角的轴对称性(一)重点

2.4线段、角的轴对称性(1)

lO PB AB A 2.4线段、角的轴对称性 (1)班级姓名学号【学习目标】1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体会轴对称性的特征，发展空间观念。

2．探索证明线段的垂直平分线的性质。

3．运用线段的垂直平分线的性质解决相关问题。

【重点难点】重点：线段的轴对称性。

难点：线段的垂直平分线的性质及其应用。

【自主学习】读一读：课本P 51-P 52想一想:1．折纸使线段AB 两端点重合,并画出对称轴.2．对称轴上取一点P ，连接PA 、PB ，再沿对称轴对折，观察PA 、PB 有何数量关系？3．你能说明此结论的正确性吗？练一练：利用网络画图中线段的垂直平分线【新知归纳】线段垂直平分线的性质：即：如图，∵直线l 是线段AB 的垂直平分线, 点P 在直线l 上∴ .【活动探究】例1.如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm, 求△BCE的周长。

例2.如图，点A、B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，A B'交m于点P．⑴A B'与AP+PB相等吗？为什么？⑵在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由．河流外婆家小孩家【课堂检测】1．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果∠ECD=55°，那么下列说法错误的是（）A ．EC=EDB ．EF ⊥CDC ．∠D=55°D ．EC=CD3．如图，有一条河，河岸的同一侧住着一个小孩和他的外婆。

小孩每天上学前要到河边提一桶水送给外婆。

问题（1）若他想到河边某一点去取水，使得所走的两段路程相等。

请你画出取水点P 的位置。

问题（2）若他想到河边某一点去取水，使得所走的路程最短。

请你画出取水点Q 的位置。

【课后巩固】1．如图1：AB是线段CD的垂直平分线，则图中全等三角形对数有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对2．如图2，在△ABC中，∠ABC=∠C,∠A=50°，DE是AB的垂直平分线，E为垂足，交AC于点D，则∠ABD= °，∠DBC= °.3．如图3，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，交BC于E，交AC于D．若△ABD周长为10，AC=7，则AB长是 .图1图2 图34．已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线m、n相交于点O。

八年级数学角的轴对称性知识点梳理及练习

角的轴对称性学习目标：1. 通过动手试验掌握角平分线的性质与判定；2. 理解角平分线与对称轴的关系；3. 掌握角平分线的性质及判定。

学习重点：角平分线的性质与判定的理解。

学习难点：运用角平分线性质及判定解决问题。

1.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB2. 角平分线的画法角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.例题：已知：如图，AB ∥CD ，∠BAC 和∠ACD 的平分线交于点P ，试说明：点P 到AB 、CD 的距离相等.PDC BA【变式】已知：如图，BP 、CP 分别是△ABC 的外角平分线，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．求证：PA 平分∠MAN ．考点训练1. （2020·无锡市期中）如图，直线123l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处2.（2020春•凌海市期末）在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，则点P 、Q 、M 、N 中在AOB ∠的平分线上是( )A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点3. （2020•南山区模拟）如图，ABC ∆中，5AB =，4AC =，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于D 和E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于二分之一DE 为半径作弧，两弧交于点F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，GH AC ⊥于H ，2GH =，则ABG ∆的面积为( )A ．4B ．5C ．9D ．104. （2020春•竞秀区期末）如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若两平行线AD 与BC 间的距离为4，则(PE = )A ．4B ．2C ．8D ．6【变式】（2020春•锦州期末）如图，//AB CD ，BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若8AD =，则PE 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．45. （2020•开福区模拟）如图，点O 在ABC ∆内，且到三边的距离相等．若40A ∠=︒，则BOC ∠等于( )A ．110︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒6. （2019·南京市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确7. （2020春•南岗区校级期中）如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC ∆的面积为221cm ，8AB cm =，6AC cm =，则DE 的长为 cm ．8 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，AC ＝15cm ，且CD ∶AD ＝2∶3，则点D 到AB 的距离为．CD BA9. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝．10. （2020春•沙坪坝区期末）如图，OP 平分AOB ∠，PM OA ⊥于M ，点D 在OB 上，DH OP ⊥于H ．若4OD =，7OP =，3PM =，则DH 的长为．11. 如图所示，A 、B 是两个工厂，m 、n 是两条公路，现要在这一地区建一加油站，要求这个加油站到A 、B 两个工厂的路程相等、到两条公路m 、n 的距离也相等，是否存在同时满足这两个要求的地点？怎样找出这个地点？m n B A12. （2020春•岳阳期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，且E 为AB 的中点．（1）求B ∠的度数．（2）若5DE =，求BC 的长．13. 如图所示，OC 平分∠AOB，P 是OC 上一点，D 是OA 是上一点，E 是OB 上一点，且PD ＝PE ，试说明：∠PDO＋∠PEO＝180°.PO E D CB A思维拓展如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.5如图,△ABC 中,∠B =90∘，两直角边AB =7，BC =24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，PE ⊥AB 、PF ⊥BC 、PD ⊥AC ，垂足分别为E. F. D ，求PD 的长。

