最新三角形的中位线练习题(含答案)
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。
在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。
2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。
2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。
解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。
2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。
2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。
解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。
利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。
2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。
2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。
解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。
通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。
3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。
三角形的中位线定理练习题
三角形的中位线定理练习题一、填空选择题:1．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm2、三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为_________3.三角形的三边长分别为12cm、16cm、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为____ 和___.4.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ,则原三角形的周长为_______. 5．三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是6．已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（C ）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定7、在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=1cm，那么对角线BD=____cm．8、在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是____度．18°9．梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为( B )A.12cmB.5cmC.10cmD.20cm10．如果梯形的一底为6，中位线为8，则另一底为( C ) A.4 B.7 C.10 D.14 11．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为4，则这个等腰梯形的周长为. 18 12．在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是( ) 13．梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是cm. 12 cm14.梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于（B ）A．4 B．6 C．8 D．1015．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是. 216．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果S△GEF＝cm2，那么梯形的面积是cm2.217．如图，EF 是△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC 交EF 于D ，若DE ＝2，则EB ＝_____．2二、证明题：1．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．3．如图，已知四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且点E 、F 、G 、H 有在同一条直线上．求证：EF 和GH 互相平分．4．如图，同底边BC 的△ABC 与△DBC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、DB 、DC 的中点，求证：EH 与FG 互相平分。
完整版三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1 •连结三角形2 •三角形的中位线于第三边，并且等于3 •一个三角形的中位线有__________ 条.4. 如图△ ABC中，D E分别是ABAC的中点，则线段CD>^ ABC的_______ ,线段。
丘是厶ABC ___________5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点（1）如果EF= 4cm,那么BC= cm 如果AB= 10cm,那么DF= __________________________ cm（2） ________________________________ 中线AD与中位线EF的关系是____________________________6 .如图1所示，EF是厶ABC的中位线，若BC=8cm贝UEF=_________________________________________________cm7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 __________________ cm.8.在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为 ____________ .9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10. 如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（）A . 15mB . 25mC . 30mD . 20m11. 已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形，？再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( )A 1 1 1 1A、 B C D、2008 2009 20082 2009212.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC BC上的点，E,F分别是AP, RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定13.如图4,在厶ABC中, E, D, F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（）A . 10B . 20C . 30D . 40A__________ D的线段叫做三角形的中位线.14. 如图所示，口ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC.15. 已知矩形ABCD中，AB=4cm, AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；16 .如图所示，在△ ABC中，点D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求证:EF=1BD.217.如图所示，已知在口ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.18.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、arc CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.19.如图，点E, F, G, H分别是CD, BC, AB , DA的中点。
中位线练习题
中位线练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，若AB=5，AC=7，BC=6，则DE的长度是多少？A. 3B. 4C. 5D. 62. 若三角形的一条中位线长为4，且这条中位线平行于三角形的一边，那么这条边的长度是多少？A. 2B. 4C. 8D. 不能确定3. 在三角形中，中位线的性质是什么？A. 与对边平行且等于对边的一半B. 与对边垂直且等于对边的一半C. 与对边平行且等于对边的两倍D. 与对边垂直且等于对边的两倍二、填空题4. 若三角形的一边长为10，其对应的中位线长为5，则该三角形的面积是______。
5. 在三角形ABC中，已知BD是AC的中位线，若AB=6，BC=8，BD的长度为4，那么AC的长度是______。
三、简答题6. 描述三角形中位线的性质，并给出证明。
7. 若三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，如何证明DE是三角形ABC的中位线？四、计算题8. 在三角形ABC中，已知AB=8，AC=6，BC=10，求三角形ABC的中位线长度。
9. 若三角形ABC的一边长为12，其对应的中位线长为6，求三角形ABC的面积。
五、证明题10. 在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，证明DE是三角形ABC的中位线。
11. 若三角形ABC的中位线DE与边BC平行，证明DE等于BC的一半。
六、综合题12. 在三角形ABC中，已知AD是BC的中位线，且AD=5，AB=7，AC=8，求BC的长度。
13. 在三角形ABC中，已知BD是AC的中位线，且BD=4，AB=6，求AC的长度。
七、拓展题14. 若三角形ABC的中位线DE与边BC平行，且DE=4，求三角形ABC的周长。
15. 在三角形ABC中，已知AD是BC的中位线，且AD=3，AB=5，求AC 的长度。
答案提示：- 选择题：1. B 2. C 3. A- 填空题：4. 24 5. 8- 简答题：6. 三角形的中位线平行于对边，并且等于对边的一半。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。
三角形的中位线基础题30道解答题
9.5 三角形的中位线基础题汇编（3）BCBC=3DE=6中点重合）EF=EF=CE=，求BCD=EM=（9.5 三角形的中位线基础题汇编（3）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．四边形EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论．2．请写出“如图，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由？BC3．在四边形ABCD中，BD、AC相交于点O，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，分别交AC、BD 于点M、N．判断△MON的形状，并说明理由．EG=4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E、F、G分别是BC、AC、AB的中点，若AB=BC=3DE=6，求四边形DEFG的周长．BC=3DE=6BC=3DE=6EF=×BC=×，AB=×=GF+DG+DE+EF=+3+2+3=．5．如图，在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：ME=MF．MF=ME=GBME=6．△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，直线BE交AC于F，求证：AC=3AF．7．如图，已知△XYZ中，MY=NZ，A、B分别是YN、MZ的中点，延长AB、BA分别交XZ、XY于点D、C，求证：XC=XD．BE=NZ BE=MY8．如图，AB为⊙O的一条弦，CD为直径（C不与A、B及中点重合），作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，问CE﹣DF的值是否变化？为什么？9．△ABC中，D为CB的延长线上一点，BE是∠ABD的角平分线，AE⊥BE，F是AC的中点，试说明：EF∥BC，且EF=（AB+BC）．EF=10．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别交CD的延长线于点M、N，∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．GE=GF=CDAB GF=CD11．已知，如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线，求证：CE=2CD．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AC=AD，DE⊥CD交BC于点E，AF平分∠BAC交BC于F点．（1）求证：AF∥DE；（2）当AC=6，AB=10时，求BE的长．==，，BE=13．在四边形ABCD中，AB∥CD，E、F是AD、BC中点．求证：EF=（AB+CD），EF∥CD．EF=DM=14．如图，已知△ABC中，点D是BA上一点，BD=AC，E，F分别是BC，DA的中点，EF和CA的延长线相交于点G．求证：AG=AF．15．如图，AD是△ABC的中线，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求证：EG与DF互相平分．ACED=16．已知：如图，点B是AD的中点，点E是AB的中点，AB=AC 求证：CE=CD．ACBE=CDCE=17．在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE为中线，且∠CBE=30°．求证：AD=BE．EF=EF=EF=18．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，AB=6，AC=8，DF=5，求AE的长．BC=519．已知如图，△ABC中，AD为BC的中线，E为AD的中点，延长CE交AB于点F，求的值．（用多种方法解答）；或过BF=DM==20．在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC且tan∠BCD=，求tanA的值．BCD=，设，即BCD==ABBE=CE=AC．21．已知在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN，求证：MN∥AC．22．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点．求证：EM=（AB﹣AC）．CF=CF23．如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边中点，求证：AB=2DE．24．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．PM=PN=ADBC PN=AD25．如图，△ABC中，BM平分∠ABC，AM⊥BM，垂足M点，点N为AC的中点，AB=10，BC=6，求MN长度．MN=26．已知：△ABC，用刻度尺量出△ABC的各边的长度，并取各边的中点，画出△ABC的三条中线，你发现了什么？27．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC中点，探究BD与EF的关系．并说明理由．EF=28．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：OE∥BC．29．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，G是BC的中点，过G作直线FG平行于AD，分别交AB和CA的延长线于点E和点F，求证：BE=CF=（AB+AC）．BF=CE=30．如图，在△ABC中，AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，已知BC=8，则DG+EH+FI的长是多少？BCBC BCDG+EH+FI=BC+BC=。
