简单线性规划课件
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高一数学《简单的线性规划问题》课件
x y 4 0 例2、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1 y 求 的取值范围. x
y B A
C
x
y B A
C
x
方法小结
非线性目标函数的最值问题的求解 ① 分析目标函数的几何意义 ② 将目标函数化归成具有明显几何 意义的函数
考点讲解
三、含参变量线性规划问题的求解
y
B
A
C
x
方法小结
简单线性规划求解的步骤：
①画 ②作 ③移 ④求
画可行域 作线性目标函数 平移线性目标函数 求目标函数的最值
方法小结
简单线性规划求解需要注意的问题：
① 可行域是否包含边界 ② 目标函数最值与直线截距之间的关系 ③ 目标函数对应直线的斜率与边界线 斜率之间的关系
考点讲解
二、非线性目标函数的最值问题
小结提升
简单的线性规划问题求解的步骤：
画
作
移
求
简单的线性规划的作用：
二元函数的最值问题
简单的线性规划的基本思想：
数形结合
课后作业
作业手册：P263
x y 4 0 例3、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1 z -kx y在点 1,3 取得最大值，求 k的取值范围.
考点讲解
四、线性规划的应用
例5、在平面直角坐标系xOy中，已知平 面区域A= ( x, y ) x y 0, 且x 2, y 0， 则平面区域B ( x, y) ( x y, x y) A 的面积为 ___________ .
简单的线性规划问题
考点分析
线性规划是优化的具体模型之一.考纲要 求 学生能够体会线性规划的基本思想，并能
简单线性规划最终版课件
【解题回顾】要能从实际问题中, 建构有关线 性规划问题的数学模型.关键求出 约束条件和目标函数.
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
简单线性规划课件
结 论 : 形 如2 x y t ( t 0) 的直线与 2 x平面区域上 示的平面区域 x-4y≤-3 问题1：ｘ有无最大(小)值？
3x+5y≤25 x≥1
问题２：ｙ有无最大(小)值？
y
x=1
C
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
x 4 y 3 1.先 作 出 3 x 5 y 25 x 1 所表示的区域 .
C
5
2.作直线 l0 : 2 x y 0
3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x y t , t R
A B
O
1 5 x=1
2x y 0
直线L越往右平移 ,t的值越大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点 B(1,1)的直线所对 应的t值最小. Z max 2 5 2 12, Z min 2 1 1 3
x y 1, y x, y 0,
答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。
练习2 ： 求z=3x+y的最 大值，使式中x、y满足 下列条件：
2x 3 y 24 x y 7 y 6 x 0 y 0
8 (0,6)
不等式组称为x，y 的约束条件。
线性约束条件：关于x，y 的一次不等式或方程
组成的不等式组称为x，y 的线性约 束条件。
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变
量x，y 的解析式称为目标函数。
线性目标函数：关于x，y 的一次目标函数称
为线性目标函数。
线性规划的相关概念
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
数学：3.5.2《简单线性规划》课件(新人教B版必修5)
x - y 0 Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3 (1)已知 x y - 1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
x+2y4, （2）在约束条件 x–y 1, 下 x+20 求目标函数z=3x–y的最小值和最大值 zmin=3(–2)–3= –9.
m ax
m in
11
求：
因此当x＝9，y＝8时，zmin＝－3×9＋2×8＝－11. 5 5 当x＝－2，y＝2时，zmax＝－3×(－2)＋2×2＝11.
例2.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg 要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg 可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只 有煤360 t，电力200 KW，劳动力300个，在这种条件下应生 产甲、乙两种产品各多少千克获得最大经济效益？ 解：设此工厂应分别生产甲、乙产品x kg、y kg，利润z万元，则依 题意可得约束条件：
y
x=1
C
x-4y=-3
A
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
y x=1
C x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25， x≥1
x－y－2＝0， 3 2 2 71 3 (2)求z＝x ∴t＝ 远．联立 ， ＋y 的最值．∴t＝，2 得C 24， 2 2y－3＝0，
人教B版高中数学必修五课件3.5.2简单线性规划
由53xx＋ ＋25yy＝ ＝210500， ， 解得xy＝＝7111059900，
.
设点 A 的坐标为2700，970，点 B 的坐标为71090，11590， 则不等式组(※)所表示的平面区域是四边形的边界及其内部 (如图中阴影部分)．
令 z＝0，得 7x＋10y＝0，即 y＝－170x.