1.4线段、角的轴对称性(1)教案

教案1．4线段、角的轴对称性(1)【学习目标】：1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.【重点难点】：线段中垂线的性质和判定【预习指导】：自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要问题1：线段是轴对称图形吗？为什么问题2线段的对称轴是什么？问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。

分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?课堂活动活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例题：P18 例1这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿【典题选讲】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.求DC的长【学习体会】：【课堂练习】：1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.C BA（编写者：李晓红）· BO A。

第7讲线段与角的轴对称性

142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°．故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在线段的垂直平分线上．要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC，再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，

线段、角的轴对称性(1)

文新学堂数学学科导学案（第次课）教师：陈晶学生：年级：八年级上课时间：年月日段星期：课题线段、角的轴对称性教学目标重点、难点[要点综述]：?新知导入：1、回答：（1）线段是轴对称图形吗？为什么？（2）线段的对称轴是什么？2、请按要求画图并回答问题结论：1、__________________________________________；2、__________________________________________。

思考：不在垂直平分线上的点到两端点的距离相等吗？例1：如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离相等？变式训练：1、如下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD.2、利用网格线画线段PQ的垂直平分线：3、有特大城市A及两个小城市B、C，这三4、已知A、B两点,在l点上找一点p,使得AP+BP最短。

个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到A、B、C三城市的距离相等，试确定污水处理厂的位置。

例2：如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长是多少厘米？变式训练：1、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点2、如图,△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°, ∠BAD=60°，则△ABC是__________三角形.3、如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=3：1，则∠B＝_______.4、如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm, ∠A=49o，求△BCE的周长和∠EBC的度数.5、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点E，边AC的垂直平分线交BC于点D，若BC＝8，求△ADE的周长．例3：已知，如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O。

轴对称的性质及线段、角的对称性(1)

轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1：2;【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．知识点3、线段的垂直平分线(重点)1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。

2.线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②．3.轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。

知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点)用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：1．分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C、D．2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点)角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。

1.4线段角的轴对称性

实际问题2
A
市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。
B
C
实际问题2
实际问题
求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点距离相等.
数学化
A
B
p
C
PA=PB=PC 结论：三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
情境引入
C
B
弓箭图形是轴对称图形吗？
A
A1
B1
C1
图形中的对称轴和对称点的连线段是怎样的位置关系？
B
P
C
A
开弓时图形仍然是轴对称图形吗？
请猜想点P到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
相等．
实验设计
如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P 在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？
用线段垂直平分线的性质证两线段相等用线段垂直平分线的判定证两直线垂直
•三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
DE
C
反馈练习
3.在Rt△ABC中, ∠C=900, ∠B=28°， DE是AB的中垂线,垂足为D,BE=5,则
AE= 5 ，∠AEC= _56_°_ ．
A
D
C
E
B
反馈练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC
内一点，且OB=OC.试说明：OA⊥BC.
A
O
B

C
反馈练习
5、如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB ， AC ， CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ A