备战中考数学专项练习(2022苏版)-三角形的中位线-卷一(含解析)
备战中考数学专项练习（2022苏版）-三角形的中位线-卷一（含解析）一、单选题1.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，若△CEF的面积为12cm2 ，则S△DGF的值为（）A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.9cm22.某地需要开创一条隧道，隧道AB长度无法直截了当测量。
如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直截了当到达A、B两点，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A.3300mB.2200mC.1100mD.550m3.如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（）A.2cmB. 1.5cmC. 1.2cmD.1cm4.如图，在梯形中，，中位线与对角线交于两点，若cm, cm，则的长等于()A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm5.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE= 6cm，则BC的长是（）A.3cmB.12cmC.18cmD.9cm6.如图所示，A ，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个能够直截了当到达A ，B的点C ，找到AC ，BC的中点D ，E ，同时测出DE的长为10m，则A ，B间的距离为（）A.15mB.25mC.30mD.20m7.如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐步增大B.线段EF的长逐步减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐步增大B.线段EF的长逐步减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长先增大后变小二、填空题9.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则D E=________．10.如图，现需测量池塘边上A、B两点间的距离，小强在池塘外选取一个点C，连接AC与BC并找到它们中点E、F，测得EF长为45米，则池塘的宽AB为________米．11.如图,在△ABC中,AB=8,点D,E分别是BC,CA的中点,连接DE,则D E=________.12.已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=________13.如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC、DC的中点，EF =2，则BD=________14.如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若B D=10，BO=8，则AO的长为________15.在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，若△ADE的周长为3cm，则△ABC的周长为________cm．16.如图，A，B，C三点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，半径OD⊥A C，垂足为F，若∠A=30°，OF=3，则BC=________三、解答题17.如图，点O是△ABC内任意一点，G、D、E分别为AC、OA、OB 的中点，F为BC上一动点，问四边形GDEF能否为平行四边形？若能够，指出F点位置，并给予证明．18.如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若连接AO，且满足AO=BC，AO⊥BC．问现在四边形DGFE又是什么形状？并请说明理由．19.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H.求证：OG=OH.四、综合题20.在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决方法进行了认真摸索：课本研究三角形中位线性质的方法已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE△BC，DE= BC．证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE△△CFE．△…请你利用小亮的发觉解决下列问题：（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你关心小亮写出辅助线作法并完成论证过程：（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形M FGN周长的最小值是________．21.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B．（1）试判定∠AED与∠ACB的大小关系，并说明你的理由．（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE =4（平方单位），求S△ABC ．22.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形（2）若AB=，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，∵F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF ，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△CEF=3S△EFH ，∴S△CEF=3S△DGF ，∴S△DGF=×12=4（cm2）．故选：A．【分析】取CG的中点H，连接EH，依照三角形的中位线定理可得EH∥A D，再依照两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，依照全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF ，再求出FC=3FH，再依照等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．2.【答案】B【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：∵D,E分别是AC,BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，则DE＝AB，则AB=2DE=2200m，故选B。
18.1.5 三角形的中位线 分层作业(解析版)
人教版初中数学八年级下册18.1.5 三角形的中位线 同步练习夯实基础篇一、单选题：1．如图，ABC V 中，1079AB AC BC ＝，＝，＝，点D E F 、、分别是AB AC BC 、、的中点，则四边形DBFE 的周长是（ ）A ．13B ．9.5C ．17D ．192．如图，在ABCD Y 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，10OE =，则AD 的长为（ ）A ．12B ．15C ．20D ．25【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O 平分BD ，则OE 是三角形ABD 的中位线，则2AD OE =，继而求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BO DO =，∵点E 是AB 的中点，∴OE 为ABD D 的中位线，∴2AD OE =，∵10OE =，∴20AD =．故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，属于基础题，比较容易解答．3．如图，在ABC V 中，D 是AB 上一点，AE 平分CAD Ð，AE CD ^于点E ，点F 是BC 的中点，若10AB =，6AC =，则EF 的长为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、CD 、AC 、BD 的中点，则四边形EGFH 的周长（ ）A ．只与AB 、CD 的长有关B ．只与AD 、BC 的长有关C ．只与AC 、BD 的长有关D ．与四边形ABCD 各边的长都有关.5．如图所示，已知矩形ABCD ，点E 在边AD 上从点A 向点D 移动，点F 在边AB 上从点B 向点A 移动，点G 、H 分别是EF 、EC 的中点，当那么下列结论成立的是（ ）A ．线段GH 的长逐渐增大B ．线段GH 的长逐渐减少C ．AEF △与CDE V 的面积和逐渐变大D ．AEF △与CDE V 的面积和不变6．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（ ）A．140°B．120°C．100°D．80°【答案】C【分析】根据三角形的内角和定理易求∠B的度数，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以∠B+∠DEB=180°，进而可求出∠FEB的度数．【详解】解：∵∠C=120°，∠A=20°，∴∠B=40°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40°∴∠DEB =140°，∴∠FEB =∠DEB -∠DEF =100°，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用、三角形内角和定理的运用以及平行线的性质，题目的综合性较强，难度一般．7．如图，四边形ABCD 中.AC BC AD BC BD ^∥，，为ABC Ð的平分线，34BC AC ==，，E ，F 分别是BD AC ，的中点，则EF 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A 【分析】根据勾股定理得到5AB =，根据平行线的性质和角平分线的定义得到ABD ADB Ð=Ð，求得5AB AD ==，如图：连接BF 并延长交AD 于G ，根据全等三角形的性质得到3BF FG AG BC ===，，求得52DG =-=3，再根据三角形中位线定理即可得到结论．【详解】解：∵AC BC ^，∴90ACB Ð=°，∵34BC AC ==，，∴5AB =，∵AD BC ∥，∴ADB DBC Ð=Ð，∵BD 为ABC Ð的平分线，∴ABD CBD Ð=Ð，∴ABD ADB Ð=Ð，∴5AB AD ==，如图：连接BF 并延长交AD 于G∵AD BC∥∴GAC BCA ÐÐ＝，【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题：8．如图，ABC V 中，已知12AB =，90C Ð=°，30A Ð=°，DE 是中位线，则DE 的长为______．键．9．如图在ABC V 中，13,12AB BC ==，,D E 分别是,AB BC 的中点， 连接,DE CD ．如果 2.5DE =，那么ACD V 的周长是_______________________．【答案】18【分析】根据三角形中位线定理得到25//AC DE AC DE ==，，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB =90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC =BD ，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴AC =2DE =5，AC ∥DE ，AC 2+BC 2=52+122=169，AB 2=132=169，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB =90°，∵AC ∥DE ，∴∠DEB =90°，又∵E 是BC 的中点，∴直线DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC =BD ，∴△ACD 的周长=18AC AD CD AC AD BD AC AB ++=++=+=，故答案为：18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．10．如图，在ABC V 中，点D E 、分别是AB 和AC 的中点，点F 在BC 延长线上，DF 平分CE 于点G ，若2CF =，则BC =__________．【答案】4【分析】先证明DE 是ABC V 的中位线，得到2BC DE BC DE =，∥，再证明GDE GFC △≌△得到2DE CF ==，据此求解即可．【详解】解：∵点D E 、分别是AB 和AC 的中点，∴DE 是ABC V 的中位线，∴2BC DE BC DE =，∥，∴GDE GFC GED GCF Ð=Ð=，∠，∵DF 平分CE ，∴GE GC =，∴()AAS GDE GFC △≌△，∴2DE CF ==，∴24BC DE ==，故答案为；4．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，熟知三角形中位线定理是解题的关键．11．如图，在ABC V 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =V ，则ABC S =V _____2cm12．如图，在四边形ABCD 中，=AD BC ，E 、F 、G 分别是CD AB AC 、、的中点，若2080DAC ACB аа=，=，则FEG Ð=___．【答案】30°##30度【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．【详解】解：∵AD BC =，E ，F ，G 分别是CD AB AC ，，的中点，∴GE 是ACD V 的中位线，GF 是ACB △的中位线，三、解答题：13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN 的形状，并说明理由．∴△PMN 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．14．如图，D 、E 分别是ABC V 的边AB 、AC 的中点，点O 是ABC V 内部任意一点，连接OB 、OC ，点G 、F 分别是OB 、OC 的中点，顺次连接点D 、G 、F 、E ．求证：四边形DGFE 是平行四边形．15．如图，在ABC V 中，AE 平分BAC BE AE Ð^，于点E ，延长BE 交AC 于点D ，点F 是BC 的中点．若35AB AC ==，，求EF 的长．【答案】116．如图，Rt ABC V ，90BAC °Ð=，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在CA 的延长线上，FDA B=∠∠(1)求证：AF DE =；(2)若6AC =，10BC =，求四边形AEDF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)16【分析】（1）D ，E 分别为AB ，BC 的中点，DE AB ^，因此AE =EB ，等腰三角形两底角相等，可证明()AED DFA ASA V V ≌，即可得到结果；（2）由（1）可得四边形AFDE 为平行四边形，对边相等，根据勾股定理可得AB 的长，因为中点问题，可得到AD 、AE 、ED 的长，即可得到结果．（1）17．如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．能力提升篇一、单选题：1．已知：四边形ABCD 中，AB =4，CD =6，M 、N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN 的取值范围（ ）A ．15MN ＜＜B ．15MN £＜C ．210MN ＜＜D ．210MN £＜【答案】B【分析】当AB CD ∥时，MN 最短，利用中位线定理可得MN 的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN 的其他取值范围．