1.3 轴对称
青岛版八年级数学上册重难点
青岛版八年级数学上册重难点青岛版数学八年级上册重难点汇总第一章全等三角形1.1全等三角形教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。
1.2如何确定三角形的同余教学重点：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。
教学难点：探究满足“两边一角”对应相等的两个三角形是否全等，如何画出相应的图形。
1.3直尺和量规图纸教学重点：轴对称与轴对称图形的概念及识别。
教学难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系。
第二章图形的轴对称性2.2轴对称的基本性质教学重点：了解轴对称的基本性质，绘制轴对称图形，以及关于坐标轴对称点的坐标。
教学难点：在直接坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标。
2.3轴对称图形教学重点：理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
教学难点：能够使用轴对称特性制作对称点、对称图形、对称轴等。
2.4线段的垂直平分线教学重点：掌握直线段垂直平分线的性质。
能够利用直线段垂直平分线的性质来解决简单的实际问题。
教学难点：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
2.5角平分线的性质教学重点：重点是角平分线的性质。
教学难点：角平分线性质的由来与应用。
2.6等腰三角形教学重点：掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质。
教学难点：等腰三角形性质的探索。
第三章分数3.1分式的基本性质教学重点：分数的定义。
教学难点：分式有意义、值为零的条件的应用。
3.2减少分数教学重点：找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分。
教学难点：分子、分母是多项式的分式的约分。
3.3分数的乘法和除法教学重点：探索分式的乘除法的法则。
教学难点：多项式分子或分母分数的乘法和除法及应用问题。
3.4分式的通分教学重点：确定最简单的公分母。
教学难点：分母是多项式的分式的通分。
3.5分数的加减法教学重点：同分母分数的加减法的法则，进行异分母分式的加减运算。
高考函数对称轴对称中心压轴题专题
高考函数对称轴对称中心压轴题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考函数压轴题专题1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． （2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． ⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． （3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+； 改编：若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有f(a+x)+f(b-x)=c 则函数)(x f 的对称轴中心为________⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.例1 2016 (12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m例 2 （2016年全国II 高考）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 例3（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1例4【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【命题意图探究】本题主要考查函数的单调性、对称性，是中档题. 【答案】C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．例5 【2018全国卷Ⅱ】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)++f f f (50)++=fA ．50-B ．0C ．2D ．50例6 【2015高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) （A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4例7【2015高考湖南，文14】若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 .例8 【2015高考福建，文15】若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．例9 【2015高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.例10 （2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ． 例11 (2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= A ．−2 B ．−1C ．0D ．2D 【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=， 所以(6)2f =，故选D ．2018高考函数专题(2018全国卷 理数-1)5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． (2018全国卷 理数-2)3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为6．在ABC △中，5cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．2B ．30C 29 D ．2510．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50(2018 全国卷 理数-3) 4．若1sin 3α=，则cos2α=A．89B．79C．79-D．89-12.(2018鄂尔多斯市模拟卷）若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当xє(0,1]时，f(x)=1-x,则方程()1[7,1]xf x e=--在区间上的实数根的数为( )A.7B.6C.5D.4。
专题1.3 轴对称章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)
专题1.3 轴对称章末重难点题型【人教版】【考点1 轴对称图形的识别】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【例1】（2020春•岳阳期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）A．协和医院B．湘雅医院C．齐鲁医院D．华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【变式1-1】（2020春•青岛期末）下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答．【解答】解：第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【变式1-2】（2020春•陈仓区期末）下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．【解答】解：第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．【变式1-3】（2020春•揭阳期末）下列图形中，是轴对称图形的有（）个．①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形．故轴对称图形有6个．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．【考点2 生活中的轴对称现象】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握镜面对称原理及反射角与入射角的定义.【例2】（2020春•玉门市期末）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：做轴对称图形得：|630085，故答案是：630085．【点评】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5．【变式2-1】（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40．故选：B．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．【变式2-2】（2019秋•润州区校级月考）如图是一个经过改造的规则为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是4号袋，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．【变式2-3】（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律以及生活中的轴对称现象，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．【考点3 轴对称的性质与运用】【方法点拨】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【例3】（2020春•青川县期末）如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△PMN的周长．【解答】解：如图所示：∵P与P1关于OA对称，∴OA为线段PP1的垂直平分线．∴MP＝MP1．同理可得：NP＝NP2．∵P1P2＝5cm，∴△PMN的周长＝MP+MN+NP＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm．故答案为5cm．【点评】本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键．【变式3-1】（2020•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝．【分析】要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN 的关系，利用已知∠AOB＝40°可求出∠EPF，答案可得．【解答】解：如图，∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴ME＝PE，PF＝NF，∴∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N，∵∠PRE＝∠PTF＝90°，∴在四边形OTPR中，∴∠MPN+∠AOB＝180°，∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，即∠MPN+∠M+∠N＝180°，∴∠M+∠N＝∠AOB＝40°∴∠EPF＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为100°．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论．【变式3-2】（2020春•长春期末）如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P 关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM ＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为．【分析】由轴对称的性质可知：PM＝MQ，PN＝RN，先求得QN的长度，然后根据QR＝QN+NR即可求得QR的长度．【解答】解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．故答案为：4.5cm．【点评】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．【变式3-3】（2020春•竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°，故答案为：120°．②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α．（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝4，故答案为：4【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【考点4 线段垂直平分线的应用】【方法点拨】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键【例4】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC 的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．【解答】解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．故选：D．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【变式4-1】（2020春•郫都区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠F AC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+F A＝20，由（2）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+F A＝20．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．（1）说明BE ＝CF 的理由；（2）如果AB ＝5，AC ＝3，求AE 、BE 的长．【分析】（1）连接BD ，CD ，由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质，即可得DE ＝DF ，又由DG ⊥BC 且平分BC ，根据线段垂直平分线的性质，可得BD ＝CD ，继而可证得Rt △BED ≌Rt △CFD ，则可得BE ＝CF ；（2）首先证得△AED ≌△AFD ，即可得AE ＝AF ，然后设BE ＝x ，由AB ﹣BE ＝AC +CF ，即可得方程5﹣x ＝3+x ，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 与Rt △CFD 中，{BD =CD DE =DF， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，{∠AED =∠AFD =90°∠EAD =∠FAD AD =AD，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．【变式4-3】（2020春•萍乡期末）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD ⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，{BP =CP DP =EP， ∴Rt △BDP ≌Rt △CEP （HL ），∴BD ＝CE ；（2）解：在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，{AP =AP DP =EP， ∴Rt △ADP ≌Rt △AEP （HL ），∴AD ＝AE ，∵AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，∴6+AD ＝10﹣AE ，即6+AD ＝10﹣AD ，解得AD ＝2cm ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【考点5 关于坐标轴对称的点的坐标】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握：关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【例5】（2019秋•邛崃市期末）在平面直角坐标系中，点P 与点M 关于y 轴对称，点N 与点M 关于x 轴对称，若点P 的坐标为（﹣2，3），则点N 的坐标为（ ）A ．（﹣3，2）B ．