2.4线段、角的轴对称性(1)说课稿-苏科版八年级数学上册

2.4 线段、角的轴对称性（1）说课稿-苏科版八年级数学上册一、教材分析本节课是苏科版八年级数学上册中的第2.4节，主要介绍线段和角的轴对称性。

通过本节课的学习，学生将掌握线段和角的轴对称定义、判断和绘制轴对称图形的方法。

在前面的学习中，学生已经学习了线段和角的基本概念和性质，理解了线段和角的度量和运算方法。

通过本节课的学习，可以进一步加深对线段和角的理解，并通过绘制轴对称图形的练习，提高学生的问题解决能力和几何思维能力。

二、教学目标知识与技能目标：1.理解线段的轴对称定义及其性质；2.理解角的轴对称定义及其性质；3.掌握判断线段和角是否具有轴对称的方法；4.能够根据已知条件绘制具有轴对称性的图形。

过程与方法目标：1.注重观察和思考，培养学生的几何思维和推理能力；2.引导学生通过实例分析和讨论，理解轴对称性的概念和特点；3.鼓励学生进行合作学习和探究，培养团队合作意识和解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：1.培养学生的观察力和细致心思，培养学生对几何学习的兴趣和热情；2.培养学生的合作精神和团队意识，鼓励学生互帮互助，共同进步。

三、教学重点与难点教学重点：1.线段的轴对称性及其判断方法；2.角的轴对称性及其判断方法；3.绘制具有轴对称性的图形。

教学难点：1.引导学生理解轴对称的概念和特点；2.培养学生观察和分析问题的能力。

四、教学过程与方法引入新知：1.利用实例引入轴对称的概念，例如一把剪刀、一个图形等，让学生观察并发现其中的特点；2.引导学生分析并总结轴对称的特点，例如镜面对称；3.引入线段和角的轴对称性的概念，让学生讨论并理解。

讲解与练习：1.通过示例和图形，讲解线段的轴对称性，并引导学生掌握判断线段是否具有轴对称性的方法；2.通过示例和图形，讲解角的轴对称性，并引导学生掌握判断角是否具有轴对称性的方法；3.组织学生进行练习，巩固判断线段和角是否具有轴对称性的能力。

拓展与应用：1.引导学生思考如何绘制具有轴对称性的图形；2.组织学生进行绘制图形的练习，培养他们的几何思维和创造力；3.引导学生分析和讨论绘制图形的方法和策略。

1.4线段、角的轴对称性(1)

3线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？
江苏省苏州市木渎实验中学
三、例题示范：例如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平
分线分别交AB、BC于点E、D．BE＝6，求 △BCE的周长．
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四、课后作业
1. 到一条线段两端距离相等的点有个.
2. 画图，填空：
如图，在△ ABC中，画出AB、AC的垂直平分线，它们相∵ 点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ _________＝__________(_____________)． A
同理_________＝__________，
∴ _________＝__________，
初中数学八年级上册（苏科版）
1.4 线段、角的轴对称性（1）
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一、情境创设：如图，A,B,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，你能办到
吗？ A. . B
A
P
O
B
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6、如图，DE是BC的垂直平分线，如果△ACD 的周长为17 cm，△ABC的周长为25 cm，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?
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7、如图，在直线MN上求作一点P，使PA=PB
8、已知：如图，AB=AC=12 cm， AB的垂直平分线分别交AC、AB 于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.
.C
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二、探索思考 1请你准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线段AB，折纸，使两端点重合，你发现了什么？

1.4线段、角的轴对称性(1)

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二、探索思考
1请你准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线段AB，折纸，使两端点重合，你发现了什么？ 2如图，直线l⊥AB，垂足为C， CA=CB，点M在l上，那么 . 你还能得出一个更一般的结论吗？
l
பைடு நூலகம்
结论：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
图 10.2.1
3线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？江苏省苏州市木渎实验中学
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C
3.如图,△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=150, ∠BAD=600，则△ABC是__________三角形.
A E B D C
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4. 如图，△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD，∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.
初中数学八年级上册（苏科版
1.4 线段、角的轴对称性（1）
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一、情境创设：如图，A,B,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，你能办到吗？ A B
.
.
.C
江苏省苏州市木渎实验中学
江苏省苏州市木渎实验中学
7、如图，在直线MN上求作一点P，使PA=PB
8、已知：如图，AB=AC=12 cm， AB的垂直平分线分别交AC、AB 于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.
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9、已知：在△ABC中，AB＜AC， BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E， AC＝8 cm，△ABE的周长是14 cm，求AB 的长．