2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，120DCB Ð=°，点E 是AB 的中点，连接CE 、OE ，若2AB BC =，下列结论：①30BAC Ð=°；②当2BC =时，BD =4AB OE =；④16COE ABCD S S =△四边形，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4，3．如图，△ABC 的周长为a ，以它的各边的中点为顶点作△A 1B 1C 1，再以△AB 1C 1各边的中点为顶点作△A 2B 2C 2，再以△AB 2C 2各边的中点为顶点作△A 3B 3C 3，…如此下去，则△AnBnCn 的周长为（ ）A ．12n aB ．13n aC ．112n -aD ．113n -a二、填空题：4．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=10，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，则PQ 的长______．5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若4BE =，则GE =______．∴EH =122BE =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，6．如图，ABC V 的周长为a ，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ¢、B ¢、C ¢分别为EF 、EG 、FG 的中点，如果ABC V 、EFG V 、A B C ¢¢¢V 分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第2022个三角形的周长是______．三、解答题：7．ABC V 中，M 为BC 的中点，AD 为BAC Ð的平分线，BD AD ^于D ．(1)求证：()12DM AC AB =-；(2)若6AD =，8BD =，2DM =，求AC 的长．AD BD ^Q ，90ADB ADE ÐÐ\==°，AD Q 为BAC Ð的平分线，BAD EAD ÐÐ\=，8．在ABC V 中，AD BC ^，垂足为点D ，点E 是AB 边的中点，DG AB ∥，EG 交AD 于点F ，EF FG =，连接DG ．(1)如图1，求证：四边形BEGD 是平行四边形；(2)如图2，连接DE 、BF 、CG ，若AC BF =，CD DF =，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为CG 的2倍的线段．。
八下 9.5 三角形的中位线 含答案
9.5三角形的中位线一. 选择题1.如图，DE是^ABC的中位线，过点C作CF〃BD交DE的延长线于点F,那么下列结论正确的选项是（A. EF=CFB. EF=DEC. CF<BDD. EF>DE假设DE是^ABC的中位线，延长DE交^ABC的外角ZACM的平分线于点F,那么线段DF的长为（）A. 7B. 8C. 9D. 10 3.如图，在^ABC 中，ZACB=90°, AC=8, AB=10, DE 垂直平分AC 交AB 于点E,那么DE的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3 4.如图，在Z\ABC中，点D, E分别是边AB, AC的中点，AF±BC,垂足为点F,ZADE=30°, DF=4,那么BF 的长为（）A. 4B. 8C. 2扼D. 4扼5.如图，在RtAABC中，ZA=30°, BC=1,点D, E分别是直角边BC, AC的中点，那么DE的长为（）A. 1B. 2C. VS D・ 1+V36.在中，AB=3, BCM, AC=2, D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE,那么四边形DBEF的周长是（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11二. 填空题7.如图，在ZkABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8,那么DE=8.如图, AB、CD*目交于点0, 0C=2, 0D=3, AC〃BD, £「是左0DB的中位线,且EF=2,那么AC的长为ZACB=90°, M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D,使CD=^BD,连接DM、DN、MN.假设AB=6,那么DN=310.如图，ZkABC的面积为12cm2,点D、E分别是AB、AC边的中点，贝I」梯形ADBCE的面积为 ___ cm2.11.在Z\ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么Z\ADE的面积与Z\ABC的面积的比是___ .12.如图，在ZXABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA ±的中点，且AB=6cm, AC=8cm,那么四边形ADEF的周长等于____ c m.13.如图，EF为ZXABC的中位线，AAEF的周长为6cm,那么Z\ABC的周长为__ cm.14.如图，在RtAABC 中，ZA=90°, AB=AC, BC=20, DE 是ZXABC 的中位线，点M是边BC上一点，BM=3,点N是线段MC ±的一个动点，连接DN, ME, DN 与ME相交于点0・假设左0MN是直角三角形，那么DO的长是三. 解答题15.如图，/XABC, AD平分ZBAC交BC于点D, BC的中点为M, ME〃AD, 交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证：AE=AF；(2)求证：BE=1 (AB+AC).216.如图，^ABC中，D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连结DE (保存作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，假设DE=4,求BC的长.17.如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°, AC=AD, M, N分别为AC, CD的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM=MN；(2)ZBAD=60°, AC 平分ZBAD, AC=2,求BN 的长.18.如图，在Z\ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF〃AB,交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当AABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？A19. D、E分别是不等边三角形ABC （即AB尹BC尹AC）的边AB、AC的中点.0 是Z\ABC所在平面上的动点，连接OB、0C,点G、F分别是OB、0C的中点，顺次连接点D、G、F、E.（1）如图，当点。
三角形的中位线典型问题综合训练(含解析)完美打印版
三角形的中位线典型问题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．242．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为（）A．6 B．4 C．3 D．23．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=7，AO=5，则四边形DEFG的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．244．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（）A．20 B．40 C．36 D．105．如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（）A．6 B．7 C．8 D．96．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．107．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④8．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+CB的关系是（）A．2EF=AD+BC B．2EF＞AD+BC C．2EF＜AD+BC D．不确定9．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD边上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）A．△EFP的周长不变B．线段EF的长与点P的位置无关C．点P到EF的距离不变D．∠APR的大小不变11．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．1212．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．613．如下图，已知△ABC周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2017个三角形周长为（）A．B．C．D．14．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=CD15．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二．填空题（共8小题）16．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为m．17．若D，E，F分别为△ABC各边的中点，且△DEF的周长为9，则△ABC的周长为．18．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为．19．如图，点D，E都在△ABC的边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，连结PQ，若DE=6，则PQ的长为．20．在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为．21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF 分别交BD、AC于点G、H，若∠OBC=55°，∠OCB=45°，则∠OGH=°．22．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC=8，则△PMN的周长是．23．如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n为正整数）．三．解答题（共5小题）24．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC证明：25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AC=6，AB=10，连接CD，则DE=，CD=．26．如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．27．△ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD与点D，求证：DE=（BC﹣AC）．28．如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE 于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．三角形的中位线典型问题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．24【分析】根据线段中点的性质求出AD=AB、AE=AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=AB，根据三角形周长公式计算即可．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=AB，AE=AC，DE=BC，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12．故选B．2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故选C．3．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=7，AO=5，则四边形DEFG的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．24【分析】根据三角形中位线定理，可得ED=FG=BC，GD=EF=AO，进而求出四边形DEFG的周长．【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，∴ED∥BC且ED=BC，∵F是BO的中点，G是CO的中点，∴FG∥BC且FG=BC，∴ED=FG=BC=，同理GD=EF=AO=，∴四边形DEFG的周长为+++=12．故选B．4．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（）A．20 B．40 C．36 D．10【分析】根据已知及三角形中位线定理可判定四边形A1B1C1D1是矩形，从而根据矩形的面积公式求解即可．【解答】解：∵A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，AC=8，BD=10，∴A1D1=B1C1=BD=5，A1B1=C1D1=AC=4，A1D1∥AD∥B1C1，A1B1∥AC∥C1D1，∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴S A1B1C1D1=5×4=20．故选A．5．如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=AB，EH=AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=BC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半．【解答】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形，∴DG=AB，EH=AC，∴GH为△ABC的中位线，∴GH=BC，∴DG+GH+EH=（AB+AC+BC）=×16=8．故选C．6．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．7．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．【解答】解：如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB ∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正确．∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正确．∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）=45°∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；无法证明AD=CD，故④错误．故选B．8．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+CB的关系是（）A．2EF=AD+BC B．2EF＞AD+BC C．2EF＜AD+BC D．不确定【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EG=AD，FG=BC，再根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．【解答】解：∵E，F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，∴EG=AD，FG=BC，在△EFG中，EF＜EG+FG，∴EF＜（AD+BC），∴2EF＜AD+BC．故选C．9．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关【分析】连接AR，根据勾股定理得出AR的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=AR，即可得出答案．