简单线性规划课件

1 9＋ ＜ 34. 4
∴点
3 P ＋ 1， 3到原点距离最大． (10 分 ) a
3 2 ∴ ＋ 1 ＋ 9＝ 34，解得 a
3 a＝ .(12 分源自文库) 4
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【题后反思】 随着对线性规划问题研究的不断深入，出 现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值， 求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决 这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数 的几何意义，看最值在什么位置取得．
得 A 点坐标为(1，－ 1)，所以
zmax＝ 1－ 2×(－ 1)＝ 3.
答案
B
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规律方法 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域， 正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一 般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最 大值点或最小值点．
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x＋2y－3≤ 0， 【训练3】 已知变量 x，y 满足的约束条件为x＋3y－3≥0， y－1≤0.
若
目标函数 z＝ax＋y(其中 a＞ 0)仅在点(3,0)处取得最大值，求 a 的取值范围．
解 依据约束条件，画出可行域． 1 ∵直线 x＋ 2y－ 3＝0 的斜率 k1＝－ ， 目 2 标函数 z＝ ax＋ y(a＞ 0)对应直线的斜率 k2 1 ＝－ a，若符合题意，则须 k1＞ k2.即－ ＞ 2 1 － a，得 a＞ . 2
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【示例】 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 (0,1)，(4,2)，(2,6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含 边界)上的点，那么当w＝xy取到最大值时，点P的坐标是 ________． [思路分析]
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解 点A、B、C围成的区域(含边界)如图所示：因为w＝ xy表示矩形OP1PP2的面积，∴只要点P向右方或者向上方 移动，矩形OP1PP2的面积就变大．由图可看出，只有点P 在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使w＝xy 最大，点P一定在线段BC上，∵B(4,2)，C(2,6)，∴线段 BC的方程为
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[规范解答] 在平面直角坐标系中画出约束 条件所表示的可行域如图(形状不定) (3分) 其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它 经过定点A(1,0)，斜率为a.(6分)
2 2 又由于 x2＋y2＝ x ＋y 2.且 x2＋y2 的最大值等于 34，

所以可行域中的点与原点的最大值距离等于 34.
4.2 简单线性规划
【课标要求】 1．了解线性规划的意义． 2．了解线性规划问题中有关术语的含义． 3．会求一些简单的线性规划问题． 【核心扫描】 1．求目标函数的最值．(重点、难点) 2．本节与直线的截距和斜率，与点到直线的距离，以及方程 等知识联系密切． 3．目标函数的最大值和最小值与其对应直线截距的关系．(易 错点)
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名师点睛
求解线性规划问题的注意事项 1． (1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以 是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程． (2)有时可将目标函数z＝ax＋by改写成y＝mx＋nz的形 式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理． (3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的 某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无 数个． (4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求 最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时， 常把视线落在可行域的顶点上．
52 y＝－2x＋10，x∈[2,4]，∴w＝xy＝x(10－2x)＝－2x－ ＋ 2
25 5 ，x∈[2,4]，故当 x＝ ，y＝5 时，w 取到最大值． 2 2
答案
5 ，5 2
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方法点评 本题把w＝xy转化为相应的矩形的面积是解题 的关键，即把数的问题转化为形的问题来解决．实质上， 整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现．
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方法技巧
数形结合思想
数形结合的主要解题策略是：数⇒形⇒问题的解 决；或：形⇒数⇒问题的解决．数与形结合的基本思路 是：根据数的结构特征构造出与之相对应的几何图形， 并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的 问题转化为数量关系去解决．本节中利用线性规划解决 实际问题是典型的数形结合问题．
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题型一
求目标函数的最大值或最小值
则 z＝x
y≤1， 【例1】 若变量 x，y 满足约束条件x＋y≥0， x－y－2≤0， －2y 的最大值为
A．4 B．3 C．2 D．1 [思路探索] 先根据约束条件作出可行域，再平移直线x －2y＝0找到最大值点，代入z＝x－2y可求出最大值．
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解
x z 作出可行域如图所示，把 z＝ x－ 2y 变形为 y＝ － ，得 2 2
1 z 到斜率为 ，在 y 轴上的截距为－ ，随 z 变化的一组平行直 2 2 x z z 线．由图可知，当直线 y＝ － 经过点 A 时，－ 最小，即 z 2 2 2
x＋ y＝ 0， 最大，解方程组 x－ y－ 2＝ 0，
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题型二 非线性目标函数的最值问题
x－y＋ 2≥ 0， 【例2】 已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤ 0，
求：
(1)z＝ x2＋ y2－ 10y＋ 25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围 x＋ 1
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解 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、 C(7,9)．
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题型三
已知目标函数的最值求参数
2x＋y－2≥0， 【例3】 (本题满分 12 分)若实数 x，y 满足y≤3， ax－y－a≤0， ＋y2 的最大值为 34，求正实数 a 的值．
且 x2
审题指导 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或 边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意 边界直线斜率与目标函数斜率关系．
2x＋ y－ 2＝ 0， 解方程组 y＝ 3，
1 得 M 的坐标为 x＝－ ，y＝3. 2
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ax－ y－ a＝ 0， 解方程组 y＝ 3，
3 得 P 的坐标为 x＝ ＋ 1， y＝ 3.(8 分 ) a 又
1 M－ ， 3.OM＝ 2
1 Q －1，－ 连 2
3 7 7 3 线的斜率的两倍，因为 kQA＝ ，kQB＝ ，故 z 的范围为 ， . 4 8 4 2
规律方法 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几 何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已 知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事 半功倍的效果． (2)常见代数式的几何意义主要有：
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x， y)到定点 M(0,5)的距 离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值是|MN| ＝ . 2
2
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(2)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点 x－－1
1 y－－ 2
x－ 4y≤－ 3， 【训练1】 已知 x，y 满足3x＋5y≤25， x≥ 1， 大值和最小值．
求 z＝2x－ y，求 z 的最
解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意 义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y轴 上分别取得最小和最大截距的时候． 作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经 上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点 A(5,2)时，zmax＝2×5－2＝8.当l移动到 l2，即过点C(1,4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝ －2.4.
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2．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等 式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后 求出所有区域的交集． (2)令z＝0，作出一次函数ax＋by＝0. (3)求出最终结果．在可行域内平行移动一次函数ax＋by＝ 0，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优 解，或是无最优解．
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① x2＋ y2表示点 (x， y)与原点(0,0)的距离； x－ a2＋y－ b2表示点(x， y)与点 (a， b)的距离． y－ b y ② 表示点(x， y)与原点 (0,0)连线的斜率； 表示点(x， y)与 x x－ a 点 (a， b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
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自学导引
线性规划中的基本概念
名称
约束条件 线性约 束条件 目标函数
意义
变量x，y满足的一组条件 一次 不等式(或方程)组成的不 由x，y的二元_____ 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解 析式
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名称
线性目 标函数 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题
意义 二元一次 解析式 目标函数是关于x，y的_________
解(x，y) 满足线性约束条件的________
集合 所有可行解组成的_____
可行解 使目标函数取得最大值或最小值的_______ 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大 值或最小值问题
想一想：在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示 不一定，可能有一个或多个．