x <->或D ．{|21}x x x <->或7．我们知道：任何一个正实数N 可以表示成10(110)n N a a n =⨯<∈Z ≤，，此时lg lg (0lg 1)N n a a =+<≤．当0n >时，N 是1n +位数．则1502是多少位数（其中lg20.3010≈）A ．43B ．44C ．45D ．468．设函数|1|11()11x x f x x -+⎧=⎨>⎩，≤，，则满足 f (x ＋1)< f (2x )的 x 的取值范围是A ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列各组中表示同一函数的是A ．2()||,()f x x g x x ==B ．33(),()f x x g x x ==C ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-D ．22()()()()x f x g x x ==10．下列各式最小值正确的有A ．1y x x=+ 的最小值为2B ．当0ab >时，b aa b+的最小值为2C ．当00a b >>，时，11()()a b a b++的最小值为4D ． 222y x =+ 211．下列选项中，关于x 的不等式2(1)20ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有 A ．0a = B ．322a --≤C ．223a -≥ D ．0a >12．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是A ．当[)02x ∈，时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B ．当[)46x ∈，时有害垃圾错误分类的重量相对于当[)24x ∈，时增长了30% C ．当[)24x ∈，时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 D ．当[]68x ∈，时有害垃圾错误分类的重量相对于当[)02x ∈，时减少了1.8吨 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知a ∈R ，若log 22a =，则a 的值为 ▲ ．14．若命题“23x x m ∃∈+R ，≤”为假命题，则满足条件的一个自然数m 的值为 ▲ ． 15．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为x 米，宽为y 米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为 ▲ ；若使用的篱笆总长度为30米，则12x y+的最小值为 ▲ ． （本小题第一空2分，第二空3分）16．函数()||f x ax a x =-()a ∈R 在区间(1)-∞，上单调递增，则实数a 的取值范围 ▲ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知{}{}3345B ⊂≠⊆，，，写出一个满足条件的集合B ，补充在下列问题中的横线上，并求出问题的解．问题：已知{}|10U x x x *=∈<N ，且，{}|10A x x =是小于的正偶数， ． 求A B ，()UAB ．18．（本题满分12分）（1）计算：2ln 235e2lg 4lg (0.125)8-++-；（23a a=，计算33221a a a a ---+的值．19．（本题满分12分）设全集U =R ，集合{}|04A x x =≤≤，集合{}|212B x a x a =-+≤≤，其中a ∈R ． （1）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求a 的取值范围； （2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围．20．（本题满分12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离s （单位：m ）与车速x （单位：km/h ）之间满足关系式2s ax bx =+，其中a b ，为常数．试验测得如下数据：（1）求（2）请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．21．（本题满分12分）已知函数21()2f x x x=-．（1）证明函数()f x 在区间(0)+∞，上是增函数；（2）当1x ≥时，不等式32(1)(2)0f f x -<恒成立，求正实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）设,m n ∈R ，已知二次函数2()1f x x mx n =+++．若关于x 的不等式()0f x <的解集为12()x x ，，且122x x +=-． （1）求m 的值；（2）若12x x ，均小于0，求n 的取值范围；（3）若对任意的,(())0x f f x ∈R ≥恒成立，求n 的取值范围．沭阳县2021-2022学年高一上学期期中调研测试数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}10123A =-，，，，，{}13B x x =∈-<<R ，则A B = BA ．[]02，B ．{}012，，C ．()13-，D ．{}10123-，，，， 2．命题p ：x ∃∈R ，20x +≤，则命题p 的否定是CA ．x ∃∈R ，20x +>B ．x ∀∈R ，20x +≤C ．x ∀∈R ，20x +>D ． x ∃∈R ，20x +≥3． 若函数1()271x x f x x x x --⎧⎪=⎨+->-⎪⎩，≤，，则((2))f f -=C A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44．为了增强学生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行高中田径运动会，某 班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为 D A ．7B ．8C ．10D ．125．若0a b <<，则C A ．11a b < B ．01ab<< C ．2ab b > D ．b a a b > 6．设,,a b c R ∈，若不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<，则关于x 不等式2(3)(3)0b x a x c +-++>的解集为BA ．{|21}x x -<<B ． {|12}x x -<<C ．{|12}x x x <->或D ．{|21}x x x <->或7． 我们知道：任何一个正实数N 可以表示成10(110)n N a a n =⨯<∈Z ≤，，此时lg lg (0lg 1)N n a a =+<≤．当0n >时，N 是1n +位数．则1502是多少位数（其中lg20.3010≈）DA ．43B ．44C ．45D ．468．8．设函数|1|11()11x x f x x -+⎧=⎨>⎩，≤，，则满足f (x ＋1)<f (2x )的 x 的取值范围是BA ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9． 下列各组中表示同一函数的是ABDA ．2()||,()f x x g x x ==B ．