【解答】解：连接AR，∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，∴AD和DR不变，∵由勾股定理得：AR=，∴AR的长不变，∵E、F分别为AP、RP的中点，∴EF=AR，即线段EF的长始终不变，故选C．10．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD边上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）A．△EFP的周长不变B．线段EF的长与点P的位置无关C．点P到EF的距离不变D．∠APR的大小不变【分析】连接AR，根据三角形的中位线定理即可得出结论．【解答】解：连接AR，∵E，F分别是AP，RP的中点，∴EF=AR．∵点P在CD上从C向D移动而点R不动，∴AR为定值，∴EF的长度不变．故选B．11．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半．【解答】解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE=DE，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，又∵FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，∴EG+GF=（AD+BC），∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC﹣AB=6，∴EG+GF=6，FE=3，∴△EFG的周长是6+3=9．故选B．12．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，同理可得△AEG的面积=，△BCE的面积=×△ABC的面积=6，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，∴△AFG的面积是×3=，故选：A．13．如下图，已知△ABC周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2017个三角形周长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形中位线定理、相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．【解答】解：∵连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，由三角形中位线定理可知，第二个三角形与△ABC相似，且相似比为，同理第三个三角形与△ABC相似，且相似比为=，则第2017个三角形周长为，故选：C．14．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=CD【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC 中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．【解答】解：∵AB=AC，∠CAB=45°，∴∠B=∠ACB=67.5°．∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，AD=DC，∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE=AB，FE∥AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正确，不符合题意．故选C．15．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．二．填空题（共8小题）16．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为100m．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM=AC，BN=BC，∴AB是△CMN的中位线，∴AB=MN=100m，故答案为：100．17．若D，E，F分别为△ABC各边的中点，且△DEF的周长为9，则△ABC的周长为18．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长=2△DEF的周长．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC各边的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，∴△ABC的周长=2△DEF的周长=2×9=18．故答案为：18．18．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为1．【分析】根据三角形的中位线定理求得DE的长，然后根据FD是直角△ABF斜边上的中线，求得FD的长，则EF即可求得．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=×10=5，∵∠AFB为直角，D是AB的中点，即FD是直角△ABF的中线，∴FD=AB=×8=4．∴EF=DE﹣FD=5﹣4=1．故答案是：1．19．如图，点D，E都在△ABC的边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，连结PQ，若DE=6，则PQ的长为3．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AQ=QE，QP=PD，从而判断出PQ是△ADE的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PQ=DE．【解答】解：∵∠ABC的平分线垂直于AE，∠ACB的平分线垂直于AD，∴AQ=QE，QP=PD，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=DE=×6=3．故答案为：3．20．在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为8．【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=AB=3，∵ME=DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF 分别交BD、AC于点G、H，若∠OBC=55°，∠OCB=45°，则∠OGH=50°．【分析】取BC中点M，连接ME、FM，根据三角形中位线定理可得EM=AC，MF=DB，EM∥AC，MF ∥BD，然后再证明EM=MF，进而得到∠OHG=∠OGH，然后再结合三角形内角和定理可得答案．【解答】解：取BC中点M，连接ME、FM，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EM=AC，MF=DB，EM∥AC，MF∥BD，∵AC=BD，∴EM=MF，∴∠MEF=∠MFE，∵EM∥AC，MF∥BD，∴∠OHG=∠MEF，∠OGH=∠MFE，∴∠OHG=∠OGH，∵∠OBC=55°，∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣55°﹣45°=80°，∴∠HOG=80°，∴∠OGH=（180°﹣80°）÷2=50°，故答案为：50．22．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC=8，则△PMN的周长是12．【分析】根据中位线定理求得PM和PN的长，然后证明△PMN是等边三角形即可证得．【解答】解：∵P、N是AB和BD的中点，∴PN=AD=×8=4，PN∥AD，∴∠NPB=∠DAB=50°，同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，∴PM=PN=4，∠MPN=180°﹣50°﹣70°=60°，∴△PMN是等边三角形．∴MN=PM=PN=4，∴△PMN的周长是12．23．如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n为正整数）．【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可．【解答】解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：三．解答题（共5小题）24．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC证明：【分析】把命题的结论作为求证的内容，延长DE至F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．【解答】证明：延长DE至F，使EF=DE，连接CF，∵E是AC中点，∴AE=CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∠ADE=∠F ∴BD∥CF，∵AD=BD，∴BD=CF ∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥CB，DE=BC．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AC=6，AB=10，连接CD，则DE=3，CD=5．【分析】（1）作边AB的中垂线，交AB于D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接DE即可．（2）根据三角形的中位线定理直接得出DE的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出CD．【解答】解：（1）如图．（2）∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，∵AC=6，∴DE=3，∵AB=10，CD是Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD=5，故答案为：3，5．26．如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【分析】易得PM是△BCD的中位线，那么PM等于BC的一半，同理可得PN为AD的一半，根据AD=BC，那么可得PM=PN，那么△PMN是等腰三角形．【解答】解：△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM=BC，同理：PN=AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．27．△ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD与点D，求证：DE=（BC﹣AC）．【分析】延长AD交BC于F，证明AC=CF，DE是△ABF的中位线，即可求证．【解答】解：延长AD交BC于F，说明AC=CF，DE是△ABF的中位线．∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，∴∠ACD=∠BCD，CD是公共边，∠ADC=∠FDC=90°，∴△ADC≌△FDC（ASA）∴AC=CF，AD=FD又∵△ABC中E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴DE=BF=（BC﹣CF）=（BC﹣AC）．28．如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．【分析】如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠CQF．根据等量代换证得∠P=∠CQF．【解答】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．∵点E是AD的中点，∴在△ABD中，EM∥AB，EM=AB，∴∠MEF=∠P同理可证：FM∥CD，FM=CD．∴∠MFQ=∠CQF，又∵AB=CD，∴EM=FM，∴∠MEF=∠MFE，∴∠P=∠CQF．．21。
初二数学三角形中位线练习题(含答案)
初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若18DE m=，则线段AB的长度是()A．9m B．12m C．8m D．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是()A．16B．12C．8D．43．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度() A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC=，∠的度数是()∠=︒，则EFPEPF136A．68︒B．34︒C．22︒D．44︒5．如图，D是ABC⊥，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若∆内一点，BD CDCD=，则四边形EFGH的周长是()BD=，6AD=，810A．24B．20C．12D．10第3题图第4题图第5题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是．7．如图，在Rt ABCABC∠=︒，点D、E、F分别是AB、AC，∆中，90BE=，则DF=．BC边上的中点，连结BE，DF，已知58．如图，在四边形ABCD中，220∠+∠=︒，E、F分别是AC、ADC BCDBD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 ．第8题图 第9题图 第10题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可． 【解答】解：A 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线，192AB DE m ∴==， 故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=． 故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大 【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：如图所示，连接AQ ， 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：BD CD ⊥，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+， 又10AD =，∴四边形EFGH 的周长101020=+=， 故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ． 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M 、N 分别为CA 、CB 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线，1132MN AB ∴==，②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==． 【解答】解：ABC ∆是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC ∴=， 又DF 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=， 5DF BE ∴==． 故答案为5．8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数． 【解答】解：四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD ，FDC FBG ∴∠=∠， 在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FBDFC BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆ 6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==， 故答案为：3． 10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：延长CM 交AB 于H ， 在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AMAMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH ∴==， 故答案为：1． 三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =，CF 平分ACB ∠， F ∴是AD 中点， AE EB =， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线， 12EF BD ∴=． 12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论． 【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形， 理由：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，12DE BC ∴=，//DE BC ， F 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC ，DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC BD=，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG OH=．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，M、F分别是BC、CD的中点，∴MF是△BCD的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=，同理：//ME AC，12ME AC=，AC BD=ME MF∴=MEF MFE∴∠=∠，//MF BD，MFE OGH∴∠=∠，同理，MEF OHG∠=∠，OGH OHG∴∠=∠OG OH∴=．。