解决简单线性规划的方法为图解法，就是用一组平行直线 与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值， 从而求某些函数的最值．
2x＋y≤40 1.若变量 x，y 满足xx＋≥20y≤50
y≥0
，则 z＝3x＋2y 的最大
值是( ) A．90 C．70
B．80 D．40
【解析】 由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域 如图所示．
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.5.2 简单线性规划
1．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成 三类：即点在直线上，点在直线的区域，上点方在直线的区域．
2下．方二元一次不等式组表示的平面区域是其中的每个二元一
次不等式表示的平面区域的． 公共部分
线性规划中的基本概念
名称
目标函 数
由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值，可求2z的 最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在 y 轴上截距的 最大值．
如上图，显然直线过 A 点时，在 y 轴上截距最大． 联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝ ＝1200 ， ∴A(10,20)，∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20 ＝70. 【答案】 C
x≥1
，所表示的平面区
域如图所示(阴影部分)
当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大， 解方程组x3－x＋4y5＝y＝－235 ，得 A 的坐标为(5,2)． 所以 zmax＝2×5＋2＝12. 当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组xx－ ＝41y＝－3 ，得 B 的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.
《简单的线性规划问题》课件3(34张PPT)(人教A版必修5)
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的 不等式叫做二元一次不等式 ;
（2）二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组 称为二元一次不等式组。
2019/5/8
（3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值 构成有序实数对（x,y），所有这样的有 序实数（x,y）构成的集合称为二元一次 不等式（组）的解集。
(包括边界)用不等式可表示为_______ 该区域的面积为_________
EX：
课外练习：
2019/5/8
作业：课本P106 第1题(1),(2) 第2题
x x
2y 3y
18, 27,
x
0,
y 0.
作出以上不等式组所表
示的平面区域:
y
15
C ( 4, 8x + y = 15
x + 3 y = 27
27
x
x + 2 y = 18
例3、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。 对教育市场进行调查后，他得到了下面的 数据表格（以班级为单位）
2019/5/8
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角 坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对， 而点的坐标也是有序实数对，因此，有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标， 进而，二元一次不等式（组）的解集就 可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
2019/5/8
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考
y
o
x
3.3.1
二元一次不等式(组)与平 面区域
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的 不等式叫做二元一次不等式 ;
（2）二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组 称为二元一次不等式组。
2019/5/8
（3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值 构成有序实数对（x,y），所有这样的有 序实数（x,y）构成的集合称为二元一次 不等式（组）的解集。
(包括边界)用不等式可表示为_______ 该区域的面积为_________
EX：
课外练习：
2019/5/8
作业：课本P106 第1题(1),(2) 第2题
x x
2y 3y
18, 27,
x
0,
y 0.
作出以上不等式组所表
示的平面区域:
y
15
C ( 4, 8x + y = 15
x + 3 y = 27
27
x
x + 2 y = 18
例3、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。 对教育市场进行调查后，他得到了下面的 数据表格（以班级为单位）
2019/5/8
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角 坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对， 而点的坐标也是有序实数对，因此，有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标， 进而，二元一次不等式（组）的解集就 可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
2019/5/8
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考
y
o
x
3.3.1
二元一次不等式(组)与平 面区域
0051数学课件：简单的线性规划
坐标即为最优整解．
2.调整优解法：即先求非整数条件下的最优解，
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小） 的整点值，最后筛选出整点最优解．
巩固练习一
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料 的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮 3x 10 y 3000 料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料 x 0 的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少 目标函数为：z =0.7x +1.2y y 0 杯能获利最大？ 练习一.gsp 解：将已知数据列为下表：
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略） 你能否猜测一下Z的最小值可能是多少?
3.最优解的几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义)?