（2，3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，﹣3）【分析】作出相关对称后可得点P 与点N 关于原点对称，那么依据点P 的坐标为（﹣2，3），可得点N 的坐标．【解答】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点N的坐标为（2，﹣3），故选：C．【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律，用到的知识点为：两点是关于一次x轴对称，又关于y轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．【变式5-1】（2019秋•潮州期末）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，解得：a＝﹣1，故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．【变式5-2】（2019秋•河东区期末）小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．A和B重合D．以上都不对【分析】根据题意表示出A、B的正确坐标，再根据坐标的关系确定A，B两点原来的位置关系．【解答】解：∵小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），∴A点的正确坐标为（b，a），∵另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a），∴B点的正确坐标为（b，﹣a），∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称，故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是掌握：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【变式5-3】（2019秋•阳信县期末）已知点P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点和点Q（3，b）关于y轴的对称点相同，则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，5）D．（﹣1，﹣5）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）∴P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b），因而就得到关于a，b的方程，从而得到a，b的值．则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标就可以得到．【解答】解：∵P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b）；∴﹣1﹣2a＝﹣3，b＝﹣5；∴a＝1，∴点A的坐标是（1，﹣5）；∴A关于x轴对称的点的坐标为（1，5）；故选：B．【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．【考点6 轴对称变换（点的坐标规律）】【例6】（2019秋•长白县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣a，b）B．（﹣a，﹣b）C．（a，﹣b）D．（a，b）【分析】图观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．【变式6-1】（2020•盐城模拟）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（）A．（﹣2018，﹣3）B．（﹣2018，3）C．（﹣2016，﹣3）D．（﹣2016，3）【分析】根据正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），可得AB＝BC＝2，C（3，3），先求出前几次变换后C点的坐标，发现2019次变换后的正方形在x轴下方，进而可求出结果．【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），∴AB＝BC＝2，∴C（3，3），一次变换后，点C1的坐标为（2，﹣3），二次变换后，点C2的坐标为（1，3），三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3），…，∵2019次变换后的正方形在x轴下方，∴点C2019的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2019×1＝﹣2016．∴经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2016，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称、规律型﹣点的坐标、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转．【变式6-2】（2020春•岳阳期末）如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C 的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．【解答】解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣3），当n为偶数时为（2+n，3）是解此题的关键．【变式6-3】（2020•九江模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进行，则经过第2018次变换后，平行四边形顶点A 的坐标为（）A．（﹣0.4，1.2）B．（﹣0.4，﹣1.2）C．（1.2，﹣0.4）D．（﹣1.2，﹣0.4）【分析】先求得A的坐标，然后根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”以及“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求得每一次轴对称变换A的坐标，得出每4次轴对称变换重复一轮的规律，即可得出经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标．【解答】解：∵平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．∴A（0.4，1.2），将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，A（﹣0.4，1.2），所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，A（﹣0.4，﹣1.2），第三次轴对称变换，A（0.4，﹣1.2），第四次轴对称变换，A（0.4，1.2），即A点回到原处，即每4次轴对称变换重复一轮，∵2018÷4＝54…2，∴经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标为（﹣0.4，﹣1.2）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图象变换﹣对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数以及关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出每一次的坐标，得出规律是解题的关键．【考点7 轴对称变换（作图）】【例7】（2020春•贵港期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为．（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；（3）利用点A和点A2的坐标变换确定平移的规律，然后写出B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为（﹣x，y）；故答案为（﹣x，y），（3）如图，△A2B2C2为所作．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．【变式7-1】（2020秋•锦江区校级月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（3）点P 在直线MN 上，当△P AC 周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC 关于直线MN 对称的图形△A 'B 'C '；（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC 的面积；（3）根据两点之间线段最短，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小．【解答】解：（1）如图，△A 'B 'C '即为所求；（2）△ABC 的面积为：12×3×2＝3； （3）因为点A 关于MN 的对称点为A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小． 所以点P 即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．【变式7-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、M 、N 都在格点上．（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的△A 1B 1C 1．（2）在直线MN 上找点P ，使|PB ﹣P A |最大，在图形上画出点P 的位置，并直接写出|PB ﹣P A |的最大值．【分析】（1）利用网格特点，分别画出A、B、C关于直线的对称点A1、B1、C1即可；（2）由于P A＝P A1，则|PB﹣P A|＝|PB﹣P A1|，而|PB﹣P A1|≤A1B，当点P、A1、B共线时取等号，从而得到|PB﹣P A|的最大值．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，点P为所作，|PB﹣P A|的最大值为3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，【变式7-3】（2020春•五华区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点A′的坐标，根据平移的性质可得点C′的坐标；（2）根据题意可得△ABC关于y轴对称的图形即为△DEF；（3）根据全等三角形的判定即可得点P．【解答】解：（1）∵A（﹣4，3），C（﹣2，5），∴A′（﹣4，﹣3），C'（1，3）；故答案为：﹣4，﹣3；1，3；（2）如图所示：即为所求；（3）△ABC与△PBC全等，这样的P点有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定、作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称和平移的性质以及全等三角形的判定定理．【考点8 设计轴对称图案】【方法点拨】轴对称设计图案的关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【例8】（2020春•抚州期末）如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图，共有10种符合条件的添法，故选：D．【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．【变式8-1】（2020•宁波模拟）请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四个图不能重复）【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．【变式8-2】（2020春•禅城区期末）观察设计：（1）观察如图①、②中阴影部分构成的图案，请写出这2个图案都具有的2个共同特征；（2）借助后面的空白网格，请设计2个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的2个共同特征．（注意：新图案与已有的2个图案不能重合）【分析】（1）根据轴对称图形的定义以及图形的面积解答即可．（2）根据条件画出图形即可．【解答】解：（1）都是轴对称图形，面积都是4个小正方形的面积和．（2）符合题意他图案如图所示：【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式8-3】（2020春•兰州期末）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）。
如何轻松讲解轴对称图形教案
如何轻松讲解轴对称图形教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解轴对称图形的概念。
培养学生观察、分析和描述轴对称图形的能力。
引导学生运用对称性质解决实际问题。
1.2 教学内容轴对称图形的定义与特点。
轴对称图形的性质。
轴对称图形在实际中的应用。
1.3 教学方法采用问题驱动的教学方式，引导学生主动探究。
利用多媒体演示和实物模型，增强学生的直观感受。
分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。
第二章：轴对称图形的定义与特点2.1 教学目标让学生理解轴对称图形的定义。
培养学生识别轴对称图形的能力。
2.2 教学内容轴对称图形的定义。
轴对称图形的特点。
2.3 教学方法采用讲解和示例相结合的方式，让学生清晰地理解轴对称图形的定义。
引导学生通过观察和分析，发现轴对称图形的特点。
第三章：轴对称图形的性质3.1 教学目标让学生掌握轴对称图形的性质。
培养学生运用性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容轴对称图形的性质。
3.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解和掌握轴对称图形的性质。
设计练习题，让学生运用性质解决实际问题。
第四章：轴对称图形在实际中的应用4.1 教学目标让学生了解轴对称图形在实际中的应用。
培养学生运用对称性质解决实际问题的能力。
4.2 教学内容轴对称图形在实际中的应用。
4.3 教学方法通过实例讲解，让学生了解轴对称图形在实际中的应用。
设计实践题目，让学生运用对称性质解决实际问题。
第五章：总结与评价5.1 教学目标让学生回顾和总结轴对称图形的知识。
评价学生对轴对称图形的理解和应用能力。
5.2 教学内容总结轴对称图形的定义、性质和应用。
评价学生的学习成果。
5.3 教学方法通过问答和讨论，让学生回顾和总结轴对称图形的知识。
设计评价题目，评价学生对轴对称图形的理解和应用能力。
第六章：轴对称图形的绘制与展示6.1 教学目标让学生学会如何绘制和展示轴对称图形。
培养学生运用对称性质进行创作的能力。
6.2 教学内容轴对称图形的绘制方法。
小学数学五年级上册第二单元《轴对称再认识(一)》应用作业
【答案：CD A B C DA DCBE4.将轴对称图形折叠后会是什么样子？（）【答案： D 】C形的对称轴方格中的图案（）（填“是”或“不是”【答案：不是】一、选择正确的答案填在括号里。
1.根据轴对称的意义，判断基本图形中的轴对称图形 1.1 下面不是轴对称图形的是（ B ）A B C D1.3 下面不是轴对称图形的是（ C D ）1.4 下面是轴对称图形的是（ A B ）1.5 下面是轴对称图形的是（ A C ）2、根据轴对称的意义判断生活中的轴对称图形（B2） 2.1下面图形中是轴对称图形的是（ C D ）2.2下面图形中不是轴对称图形的是（A B E ）；A DC BA DC BA B C DA DCBE2.3下面图形中是轴对称图形的是（ A B C ）2.4下面图形中不是轴对称图形的是（D ）；2.5下面图形中不是轴对称图形的是（A B ）；3、根据轴对称图形特点找对称轴（C2）3.1有（ A ）条对称轴。
A. 2 B. 4 C. 8 D.无数 3.2下图中有两条对称轴的是（ A B）A DCBA DCBA DC B EA DC BA. 0B. 1C. 2D.33.4 有（ B ）条对称轴。
A. 2B. 4C. 8D.无数A ）条对称轴。
A. 0B. 2C. 4D.无数4.能根据轴对称图形的形状辨别对称后的形状4.1将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ D ）4.2将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ C ）4.3将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ B ）4.5将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ C ）5.判断基本图形中的轴对称图形（B1）5.1正方形（ B ）是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.2平行四边形（ C ）是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.3三角形( A )是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.4梯形( A )是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.5圆（ B ）是轴对称图形。