6.4 三角形的中位线定理(含答案)
6.4 三角形的中位线定理一、选择题（本大题共40小题，共120.0分）1.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A. 8B. 9C. 10D. 112.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( )A. 3.5B. 4C. 7D. 143.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A.1B. 2C. 3D. 44.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A. 6B. 12C. 18D. 245.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=16，则HE等于（）A. 32B. 16C. 8D. 106.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形7.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A. 8B. 10C. 12D. 168.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，AD，DC的中点，则EF=（）A.BDB. BDC. BGD. BG9.如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A. AB=36mB. MN∥ABC. MN=CBD. CM=AC10.如图所示点D、E分别是AB、AC中点，若DE=4，则BC=（）A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，△ABC中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（）A. 4B. 3C. 2D. 112.如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（）A.2B. 3C. 4D. 613.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DE，EF，DF，则下列说法不正确的是（）A. S△DEF=S△ABCB. △DEF≌△FAD≌△EDB≌△CFEC. 四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF都是平行四边形D. 四边形ADEF的周长=四边形DBEF的周长=四边形DECF的周长14.如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形15.如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）A. 一定不是平行四边形B. 一定不是中心对称图形C. 可能是轴对称图形D. 当时，它为矩形16.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A. BC=2BEB. ∠A=∠EDAC. BC=2ADD. BD⊥AC17.如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=4，则菱形ABCD的周长是（）A. 64B. 48C. 32D. 1618.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，若DE=3，则AB的长为（）A.3B. 4C. 5D. 619.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 等腰梯形20.在△ABC内取一点O，连接AO、BO、CO，它们的中点是D、E、F．若DE＝2，则AB的长为（）A. 1B. 2C. 4D. 821.如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为（）A. 3B. 6C. 8D. 1222.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，菱形ABCD的周长为（）A. 9B. 12C. 24D. 3223.若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（）A. 34cmB. 30cmC. 29cmD. 17cm24.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如果一个四边形是矩形，那么它的中点四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形25.如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形26.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形27.如图,DE是的中位线,若BC的长为3cm,则DE的长是( )A.2cmB.C.D.1cm28.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF=4，则菱形ABCD的周长为（）A.16B.20C.24D.3229.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A.2B.B. 3C.C.D. D.30.如图，在菱形ABCD中，点E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果，菱形ABCD的周长为（）A. 16E.12F.10G.831.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形32.如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A.40cmB.30cmC.20cmD.10cm33.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）A.B.C.D.34.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A. 线段EF的长始终不变H.线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长逐渐增长D. 线段EF的长与点P的位置有关35.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为（）A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm36.在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE平分∠DOC，若OE＝3，CE＝2，则矩形ABCD的周长为（）A. 10B. 15C. 20D. 2237.如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC垂足为D，OD=40cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A.20cmB.B. 40cmC.C. 60cmD.D. 80cm38.如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形一定是（）A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形39.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（）A. 等腰梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形40.顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点所得四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DF=BC，FE=AB，DE=AC；∴DF+FE+DE=BC+AB+AC=（AB+BC+CA）=×18=9，故选B．根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选：A．根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选：C．4.【答案】B【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=AB，AE=AC，DE=BC，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12．故选：B．根据线段中点的性质求出AD=AB、AE=AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=AB，根据三角形周长公式计算即可．本题考查的是三角形的中点的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．5.【答案】B【解析】解：∵D，F分别为BC，AB边的中点，∴AC=2DF=32，∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°，又E为AC边的中点，∴HE=AC=16，故选：B．根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．根据三角形的中位线定理可得，EH平行且等于CD的一半，FG平行且等于CD的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到EH和FG平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又因为EF等于AB的一半且AB=CD，所以得到所证四边形的邻边EH与EF相等，所以四边形EFGH为菱形．【解答】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH=CD；同理FG∥CD且FG=CD，同理可得EF=AB，则EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形，又AB=CD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．7.【答案】D【解析】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，DE=AC=5，EF=AB=3，∴四边形ADEF平行四边形，∴AD=EF，DE=AF，∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，故选：D．根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可．本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是关键.由E，F分别是边AB，AD的中点根据三角形中位线定理即可得.【解答】解：∵E，F分别是边AB，AD的中点，∴EF=BD，且EF∥BD.故选B．9.【答案】C【解析】解：∵CM=MA，CNB，∴MN∥AB，MN=AB，∵MN=18m，∴AB=36m，故A、B、D正确，故选：C．根据三角形的中位线定理即可判断；本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．10.【答案】D【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DE=4，∴BC=2×4=8．故选：D．根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出BC．本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．11.【答案】B【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵BC=6，∴DE=BC=3．故选：B．由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．考查了三角形的中位线定理，根据定理确定DE等于那一边的一半是解题的关键．12.【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF=BC=×8=4．故选C．13.【答案】D【解析】解：连接DF∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB∴四边形ADEF，四边形DECF，四边形BDFE是平行四边形∴△ADF≌△DEF，△BDE≌△DEF，△CEF≌△DEF∴△DEF≌△ADF≌△BDE≌△CEF∴S△ADF=S△BDE=S△DEF=S△CEF．∴S△DEF=S△ABC．故①②③说法正确∵四边形ADEF的周长为2（AD+DE）四边形BDFE的周长为2（BD+DF）且AD=BD，DE≠DF，∴四边形ADEF的周长≠四边形BDFE的周长故④说法错误故选：D．根据中位线定理可证DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，即可得四边形ADEF，四边形DECF，四边形BDFE是平行四边形．即可判断各选项是否正确．本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟练运用中位线定理解决问题是本题的关键．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明.【解答】解：连接AC、BD，AC交FG于L．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH=HA，DG=GC，∴GH∥AC，HG=AC，同法可得：EF=AC，EF∥AC，∴GH=EF，GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，同法可证：GF∥BD，∴∠OLF=∠AOB=90°，∵AC∥GH，∴∠HGL=∠OLF=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选B．15.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．先连接AC，BD，根据，，可得四边形EFGH是平行四边形，当时，，此时四边形EFGH是矩形；当时，，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【解答】解：如图，连接AC，BD，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，，，四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH一定是中心对称图形，当时，，此时四边形EFGH是矩形，当时，，此时四边形EFGH是菱形，四边形EFGH可能是轴对称图形．