线性系统

说明：主要用于理论分析。
4.2.4 约当规范形判据 对于连续时间线性时不变系统 : 情况一：A的特征值两两互异 线性变换导出的约当规范形
A(t)x B(t)u x
则系统完全能控的充分必要条件为对状态方程通过非奇异
λ1 x 0 0 x Bu λn
x1 y 0 6 x2
1 4 x1 u x 2 5 x2 2u x y 6 x2
将其表示为标量方程组形式：
显然，状态变量受输入 u 的影响，系统状态完全能控；只 有状态变量 x2 可从输出 y 反映，系统状态不完全能观测。
4.1.2 能控性的定义 a. 一个状态的能控性和能达性 对连续时间线性时变系统的状态描述为： : 一个状态的能控性定义：
1 2 1 1 0 1 2 解： 0 1 0 1 AB 0 1 0 1 0 3 0 0 1 0 1 0 1 2 2 4 QC 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 4 2
4 5 有
rank[sI A, B] 4
结果：系统完全能控。
PBH特征向量判据 连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为矩阵A不
存在与B所有列正交的非零左特征向量，即A的所有特征值 i
同时满足 T A i aT
T T B 0 的左特征向量 0 。
f. 能控规范形和能观测规范形：多入多出情形 g. 连续时间线性时不变系统的结构分解
4.1 能控性和能观测性的定义
4.1.1 对能控性、能观测性的直观讨论 例4-1-1 电路如图所示。
如果选取电容两端的电压 uC 为状态变量，即：x uC 。 电桥平衡时，不论输入电压
u(t ) 如何改变， x(t ) uC 不随
T AB 0

T An1B 0
k t T Ak B 0 k!

因此：
T [ I At
1 1 ( At) 2 ( At) k ]B 0 2! k!
T At 即： e B 0
T 说明 0 为零向量 ，与假设矛盾。
（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）
一个状态的能达性定义： 对连续时间线性时变系统和给定的一个初始时刻 t0 J ，如果存 在一个时刻 t1 J , t1 t0 以及一个无约束容许控制 u(t ),t [t0 , t1 ] ， 使系统状态由 x(t0 ) 0 转移到 x(t1 ) x f ，则称一个非零状态 x f 在 t 0 时刻是能达的。
能达，即系统的能控/能达与时刻无关，则称系统为一致能控/能达。
4.1.3 能观测性的定义
对连续时间线性时变系统的状态描述为：
: A(t)x B(t)u x
y C (t ) x D(t )u
a. 一个状态的不能观测
一个状态的不能观测性定义：
对连续时间线性时变系统和给定的一个初始时刻 t0 J ，如果存 在一个时刻 t1 J , t1 t0 ，使系统以 x(t0 ) x0 为初始状态的输出 y (t ) 恒为零，即对所有 t [t0 , t1 ]成立 y(t ) 0 ，则称一个非零状态 x0 在 t 0 时刻为不能观测。
例4-2-3 考察系统
的状态可控性。
解：
s 1 0 0 0 0 s 1 0 1 [ sI A, B] 0 0 s 1 0 0 0 5 s 2
矩阵A的特征值为： 对 1 2 0 有
1 2 0
3 5
4 5
1 0 1 0
0 2 1 0 0 2 1 1 0 0 2 1 x 0 2 x 0 0 3 1 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 7 u 0 0 1 0 4 1
A(t)x B(t)u x
对连续时间线性时变系统和给定的一个初始时刻 t0 J ，如果存 在一个时刻 t1 J , t1 t0 以及一个无约束容许控制 u(t ),t [t0 , t1 ] ，
使系统状态由 x(t0 ) x0 转移到 x (t1 ) 0 ，则称一个非零状态 x0 在 t 0 时刻是能控的。
着 u(t ) 的变化而改变，或者说
状态变量不受 u(t ) 的控制。
即：该电路的状态是不能控的。 显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。
例4-1-2 连续时间线性时不变系统的状态描述为：
1 4 0 x1 1 x x 0 5 x 2 u 2 2
即： x T [B
AB A2 B An1B] 0
）
T 因 x 0 所以 rankQC n 必要性 （即由系统完全能控推知 rankQC n
反证法，设 rankQC n 则存在非零向量 ，使
T [B
T 即： B 0
AB
A2 B An1B] 0
T 整理得： B 0 T AB 0
第4章 线性系统的能控性和能观测性
在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是线性系统理论中最重要的基本概念。 本章的内容为： a. 能控性和能观测性的定义
b. 连续时间线性时不变系统的能控性判据
c. 连续时间线性时不变系统的能观测性判据 d. 对偶性
e. 能控规范形和能观测规范形：单入单出情形
直接观察：矩阵 B 除重根第一行外的其他行不包含零行向量，则
系统完全能控。
4.2.5 能控性指标 A(t)x B(t)u, 对连续时间线性时不变系统， x 设 k 为正整数，则如下 n kp 矩阵：
x(0) x0 ,
t 0
其中x为n维状态，u为p维输入， A、B 为 n n 和 n p 常值矩阵
b. 系统的能控性和能达性 系统完全能控/能达：
对连续时间线性时变系统和给定的一个初始时刻 t0 J ，如果状 态空间中所有非零状态在时刻 t0 J 是能控/能达，则称系统 在
时刻 t 0 为完全能控/能达。 c. 系统的一致能控性和一致能达性
如果连续时间线性时变系统对任意初始时刻 t0 J 均为完全能控/
QC [ B AB
A2 B An1 B]
则系统完全能控的充分必要条件是： rankQC n 证明：充分性 （ 即由 rankQC n 推知系统完全能控）
x , x x x 0
T
反证法，设系统有一个状态 x 不可控，其余 x 为可控状态。则： 能控状态的表达式： 0 x(ta ) e x e A(t τ) Bu( )dτ