浅谈多重积分中的对称性问题
浅谈多重积分中的对称性问题【摘要】在求解多重积分的问题的时候,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,然而这些替米可以通过很特殊的对称性问题得以简便得解决,既方便又准确无误,本文将就多重积分求解中的对称性问题做一简短的总结归纳。
【关键词】二重积分三重积分对称性奇偶性1.二重积分中的对称性问题。
在计算二重积分的问题的时候,往往有些题目是通过一般方法无法解决的,而这些题目中会有一些题目是很特殊的对称性问题,通过使用固定的方法就能够迅速准确地算出答案,节省了时间,提高了效率和准确度。
1.1 积分域关于轴的对称。
1.1.1 关于x轴对称。
设D关于x轴对称()其中,1.1.2 关于y轴对称。
与关于x轴对称相似。
例1.1.1 计算:,解:添,分域为1.2 积分域关于原点对称。
与关于x轴对称相似。
1.3 积分域关于直线y=x对称(即轮换对称性)设D关于y=x对称,()例1.3.1 D:D1是D在x≥0部分,则(B)A.B.C.D.解:A.=0,C.,D.B.评注:D关于y=x对称。
例1.3.2 求其中解:区域D关于x,y轴均对称,对x,y均为偶函数。
,其中再用变量轮换对称性(把x与y互换,区域D1不变),于是因此,I=评注:D1关于y=x对称,于是。
例1.3.3 计算,其中S是球面在第一卦限中的部分。
解:直接化为二重积分计算。
由于所以记,则评注:本题使用了轮换对称性。
例1.3.4 计算,其中曲面S:, ; 是S向上的法向量。
解:由于,所以根据曲面S关于坐标面的对称性,得再由S关于x,y的轮换对称性,得因此I=0。
2.三重积分中的对称性问题。
三重积分往往相对较麻烦,和二重积分一样,一些特殊的有关对称性的问题可以通过一些特殊的方法迎刃而解,方便迅速又准确无误。
2.1 积分域关于面的对称。
2.1.1 积分域关于xoy面对称。
设Ω是空间中的有界闭区域,在Ω上可积。
若Ω关于xoy平面对称,则其中例2.1.1 ,解:Ω关于xoy面对称,关于z轴为奇函数,I=0。
1.3探索轴对称的性质——1.1认识三角形
知新篇一.轴对称的性质及其应用（1）轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴 。
②对应 相等，对应 相等。
（2）如图是一个轴对称图形，直线AO 是对称轴， 则相等的线段有： = ， = 。
线段CD 被直线AO 。
量得30B∠，则∠E= 。
（3）设A 、B 两点关于直线MN 对称，则_____垂直平分______。
（4）等腰三角形是轴对称图形，它的底边被对称轴_________。
提醒：（1）对称轴上的点即是对应点所连线段的垂直平分线. （2）找准对应线段和对应角。
二.轴对称在实际中的应用 1.按边分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 2.按角分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 三.三角形的三边关系1.AB+AC BC, AB-AC BC.2.结论：三角形两边的和______第三边．三角形两边的差____第三边．【典例】【思路分析】判断三条线段能否组成三角形可根据三角形三边关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断.最简单方法是：看较短两边的和是否大于最长边. 【解析】【点睛】在判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：（1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边，（2）如果选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边.三角形三边关系靓题拾贝三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边．（2）三角形任意两边之差小于第三边．注意：这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值． 一、 判断三条已知线段能否组成三角形【例1】已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 （ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10解：选C ．对于A ，1+2=3，所以A 不能，对于B ，2+5＜8，所以B 不能，对于D ，4+5＜10，所以D 不能． 二、已知三角形的周长，判断三边能否组成等腰三角形【例2】将长度为12m 的一根铁丝，截成三段，能围成等腰三角形的是 （ ） A.8m ，2m ，2m B.7m ，2.5m ，2.5m C.6m ，3m ，3m D.1m ，5.5m ，5.5m 解：选D ．根据三边关系，三个选项A 、B 、C 均有两边之和小于或等于第三边． 三、已知三角形的两边长，求第三边取值的个数【例3】已知三角形的三边长分别是3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个解：选D ．根据三角形三边关系有：8-3＜x ＜8+3即5＜x ＜11，若x 为偶数，则x=6，8，10.1.探新知 预习乐园提素能 自测自评A B ECD O214版北师七上学案教用P12左上T22.如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ） A ．30B ．50C ．90D 100．3.下列图形中，哪一幅成轴对称（ ）4.已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取 了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）A.5mB.15mC.20mD.28m6.一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为______．7.如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为 cm ．8.两根木棒的长分别是8cm ，10cm ，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x 的取值范围是________.9.如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC ，AC 上的两点，连结BE ，AD 交于F ，（1）图中有几个三角形?并表示出来;（2）△BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么? （3）AB 边是哪些三角形的边? （4）F 点是哪些三角形的顶点?10.一个等腰三角形的周长是36 cm ．（1）已知腰长是底边长的2倍,求各边的长； （2）已知其中一边长8cm ，求另外两边的长．11.已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ．（1）求第三边的取值范围； （2）已知第三边长是偶数，求第三边长；（3）求周长的取值范围．12.（全家总动员）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？答案探新知，预习乐园:一、1.互相重合 对称轴2.（1）（2）（4）（5）是轴对称图形，都有2条对称轴，（3）是轴对称图形，有无数条对称轴。
1.3设计轴对称图案_马继波
苏科版八上1.3《设计轴对称图案》教案
【百度搜索】双鱼吻莲①
【百度搜索】喜鹊登梅②
【百度搜索】双鱼枕③
问题：这两幅图形有什么共同特征？（它们都是轴对称图形）
你还见过哪些轴对称图形？
这些图形帖近生活，又给人以美的享受，人们常常利用轴对称设计
′
准备一组徽标、标志的轴对称图案，
让学生欣赏，同时提供设计素材。
要求贴近学生生活，突出运动主题，是轴对称图案。
小组合作，于下周一前各小组上交一份完成好的作
轴对称图形欣赏
【百度搜索】轴对称图形㈠。
苏科版初中数学八年级上册精品教案第一章 轴对称图形
义务教育基础课程初中教学资料第一章轴对称图形1．1 轴对称和轴对称图形教学目标：1、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念；2、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；3、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系；4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值。
教学重点：正确辨认轴对称图形，画出它们的对称轴；教学难点：设计简单轴对称图案；教学过程：一、创设情境：动手操作：用一张正方形的纸片，二、新课讲解：1、观察、思考：（投影片）P4 4幅图，观察下列四幅图形，你能发现它们有什么共同特征，说出来与同学交流。
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2、动手试一试：观察课本第4页几幅图中，画出它们对称轴。
3、探索思考：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
动手画出第5页几幅图片的对称轴。
说说你所熟悉的图形是否是轴对称图形，对称轴是什么？与同学讨论、交流，同小组互相补充。
轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯级、等腰三角形、角、线段等。
学生口述对称轴的位置。
4、讨论、交流：轴对称与轴对称图形的区别与联系。
区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分能完全重合。
联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
5、观察、思考：镜像特征：哪些字母在镜中的像与原字母一样？哪些发生了改变？说说它们的对称轴；手在镜中的像有什么变化？说说生活中的轴对称和轴对称图形。
6、欣赏大自然风景（倒影）并说说它们的对称轴的位置。
三、课堂练习：1、P1 22、动手制作一轴对称标志（校运会）四、本节课的收获：1、什么是轴对称和轴对称图形；2、如何画出对称轴、如何找对称点？3、生活中的轴对称和轴对称图形。
八上数学评价手册答案
初二数学（八上）创新教育实验手册参考答案（苏科版）第一章轴对称图形1. 1 轴对称与轴对称图形【实践与探索】例1 请观察26个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母．解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形．例2 国旗是一个国家的象征，观察图1.1.1中的国旗，说说哪些是轴对称图形，并找出它们的对称轴．（略）【训练与提高】一、选择题：1．A2．D3．B4．A5．A二、填空题：6．（1）（2）（5）（6）7．2，3，1，4 8．10∶21三、解答题：9．如图：10．长方形、正方形、正五边形【拓展与延伸】1．（3）比较独特，有无数条对称轴ABCD 1D 2B 1CBAC 1A 1图1.2.12．1.2 轴对称的性质（1）【实践与探索】例1 已知△ABC 和△A 1B 1C 1是轴对称图形，画出它们的对称轴．解： 连接AA 1，画出AA 1的垂直平分线L ，直线L 就是△ABC 和△A 1B 1C 1的对称轴．回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴．例2 如图1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于L 对称的两个图案，并从中找出两对对称点、两条对称线段．解：可标注不同的对称点．例如：A 与A '是对称点，B 与B '是对称点． 对称线段有AB 与A 'B '，CD 与C 'D '等．回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质． 【训练与提高】 一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．A 二、填空题：5．轴对称，3条 6．略 7．810076 8．AB ＝CD BE ＝DE ∠B ＝∠D 三、解答题：9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在对称轴上 【拓展与延伸】 1．如图：图1.2.2图1.2.３（1） （2）图1．2．4 图1．2．52．如图：1.2轴对称的性质（2）【实践与探索】例1 画出图1.2.3中△ABC 关于直线L 的对称图形．解： 在图1.2.3（1）和图1.2.3（2）中，先分别画出点A 、B 、C 关于直线L 的对称点1A 、1B 和1C ，然后连接11B A 、11C B 、11A C ，则△111C B A 就是△ABC 关于直线L 对称的图形．回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形； （2）对称轴上的点（如图1.2.3（1）中的点B ），其对称点就是它本身．例2 问题1：如图1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点A 和B ，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A 和B 两地的居民走的路最短？问题2：如图1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点A 和B ，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到A 和B 两地的总长最短？①②③④图1.2.4 问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？ 探索：对问题1，显然只要连接AB ，AB 与a 的交点就是所要找的点． 对问题2，即要在直线a 上找一点C ，使AC ＋BC 最小． 分析： 我们用“翻折”———轴对称的方法．画点C ：（1）作点A 关于直线a 的对称点A '；（2）连结A 'B 交a 于点C ，点C 就是所求作的点．理由：如图1.2.4，如果C '是直线a 上异于点C 的任意一点，连A C '、B C '、A ' C '，则由于A 、A '关于直线a 对称，所以有'''',C A AC C A AC ==．所以 '''''BC C A BC AC +=+＞BC AC BC C A B A +=+=''． 这说明，只有C 点能使AC ＋BC 最小．【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．A 二、填空题：5．（1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等边三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圆 6．不对称、不对称 7．5个 三、解答题： 8．略 9．略10．画图略 11．如图：12．画出点A 关于直线L 的对称点A '，连结A 'B 与直线L 的交点即为所求停靠点．【拓展与延伸】图1.3.11．图略2．图略1.3设计轴对称图形【实践与探索】例1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手学一学：观察一下，图1.3.1中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？例2 如图1.3.2，以直线L为对称轴，画出图形的另一半．图1.4.1【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．B 二、填空题： 3．M 、P 、N 、Q 三、解答题： 4．如图：5．略 6．如日本、韩国 、等 7．略 8．图略 【拓展与延伸】 1．图略2．图略，答案不唯一1.4 线段、角的轴对称性(1)【实践与探索】例1 如图1.4.1，在△ABC 中，已知边AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ． (1)你知道点P 与△ABC 的三顶点有什么关系？ (2)当你再作出AC 的垂直平分线时，你发现了什么？解：(1)点P 与△ABC 的三顶点距离相等，即P A ＝PB ＝PC ． (2)如图，AC 的垂直平分线也经过P 点．即三角形的三条中垂线交于一点． 