故选C．16.【答案】C【解析】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC且BC=2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=AE，∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；∴AB=BC，∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；D、∵AB=BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，故本选项正确．故选：C．根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．17.【答案】C【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴∠BOC=90°，∵E为AB的中点，且OE=4，∴BC=2EO=8，∴菱形ABCD的周长是：8×4=32．故选：C．利用菱形的性质得出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出BC的长，即可得出菱形的周长．此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出BC的长是解题关键．18.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵D，E分别为AC，BC的中点，∴AB=2DE=6，故选：D．19.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．【解答】解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC．同理，FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选A．20.【答案】C【解析】解：∵AD=OD，BE=OE，∴DE是△OAB的中位线，∴AB=2DE=4，故选：C．根据三角形的中位线定理即可解决问题．本题考查三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键，根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，EF=3，∴AB=2EF=6，又∵AB=CD，∴CD=6．故选B .22.【答案】D【解析】解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF=4，∴BC=2EF=8，∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的周长是：4×8=32．故选：D．由点E、F分别是AB、AC的中点，EF=4，利用三角形中位线的性质，即可求得BC的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD的周长．此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23.【答案】D【解析】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，∴DE=AC，DF=BC，FE=AB，∴△DEF的周长==17（cm），故选：D．根据三角形中位线定理分别表示出DE、EF、DF，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．24.【答案】C【解析】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选C．作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．25.【答案】A【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、三角形的中位线的性质和全等三角形的性质和判定，根据三角形中位线和线段中点得出DE=BC，AE=AC，推出AE=DE，根据旋转的性质得出全等，推出AE=EC，DE=EF，推出AC=DF，根据矩形的判定推出即可．【解答】解：矩形，理由是：∵AC=BC，点D. E分别是边AB、AC的中点，∴DE=BC,AE=AC，∵AC=BC，∴AE=DE，∵将△ADE绕点E旋转180∘得△CFE，∴△ADE≌△CFE，∴AE=CE，DE =EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AE=CE，DE =EF，AE =DE，∴AE=CE=DE=EF，∴AC=DF，∴四边形ADCF是矩形，故选A.26.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理可得顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.【解答】解：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故选B.27.【答案】B【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵BC的长为3cm，∴DE=1.5．故选B．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；本题利用定理计算即可．本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．28.【答案】D【解析】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴BC=2EF=8∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD=8∴菱形ABCD的周长=32故选：D．由三角形的中位线定理可得BC=8，由菱形的性质可求菱形ABCD的周长．本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．29.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的值是解题的关键．连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选：D．30.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式，易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【解答】解：∵E是AC中点，EF BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC，∴BC=4，∴菱形ABCD的周长是4×4=16．故选A.31.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．如图：根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答.解：如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选B．32.【答案】A【解析】【分析】本题考查了菱形的性质——对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记菱形的性质与三角形中位线定理是解题的关键．根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求得菱形的边长即BC=2OM，从而不难求得其周长．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴根据三角形中位线定理可得：BC=2OM=10，则菱形ABCD的周长为40cm．故选A．33.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等.由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE.【解答】解：∵△PED是△CED翻折变换来的，∴∠CDE=∠EDP=48°，∵D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠APD=∠PDE=48°.故选B.34.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，三角形中位线的性质有关知识，连接AR，根据勾股定理得出AR的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=AR，即可得出答案.解：连接AR，∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，∴AD和DR不变，∵由勾股定理得：，∴AR的长不变，∵E、F分别为AP、RP的中点，∴EF=AR，即线段EF的长始终不变.故选A.35.【答案】B【解析】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴OC=OA，又∵点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AB=6cm．故选：B．先利用平行四边形的对角线互相平分，可知O是AC的中点，再结合E是BC中点，可得OE是△ABC的中位线，利用中位线定理，可求出AB．此题考查的知识点：（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）三角形的中位线平行且等于底边的一半．36.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质以及三角形中位线的性质有关知识，由矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE平分∠DOC，OE⊥CD，OE∥BC∥AD，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD、CD的长，进而解答即可.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD，AD∥BC，∠BCD=90°，∵OE平分∠DOC，∴OE⊥CD，∴OE∥BC∥AD，∴OE是△ACD的中位线，∵OE=3，∴AD=2OE=2×3=6．∵CE=2，∴CD=4，∴矩形ABCD的周长=20，故选C.37.【答案】D【解析】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，∴OD是△ABC的中位线，∴AC=2OD=2×40=80（cm）．故选：D．判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．38.【答案】C【解析】【分析】本题利用了中位线的性质和菱形的判定：四边相等的四边形是菱形，因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，∴EH=FG=BD，EF=HG=AC，∵AC=BD∴EH=FG=FG=EF，则四边形EFGH是菱形．故选C．39.【答案】B【解析】解：因为矩形的对角线相等，根据三角形中位线定理可得：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．故选：B．根据三角形的中位线定理可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．如果该四边形的对角线相等，又可以证明所得的平行四边形的一组邻边相等，即是菱形．因为矩形的对角线相等，所以顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．能够运用三角形的中位线定理证明下列命题：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．40.【答案】D【解析】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC=BD，∴EF⊥FG，FE=FG，∴四边形EFGH是正方形，故选：D．根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直且相等，那么所得四边形是正方形．本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．。
三角形的中位线 专题练习题 含答案
三角形的中位线专题练习题1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB 的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是()A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C 的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜想．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．11．如图，△ABC 的周长是1，连接△ABC 三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．12．如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3.(1)求证：BN ＝DN ；(2)求△ABC 的周长．14．如图，在▱ABCD 中，AE ＝BF ，AF ，BE 相交于点G ，CE ，DF 相交于点H.求证：GH ∥BC且GH ＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF ＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2201612. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC。
鲁教版八年级数学上册5.3三角形的中位线基础达标训练题(附答案)