结论2:
线性规划求最优整数解的一般方法:
1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域内的
整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点
9 x + 4 y = 3600 _
得点C的坐标为（200，240）
小结
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
巩固练习 二
某货运公司拟用集装箱托运甲.乙两种货物,一个大集装箱所装托 3 运货物的总体积不能超过24 m ,总重量不能超过1500kg,甲.乙 两种货物每袋的体积.重量和可获得的利润,列表如下:
原 料 奶粉(g) 咖啡(g) 糖(g) 利 润(元) 每配制1杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 3 0.7 4 5 10 1.2 原 料限 额 3600 2000 3000
课件—简单线性规划
首页 向上 向下 快退 快进
快速定位
产品 生产甲种产品 1工时 生产乙种产品 1工时
原料A数量 原料B数量 (kg) (kg) 3 2 1 2
利润 （元） 30
限额数量
1200
800
40 复习提问 问题导入 例01解析 例02解析 例03解析 课堂小结 布置作业
快速定位
首页
向上
向下
快退
快进
解析:设计划生产甲种产品x工时,乙种产品y工时, 3x 2 y 1200 x 2 y 800 则x, y满足线性约束条件 : x 0 y 0
货物 甲 每袋体积 每袋重量 每袋利润 （单位：m3) （单位：百千克） （单位：百元） 复习提问 5 1
20 问题导入 例01解析 乙 4 2.5 10 例02解析 例03解析 问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋（不一定 都是整袋）时，可获得最大利润？ 课堂小结 布置作业
首页 向上 向下 快退 快进
首页 向上 向下 快退 快进
快速定位
即 : M 200,300
3x 2 y 1200 x 200 解方程组 x 2 y 800 y 300
zmax 30 200 40 300 18000 答 : 用200工时生产甲种产品用300工时生产 , 复习提问
快速定位
解析:设购买甲种食物x千克,乙种食物y千克,则购 买丙种食物 10 x y 千克.x, y满足线性约束条件 : 400 x 600 y 400 10 x y 4400 y 2 2 x y 4 800 x 200 y 400 10 x y 4800 复习提问 x 0, y 0 x y 10 10 x y 0 注意考虑问题的实际意义. x 0 问题导入
快速定位
产品 生产甲种产品 1工时 生产乙种产品 1工时
原料A数量 原料B数量 (kg) (kg) 3 2 1 2
利润 （元） 30
限额数量
1200
800
40 复习提问 问题导入 例01解析 例02解析 例03解析 课堂小结 布置作业
快速定位
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快退
快进
解析:设计划生产甲种产品x工时,乙种产品y工时, 3x 2 y 1200 x 2 y 800 则x, y满足线性约束条件 : x 0 y 0
货物 甲 每袋体积 每袋重量 每袋利润 （单位：m3) （单位：百千克） （单位：百元） 复习提问 5 1
20 问题导入 例01解析 乙 4 2.5 10 例02解析 例03解析 问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋（不一定 都是整袋）时，可获得最大利润？ 课堂小结 布置作业
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快速定位
即 : M 200,300
3x 2 y 1200 x 200 解方程组 x 2 y 800 y 300
zmax 30 200 40 300 18000 答 : 用200工时生产甲种产品用300工时生产 , 复习提问
快速定位
解析:设购买甲种食物x千克,乙种食物y千克,则购 买丙种食物 10 x y 千克.x, y满足线性约束条件 : 400 x 600 y 400 10 x y 4400 y 2 2 x y 4 800 x 200 y 400 10 x y 4800 复习提问 x 0, y 0 x y 10 10 x y 0 注意考虑问题的实际意义. x 0 问题导入
3.3.2hao简单线性规划(第1课时)_课件
五、课堂作业
P86 练习2 P93 A组4 B组 3
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，而且 还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
四、本课小结
本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题； 正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健； 线性目标函数的最值一般都是在可行 域的顶点或边界取得； 把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定 要弄清楚.
二、概念学习
1.线性约束条件
x 2 y 8， 4 x 16， 4 y 12， x 0， y 0.
象这样关于x,y二元一次不等式组 的约束条件称为线性约束条件.
2.线性目标函数 3.线性规划
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数 为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数）. 在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
x
问题：求利润2x+3y的最大值. 若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
2 z 2 把z =2x +3y变形为y =- x + ,这是斜率为- , 3 3 3 z z 在y轴上的截距为 的直线(x 0时，y = ), 3 3 当点P在可允 z 的最值 求 求 z的最值. 许的取值范 3 围内
4
N（2，3）
x
3
0
4
1 x4 2 1 z y x 3 3 y
简单的线性规划问题课件
y
y 2x 12
y 2x 3
C(1, 4.4)
y 2x 5
x 4 y 3 这 纵是 截3xx斜距1率为5为zy的-2直，2线5
B(1, 1)
O1
x=1
x－4y+3=0 求z=2x+y的最大
A(5, 2)
值和最小值。
所以z最大值12
5
x
3x+5y－25=0
z最小值为3
【解析】
由z 2x y y 2x z
A
3, 2
5 2
,
zmax
17
B 2, 1, zmax 11
5x＋3y≤15 y≤ x＋1 x－5y≤3
【解析】
5x 3y 15 0
x y1 0
A
练习 B
x 5y 3 0
7
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域,
和直线 ax by 不0(全a,b为 目标0函，数为
y
C
5
A B
O1
x
5
1
复习： vv二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域。
确定方法：
方法1：直线定界，特殊点定域；
若C≠0，则直线定界，原点定域；
方法2：如：x－y+1<0
x<y－1
表示直线x-y+1=0左侧的区域。
注意：若不等式中是严格不等号，则边界
【解析】
由z 2x y y 2x z
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
3.4.2《简单线性规划》课件(北师大版必修5)
所以 zmin＝4＋3＝7.