例2 如图1.4.2，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，交AC 于E ．已知△BCE 周长为8，且AB －BC ＝2，求AB 、BC 的长．分析：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE＝BE，因此△BCE的周长就转化为AC＋BC，问题即可解决．解：因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE＝BE，则△BCE的周长＝BE＋CE＋BC－AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8．又因为AB－BC＝2，AB＝AC，所以AC－BC＝2.由上可解得AC＝5，BC＝3．回顾与反思(1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE＝BE”，从而实现了“线段BE"的转移，这是我们常用的方法；(2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等．【训练与提高】一、选择题：1．C2．D3．D4．A二、填空题：5．无数个6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm三、解答题：9．24010．连结AB，作AB的中垂线交直线L于P，点P即为所求作的点11．24 cm 12．(1) 35 0（2）55 0【拓展与延伸】1．图略（1）只要任意找一个以A为顶点的格点正方形，过点Ａ的对角线或其延长线与BＣ的交点就是点Ｐ（2）找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点．2．9 cm1.4 线段、角的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O．请问：(1)你知道点O与△ABC的三边之间有什么关系吗？图1.4.３(2)当你再作出∠A的平分线时，你发现了什么？解：(1)点O到△ABC的三边的距离相等；(2)如图1.4.3，∠A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点．例2 已知：如图1.4.4，AD∥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．问：AD、BC与AB之间有何关系？试说明之．分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试（包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法．图1.4.4 (1)将“AE平分∠BAD"与“DE⊥AD"结合在一起考虑，可以联想到，若作EF⊥AB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF＝AD．(2)再结合“点E是DC的中点”，可得：ED＝EF＝EC．于是连接BE，可证BF＝BC．这样，AD＋BC＝AF＋BF＝AB．解：AD、BC与AB之间关系：AD＋BC＝AB．证明思路简记如下：作EF⊥AB，连接BE，易证△ADE≌△AFE( AAS)，∴AD＝AF．再由EF＝ED，EF＝EC，可得△BFE≌△BCE( HL)，∴BF＝BC，AD＋BC＝AB．回顾与反思(1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等；(2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法．【训练与提高】一、选择题：1．A2．B3．A4．C二、填空题：5．线段的垂直平分线、角平分线6．3 7．900三、解答题：8．略9．过P点分别作垂线10．作图略11．作MN的中垂线，∠AOB 的平分线交点即是12．6 cm【拓展与延伸】图1.5.1BE D CFA1．600 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(1)【实践与探索】例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数； (2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数．分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的角一定是这个三角形的顶角；(2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况． 解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为21(1800 － 1000)＝400． (2)①底角为800时，另外两角分别为800和200；②顶角为800时，另外两角分别为500和500．回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论；(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？例2 如图1.5.1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，垂足为E ， DF ⊥AC ，垂足为F ．试说明DE ＝DF 的道理． 分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 DE ＝DF ．也可以利用△ADB 和△ACD 面积相等来说明DE ＝DF ， 或用全等来说明．【训练与提高】 一、选择题：1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 二、填空题：图1．5．2图1.5.36．5 cm 7．6 cm ，2 cm ，或4 cm ，4 cm8．（1）12.5 （2）3>a ，120<<b 9．3，3，4或4，4，2 三、解答题：10．（1）700、400 或 550，550 （2） 300，300 11．750，750，300 12．33 cm 13．1080 14．BD ＝CE . 理由：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ．∴∠ADB ＝∠AEC ．∴ΔABD ≌ΔACE ．∴BD ＝CE【拓展与延伸】 1．1000 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.5.2，在△ABC 中，已知∠A ＝360，∠C ＝720， BD 平分∠ABC ，问图中共有几个等腰三角形？为什么？ 解：图中共有3个等腰三角形． ∵∠A ＝360，∠C ＝720，∴∠ABC ＝1800一（∠A ＋∠C ）＝1800－ (360＋720) ＝720＝∠C ， ∴△ABC 是等腰三角形．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝21∠ABC ＝360， ∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝360＋360＝720， 即有∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ．∴△ABD 和△BCD 都是等腰三角形． ∴图1.5.2中共有3个等腰三角形．例2 如图1.5.3所示，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝ 900．，M 、N 分别是AC . BD 的中点，试说明： (1)DM ＝BM ； (2)MN ⊥BD ．图1.5.4解： (1) ∵点M 是Rt △ABC 斜边的中点，∴BM ＝21AC ， 同理DM ＝21AC ，∴BM ＝BM ； (2) ∵N 是BD 的中点，又BM ＝DM ，∴MN ⊥BD ． 回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系；(2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这是我们常用的思维方式之一． 【训练与提高】 一、选择题：1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空题：5．等腰 6．8 7．350 ， 218．（1）ΔBDE 或ΔADE （2）ΔBCE（3）ΔAGF 三、解答题：9．等腰三角形 10．ΔABC ，ΔAEF ，ΔEBO ，ΔFCO ，ΔOBC BE ＝CF ＝21EF 11．平行 12．10 cm 【拓展与延伸】1．延长AE 交BC 延长线于F 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(3)【实践与探索】例1 如图1.5.4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝ 1200，点D 、E 在BC 上，且BD ＝AD ，CE ＝AE ．判断△ADE 的形 状，并说明理由．解： △ADE 是等边三角形．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120．，∴∠B＝∠C＝300．∵BD＝AD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD＝300，∠C＝∠CAE＝300，∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED ＝600.∴△ADE是等边三角形．例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3 cm，则腰长为( ) A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D．以上都不对分析可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm．因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm ＋2 cm ＜5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm．解：选B．回顾与反思涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况．这样的“解”需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系．【训练与提高】一、选择题：1．D2．D3．C4．A5．C二、填空题：6．等边、等边7．150 8．1200三、解答题：9．cm1010、略11．（1）EC＝BD（2）添加条件：AB＝AC，是轴对称图形，此时，∠BOC＝1200，12．过D点作AC平行线【拓展与延伸】1．添辅助线，通过ΔACD≌ΔBCE来说明2．略1.6 等腰梯形的轴对称性(1)图1.6.1图1.6.2【实践与探索】例1 如图1.6.1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB ＝CD ， 点E 在BC 上，DE ∥AB 且平分∠ADC ，△CDE 是什么三角形？ 请说明理由．解： △CDE 是等边三角形．因为AD ∥BC ， AB ＝CD ，所以∠B ＝∠C ．理由：“等腰梯形在同一底上的两个角相等”又因为AD ∥BC ，所以∠ADE ＝∠CED ．由DE 平分∠ADC ，可得∠ADE ＝∠CDE ， 于是∠CED ＝∠CDE .又因为AB ∥DE ，所以∠B ＝∠CED ，从而有∠C ＝∠CED ＝∠CDE ，所以△CDE 是等边三角形．回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系．在研究等腰梯形时，要联想到等腰三角形中的知识．例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B ＝600， AB ＝2，BC ＝6．将纸片折叠，使得点B 与点D 恰好重合，折痕为AE ，求AE 和CE 的长． 解 ∵点B 与点D 沿折痕AE 折叠后重合，∴△ABE ≌△ADE ， ∴ ∠1 ＝ ∠B ＝600， ∠3 ＝∠4. ∵AD ∥BC ， ∴∠1 ＝ ∠2＝600.而∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4＝ 1800， ∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝1200， ∴ ∠3 ＝∠4＝600，而∠B ＝600，∴∠5 ＝600，因此，△ABE 是等边三角形． ∴AE － BE ＝AB ＝2， ∴CE ＝BC － BE ＝4.回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用． 【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．C 3．B图1.6.3BCFADE二、填空题：4．1080，1080，720 5．27 6．①②③④ 7．1 cm 8．150 三、解答题：9．∠A ＝∠E 10．72 0 、72 0 、108 0、108 0，11．成立 【拓展与延伸】 1．CE ＝21（AB ＋BC ） 过点C 作CF ∥DB ，交AB 的延长线于点F ，先证：ΔDCB ≌ΔFBC ，则CF ＝DB ，又四边形ABCD 是等腰梯形，则AC ＝DB ，故AC ＝CF ， 易证：∠AOB ＝∠ACF ，所以ΔACF 为等腰直角三角形． 又因为CE ⊥AB ，易证：CE ＝AE ＝EF ＝2BCAB ． 2．4，61.6等腰梯形的轴对称性（2）【实践与探索】例1 如图1.6.3，△ABC 中，∠ACB ＝900，D 是AB 的中点，DE ∥AC ，且DE ＝AC 21，点F 在AC 延长线上，且CF ＝AC 21，请说明四边形AFED 是等腰梯形．略证：先说明四边形CFED 是平行四边形．由CD ∥EF ，∠F ＝∠ACD ，且CD 是RT △ABC 斜边上的中线 得∠A ＝∠F ，证得四边形AFED 是等腰梯形回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等．例2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题．已知在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ≠BC .则四边形ABCD 是等腰梯形．你能说明理由吗？分析：要证明四边形ABCD 是等腰梯形，因为AB ＝DC ，所以只需证四边形ABCD(1)(2)(3)(4)图1.6.4是梯形即可；又因为AD ≠BC ，故只需证AD ∥BC ．现有如图1.6.4所示的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明．友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成．回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来． 【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 二、填空题：6．24 7．50 0 、50 0 、130 0、130 0， 8．是 9．80 0 、80 0 、100 0， 等腰 三、解答题：10．略 11．ΔABC ≌ΔDCB12．是，理由：∵∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACE ∴∠E ＝∠DAC ∵AD ＝BE ，∴ΔABE ≌ΔCDA ∴AB ＝CD ∴梯形ABCD 是等腰梯形．13．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝∠CDB ＝900，BC ＝BC ∴ΔBEC ≌ΔCDB ．∴BE ＝CD ∴AE ＝AD ．∴AED ＝∠ADE ＝21800A ∠-．∵∠ABC ＝∠ACB ＝21800A∠-，∴∠AED ＝∠ABC .∴ED ∥BC .∵BE 与CD 相交于点A ，∴BE 与CD 不平行．∴四边形BCDE 是梯形．∵∠EBC ＝∠DCB ，∴梯形BCDE 是等腰梯形．M NF DCBA E 【拓展与延伸】 1．26，322．解：设经过x 秒后梯形MBND 是等腰梯形， ∵作ME ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．∴BE ＝FN ＝AM ＝x ．∴EF ＝MD ＝21－x ，CN ＝2x ，BN ＝24－2x ． ∴BN ＝2AM ＋MD ．即24－2x ＝2x ＋21－x ，∴x ＝1．第一章复习题A 组：1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．、18或21，22 7．35 0 、35 0 ；40 0、100 0或700、700 8．3 cm 或7 cm 9．7，10或8.5， 8.5 10．（1）300， （2）19 11．1000 12．（1）400，（2）350，（3）360 13．