1.4线段、角的轴对称性(1)

在这条线段的垂直平分பைடு நூலகம்上。在这条线段的垂直平分线上。
l Q● ● P
A
B
我们大家动动脑筋：我们大家动动脑筋：
怎样用圆规和直尺作一条线段的垂直平分线？垂直平分线？
试一试: 已知:如图如图,在试一试已知如图在∆ABC中, 中
的垂直平分线交于P. 边AB，BC的垂直平分线交于，的垂直平分线交于试说明PA=PB=PC吗? 试说明吗
A
B
C
实际问题
1、求作一点P，使它和、求作一点，已知△ 已知△ABC的三个顶点的三个顶点距离相等. 距离相等
数学化
实
A
际问题 1
B
p
C
PA=PB=PC
A
实际问题2 实际问题
国道L 沪段）在312国道（昆—沪段）的同国道有两个工厂A、，侧，有两个工厂、B，为了便于两厂的工人看病，两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？应选在何处？
A
C
问题1：线段是轴对称图形吗？问题：线段是轴对称图形吗？为什么？为什么？
探索活动：探索活动：
1请你准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线请你准备一张薄纸，准备一张薄纸 AB，折纸，使两端点重合. 段AB，折纸，使两端点重合.
探究1 按要求对折线段后，探究1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？与线段有什么关系？
初中数学八年级上册
(苏科版) 苏科版)
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1.4线段的对称性(1) 1.4线段的对称性(1) 线段的对称性

5.3.3角的轴对称性(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角的轴对称性在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-角的轴对称性质的应用：解决实际问题和几何作图问题，如求角的度数、证明线段相等或垂直等。教师需通过典型例题，使学生掌握如何运用这一性质。
举例：
在讲解角的轴对称性质时，教师可选用具体角度（如45°、60°等）进行演示，让学生观察和思考角的对称轴与角平分线的关系。
2.教学难点
-理解角的轴对称性质：学生对角的轴对称性质的理解可能不够深入，难以将其与实际问题和几何作图相结合。
-难点2：针对学生应用角的轴对称性质解决问题的困难，教师可采取以下措施：
a.分析典型例题，展示如何将角的轴对称性质应用于解题过程。
b.让学生进行小组讨论，互相交流解题思路和方法。
c.设计具有梯度的问题，引导学生逐步掌握角的轴对称性质的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“5.3.3角的轴对称性”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体或图形关于某条线对折后两边完全重合的情况？”（如折叠纸飞机）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角的轴对称性的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了角的轴对称性这一章节。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。

三角形的判定定理及轴对称知识点

三角形判断及轴对称知识点一．轴对称图形1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.定义：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形“成轴对称”，这条直线叫做这两个图形的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．“成轴对称”的定义包含两层含义：(1)有两个图形，且形状、大小完全相同．(2)两个图形的位置必须满足沿一条直线对折后能完全重合3.成轴对称的性质:(1)成轴对称的两个图形全等(即对应角相等,对应边相等);(2)成轴对称的两个图形中,对应点连线被对称轴垂直平分;(3)成轴对称的两个图形,对称点所连的线段平行(或在同一条直线上)二．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等。

（简写成“等边对等角”）(2)等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）(3)等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴二.等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）三．等边三角形等边三角形的定义：有三边都相等的三角形是等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形。

四.等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角都相等，且为60度;(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线五.等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形六．线段垂直平分线：（1）定理：在平面内,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（2）逆定理：在平面内,到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上.七．角平分线（1）定理：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。