鲁教版八年级数学上册5.3三角形的中位线基础达标训练题（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB＝12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA＝1：2 2．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点，连接AO．若AO＝3cm，BC＝4cm，则四边形DEFG的周长是（）A．7cm B．9 cm C．12cm D．14cm3．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝20m，则AB长为（）A．10m B．20m C．30m D．40m4．如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（）A．3cm/s B．2cm/s C．1.5cm/s D．1cm/s5．在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE＝3，则AC＝（）A．3B．6C．9D．126．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l与点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（）A．8B．10C．16D．187．如图，若DE是△ABC的中位线，△ADE的周长为1，则△ABC的周长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（）A．2B．3C．5D．69．如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别是线段AD、BC、AC的中点，则△EFG的周长（）A．与AB、BC、AC的长有关B．与AD、DC、AC的长有关C．与AB、DC、EF的长有关D．与AD、BC、EF的长有关10．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC、BC．分别取AC、DC的中点写D、E，连结DE，若测得DE＝40m，则A、B两点之间的距离是（）A．40m B．60m C．80m D．100m二．填空题（共10小题）11．△ABC中，BC＝8，AB，AC的中点分别为D，E，则DE＝．12．如图，跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝0.8m；当它的一端B地时，另一端A离地面的高度AC为m．13．京珠高速公路粤北段地势十分复杂，所以当年在建这段路时，要开很多隧道，如图是一个要开挖的隧道，为保证按时完成工程，必须先要知道所挖隧道的长度，于是测量人员在山外取一点O，并取AO，BO的中点C，D，测得CD＝237m，则隧道AB的长是m．14．如图，已知等边三角形ABC边长为16，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A4B4C4的周长为．15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20+2，那么△DEF的周长是．16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF＝1，DF交CE于点G，且EG＝CG，则BC＝．17．若三角形各边长分别为8cm、10cm、16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长是．18．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC ＝3，BC＝5，则DF＝．19．等边三角形的中位线与高之比为．20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为DM、MN的中点，若AB＝2，AD＝2，则EF 长度的最大值为．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF ＝BC．试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由．22．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，延长BN交AC 于点D，已知AB＝10，MN＝4，BM＝7，求△ABC的周长．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D、E分别是AB、BC的中点，若DE ＝3，求BC的长．24．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，E，F分别是BD，CD的中点．求证：AD∥EF．25．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．26．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．（要求：在给出的△ABC中用尺规作出AB、AC边的中点M、N，保留作图痕迹，不要求写作法，并根据图形写出已知、求证和证明）27．“过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过第三边的中点”．根据这个结论解决问题：如图，S△ABC＝32，AC＝8，BC＝10，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求NC的长．28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，求证：PM＝PN．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB＝12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA＝1：2【解答】解：∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，CM＝AM，∴MN∥AB，MN＝AB，AB＝2MN＝12m，CM：MA＝1：1，∴△CMN∽△CAB；故A，B，C正确，故选：D．2．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点，连接AO．若AO＝3cm，BC＝4cm，则四边形DEFG的周长是（）A．7cm B．9 cm C．12cm D．14cm【解答】解：∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE＝BC＝2，同理，FG＝BC＝2，EF＝OA＝1.5，DG＝OA＝1.5，∴四边形DEFG的周长＝DE+EF+FG+DG＝7（cm），故选：A．3．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝20m，则AB长为（）A．10m B．20m C．30m D．40m【解答】解：∵E、F是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB∵EF＝20m，∴AB＝40m．故选：D．4．如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（）A．3cm/s B．2cm/s C．1.5cm/s D．1cm/s【解答】解：取AC的中点H，连接QH，当点P与点A重合时，点Q与点H重合，∵点Q是线段CP的中点，点H为AC的中点，∴QH＝AP，∵动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，∴点Q运动的速度为1.5cm/s，故选：C．5．在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE＝3，则AC＝（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝6，故选：B．6．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l与点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（）A．8B．10C．16D．18【解答】解：由题意得，BA⊥MN，∴BC＝＝10，∵∠BAC＝90°，点D是线段BC的中点，∴AE＝BE＝BC＝5，∴∠EAB＝∠B，∵∠FDA＝∠B，∴∠FDA＝∠EAB，∴DF∥AE，∵点D、E分别是线段AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝4，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF的周长＝2×（4+5）＝18，故选：D．7．如图，若DE是△ABC的中位线，△ADE的周长为1，则△ABC的周长为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE的周长为1，∴△ABC的周长为2，故选：B．8．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（）A．2B．3C．5D．6【解答】解：延长AF交BC于G，在△BF A和△BFG中，，∴△BF A≌△BFG（ASA）∴BG＝AB＝8，AF＝FG，∴GC＝BC﹣BG＝6，∵AF＝FG，AE＝EC，∴EF＝GC＝3，故选：B．9．如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别是线段AD、BC、AC的中点，则△EFG的周长（）A．与AB、BC、AC的长有关B．与AD、DC、AC的长有关C．与AB、DC、EF的长有关D．与AD、BC、EF的长有关【解答】解：∵点E、G分别是线段AD、AC的中点，∴EG＝CD，∵点F、G分别是线段BC、AC的中点，∴GF＝AB，则△EFG的周长＝EG+GF+EF＝CD+AB+EF，∴△EFG的周长与AB、DC、EF的长有关，故选：C．10．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC、BC．分别取AC、DC的中点写D、E，连结DE，若测得DE＝40m，则A、B两点之间的距离是（）A．40m B．60m C．80m D．100m【解答】解：∵D、E分别是AC、DC的中点，∴AB＝2DE＝80（m），故选：C．二．填空题（共10小题）11．△ABC中，BC＝8，AB，AC的中点分别为D，E，则DE＝4．【解答】解：∵D，E分别是边AC、AC的中点，∴BC＝2DE，∵BC＝8，∴DE＝×8＝4，故答案为：4．12．如图，跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝0.8m；当它的一端B地时，另一端A离地面的高度AC为 1.6m．【解答】解：∵AC∥OD，O是AB的中点，∴D是BC的中点，∵O是AB的中点，D是BC的中点，∴AC＝2OD＝1.6，故答案为：1.6．13．京珠高速公路粤北段地势十分复杂，所以当年在建这段路时，要开很多隧道，如图是一个要开挖的隧道，为保证按时完成工程，必须先要知道所挖隧道的长度，于是测量人员在山外取一点O，并取AO，BO的中点C，D，测得CD＝237m，则隧道AB的长是474 m．【解答】解：∵点C，D是AO，BO的中点，∴AB＝2CD，∵CD＝237m，∴AB＝474m，故答案为：474．14．如图，已知等边三角形ABC边长为16，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A4B4C4的周长为3．【解答】解：∵等边三角形ABC边长为16，∴△ABC的周长为48，∵△A1B1C1是△ABC的三条中位线组成，∴△A1B1C1的周长＝×△ABC的周长＝24，同理，△A2B2C2，的周长＝24×＝12，△A3B3C3的周长＝12×＝6，△A4B4C4的周长＝6×＝3，故答案为：3．15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20+2，那么△DEF的周长是10+．【解答】解：∵△ABC的周长为20+2，∴AB+AC+BC＝20+2，∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，∴EF＝BC，DF＝AB，DE＝AC，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝10+，故答案为：10+．16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF＝1，DF交CE于点G，且EG＝CG，则BC＝2．【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF∴DE＝CF＝1∴CF＝BC∴BC＝2故答案为2．17．若三角形各边长分别为8cm、10cm、16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长是17cm．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝BC＝8，同理，DF＝5＝8，FE＝BA＝4，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝17故答案为：17cm．18．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC ＝3，BC＝5，则DF＝1．【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE＝BC＝2.5，∵AF⊥CF，E为AC的中点，∴EF＝AC＝1.5，∴DF＝DE﹣EF＝1，故答案为：1．19．等边三角形的中位线与高之比为1：．【解答】解：设等边三角形的边长为2a，则中位线长为a，高线的长为＝a，所以等边三角形的中位线与高之比为a：a＝1：，故答案为：1：．20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为DM、MN的中点，若AB＝2，AD＝2，则EF 长度的最大值为2．【解答】解：连接BD、DN，在Rt△ABD中，DB＝＝4，∵点E、F分别为DM、MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合时，DN最大，∴DN的最大值是4，∴EF长度的最大值是2，故答案为：2．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF ＝BC．试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由．【解答】解：DE＝CF，理由如下：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF．22．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，延长BN交AC 于点D，已知AB＝10，MN＝4，BM＝7，求△ABC的周长．【解答】解：在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA）∴AD＝AB＝10，BN＝BD，∵M是BC的中点，BN＝BD，∴BC＝2BM＝14，CD＝2MN＝8，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+14+8+10＝42．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D、E分别是AB、BC的中点，若DE ＝3，求BC的长．【解答】解：∵D、E是AB、BC的中点，DE＝3∴AC＝2DE＝6，∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝12．24．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，E，F分别是BD，CD的中点．求证：AD∥EF．【解答】证明：∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF∥BC，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，∴AD∥EF．25．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵EF∥CD∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE＝CF．（2）∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．26．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．（要求：在给出的△ABC中用尺规作出AB、AC边的中点M、N，保留作图痕迹，不要求写作法，并根据图形写出已知、求证和证明）【解答】解：如图，点M，N即为所求作的点，已知：如图，△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，求证：MN∥BC，MN＝BC证明：延长MN至点D，使得MN＝ND，连接CD，在△AMN和△CDN中，，∴△AMN≌△CDN（SAS）∴∠AMN＝∠D，AM＝CD，∴AM∥CD，即BM∥CD，∵AM＝BM＝CD，∴四边形BMDC为平行四边形，∴MN∥BC，MD＝BC，∵，∴．27．“过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过第三边的中点”．根据这个结论解决问题：如图，S△ABC＝32，AC＝8，BC＝10，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求NC的长．【解答】解：过点B作MN的平行线BD，∵S△ABC＝32，∴BD＝8，∵点M为BC的中点，∴MN＝4，∵BC＝10，∴CM＝5，在Rt△MNC中，CM＝5，MN＝4，可得：CN＝．28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，求证：PM＝PN．【解答】解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM＝AB，PN＝CD，∵AB＝CD，∴PM＝PN。
三角形中位线练习(含解析)
三角形中位线练习1如图， ABC 中，D 是AB 的中点，DE//BC ，连结BE ，若S DEB 1，则S BCE 的值为（C . 32.如图，ABC 中，AB 24 , BC 再顺次连接△ AB I C I 各边中点，得到△ A 2B 2C 2的周长为（ ）ABC 各边中点，得到△ AB iG ；如此进行下去，得到△ A n B n C n ，则△人民。