450 1350 等腰 14．等腰梯形 15．3 B 组：16．略 17．略 18．27 300 19．提示：先证：ΔADE ≌ΔADC ，则DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠DCE ，又EF ∥BC ，所以∠DCE ＝∠FEC ，则∠FEC ＝∠DEC 20．51221．略 22．提示：连结CR 、BP ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第二章 勾股定理与平方根答案2.1 平方根⑴例1解： ⑴∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10，即10100±=±；⑵∵(±1.3)2＝1.69，∴1.69的平方根是±1.3，即3.169.1±=±； ⑶∵49412= ，(±23)2＝49，∴49的平方根是±23，即23412±=±；⑷∵02＝0，∴0的平方根是0，即00=.回顾与反思：⑴正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根是10的错误；⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根； ⑶ 0的平方根只有一个，就是0，负数没有平方根. 例2解： ⑴∵－64＜0，∴－64没有平方根；⑵∵(－4)2＝16＞0； ∴(－4)2有两个平方根，即416)4(2±=±=-±； ⑶∵－52＝－25＜0， ∴－52没有平方根；⑷∵81表示81的正的平方根是9，∵9＞0， ∴81的平方根有两个是±3.回顾与反思：象(－4)2、81这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的数的平方根.例3解：⑴ ∵1962=x ，∴x 是196的平方根，即14196±=±=x ；⑵ ∵01052=-x ，∴22=x ，x 是2的平方根，即2±=x ；⑶ ∵()0253362=--x ， ∴()362532=-x ， ∴()3-x 是3625的平方根，即653±=-x ； ∴6231=x ，6132=x【训练与提高】1. B ； 2D ； 3B . 4.3； 5.±17；±4； 6.±15；54-； 7.－1； 49； 8.9；81； 9.0. 10．⑴－8；⑵±1.3；⑶35-；⑷－9；11.⑴±5；⑵±9；⑶21±；⑷3，－1；12.25； 13．±4.【拓展与延伸】1. ±9；2.±3. 2.1 平方根⑵例1分析：10000表示10000的_________根； 225121-表示225121的算术平方根的相反数； 8149±表示8149的__________根.解 ⑴100100100002==； ⑵ 1511)1511(2251212-=-=-； ⑶ 97)97(81492±=±=±. 回顾与反思：10000表示10000的算术平方根，要防止出现10000＝±100的错误.探索：⑴发现： 当0≥a 时，a a =2)(.⑵发现：当0>a 时，a a =2， 当0<a 时， a a -=2；当0=a 时， 02=a .即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a .例2解： ⑴ 2)3(-＝3； ⑵2)3(-＝3；⑶ 当x ＞0时，x x =2)(； ⑷当0<a 时，03<a ，a a a a 3|3|)3(922-===.回顾与反思：等式)0(2≥=a a a 和⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a ，是算术平方根的两个重要性质.以后经常会用到它们. 【训练与提高】1.B ；2.A ；3.B4.D ；5.D ；6.C .7.⑴±15，15；⑵127± ， 127；⑶±0.1，0.1；⑷17,17±.⑸±2，2；8.169；3± 9.0≥a ，2；10.9=x ；11.－1； 12.－3，互为相反数. 13.⑴ 1；⑵65-； ⑶136±；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺954.⑻152.【拓展与延伸】1. ±5，±1 ；12. 5. 2.2立方根例1分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根，也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.例1解 ⑴∵278)32(3=，∴322783=； ⑵∵278)32(3-=-，∴322783-=-；⑶、⑷、⑸略.例2解 ⑴34)34(2764271023333-==-=--； ⑵52)52(125812583333===--. ⑶略.回顾与反思：⑴当被开方数带“－”号时，可把“－”提取到根号外后再计算； ⑵当被开方数是带分数时，应先化成假分数； ⑶当被开方数没化简时，应先化简后再求值.例3解 ⑴28,8,16233-=-=-=-=3x x x ；⑵略回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：⑴表示的意义不同；⑵a 与3a 中的被开方数a 的取值范围不同，a 中的a 应满足a ≥0，3a 中的a 可为任何数；⑶一个数的平方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方根总有且只有一个；⑷负数没有平方根，但负数有立方根. 【训练与提高】1. B ；2.C ；3.D ；4.B ；5.±8，4，8；6.－1，5，65-，23. 7. 100；±8； 8．7，－3； 9.⑴－10； ⑵45-；⑶72；⑷23；⑸34-；⑹3. ⑺0.3；⑻6. 10.⑴56-.⑵8；⑶－16；⑷－4. 11.⑴5；⑵39；⑶－4；⑷－2. 【拓展与延伸】 1.39； 2. 37.5㎝2.2.3实数⑴例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长是2.这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图2.3.2所示.图2.3.1例2分析 无理数有两个特征：一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟悉的圆周率π就是无理数.解 有理数有－3.1415926，113335， •31.0 ，3625.无理数有π-，39 ，22， 0.1010010001…. 回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定是无限不循环小数.例3解 ⑴ 不正确.如••53.2是无限小数，但它不是无理数； ⑵ 不正确. 如••53.2是有理数，但它是无限小数；⑶ 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数； ⑷ 不正确.如4是有理数. 【训练与提高】1.B ；2. C ；3.C .4.实数；5.25 ，722，0，252252225 ，•64.3； 5.121121121…，2π，18-，32. 6．6；7.±5. 【拓展与延伸】 1. C ； 2. 8. 2.3实数⑵例1分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.解 ⑴ ∵4646433-=-=-，∴364-的相反数是4，绝对值是4；π-3的相反数是3-π，∵π-3＜0，∴3|3|-=-ππ.⑵ ∵3|3|=，3|3|=-，∴这个数是±3解 由图可知，,0<a ∴a a -=.∵c b <，∴0>-b c ，∴b c b c -=- ∵0,0<<b a ，∴b a b a --=+，∴c b a b c a b a b c a b a b c a =++-+-=----+-=+--+)()(回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系； ⑵在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.⑶每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.例3解： （1）∵5)5(2= ，425)25(2=，又4255<， ∴ 255<. （2）∵255<，∴2315<-， ∴43215<- 回顾与反思：比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.【训练与提高】1. D ；2.B ；3.⑴2，2；⑵ 312，312；⑶－3，3；⑷25-， 25-. 4． ＜， ＜，＜； 5.－1，0，1； 6.37-； 7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98 ；⑷1.29； 8.⑴－5；⑵－4；⑶535--；⑷－9. 9.b －2 a －2c . 10＜； ＜； ＜； ＞. 【拓展与延伸】1. 2a －b .2. 4－2. 2.3近似数与有效数字例1分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数，有时则无法区分.解 略.例2解 ⑴ 43.8精确到十分位(即精确到0.1)，有3个有效数字， 分别为4、3、8. ⑵ 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字，分别为3、0、8、6. ⑶ 2.40万精确到百位，有3个有效数字，分别为2、4、0.回顾与反思：由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万作为近似数，它们是不一样的.例3解 ⑴3.4802≈3.48 ； ⑵ 3.4802≈3.480； ⑶3.1415926≈3.14； ⑷ 26802≈2.7×104. 回顾与反思：（1）本题⑴、⑵小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不一样的，所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同，你能举例说明吗?（2）第⑷小题中若把结果写成27000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要用科学计数法，把结果写成2.7×104. 【训练与提高】1. D ；2.C ；3.A ；4.略；5. ⑴ 百分位，4个； ⑵ 个位，2个； ⑶ 千分位，3个； ⑷ 个位，5个；⑸ 万分位，3个； ⑹万位，3个； ⑺ 百分位，3个； ⑻百万位，3个.【拓展与延伸】 ⑴1×102；⑵－0.54；⑶－3.64×103；；⑷3.5. 2.4 勾股定理（1）例1解：⑴在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝6，c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝64，∴b ＝8.(b ＝－8舍去) ⑵在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝40， b ＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝1681，∴c ＝41. .(c ＝－41舍去) ⑶在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵b ＝15，c ＝25， ∴a 2＝c 2－b 2＝400， ，∴a ＝20. .(a ＝－20舍去) ⑷在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵3a ＝4b ，∴a ︰b ＝4︰3， ∴设a ＝4k ，b ＝3k ，则c ＝5k .∵c ＝2.5，∴k ＝0.5，∴a ＝2，，b ＝1.5. 回顾与反思：勾股定理反映直角三角形．．．．．中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的三边中已知任意两边就可以求出第三边.例2解 ①∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2112222=+=+BC AC ，②∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°， BC ＝1，AB ＝2，∴AC ＝3122222=-=-BC AB回顾与反思：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理． 【训练与提高】1.D ；2.A ；3. 13，60；4. 225，39， 225；5. 5，76.5；7. 49；8.13；9. a 3【拓展与延伸】4. 2.4 勾股定理（2）例1略例2解：由题意得∠AOB ＝90°，AO ＝30，BO ＝40.5040302222=+=+=BO AO AB (海里)答：1小时后两舰相距50海里例3分析 此题首先要解决△ABC 的面积，为此，可考虑作AD ⊥BC 于D .解 过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2. 设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，∴132―x 2＝152―(14－x )2， ∴x ＝5即BD ＝5，∴AD 2＝144.∴AD ＝12，S △ABC ＝21BC ·AD ＝84m 2. ∴费用84×50＝4200元. 回顾与反思：（1）勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运用勾股定理解决问题.（2）涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得相应的线段，进而求出所需面积. 【训练与提高】1. D ． 2．D . 3．4，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ； 5. 3㎝； 6. 略. 【拓展与延伸】 1.图略； 2. 图略. 2.5 神秘的数组（例1解 ⑴∵22222225625247c b a ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠C ＝90°.⑵∵2222225.225.65.12a c b ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠A ＝90°.⑶∵c ＞ a ， c ＞ b ， 16411452222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b a ，而9253522=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，∴222c b a ≠+，根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形不是直角三角形.回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和，以及最长边的平方，然后看它们是否相等即可.例2解 ∵在△ABD 中，AB 2＋AD 2＝9＋16＝25＝BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.∵在△BCD 中，BD 2＋BC 2＝25＋144＝169＝CD 2， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. ∴这个零件符合要求.回顾与反思：像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a 2＋b 2＝c 2的一组正整数，通常称为勾股数．利用勾股数可以构造直角三角形.例3解 ∵12412)2()1(2422422222++=++-=+-=+n n n n n n n b a .222)1(c n =+=根据直角三角形的判定条件，得∠C ＝90°.【训练与提高】1. B ；2.B ；3.C ；4. C ；5.C ；6. 直角三角，B ；7. 12，13，5；直角三角形；8. 直角三角形，略9. ∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝5，又∵AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD 2.∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD . 10.是，略； 11.连接AC ，∵∠ADC ＝90°，AD ＝4，CD ＝3，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝25，∴AC ＝5，∵AB ＝13，BC ＝12，∴AC 2＋BC 2＝25＋144＝169＝AB 2，∠ACB ＝90°，S ＝30－6＝24. 【拓展与延伸】1. 连结EC ，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，∴BE ＝CE ∵BE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2＝EA 2＋AC 2∴∠A ＝90°.2.