33(),()f x x g x x ==C ．21()1,()1x f x x g x x -=+=- D ．22()()()()x f x g x x ==10．下列各式最小值正确的有 BCA ．1y x x=+的最小值为2 B ．当0ab >时，b a a b +的最小值为2C ．当00a b >>，时，11()()a b a b ++的最小值为4 D ． 222y x =+ 2 11．下列选项中，关于x 的不等式2(1)20ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有ADA ．0a =B ．322a --≤C ．223a -≥D ．0a >12．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是 ACDA ．当[)02x ∈，时有害垃圾错误分类的重量加速增长B ．当[)46x ∈，时有害垃圾错误分类的重量相对于当[)24x ∈，时增长了30% C ．当[)24x ∈，时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 D ．当[]68x ∈，时有害垃圾错误分类的重量相对于当[)02x ∈，时减少了1.8吨 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知a ∈R ，若log 22a =，则a 的值为 ▲ ．214．若命题“23x x m ∃∈+R ，≤”为假命题，则满足条件的一 个自然数m 的值为 ▲ ．（答案不唯一，0，1,2都可以） 15．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为x 米，宽为y 米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为 ▲ ；若使用的篱笆总长度为30米，则12x y +的最小值为▲． （本小题第一空2分，第二空3分）32010； 16．函数()||f x ax a x =-()a ∈R 在区间(1)-∞，单调递增，则实数a 的取值范围 ▲．2a ≥ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知{}{}3345B ⊂≠⊆，，，写出一个满足条件的集合B ，补充在下列问题中的横线上，并求出问题的解．问题：已知{}|10U x x x *=∈<N ，且，{}|10A x x =是小于的正偶数， ． 求AB ，()UAB ．解：（1）{}34B =，…………………………………………2分 因为{}123456789U =，，，，，，，，，{}2468A =，，， …………………………6分 所以{}23468AB =，，，，，(){}268UA B =，， …………………………10分 （2）{}35B =，…………………………………………2分 因为{}123456789U =，，，，，，，，，{}2468A =，，， …………………………6分 所以{}234568AB =，，，，，，(){}2468UA B =，，， ………………10分 （3）{}345B =，， …………………………………………2分因为{}123456789U =，，，，，，，，，{}2468A =，，， …………………………6分 所以{}234568AB =，，，，，，(){}268UA B =，， ………………10分 18．（本题满分12分）（1）计算：2ln 235e2lg 4lg (0.125)8-++-；（23=，计算33221a a a a ---+的值．解：（1）原式=1- …………………………………………6分 （23=，两边平方得111a a -+= …………… ……8分又因为331112222()()(1)36a a a a a a ----=-++=所以332213611a a a a ---=+ …………………………………………12分19．（本题满分12分）设全集U =R ，集合{}|04A x x =≤≤，集合{}|212B x a x a =-+≤≤，其中a ∈R ． （1）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求a 的取值范围； （2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围．解：（1）因为x A ∀∈，x B ∈是真命题，所以A B ⊆， ……………………………2分即21220124a a a a -≤+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得2a ≥ ………………………………………5分 （2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆ ……………………6分 当B φ=时，即212a a ->+，解得13a <，显然满足题意； ………………8分 当B φ≠，即13a ≥时，20124a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得32a ≤，所以1332a ≤≤ ………11分 综上所述32a ≤………………………………………12分 20．（本题满分12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离s （单位：m ）与车速x （单位：km/h ）之间满足关系式2s ax bx =+，其中a b ，为常数．试验测得如下数据：（2）请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．解：（1）由题意得4002031000010055a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1200120a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………6分 （2）由题意知，2111020020x x +>，解得40x >或50x <-（舍去）………11分 所以该车超速． …………… ………………………12分21．（本题满分12分）已知函数21()2f x x x=-．（1）证明函数()f x 在区间(0)+∞，上是增函数；（2）当1x ≥时，不等式32(1)(2)0f f x -<恒成立，求正实数a 的取值范围． 解 （1）设12,x x 是(0)+∞，上任意两个值，且12x x <，则12120,0x x x x -<> 因为222112121212121211()()(2)(2)2()()x x f x f x x x x x x x x x x x --=---=+-- 1212121()[2()]x x x x x x -++…………………………4分 所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <所以21()2f x x x=-在区间(0)+∞，上是增函数 …………………………6分（2）32(1)(2)0f f x -<得，32(1)(2)f f x +<由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递增，所以3212x +<在1x ≥恒成立 …8分令1t =≥，则312at t +<，即322112t a t t t-<=- …10分令21()2g t t t =-，由（１） 知21()2g t t t=-在[1,)+∞单调递增，所以()1g t ≥，所以01a << …………………12分22．