8④直线MN 与AB 之间的距离;4.如图，在 ABC 中， ACB 90 , BC 6cm , AC 8cm ，点0为AB 的中点，连接CO .点C . 3.如图，点A ，B 为定点，直线I//AB ， 中点，对于下列各值：其中会随点 ① 线段MN 的长；②PAB 的周长；③ PMN 的面积；P 是I 上一动点，点P 的移动而发生变化的是 1 D.- 8 M , N 分别为PA , PB 的 （填序号）. 26, CA 14 •顺次连接⑤ APB 的大小.M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t 秒.(1 )当AMO AOM时，求t的值；(2)当COM是等腰三角形时，求t的值.[可以用下列数学知识，不需要证明：三角形两边中点的连线的长度等于第三边边长的一半]R B三角形中位线练习参考答案与试题解析一•选择题（共2小题）1如图，ABC中，D是AB的中点，DE//BC，连结BE，若S DEB 1，则S BCE的值为（C. 3【解答】解：Q D是AB的中点，DE//BC ,CE AE .1DE BC ,2Q S DEB 1,S BCE 2 ,故选：B .2.如图，ABC中，AB 24 , BC 26, CA 14 .顺次连接ABC各边中点，得到△ ABiG ；再顺次连接△ ABiG各边中点，得到△ A2B2C2如此进行下去，得到△ ABnG，则△ ^B s C s的周长为（A . 1B . 1 C.- D.-2 4 8【解解: Q A1、C1分别为AB、AC的中点，答】AC1 BC 13 ,同理，A1B1 1AC 7, B1C1 1AB 12 ,2 2△ ABG 的周长7 12 13 32,【解答】 解：①Q 点M , N 分别为PA , PB 的中点,1 MN -AB ，即线段MN 的长为定值；2 1② MN - AB , PM 、PN 的值随点P 的变化而变化,2 PAB 的周长随点P 的移动而发生变化；③ Q PM MA , PN NB ,1 MN -AB ,2 Q AB 的长为定值，MN 的长不变， PMN 的面积不变，直线 MN 与AB 之间的距离不变,④Q MN //AB ,直线MN 与AB 之间的距离不变；⑤随点P 的移动 APB 的大小变化; AB i C i 的周长 1ABC 的周长 12A B 2C 2的周长 △ A 1B 1C 1的周长 1 2ABC 的周长（3）,A 8B 8C 8的周长 ABC 的周长 1（2）1 164 256 4，二.填空题（共1小题）3.如图，点A , B 为定点，直线 l / /AB ，P 是I 上一动点，点 M , N 分别为PA ， PB 的中点，对于下列各值：其中会随点 P 的移动而发生变化的是 ②⑤（填序号）① 线段MN 的长;② PAB 的周长；③ PMN 的面积；④ 直线MN 与AB 之间的距离;⑤ APB 的大小.故答案为：②⑤•三•解答题(共1小题)4.如图，在ABC中，ACB 90 , BC 6cm, AC 8cm，点0为AB的中点，连接CO •点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t秒.(1 )当AMO AOM时，求t的值；(2)当COM是等腰三角形时，求t的值.[可以用下列数学知识，不需要证明：三角形两边中点的连线的长度等于第三边边长的一半]ACB 90 ,AB AC2 BC210,QO为AB中点,AO 〔AB 5, 2Q AO AM ,AM 5,CM 3 ,t的值为【解答】解：(1) )Q AC 8 , BC 6 ,t 3 ；(2) ①当CO CM 时，CM 5, t 5,②当MC MO 时，t232(4 t)2,解得: :t25 ；8③当CO OM 时，M与A点重合，t 8;综上所述，当COM是等腰三角形时,。
专题15 三角形的中位线（含答案）
专题15 三角形的中位线知识解读三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：（1）位置关系，三角形的中位线平行于第三边；（2）数量关系，三角形的中位线等于第三边长的一半。
位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系。
培优学案典例示范一、中位线反映了线段间的平行和数量关系1．如图4-15-1，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）图4-15-1A．2B．3C．52D．4【提示】由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定6理可知DE∥AB，所以∠BFD=∠ABF；又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF 的长，只需求BD的长即可．【技巧点评】当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行．跟踪训练1．如图4-15-2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11图4-15-2 2．如图4-15-3，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．图4-15-3【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB=2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABFQ△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明.【解答】【技巧点评】由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理．跟踪训练2．如图4-15-4，平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM 相交于点Q．试说明PQ与MN互相平分．图4-15-4二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线例3如图4-15-5，已知M、N、P、Q分别是线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？【提示】点P、点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是△BCD的中位线，所以考虑连接BC，将△BCD补全，然后运用中位线定理解决问题．【解答】图4-15-5 【技巧点评】当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线．跟踪训练3．如图4-15-6，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】图4-15-6三、由一个中点构造中位线解决问题例4如图4-15-7，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）图4-15-7A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．12＜MN52＜D．12＜MN52【提示】M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点G，线段GM和GN可以看成△ABD和△BCD的中位线，利用中位线可求得GM、GN的长分别为1和1.5.在△GMN中利用三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边可求得MN的范围．【技巧点评】当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题．跟踪训练4．如图4-15-8所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ．【解答】图4-15-8拓展延伸例5 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图4-15-9①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图4-15-9②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．图4-15-9【提示】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠ECF=∠GFH=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．【解答】跟踪训练5.如图4-15-10，D 是△ABC 中AB 边上的中点，△ACE 和△BCF 分别是以AC ，BC 为斜边的等腰直角三角形，连接DE ，DF.求证：DE=DF.【解答】EABFCD图4-15-10竞赛链接例6（武汉竞赛试题）如图4-15-11，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE ，CF 相交于O ，AGLBE 于G ，AHLCF 于H. （1）求证：GH/∥BC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH 的长度。
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三角形的中位线练习题
三角形中位线定义： . 符号语言：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点, 则：线段DE 是△ABC 的__ __，
三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。
②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。
相同点：都是一条线段，都有三条。
三角形中位线定理： .
符号语言表述：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE //21BC
练习
1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、
AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿
5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿
6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．
(1) (2) (3) (4)
7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm
10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位E D
B
E
D
A
同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）
A ．15m
B ．25m
C ．30m
D ．20m
11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、
20081 B 、20091 C 、220081 D 、2
20091
12．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上
从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定
13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
14．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．
15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；
16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=
1
2
BD ．
17．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．
B
G A E F
H D C 图5
18．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．
19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
20．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．
21. 如图5，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．证明四边形EGFH 是平行四边形；
22如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点。
求证：△EFG 是等腰三角形。
F G
D C
H G
F
E D C B
A
23.如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E•为BC中点．求DE的长．
24．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE
分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．
25．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．
26．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC 的延长线交于H、G点．
求证：∠AHF＝∠BGF．
答案：1两边中点。
2平行，第三边的一半。
3 3。
4中线，中位线。
5 8，5;互相平分。
6 4。
7 7。
8 6.5。
9 B 。
10 D. 11D .12C .13A.
14∵AE＝BE
∴E是AB的中点
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝OC
∴EO是△ABC的中位线
∴OE‖BC
15 E F是三角形ABP中点，EF=1/2BP,同理GH=1/2CP, EF+GH=1/2(BP+CP)=5
16∵CD=CA,CF平分∠ACB,CF为公共边
∴三角形ACF与三角形DCF全等
∴F为AD边的中点
∵AE=BE
∴E为AB的中点
∴EF为三角形ABD的中位线
∴EF=1/2BD=1/2（bc-ac）=2 倒过来即可
17 △AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线。
所以MN∥BC。
18证明；连接BD,∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点
EH平行且等于BD/2，FD平行且等于BD/2
∴EH平行且等于FD
∴四边形EFGH是平行四边形。
19 连接BD ∵H为AD中点，G为AB中点
∴GH为△ABD中位线
∴GH∥BD且EH=1/2BD
∵E为CD中点，F为BC中点
∴FE为△DCB中位线
∴FE∥BD且FG=1/2BD
∴HG∥＝EF
20 ∵E、D分别为AB、CD的中点
∴ED//=½BC（中位线性质）
在△BOC中，
∵F、G分别为OB、OC的中点
∴FG//=½BC（中位线性质）
∴FG//=ED
∴四边形DEFG为平行四边形
21 .∵F，H分别是BC,CE的中点,∴FH‖BE,FH=1/2BE(中位线定理),∵G是BE的中点,∴BG=EG=FH,∴四边形EGFH是平行四边形。
23因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠FAD。
由BD⊥AD于D，得∠ADB=∠ADF=90°
还有AD=AD，所以△ADB≌△ADF。
所以BD=FD,AF=AB，还有E是BC中点，于是DE是△BCF中位线，
于是DE=CF/2，有CF=AC-AF=AC-AB=10-6=4，于是DE=CF/2=4÷2=2
24 证明：∵CE//AB
∴∠E=∠BAF，∠FCE=∠FBA
又∵CE=CD=AB
∴△FCE≌△FBA (ASA)
∴BF=FC
∴F是BC的中点，
∵O是AC的中点
∴OF是△CAB的中位线，
∴AB=2OF
25 取BE的中点H，连接FH、CH
∵F、G分别是AE、BE的中点
∴FH是△ABE的中位线
∴FH∥AB FH=1/2*AB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB CD=AB
∵E是CD的中点
∴CE=1/2*AB
∵CE=1/2*AB FH=1/2*AB
26 证明：连接AC，取AC的中点M，连接ME、MF ∵M是AC的中点，E是DC的中点
∴ME是△ACD的中位线
∴ME＝AD/2,PE∥AH
∴∠MEF＝∠AHF （同位角相等）
同理可证：MF＝BC/2, ∠MFE＝∠BGF （内错角相等）∵AD＝BC
∴ME＝MF
∴∠MFE＝∠MEF
∴∠AHF＝∠BGF。