略 2.6 勾股定理的应用（1）例1分析 ⑴根据勾股定理，直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位，则斜边长为10个单位，因此，以原点为圆心，10个单位长为半径画圆与数轴的交点表示的数即分别为±10.解：⑴如图图2.6.1①； ⑵如图图2.6.1②例2分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题若设AE ＝x km ，由△DAE 、△EBC 均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程.解：设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x )km. ∵CE ＝DE ，∴CE 2＝DE 2 .由勾股定理得 152＋x 2＝(25－x ) 2＋102解得 x ＝10 . 答：E 站应建在距A 站10km 处.回顾与反思：（1）运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理．（2）勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量关系；【训练与提高】1. B .2.C ；3.34；4. 5，13；5. 24，4.8.6. 2.7. 能，略8. 能，略；9. 略； 10.10；11. 4； 12. 25 . 【拓展与延伸】1. 19.5m ；2. 作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，由题意10―x 2＝172―(x ＋9)2，解得x ＝6.由勾股定理得AD ＝8.2.6 勾股定理的应用⑵例1分析：设EC ＝x ，则DE ＝8－x ，由于折叠长方形的边AD ，且D 落在点F 处，故△AFE 和△ADE 全等，则EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，在Rt △EFC 中，运用勾股定理得到关于x 的方程，可以求出x 的值.解：设EC ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ，∵D 、F 关于AE 对称∴△AFE ≌△ADE ， ∴AF ＝AD ＝BC ＝10，EF ＝ DE ＝8－x .在Rt △ABF 中，6222=-=AB AF BF∴FC ＝BC －BF ＝4.在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -=+ ，解得 x ＝3.答：EC 长为3cm.. 回顾与反思：（1）折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征；（2）从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2＋b 2＝c 2”，看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题的条件转化为解方程.例2分析 求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理，首先要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造直图2.6.1A FECDB图2.6.3角三角形.解 作AE ⊥BC 于E ，则在△ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2； 又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴AE ＝BE ＝CE . ∵BD 2＋CD 2＝(BE －DE )2＋(CE ＋DE )2＝BE 2＋CE 2＋2DE 2＝2AE 2＋2DE 2＝2AD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2. 回顾与反思：（1）在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理. （2）说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定理来解决.【训练与提高】1. 1.5. 2．直角三角形；2.5. 3．不一定，也可能只是a ＝b ； 4.略； 5⑴3，⑵设CD ＝x ，由题意62＋x 2＝ (8－ x )2，解得x ＝47∴CD ＝47. 【拓展与延伸】 1. 2a 2； 2.略.第二章复习题1. ±8；8；4；±5. 2．π,93- . 3．－1，0，1. 4.＜，＞. 5. 32-，32-. 6. ±4. 7. ±1，±2. 8. 12. 9. 2，3. 10. 233+. 11. 0≥x . 任何实数.12. ⑴52. ⑵32，⑶10，24. 13.41. 14. 30. 15. B ． 16.C . 17.B . 18.B . 19.C . 20.C .21.⑴2±.⑵－3.⑶3，－1； 22.直角三角形. 23. 5㎝. 24. 43.4. 25. ±1. 26. 2. 27. 2010.28. x ＝6. 29. 2，74. 30. 3. 31. 132. 32. 2，5，10，17，21n +. 33. 12.34. 102，106. 35. 2n. 36. 6(提示：设CD ＝x ，由勾股定理得x 2＋92＋x 2＋42＝132). 37. 327. 38. ＜，＞.第三章 中心对称图形（一）参考答案3．1 图形的旋转例1 如图3．1．1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上的一点，△ABD 经过旋转后达到△ACE 的位置．⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后点M 转到了什么位置？ ⑷图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？分析 解决本题只需利用旋转的定义及其特征． 解 ⑴旋转中心是点A ； ⑵旋转了60°；⑶点M 转到了AC 的中点位置上；⑷相等的线段有：AB=BC=AC ，AD=AE ，BD=CE ；相等的角有：∠B=∠BCA=∠CAB=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE ，∠BDA=∠CEA ．回顾与反思：本题应用了旋转的定义及特征，知道旋转图形哪些变，哪些不变．本题的难点在于旋转角度，注意图中∠DAC 不是旋转角度．另外，注意到对应线段AB 、AC 所在直线的夹角是60°（旋转角度），那么对应线段BD 、CE 所在直线的夹角呢？由此你想到什么？例2 已知，如图3．1．2，△ABC 中，∠BAC=120°，⑴以点A 为旋转中心，将△BAC 逆时针旋转60°得△ADE ，画出△ADE ；⑵设题⑴中AD 、BC 交于F ，AC 、DE 交于点G ，请你猜想旋转后△ABF 能否与△ADG 重合？为什么？解 ⑴△ADE 如图所示（画法略）；⑵△ABF 能与△ADG 重合，理由如下：∵∠BAC=120°，∠BAD=60°，∴∠DAG=60°=∠BAF ；又由旋转知∠B=∠D ，BA=DA ，∴△ABF ≌△ADG （ASA ）．回顾与反思：观察一下△AFC 与△AGE 是否也具备这样的关系？本题中△ABF 与△ADG 能够重合是由∠BAC 及旋转角的特殊性导致的，如果，将△ADE 再绕点A 逆时针旋转过1°，则∠BAD=59°，∠DAG=61°，结论就不成立．【训练与提高】1．D 2．点A ，逆时针旋转45° 3．⑴点A ，⑵△AEF 是等腰直角三角形，⑶略 4．⑴110°或290°，⑵180° 5．以A 为中心逆时针旋转120°得△AEF ，以C 为中心顺时针旋转120°得△CED ，以AC 中点为中心旋转180°得△ACE 6．417．图略8．图略，用SAS 证△EAC ≌△BAD ，再证BD ⊥EC【拓展与延伸】1．图略．△A′′B′′C′′可由△ABC 绕点P 旋转2∠P 得到 2．图略3．2 中心对称与中心对称图形⑴例1 如图3．2．1，已知△ABC 和点O ，试画出△DEF ，使△DEF 和△ABC 关于点O 成中心对称．解 ①连接AO 并延长AO 到D ，使OD =OA ，得到点A 的对称点D ；②同样方法画出点B 、C 的对称点E 、F ； ③顺次连接DE 、EF 、FD ． 所以，△DEF 即为所求的三角形．回顾与反思：画出一个别图形关于某一点成中心对称图形，关键在图3．1．2GF EDCBA 图3．2．1EB。
1.3第2课时正方形的判定(作业教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步备课(北师大版)
-方法三：如果一个四边形的对角线把四边形分成四个全等的直角三角形，那么它是正方形。
3.正方形的对称性
-正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是两条对角线和两条中垂线。
-正方形也是中心对称图形，它的中心对称点是两条对角线的交点。
4.正方形与矩形、菱形的联系与区别
3.对角线互相垂直是正方形的性质，可以通过勾股定理证明对角线相等。
4.正方形的面积可以用于计算地毯的覆盖面积，周长可以用于计算围栏的周长。
5.正方形与矩形、菱形的关系是，正方形是矩形和菱形的特殊情形，矩形的对角线不一定是相等且互相垂直的，菱形的对角线也不一定是相等且互相垂直的。
教学反思与总结
在教学方法上，我采用了讲授法、实践活动法和合作学习法，让学生在理论学习的基础上，通过实际操作和小组合作，深入理解和掌握正方形的性质和判定方法。我发现，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和学习效果。
教师活动：
-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕“正方形的判定”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解正方形的基本性质。
-学生是否能够理解正方形的定义、性质和判定方法，并能正确运用。
-学生是否能够通过实际例子来解释和应用正方形的性质和判定方法。
2.小组讨论成果展示：
-小组成员是否能够积极参与讨论，提出自己的想法和观点。
-小组成员是否能够有效地沟通和合作，共同完成讨论任务。
弹性力学：09 空间问题的解答
4. 位移势函数的引用 (对应于无旋位移场)
为简单起见，不计体力
(
G)
x
G2u
Fx
0
(
G)
y
G2v
Fy
0
1 2u 0 1 2 x
1 2v 0 1 2 y
(
G)
z
G2w
Fz
0
1 2w 0 1 2 z
现假设位移是有势的，即：位移在某一方向
的分量可以用位移势函数ψ（x,y,z)在该方向的
问题描述： 设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上
受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。
并假设在z = h 处w =0。
q
1. 由于任意铅直平面都是对称面，假设
u 0,v 0, w w(z) (1)
x
R
y
z
e u v w d w e 0, e 0, e d2 w (2) z x y z d z x y z d z2
通过与平面问题 及极坐标中同样的分 析，可见，由径向位 移引起的形变分量为：
由于对称，各点
环向位移为零，由径
向位移产生的应变为
u
,
u
,
z
u z
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
由轴向位移w产生的 应变为
z
w z
,
z
w
迭加得到几何方程
u
,
u
z
w, z
z
u z
w
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
在球对称问题中，应力、应变、位移等分 量都只是径向坐标ρ的函数。
球对称问题
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
苏教数学四下1.3、轴对称[沈老师]【市一等奖】优质课
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其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》 首次将“圆周率”精算到小数第七位3.，14即15在9和236.14159之27间
中国古代数学名人
祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以 径一周做三为圆周率，这古就率．是后来发现古率误差太大，圆周率应 是圆径一而周三，有不余过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽 提出了计算圆周率的--科割学圆方术，法用圆内接正多边形的周长来逼近
他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多 方面研究的创始人和开拓者，并被列为芝加哥科学88技术博物馆中当今世界 位数学伟人之一。 在国际上以华氏命名的数学科“华研氏成定”果、理“就怀有依—华不等”、式“华 氏不等”、式“普劳威—尔加当华定”、理“华氏算”、子“华—王方法”等。
中国古代数学名人
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总 ，如九归口决。 他在《续古摘奇算法》中介绍纵了横各图种及形有式关的的构造方法垛，积同术是时杨辉继沈隙括积术后， 关除于、高分阶率等、差合级率数、的互研换究、纂。二类中杨衰，辉分将在、《叠九积章、算2盈4术个6不》题足目、按方解程题、方勾法股由等浅九入类深。的顺序，重 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》习中算，纲杨是目辉中为国初数学学者教制育订史的 上的重要文献。
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中国古代数学名人
祖冲之（公元 429-500 年）
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是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许 书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出 ．
浙教版数学九年级下册《1.3解直角三角形》说课稿1
浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》说课稿1一. 教材分析浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》这一节的内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和直角三角形的性质的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解解直角三角形的意义和作用，学会使用锐角三角函数来解直角三角形，并能灵活运用到实际问题中。
教材通过例题和练习题的形式，让学生在实践中掌握解直角三角形的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。
但是，对于解直角三角形的实际应用，学生可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 说教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法和步骤。
2.培养学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法和步骤。
2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法。
同时，利用多媒体课件和黑板等教学手段，为学生提供直观、生动的学习资源。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生回顾锐角三角函数和直角三角形的性质。
2.讲解：讲解解直角三角形的方法和步骤，结合例题进行演示。
3.实践：让学生分组进行练习，运用解直角三角形的方法解决实际问题。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调解直角三角形的方法和应用。
5.布置作业：布置一些有关解直角三角形的练习题，让学生巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.解直角三角形的意义和作用2.解直角三角形的方法和步骤a.确定已知条件和所求量b.选择合适的锐角三角函数c.列式计算d.检验答案3.实际应用八. 说教学评价教学评价将从学生的学习态度、课堂参与度、练习题的正确率等方面进行。
四年级下册数学教案-1.3 轴对称 丨苏教版