x＋3y≥12 线性约束条件x＋y≤10 3x＋y≥12 最小值．
下， z＝2x－y 的最大值和 求
• 先画出可行域，利用直线z＝2x－y的平移来
寻求最优解，最先或最后通过的可行域顶点 坐标即为最优解，它可以使目标函数取得最 大值或最小值．
[解题过程] 如图作出线性约 x＋3y≥12 束条件 x＋y≤10 3x＋y≥12
2 3 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求a＋b的最小值．
解析： 不等式组表示的平面区域如图 所示阴影部分． 作直线l：ax＋by＝0(a＞0，b＞0)向 上平移直线l，目标函数z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的值随之增大．由图可知当直线l过 直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函 数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值为12，
1 1－－2
7 2 7 kQA＝ ＝ ＝ . 1－－1 2 4
3 7 故z＝2k∈4，2.
1 3－－2
y－b [题后感悟] 若目标函数为形如z＝ ，可考虑(a，b) x－a 与(x，y)两点连线的斜率． 若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与 (a，b)两点距离的平方．
x－y－2＝0， 2y－3＝0，
得C
7 3 ， 2 2
7 3 ，所以当x＝ 2 ，y＝ 2
7 3 29 2 ＋ 2＝ . 时，目标函数z取最大值，zmax＝ 2 2 2
3 13 综上，当x＝1，y＝2时，z的最小值为 4 . 7 3 29 当x＝2，y＝2时，z的最大值为 2 .
• [题后感悟] 这是一道线性规划的逆向思维
问题．解答此类问题必须明确线性目标函 数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．边界直线 斜率与目标函数斜率间的关系往往是解题 的关键．
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1 9＋ ＜ 34. 4
∴点
3 P ＋ 1， 3到原点距离最大． (10 分 ) a
3 2 ∴ ＋ 1 ＋ 9＝ 34，解得 a
3 a＝ .(12 分 ) 4
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【题后反思】 随着对线性规划问题研究的不断深入，出 现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值， 求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决 这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数 的几何意义，看最值在什么位置取得．
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题型三
已知目标函数的最值求参数
2x＋y－2≥0， 【例3】 (本题满分 12 分)若实数 x，y 满足y≤3， ax－y－a≤0， ＋y2 的最大值为 34，求正实数 a 的值．
且 x2
审题指导 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或 边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意 边界直线斜率与目标函数斜率关系．
得 A 点坐标为(1，－ 1)，所以
zmax＝ 1－ 2×(－ 1)＝ 3.
答案
B
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规律方法 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域， 正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一 般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最 大值点或最小值点．
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题型二 非线性目标函数的最值问题
x－y＋ 2≥ 0， 【例2】 已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤ 0，
求：
(1)z＝ x2＋ y2－ 10y＋ 25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围 x＋ 1
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解 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、 C(7,9)．
1 Q －1，－ 连 2
3 7 7 3 线的斜率的两倍，因为 kQA＝ ，kQB＝ ，故 z 的范围为 ， . 4 8 4 2
规律方法 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几 何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已 知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事 半功倍的效果． (2)常见代数式的几何意义主要有：
52 y＝－2x＋10，x∈[2,4]，∴w＝xy＝x(10－2x)＝－2x－ ＋ 2
25 5 ，x∈[2,4]，故当 x＝ ，y＝5 时，w 取到最大值． 2 2
答案
5 ，5 2
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方法点评 本题把w＝xy转化为相应的矩形的面积是解题 的关键，即把数的问题转化为形的问题来解决．实质上， 整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现．
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x＋2y－3≤ 0， 【训练3】 已知变量 x，y 满足的约束条件为x＋3y－3≥0， y－1≤0.
若
目标函数 z＝ax＋y(其中 a＞ 0)仅在点(3,0)处取得最大值，求 a 的取值范围．
解 依据约束条件，画出可行域． 1 ∵直线 x＋ 2y－ 3＝0 的斜率 k1＝－ ， 目 2 标函数 z＝ ax＋ y(a＞ 0)对应直线的斜率 k2 1 ＝－ a，若符合题意，则须 k1＞ k2.即－ ＞ 2 1 － a，得 a＞ . 2
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[规范解答] 在平面直角坐标系中画出约束 条件所表示的可行域如图(形状不定) (3分) 其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它 经过定点A(1,0)，斜率为a.(6分)
2 2 又由于 x2＋y2＝ x ＋y 2.且 x2＋y2 的最大值等于 34，
所以可行域中的点与原点的最大值距离等于 34.
