第十四章 整式乘除与因式分解

第十四章 整式乘除与因式分解

第一节 整式乘法及应用

1. 求()

[]()1123---x x x 展开后，2x 项的系数。 【答案】3

2. 先化简，再求当139=

x 时()()()()()221233422-+-+-+--x x x x x x x 的值 【答案】2

3. 化简()()

[]13211--++-+-+n x x x x x ，其中n 为大于1的整数。

【答案】1+()n x - 4. ⑴已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.

(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.

解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则2220002

x y x y ⎧-=±⎨-=⎩

得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).

(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)

5. 已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y,求代数式xy x y

+的值. 解:提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13 6. 设（a ，b ）为实数，那么a 2+ab +b 2﹣a ﹣2b 的最小值是 .

【答案】-1

【提示】原式=()()()22211252a b a b ⎡⎤++-+--⎣

⎦，当a =0，b =1时，有最小值为-1.

第二节 整式除法及应用

1.设()1232+-=x x x g ，()1323---=x x x x f ，求用()x g 去除()x f 所得的商及余式。

【答案】商式=9731-x ，余式=9

2926--x 。 2. 试确定a 和b 的值，使224+-+bx ax x 能被232++x x 整除。

【答案】a =–6，b=3。

3.求一个关于x 的二次三项式y ，它被x -1除余2；被x -2除余8，并且被x +1整除

【答案】设这个二次三项式为2y ax bx c =++，

由题意得24280a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩

解得53123a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩

所求的二次三项式为25233

x x +-

第三节 因式分解

1. 给出三个多项式：222111131222x x x x x x +-++-，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解. 【答案】答案不唯一，如选择多项式：22111,3122

x x x x +-++ 则：22

21

1

(1)(31)4(4)22x x x x x x x x +-+++=+=+ 如选择多项式：

2211122

x x x x +--，， 则()()22211111122

x x x x x x x +--=-=+-+ 如选择多项式：22113122

x x x x ++-，， 则()2222113121122x x x x x x x ++-=++=++ 2.分解因式：()()()222241+-21++1-y x y x y

原式=()()()()2222221++1--21--21+y x y x y x y ⎡⎤⎣⎦

=()()()22221++1--2y x y x ⎡⎤⎣⎦

=()()()()22221++1-+21++1--2y x y x y x y x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

=()()()()2222+1--1-1--1x y x x y x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

=()()()()+1-1+1-+-1--x x x xy y x xy y

3. 因式分解：（1）x 4＋x 2＋1； （2）a 3＋b 3＋c 3－3abc

（1）分析：x 4＋1若添上2x 2可配成完全平方公式

解：x 4＋x 2＋1＝x 4＋2x 2＋1－x 2=(x 2＋1)2－x 2=(x 2＋1＋x)(x 2＋1－x)

（2）分析：a 3＋b 3要配成（a ＋b ）3应添上两项3a 2b ＋3ab 2

解：a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＋c 3－3abc －3a 2b －3ab 2

=(a ＋b)3＋c 3－3ab(a ＋b ＋c)

=(a ＋b ＋c)[(a ＋b)2－(a ＋b)c ＋c 2]－3ab(a ＋b ＋c)

=(a ＋b ＋c)(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc)

4. 因式分解2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20

解：∵2x 2＋3xy －9y 2=(2x －3y)(x ＋3y),故用待定系数法，

可设2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋a)(x ＋3y ＋b)，

其中a,b 是待定的系数，比较右边和左边的x 和y 两项的系数，得

⎩

⎨⎧-=-=+333142b a b a 解得 54==b a ∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋4)(x ＋3y ＋5)

[另解]原式=2x 2＋(3y ＋14)x －(9y 2＋3y －20)，这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－(3y －4)(3y ＋5),用待定系数法，

可设2x 2＋(3y ＋14)x －(9y 2＋3y －20)=[mx －(3y －4)][nx ＋(3y ＋5)] 比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1

∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋4)(x ＋3y ＋5)