四年级下册数学教案-1.3 轴对称丨苏教版一、教学目标1. 知识与技能：理解轴对称图形的定义，能辨识出常见的轴对称图形；掌握对称轴的概念，能在平面直角坐标系中找出图形的对称轴；学会运用轴对称性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、交流等教学活动，培养学生的观察能力、动手操作能力和合作交流能力；通过解决实际问题，提高学生运用轴对称知识解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学美的感受，培养学生欣赏数学美的情趣；培养学生合作交流、积极参与的团队精神。
二、教学内容1. 轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、长方形、正方形、圆等。
3. 对称轴的确定：在平面直角坐标系中，找出图形的对称轴。
4. 轴对称性质的应用：利用轴对称性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：轴对称图形的定义，对称轴的确定，轴对称性质的应用。
2. 教学难点：对称轴的确定，轴对称性质的应用。
四、教学过程1. 导入：通过展示生活中的轴对称现象，如剪纸、建筑等，引导学生发现轴对称的美，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解轴对称图形的定义，让学生理解轴对称的概念。
3. 感知轴对称：引导学生观察常见的轴对称图形，如等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、长方形、正方形、圆等，让学生直观感知轴对称图形的特点。
4. 探究对称轴：让学生在平面直角坐标系中找出图形的对称轴，引导学生发现对称轴的位置和特点。
5. 轴对称性质的应用：讲解轴对称性质，让学生运用轴对称性质解决实际问题，如找出图形的另一半、求图形的面积等。
6. 巩固练习：设计不同层次的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用轴对称知识解决问题的能力。
7. 小结：总结本节课所学内容，强调轴对称图形的定义、对称轴的确定和轴对称性质的应用。
8. 作业布置：布置适量的作业，让学生独立完成，巩固所学知识。
轴对称的基本性质
轴对称的基本性质【要点梳理】要点一、轴对称的基本性质★成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直评分★轴对称及轴对称的判定（1）如果两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称.（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等，并且这两个图形成轴对称.要点诠释：（1）对应点的连线是一条线段，而对称轴是一条直线.（2）两条成轴对称的线段要么平行，要么所在直线相交且交点一定在对称轴上.【例1】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若△A＝50°，△C′＝30°，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【变式1.1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA 于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式1.2】如图，△MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若△MON＝35°，则△GOH＝（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1.3】如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△B＝50°，AD△BC，垂足为D，△ADB 与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则△CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°（1）若某点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，并且和这个点重合.（2）如果一个点在对称轴的左侧，那么这个点的对称点一定在对称轴的右侧；反之，一个点在对称轴的右侧，则这个点的对称点一定在对称轴的左侧.要点三、平面直角坐标系中的轴对称★关于坐标轴对称的点的坐标的关系★在平面直角坐标系中作成轴对称的图形【例2】作一个图形关于x轴（或y轴）成轴对称的图形的步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点）；（2）作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；（3）连：按原图的顺序连接所作的各对称点.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【变式2.1】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.【变式2.1】若点A（1，2），B（﹣1，2），则点A与点B的关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称【变式2.2】已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，﹣2）D．（4，2）【变式2.3】小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）典型例题题型一：轴对称的性质【练习1.1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且△A＝105°，△C′＝30°，则△B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【练习1.2】如图，在△ABC中，AB＝AC，△C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，△CAF＝10°，连接BB′，则△ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【练习1.3】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【练习1.4】如图，Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则△A′DB为．【练习1.5】如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD ＝3，则图中阴影部分的面积是．【练习1.6】如图，在等边△ABC中，AB＝4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．【练习1.7】如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为．【练习1.8】如图，△BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则△P AQ的度数是．【练习1.9】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．【练习1.10】如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【练习1.11】如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【练习1.12】如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【练习1.13】如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【练习1.14】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，若∠BAD ＝α，则∠ACB 的度数为（ ）A ．45°B ．α﹣45°C ．12αD ．90°−12α 【练习1.15】如图，点P 关于OA 、OB 的对称点是H 、G ，直线HG 交OA 、OB 于点C 、D ，若∠HOG ＝80°，则∠CPD ＝ °．【练习1.16】在等边△ABC 外作射线AD ，使得AD 和AC 在直线AB 的两侧，∠BAD ＝α（0°＜α＜180°），点B 关于直线AD 的对称点为P ，连接PB ，PC ．（1）依题意补全图1；（2）在图1中，求∠BPC 的度数；（3）直接写出使得△PBC 是等腰三角形的α的值．【练习1.17】如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为14，求△P AB的周长．【练习1.18】如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．【练习1.19】如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连结BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．【练习1.20】如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．【练习1.21】国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆70周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．求：（1）展板的面积是．（用含a，b的代数式表示）（2）若a＝0.5米，b＝2米，求展板的面积．（3）在（2）的条件下，已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，求制作整个造型的造价（π取3）．【练习1.22】如图所示，梯形ABCD关于y轴对称，点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣2，0）．（1）写出点C和点D的坐标；（2）求出梯形ABCD的面积．题型二：关于x、y轴对称的点的坐标【练习2.1】在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（）A．（﹣a，5）B．（a，﹣5）C．（﹣a+2，5）D．（﹣a+4，5）【练习2.2】点M（1，4﹣m）关于直线y＝﹣3对称的点的坐标为（1，7），则m＝（）A．16B．27C．17D．15【练习2.3】如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（）A．10B．8C．6D．4【练习2.4】如图，若△A′B′C′与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（3，0）D．（2，1）【练习2.5】在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，−52）和B（3，−112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，−32）C．（−32，﹣9）D．（﹣2，﹣1）【练习2.6】甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【练习2.7】点P（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣3，5）C．（4，5）D．（0，5）【练习2.8】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用（﹣1，1）表示，右下角的圆形棋子用（0，0）表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣1）C．（0，2）D．（1，3）【练习2.9】在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（√3，√2），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（−√3，√2）B．（−√3，−√2）C．（√3，−√2）D．（√3，√2）【练习2.10】在平面直角坐标系中，已知点P（a2+2，5），则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称点的坐标是（）A．（﹣a2+6，5）B．（﹣a2﹣6，5）C．（a2﹣6，5）D．（﹣a2+4，5）【练习2.11】点（6，3）关于直线x＝2的对称点为（）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，﹣3）【练习2.12】如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．(−2016，√3+1)B．(−2016，√3−1)C．(−2017，√3+1)D．(−2017，−√3−1)【练习2.13】平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，a）关于直线y＝4对称，a＝．【练习2.14】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．【练习2.15】已知△ABC关于直线y＝1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为．【练习2.16】如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．题型三：轴对称—最短路线问题【练习3.1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【练习3.2】如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC 上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【练习3.3】如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.4】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP +EP 最小值的是（ ）A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【练习3.5】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．5【练习3.6】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A．√29B．√34C．5√2D．√41【练习3.7】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°【练习3.8】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【练习3.9】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2√3B．2√6C．3D．√6【练习3.10】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.11】如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，√3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）A ．√132B ．√312C ．3+√192D ．2√7【练习3.12】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．10【练习3.13】如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【练习3.14】如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4√2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．【练习3.15】如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【练习3.16】如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．【练习3.17】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6√2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【练习3.18】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．【练习3.19】如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．