2.4 线段、角的轴对称性(1) 2

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数学教学设计
教作材：义务教育教科书·数学（八年级上册）者：王正东（盐城市射阳县长荡初级中学） 2.4 线段、角的轴对称性（1）
1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题； 2．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想；
根据 “线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” ，因为点 Q 在 AB 的垂直平分线上，所以 QA＝QB．
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于是 PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．因为三角形的两边之和大于第三边，所以 PQ＋QB＞PB，即 PA＞PB．练习：课本 P52 练习 1、2．
Q l P
解．另外对于文字题
利用题中的已知条件和要说明的结论画出图
师通过逐层提问、分
法，引导学生画出图
图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图，外任取一点 P，连接 PA、PB，设 PA 交 l 于点 Q，连接 QB．
A
语言表示出命题，巩
B
并给出结论和证明．
的思考方法与表达形
评，用幻灯片给出解答过程：
本题是线段的垂
：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的
质的应用，主要是让
？
完成证明：线段垂直平分线上的点到线段较线段垂直平分线上两端的距离相等．
生展开讨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
的点与线段的两个端
读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样
解：线段的垂直平分线外的点，到这条线关系，进一步加深对段两端的距离不会相等．如图，在线段 AB 的垂直平分线 l
点

角的轴对称性

简单的轴对称图形：角的轴对称性教学目标知识技能1.经历探索角的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征.2.探索并了解角的轴对称性及相关性质.3.会用尺规作角的平分线.过程与方法1.通过独立思考,小组合作探究,主动展示,经历角的平分线性质的形成与初步应用过程,从而增强应用数学知识的意识与解决实际问题的能力.2.通过观察、折叠等活动,发展空间观念,培养有条理的思考和规范的数学语言.情感态度与价值观1.通过活动体验学数学的快乐,增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验,并在合作学习中获得成功的体验,增强自信心,提高学习数学的兴趣,培养学生的合作、探究精神.2.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.教学重难点【重点】掌握角平分线的性质,会用尺规作已知角的平分线.【难点】角平分线的性质的应用.教学准备【教师准备】课件、基本作图工具.【学生准备】笔记本、基本作图工具、角的纸片等.教学过程一、新课导入:[导语]前面我们学习了基本图形“线段”是轴对称图形,那么,我们之前学过的另一个基本图形“角”是不是轴对称图形?如果是,对称轴是怎样的直线?【活动内容】不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?对折,再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?[处理方式]学生实验:通过折纸的方法作角的平分线;教师与学生一起动手操作,展示学生作品.通过折纸及作图过程,由学生自己去发现结论.教师要有足够的耐心,要为学生的思考留有时间和空间.通过探究,学习新知:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.[设计意图]体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫.通过探究角的对称性,让学生亲自动手折叠一个角,能够调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,为整节课的学习奠定基础.二、知识探索：探究活动1角平分线的性质【活动内容】请同学们按要求继续前面的折纸活动,并与同伴交流.折纸要求:1.在折痕(即∠AOB的角平分线)上任意找一点C;2.过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,点D是折痕与OA边的交点,即垂足;3.过点C折OB边的垂线,得到新的折痕CE,点E是折痕与OB边的交点,即垂足;4.将∠AOB再次对折.【问题】在上述的操作过程中,折痕CD与CE能重合吗?改变点C的位置,CD与CE还相等吗?你能解释其中的道理吗?小组交流展示成果.已知:如图∠AOC=∠BOC,CD⊥OA,垂足为D,CE⊥OB,垂足为E,CD与CE相等吗?试说明理由.解:因为CD⊥OA,CE⊥OB（已知）所以∠CDO=∠CEO=90°（垂直的定义）在△CDO和△CEO中,∠CDO=∠CEO（已证）因为∠COD=∠COE（已知）OC=OC（公共边）所以△CDO≌△CEO （AAS）故：CD=CE. （全等三角形的对应边相等）(教师板书)结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言:因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.[处理方式]学生动手折叠,教师在多媒体上演示折叠过程.学生分组讨论、交流,并用文字语言阐述得到的性质.[设计意图]本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,经历实践→猜想→证明→归纳的过程,符合学生的认知规律,尤其是对于结论的验证.【即时训练一】判断下列说法是否正确.如图所示.1.因为OC平分∠BOA,所以CD=CE.()2.因为CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()3.因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()【即时训练二】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=5 cm.求:点D到AB的距离.教师引导学生学会分析问题,具体就是:已知条件和要求的线段或角,需要在图形中确定下来,没有的就需要添加辅助线,以便选择需要应用的性质解答.生:本题需要作出表示点D到AB的距离线段,然后利用角平分线的性质解答.解:过点D作DE⊥AB,垂足为E,因为AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,所以DE=DC=5 cm,即点D到AB的距离是5 cm.[设计意图]注重符号语言转化性质的条件和结论,是为了让学生更好地理解和应用解答问题,尤其是对图形的分析,是学生学习的弱项,加强对图形的标注和构造,为今后图形性质的学习打下坚实的基础.注意事项:角平分线性质中的距离,对应的必须是垂线段,不能认为是任意线段.