解析几何常用结论

《直线和圆》常用结论

1、倾斜角的定义及范围：当直线非水平线时，x 轴的正方向绕这条直线和x 轴的交点逆时针转到和直线重合的位置所转过的最小正角.倾斜角的取值范围是：[0,л)

2、直线的斜率定义和斜率公式：

斜率定义：tan k α=（α是直线的非直角倾斜角）斜率公式：过点112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠的直线的斜率为：21

21

y y k x x -=

-.斜率的几何意义：非竖直直线上的任一个点向右运动一个单位，

纵方向的改变量.

3、把垂直于直线的向量叫做直线的法向量，平行于直线的向量叫方向向量.利用法向量与方向向量很容易写出直线的一般式方程. 已知点1122(),(,)P x y Q x y ，则 （1）与向量2121(,)PQ x x y y =--平行的直线的方程可设为：

2121

x y

C x x y y -=--;

（2）与向量2121(,)PQ x x y y =--垂直的直线的方程可设为：2121()()x x x y y y C -+-=. 口诀：相量垂直，相乘相加;向量平行 相除相减.

4、点00(,)P x y 关于点(,)Q s t 的对称点的坐标为：00(2,2)s x t y --.特别地，点00(,)P x y 关于原点的对称点的坐标为：00(20,20)x y ⨯-⨯-，即00(,)x y --.

5、直线0Ax By C ++=关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2)(2)0A u x B v y C -+-+=. 直线0Ax By C ++=关于原点、x 轴，y 轴对称的直线的方程分别为：()()0A x B y C -+-+=，

()0Ax B y C +-+=，()0A x By C -++=.

6、直线0Ax By C ++=关于直线,x u y v ==对称的直线的方程分别为： (2)0A u x By C -++=，(2)0Ax B v y C +-+=.

7、曲线(,)0f x y =关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2,2)0f u x v y --=.

8、点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：00022(2Ax By C

A x A B

++-++（），

00022

(2))Ax By C

B y A B ++-++.特别地，

当||||0A B =≠时，点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标（x,y ）满足方程组0000

00By C x Ax By C A Ax By C Ax C y B

+⎧=-

⎪++=⎧⎪⇒⎨⎨++=+⎩⎪=-⎪⎩，即坐标为：00(,)By C Ax C A B

++--.点(,)P s t 关于x 轴、y 轴，直线x u =，直线y v =的对称点的坐标分

别为：(,),(,),(2,),(,2)s t s t u s t s v t ----.

9、过点00(,)P x y 作直线0Ax By C ++=的垂线段，垂足的坐标为： 00022((1)Ax By C A x A B ++⨯-++，00022(1))Ax By C

B y A B

++⨯-++.

10、圆的四种方程:（1）圆的标准方程 222

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

2

0x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩.

（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).

11、过圆222x y r +=上一点M 00(,)x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=；以圆222

x y r +=内非圆心的一点00(,)x y 为中点的弦所在直线的方程为22

0000x x y y x y +=+ ； 过圆

222x y r +=外一点M 00(,)x y 引圆的两条切线，则过两个切点的直线的方程为200x x y y r +=;

若M 00(,)x y 是圆222

x y r +=内除圆心（0，0）处的一点，则直线200x x y y r +=与这个圆的位置关系为相离; 若M 00(,)x y 是圆222

x y r +=外一点，则直线200x x y y r +=与这个圆的位

置关系为相交;若直线:0l Ax By C ++=与圆222

x y r +=(r>0)相切，则A,B,C 与半径r 的关系为：22222

A r

B r

C += 12、过圆

C :222()()x a y b r -+-=上一点00(,)x y 的圆

C 的切线方程为

200()()()()x a x a y b y b r --+--=.以圆C :2

22()

()x a y b r -+-=内非圆心的一点M 00(,)x y 为中点

的圆C 的弦所在直线的方程为22

0000()()()()()()x a x a y b y b x a y b --+--=-+-.若直线

:0l Ax By C ++=与圆

C :2

2

2

()()x a y b r -+-= (r >0)相切，则A,B,C ,r, x 0, y 0的关系为：

2222200()A r B r Ax By C +=++

13、点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若d =

d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.

14、直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .

其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

15、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;

条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .

16、圆的切线方程

(1)已知圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=．

①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是

0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++

++=.