【练习3.20】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．【练习3.21】如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【练习3.22】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．【练习3.23】在锐角三角形ABC中，BC=4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．【练习3.24】已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝．【练习3.25】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=1 3S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．【练习3.26】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．【练习3.27】（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．【练习3.28】已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．【练习3.29】如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD=132，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．【练习3.30】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.31】如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.32】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则P A+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．【练习3.33】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．【练习3.34】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为；（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）【练习3.35】请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P 即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，AC＝1，PD＝2，直接写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求√(m−3)2+1+√(9−m)2+4的最小值．【练习3.36】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．题型四：翻折变换（折叠问题）【练习4.1】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若AB ＝6，BC ＝4√6，则FD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．√6D ．2√3【练习4.2】如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC '，DC ′与AB 交于点E ，连结AC '，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC ′的距离为（ ）A ．3√32B ．3√217C ．√7D ．√13【练习4.3】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75 【练习4.4】如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为（ ）A．2B．√3C．√2D．1【练习4.5】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=725．在以上4个结论中，正确的有（）A．1B．2C．3D．4【练习4.6】如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°【练习4.7】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④【练习4.8】如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．5【练习4.9】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习4.10】如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．【练习4.11】如图矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 ．【练习4.12】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是．【练习4.13】折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．【练习4.14】如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．【练习4.15】如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为．【练习4.16】如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．【练习4.17】阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B ＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【练习4.18】如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【练习4.19】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM 的长．题型五：图形的剪拼【练习5.1】如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以【练习5.2】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A．24B．25C．26D．27【练习5.3】如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2a，则纸片的剩余部分的面积为（）A．5a B．4a C．3a D．2a【练习5.4】如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，P A＝1，PD＝2，PC＝3，现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），则∠APD 的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．108°【练习5.5】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A．√7B．2√2C．3D．√10【练习5.6】如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3．则EB的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．2【练习 5.7】用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．则一定可以拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤【练习5.8】用两个全等的直角三角形拼下面的图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形．可以拼成的图形是（）A．（1）（4）（5）B．（2）（5）（6）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（5）【练习5.9】如图1，将矩形ABCD和正方形EFGH的分别沿对角线AC和EG剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFGH 与正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为（）A．15B．16C．17D．25【练习5.10】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的四边形ALMN，若中间空白部分四边形恰好是正方形OPQR，且四边形ALMN的面积为72，则正方形的面积是（）A．34B．35C．36D．37【练习5.11】如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为．【练习5.12】如图1，分别沿矩形纸片ABCD和正方形EFGH纸片的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形KLMN，若中间空白部分恰好是正方形OPQR，且平行四边形KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为．【练习5.13】有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是．【练习5.14】如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A．B 两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D．“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为．【练习5.15】如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是．【练习5.16】如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是．【练习5.17】有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：方式1：如图1；方式2：如图2；若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是．有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为．【练习5.18】如图，把一个半径为r厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成新的图形的周长比原来圆的周长多10厘米，则该圆的半径为厘米．【练习5.19】列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．【练习5.20】在△ABC中，沿着中位线DE剪切后，用得到的△ADE和四边形DBCE可以拼成平行四边形DBCF，剪切线与拼图如图1所示．仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示．（画图工具不限，剪切线用实线表示，拼接线用虚线表示，要求写出简要的说明）（1）将平行四边形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个矩形，剪切线与拼图画在图2的位置；（2）将梯形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个平行四边形，剪切线与拼图画在图3的位置．【练习 5.21】著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具，他把下图①中的正方形，分割成两个全等的直角三角形和直角梯形．然后拼成图②中的长方形．通过计算这两个图形的面积，证明了64＝65．请你用学过的数学知识，找到刘谦的破绽．。
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轴对称。
(教材第5、第6页)
1.结合欣赏民间艺术的剪纸图案,以及服饰、工艺品与建筑等图案,感知现实世界中普遍存在的对称现象。
2.通过折纸、剪纸、画图、图形分类等操作活动,体会对称图形的特征,能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。
3.培养学生的动手操作能力。
重点:感知现实世界中普遍存在的对称现象,掌握轴对称图形的特征。
难点:掌握轴对称图形的特征,能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。
课件、长方形纸、正方形纸、平行四边形纸。
师:同学们,你们看看这些图片画的是什么?(课件出示天安门、蜻蜓、蝴蝶、树叶图片)生:天安门、蜻蜓、蝴蝶、树叶。
师:你们看这些图形漂亮吗?你发现这些图形有什么特点呢?
生:这些图形如果沿着中间的一条线对折,两边的部分能够完全重合。
师:什么叫“完全重合”呢?
生:就是一模一样的两部分能够纹丝合缝地对折在一起。
师:像这样的图形我们就说是轴对称图形,在生活中有很多这样的图形,今天我们来研究这些图形。
【设计意图:引导学生观察具有轴对称特点的图片,吸引学生注意力,激发学生的探究兴趣,为新课教学营造良好的氛围】
1.教学例4。
师:请同学们从课本第113页剪下长方形、正方形和平行四边形,折一折,哪些是轴对称图形?
学生动手操作;教师巡视了解情况。
师:把你的发现跟大家说一说吧。
生1:长方形是轴对称图形。
生2:正方形是轴对称图形。
生3:平行四边形不是轴对称图形。
师:把长方形纸对折,使折痕两边完全重合,有几种不同的折法?试一试。
学生尝试动手操作并交流;教师巡视了解情况。
组织学生展示交流不同的折法,明确有两种不同的折法。
师:像这样对折,折痕所在的直线叫作轴对称图形的对称轴。
长方形有两种不同的对折方法,可见长方形有两条对称轴。
正方形有几条对称轴?你能折一折、画一画吗?
学生尝试折一折,画一画;教师巡视了解情况。
组织学生交流汇报并小结:正方形有4条对称轴。
明确:画对称轴要用虚线。
2.教学例5。
师:你能把下面的图形补全,使它成为一个轴对称图形吗?说说你是怎样想的。
(课件出示:教材第6页例5题)
学生可能会说:
·在对称轴右边依次画出与左边对称的另一半。
·先数格子,找出对应的顶点,再连接这些点,画出图形的另一半。
【设计意图:结合具体实例,引导学生动手操作,充分感知轴对称图形的特点。
在此基础上引导学生学习在方格纸上画轴对称图形,加深学生对轴对称图形的认识】
师:今天你有什么收获呢?
学生自由交流各自的收获或体会。
【设计意图:梳理所学知识,将所学知识系统化】
轴对称
像这样对折,折痕所在的直线叫作轴对称图形的对称轴。
长方形有2条对称轴。
正方形有4条对称轴。
平行四边形不是轴对称图形。
1.本课从学生感兴趣的具体的物体中,让学生自己发现问题、提出问题,体验探索成功的快乐;通过动手操作、小组讨论来解决自己提出的问题;通过有层次的练习,提高学生解决问题的能力,巩固所学知识。
本堂课我借助多媒体技术从学生熟悉的生活入手,以折纸活动入手,让同学们能直观地感受和认识轴对称图形的特点。
同时让学生体会关于数学的美。
2.教学时首先为学生展示彩色图片,为学生创设优美的学习情境,根据学生好动、好奇、好问的心理特征,设置悬念,激发学生的求知欲望,让每个学生都能进行积极的思考。
在引入课题的基础上,讲授新知识,让每个同学都动手操作,通过实验、观察,引导学生发现轴对称图形定义中的两点:一,它是一个能沿某一直线折叠的图形。
二,直线两旁的部分互相重合,并把这两个特征作为判断轴对称图形的标准。
在强化学生对轴对称图形定义理解的基础上,引导学生复习轴对称定义中的两点:①有两个图形,能够完全重合即形状大小都相同;②对重合的方
式有限制,也就是它们的位置关系必须满足一个条件:把它们沿某一直线对折后,能够完全重合。
最后通过小结,使知识成为“体系”,帮助学生全面地理解,掌握所学知识。
A类
请你认一认下面的图形哪些不是轴对称图形,把不是轴对称图形的圈出来。
(考查知识点:轴对称;能力要求:正确识别轴对称图形)
B类
下面的图形是轴对称图形吗?请你说一说自己的想法。
如果是轴对称图形,请画出对称轴。
(考查知识点:轴对称;能力要求:正确辨别轴对称图形并能画出轴对称图形的对称轴)
课堂作业新设计
A类:
不是轴对称图形:②③④
B类:
(不是轴对称图形)
教材习题
教材第6页“练一练”
1.
2.
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