探究活动2尺规作角的平分线对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线,对不能折叠的角怎样得到其角平分线呢?下面我们探究用尺规作角的平分线.已知:∠AOB.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:(1)在∠AOB的两边OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.(2)分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC.则OC是∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗?想一想:在作图的过程中有哪些相等的线段?学生交流后得到:OD=OE,CD=CE.△COD和△COE全等吗?全等的依据是什么?[处理方式]教师口述作法步骤,学生根据教师的口述完成作图过程.不要求学生写作法,教师可以引导学生分析在作图的过程中哪些线段相等,学生可以通过交流讨论明确这样作的道理.[设计意图]明确几何作图的基本思路和方法.在自己操作的过程中培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.探究活动3角平分线性质的应用一条公路与一条铁路所成角的平分线上有一点P,要从点P建两条路,一条到公路上,一条到铁路上,怎样修建距离最短?这两条路有什么关系?理由是什么?设公路与铁路交于点O,公路为OA,铁路为OB,过点P分别作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,则PM是到公路上的路,PN是到铁路上的路(垂线段最短).因为点P在公路与铁路所成角的平分线上,所以PM=PN.[设计意图]让学生进一步理解角的平分线的性质,并在此基础上学会利用角的平分线的性质解决简单的问题.[知识拓展]“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这句话逆过来说“到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是否也正确呢？三、课堂小结：1.角的轴对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.尺规作角平分线.四、随堂检测：1.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案:B2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案:D3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB 于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为()A.4 cmB.6 cmC.10 cmD.不能确定答案:B4.如图所示,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是()A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT答案:D五、板书设计：角的轴对称性探究活动1角平分线的性质探究活动2尺规作角的平分线探究活动3角平分线性质的应用六、作业布置：【必做题】教材第127页习题5.5知识技能第1题.【选做题】教材第127页习题5.5数学理解第2,3题.教学反思1、成功之处：通过折纸操作,从而得到启发,在教师的引导下,让学生悟出角平分线的性质和用尺规作角的平分线,培养学生实践操作能力;学生在经历观察、类比、归纳等过程的基础上,再让学生实践用尺规作角的平分线的过程,进一步提升了学生的感性和理性的融合.在本课时中,营造了一个和谐的课堂学习氛围.2、不足之处：过多的关注学生的实践和操作,忽略了实践和操作的可行性，导致延误了很多时间，致使课堂教学未能按计划完成！另外，在整堂课时间的安排与掌控中，没有合理有效的合理安排，使得课堂结尾仓促！。

轴对称的性质及线段、角的对称性

轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1：2;【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．知识点3、线段的垂直平分线(重点)1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。

2.线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②．3.轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。

知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点)用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：1．分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C、D．2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点)角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。

2.4线段、角的轴对称性(1)(2)

_________________________________．的周，厘米，的垂直平分线．．如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，，边BC的垂直平分线分别交AB、AC于点2.4线段、角的轴对称性（2）课型：新授课主备人：董兰审核人：凌林授课时间：2014.9二次备课【学习目标】1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．【学习重点】利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．【学习难点】灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．【预习作业】1．线段的垂直平分线上的点_____________________________________．2．到线段两端距离相等的点，在_________________________________．3．如图．∵QA＝QB．∴____________________________．4．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点5．如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F∵点P是AB边垂直平线上的一点∴_____ =_________ （）．同理，PB=______．∴______ = ______（等量代换）．∴点P在AC的垂直平分线上．（到线段两端距离相等的点,在这条线段的______________________）∴AB，BC，AC的垂直平分相交于同一点．6．有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处）你能根据图形用符号语言表示你发现的结论吗？在线段的垂直平分线上的点都具有同一个性质而毫无例外；反之，具有这一性质的点都在这条线段的垂直平分线上而无一遗漏。