（本题满分12分）设,m n ∈R ，已知二次函数2()1f x x mx n =+++．若关于x 的不等式()0f x <的解集为12()x x ，，且122x x +=-． （1）求m 的值；（2）若12x x ，均小于0，求n 的取值范围；（3）若对任意的,(())0x f f x ∈R ≥恒成立，求n 的取值范围．解（1）因为()0f x <的解集是12()x x ，，所以12,x x 是方程210x mx n +++=的两根， 因为122x x m +=-=-，所以 2m = ………………2分（2）由（1）知2()21f x x x n =+++，所以44(1)010n n -+>⎧⎨+>⎩，解得10n -<< ………………6分 （3）设t ＝f (x )＝(x ＋1)2＋n ≥n ， ∴f (t )≥0对任意t ≥n 恒成立，即(t ＋1)2＋n ≥0对任意t ∈[n ，＋∞)都成立． ……………………………8分 当n ≤－1时f (t )min ＝f (－1)＝n则n ≥0，与n ≤－1矛盾． …………………10分 当n >－1时，f (t )min ＝f (n )＝n 2＋3n ＋1，则n 2＋3n ＋1≥0，解得32n ≥ …………………………………………12分。
江苏省宿迁市2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
【详解】连接 ，如下列图，
在直三棱柱 中，侧面 ， 是平行四边形，
因为 ， 分别是 ， 中点，所以 且 ，
又 且 ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
〔2〕因为 ， 为 中点，所以 .
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
采用数形结合，点 在等边 的投影为 的中心，可得到 与平面 所成角为 ，然后计算 ，最后简单计算可得结果.
【详解】由题可知：如下列图
在正四面体 中，
点 在等边 的投影为 的中心
如此 与平面 所成角为
设 ，
所以 ，
所以
应当选：D
【点睛】此题考查利用几何法求解线面角的余弦值，此题关键在于找到该线面角，考查计算，属根底题.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在直三棱柱 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点， ， .
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕 .
【解析】
【分析】
〔1〕首先连接 ，易证四边形 是平行四边形，从而得到 ，再利用线面平行的判断即可证明.
【答案】
【解析】
【分析】
由求得点 的轨迹，再求出过点 且与 的轨迹相切的直线方程，求出所求切线被圆 所截弦长，结合图形可得直线 被圆 截得的弦长取值X围．
【详解】圆 的圆心坐标为
弦 ，线段 中点为 ，如此
即点 的轨迹方程为
设过原点与圆 相切的直线方程为
如此 ，解得 或
即切线方程为 或
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江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高一下学期期
中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 直线的斜率为（）
A．B．
C．D．
2. 在中，已知三边、、满足，则等于
（）
A．B．C．D．
3. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为
B．C．D．
A．
4. 在中，已知AB＝4，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为
（）
A．4 B．4C．8 D．8
5. 已知直线与直线平行，则的值是
（）
A．2 B．C．1 D．4
6. 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得
∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
7. 已知直线，，则它们的图象可能为（）A．B．C．D．
8. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若正方体的棱长为3，则“牟合方盖”的体积为（）
A．B．18 C．6
D．
二、多选题
9. 已知表示直线，表示平面，下列正确的是（）
A．B．
C．D．或
10. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）
A．，有两解B．，有两解
C．，无解D．，有一解
11. 下列说法正确的是（）
A．若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直
B．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C．垂直于同一直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直
12. 下列说法中，正确的有（）
A．过点且在，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
三、填空题
13. 过点，且斜率为2的直线方程是___________．
14. △ABC中，已知AB＝1，AC＝2，，点D为BC边的中点，则
AD=______．
15. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且
，则直线与平面所成角为
__________．
16. 数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点
，则△ABC的欧拉线方程为____________________ 四、解答题
17. 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin C的值.
18. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝，M是棱AC的中点，且AB＝BC ＝BB1＝1.
（1）求证：AB1平面BC1M
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的大小．
19. 已知△ABC的顶点为．
（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；
（2）求AB边上的高所在的直线方程．
20. 据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；
（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
21. 风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，
∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？
22. 已知直线：
（1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程．。