4.2 简单线性规划
【课标要求】 1．了解线性规划的意义． 2．了解线性规划问题中有关术语的含义． 3．会求一些简单的线性规划问题． 【核心扫描】 1．求目标函数的最值．(重点、难点) 2．本节与直线的截距和斜率，与点到直线的距离，以及方程 等知识联系密切． 3．目标函数的最大值和最小值与其对应直线截距的关系．(易 错点)
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解
x z 作出可行域如图所示，把 z＝ x－ 2y 变形为 y＝ － ，得 2 2
1 z 到斜率为 ，在 y 轴上的截距为－ ，随 z 变化的一组平行直 2 2 x z z 线．由图可知，当直线 y＝ － 经过点 A 时，－ 最小，即 z 2 2 2
x＋ y＝ 0， 最大，解方程组 x－ y－ 2＝ 0，
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题型一
求目标函数的最大值或最小值
则 z＝x
y≤1， 【例1】 若变量 x，y 满足约束条件x＋y≥0， x－y－2≤0， －2y 的最大值为
A．4 B．3 C．2 D．1 [思路探索] 先根据约束条件作出可行域，再平移直线x －2y＝0找到最大值点，代入z＝x－2y可求出最大值．
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① x2＋ y2表示点 (x， y)与原点(0,0)的距离； x－ a2＋y－ b2表示点(x， y)与点 (a， b)的距离． y－ b y ② 表示点(x， y)与原点 (0,0)连线的斜率； 表示点(x， y)与 x x－ a 点 (a， b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
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【示例】 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 (0,1)，(4,2)，(2,6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含 边界)上的点，那么当w＝xy取到最大值时，点P的坐标是 ________． [思路分析]
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课界)如图所示：因为w＝ xy表示矩形OP1PP2的面积，∴只要点P向右方或者向上方 移动，矩形OP1PP2的面积就变大．由图可看出，只有点P 在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使w＝xy 最大，点P一定在线段BC上，∵B(4,2)，C(2,6)，∴线段 BC的方程为
2x＋ y－ 2＝ 0， 解方程组 y＝ 3，
1 得 M 的坐标为 x＝－ ，y＝3. 2
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ax－ y－ a＝ 0， 解方程组 y＝ 3，
3 得 P 的坐标为 x＝ ＋ 1， y＝ 3.(8 分 ) a 又
1 M－ ， 3.OM＝ 2
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x， y)到定点 M(0,5)的距 离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值是|MN| ＝ . 2
2
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(2)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点 x－－1
1 y－－ 2
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自学导引
线性规划中的基本概念
名称
约束条件 线性约 束条件 目标函数
意义
变量x，y满足的一组条件 一次 不等式(或方程)组成的不 由x，y的二元_____ 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解 析式
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名称
线性目 标函数 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题
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名师点睛
求解线性规划问题的注意事项 1． (1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以 是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程． (2)有时可将目标函数z＝ax＋by改写成y＝mx＋nz的形 式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理． (3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的 某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无 数个． (4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求 最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时， 常把视线落在可行域的顶点上．
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方法技巧
数形结合思想
数形结合的主要解题策略是：数⇒形⇒问题的解 决；或：形⇒数⇒问题的解决．数与形结合的基本思路 是：根据数的结构特征构造出与之相对应的几何图形， 并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的 问题转化为数量关系去解决．本节中利用线性规划解决 实际问题是典型的数形结合问题．
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2．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等 式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后 求出所有区域的交集． (2)令z＝0，作出一次函数ax＋by＝0. (3)求出最终结果．在可行域内平行移动一次函数ax＋by＝ 0，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优 解，或是无最优解．
x－ 4y≤－ 3， 【训练1】 已知 x，y 满足3x＋5y≤25， x≥ 1， 大值和最小值．
求 z＝2x－ y，求 z 的最
解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意 义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y轴 上分别取得最小和最大截距的时候． 作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经 上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点 A(5,2)时，zmax＝2×5－2＝8.当l移动到 l2，即过点C(1,4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝ －2.4.
意义 二元一次 解析式 目标函数是关于x，y的_________
解(x，y) 满足线性约束条件的________
集合 所有可行解组成的_____
可行解 使目标函数取得最大值或最小值的_______ 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大 值或最小值问题