表明系统为状态完全可控
例4-2-2 考察系统 的状态可控性。
1 2 1 1 0 0 1 0 x 0 1 u x 1 0 3 0 0 1 2 1 1 2 2 4 0 1 0 1 A2 B 0 1 0 1 0 3 1 0 4 2 26 6 17 6 3 2 17 2 21
λ2
矩阵 B 不包含零行向量，即 B 的各行向量满足：
bi 0 i 1,2,, n
情况二：A的特征值存在重复，设 1 重复r次 则系统完全能控的充分必要条件为对状态方程通过非奇异 线性变换导出的约当规范形
0 0 λ1 1 0 0 1 0 0 λ1 0 x x Bu λr 1 0 0 0 0 λn 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 rank[ sI A, B] rank 0 0 0 1 0 0 0 5 0 2 1 0 0 0 0 1 0 1 4 rank 0 0 1 0 0 5 0 2
同理，对 3 5
4.2
连续时间线性时不变系统能控性判据
4.2.1 格拉姆矩阵判据 连续时间线性时不变系统的状态方程为：
Ax Bu, x x(0) x0 , t 0
其中：为 x n维状态，u 为p维输入，A和B为n n 和 n p 常值矩阵 连续时间线性时不变系统为状态能控的充分必要条件：
Qk [ B AB A2 B Ak 1 B]
当 k n 时，即为能控性判别矩阵。 定义：对完全能控连续时间线性时不变系统的能控性指标 为 使 rankQk n 成立的 k 最小正整数。
直观上，对 Q k 矩阵， k 由1依次增加，直到
则 k 即为 。
rankQk n
能控性指标估算： 对完全能控连续时间线性时不变系统，设状态维数为n，输入 维数为p，
存在时刻 t1 0 使如下定义的n×n格拉姆（Gram）矩阵满秩
WC (0, t1 ) t10e来自 AτBB e
T
AT τ
dτ
（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵， 比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）
4.2.2 秩判据 连续时间线性时不变系统构造能控性矩阵：
例4-2-1 考察系统
1 2 2 2 0 1 1 x 0 u x 的状态可控性。 0 1 1 1
解：
Qc B

AB
因为： det Qc 10 所以： rankQ c 3
2 4 0 A2 B 0 1 0 1 1 5
At t0 ta
x e Aτ Bu( )dτ
t0
ta
x x x e Aτ Bu( )dτ 0
T T t0
ta
x e Aτ B 0
T
将上式对 求导，并在原式及结果中令 0 (e Aτ 0) ，得：