事件的相互独立性教案
04事件的相互独立性(教案)
2． 2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：4课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
高考数学复习知识点讲解教案第62讲 随机事件的相互独立性与条件概率
概率的积,则事件,为相互独立事件.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定两个事件是相互独立的;
（2）确定两个事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题（1）
（多选题）[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，信号
的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 0 < < 1 ，收到0的概率为1 − ；
由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 1 −
2 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，
则收到的信号可能为 1,1,0 ， 1,0,1 ， 0,1,1 ， 1,1,1 ，
故所求概率为3ሺ1 −
2
ሻ
+ 1−
3 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，
5
1 2
别为 ， ，则该谜题被破解的概率为___.
6
2
3
[解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件，“乙独立地破解出该谜题”为事件，
“该谜题被破解”为事件，且事件与相互独立，
则 = 1 − = 1 − 1 −
1
2
× 1−
2
3
=
5
.
6
3.［教材改编］
交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发现该地区上
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识聚焦 ◆
1.事件的相互独立性
（1）定义：对任意两个事件与,如果
=____________成立,则称事件与
事件相互独立.
（2）判断方法：
①根据定义；
2022年高中数学第十章概率10-2事件的相互独立性1教案新人教A版必修第二册
110.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A 版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体234()A A A B B AB AB ()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=56AB,且AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得))=AB P)()A PB P⋅+⨯+⨯0.10.2AB AB,且AB)=+P AB P ABAB AB)()()+0.720.98P AB AB=由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为0.020.98=7A B()0.6,()0.5.P A P B甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，A与B 独立,进而89C A B AB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测 1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案:B 解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B .2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42 C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或B B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (B B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42.答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第10 二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( )A.1-a-bB.1-abC.(1-a )(1-b )D.1-(1-a )(1-b ) 答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= .答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112.5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=11()()0.050.050.0025P A P B()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
独立性检验教学案
独立性检验教学案班级：_______ 姓名:_________ 学号： 面批时间：________课前预习案【学习目标】通过案例，了解独立性检验及它们的初步应用. 【教学重点与难点】独立性检验的基本思想与初步应用. 【自主学习】1.事件A 与B 相互独立:(1)定义:一般地,对于两个事件A,B,若满足 ,则称事件A 与B_________,简称A 与B 独立.(2)性质:一般情况下,当事件A 与B 独立时,事件 、 、 也独立.2.独立性检验:(即判断是否相关)设两个变量A,B,每一个变量都可以取两个值,统计数据如下列22⨯列联表: 1B 2B合计1A a b a b + 2Acdc d+合计a c +b d + n a bc d=+++则进行检验变量A 与B 是否相关的步骤如下:(1)由公式22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++计算2χ的值;(2)判断2χ与两个临界值(即 与 )的大小,即当2 6.635χ>时, 有 的把握说事件A 与B 有关;当2 3.841χ>时,有 的把握说事件A 与B 有关;当2χ≤ 时,认为事件A 与B 无关.【预习自测】某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏菌情况，结果如下表，试检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异.带菌头数不带菌头数合计屠宰场 6 24 30零售点10 12 22合计16 36 52独立性检验教学案班级：_______ 姓名:_________ 学号：面批时间：________课内探究案【精讲点拨】题型一:相互独立事件的概率求解,例1.三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,543且他们是否破译出密码互不影响.求:(1)他们都破译出密码的概率;(2)至少有一人破译出密码的概率;(3)恰有二人破译出密码的概率.变式训练:(2010年高考江西卷文科第9题)有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(01)＜＜，假设每位同学能否通过测试是相互p p独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A．(1)n--pp-C．n p D．1(1)n-B．1n p题型二:独立性检验(即判断两个变量是否相关,把握性有多大)例2.（2010年高考辽宁卷文科第18题第2问）为了比较注射A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组.每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的实验结果.（疱疹面积单位：2mm）完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”. 表3: 疱疹面积小于270mm疱疹面积不小于270mm合计注射药物A a = b =注射药物B c =d =合计n =附:2()P Kk ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc Ka b c d a c b d -=++++独立性检验教学案课后拓展案A 组1. 统计推断,当k________时,至少有95%的把握说事件A 与B 有关;当k________时,认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的.2. 在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的。
人教版高中数学选修2-3：2.2.2 事件的相互独立性教案
(一) 复习引入问题1：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？诸葛亮一人组成的团队PK臭皮匠三人组成的团队，他们解决同一个问题的概率分别为：诸葛亮解决问题的概率为0.85；臭皮匠老大解决问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3,要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人解决问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大？臭皮匠团队的亲友团做了如下的解释，设事件A：臭皮匠老大能解决问题；事件B：臭皮匠老二能解决问题；事件C：臭皮匠老三能解决问题；则臭皮匠团队能胜出的概率为P=P（A）+P（B）+P（C）=0.5+0.45+0.4=1.35，所以臭皮匠团队必胜。
你认为这种计算方法合理吗？教师提问，让学生利用已有知识对臭皮匠亲友团的回答做出是否正确的判断。
将我们的俗语改编成题，激发学生学习兴趣，同时引出本节主要内容：事件的独立性。
课题2.2.2 事件的相互独立性课时 1 授课时间主备人：教学目标知识与技能了解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件。
了解相互独立事件同时发生的概率的乘法公式，会运用此公式计算一些简单的概率问题。
过程与方法：经历概念的形成及公式的探究、应用过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力，培养学生自主学习的能力与探究问题的能力。
情感态度与价值观：通过设置恰当而有趣的课前引例，激发学生学习本小节知识的兴趣，通过小组合作学习让学生体会合作学习的乐趣教学准备ppt重点难点教学重点：了解相互独立事件的概念，如何求相互独立事件都发生的概率。
教学难点：公式的推导与应用。
教师活动学生活动设计意图。
数学选修2-3教案：2.2.2事件的独立性
高中数学课程12.2.2 事件的独立性【教学目标】①了解两个事相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能应用公式解决简单的问题；②通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟悉概率的计算方法，提高运用数学解决实际问题的能力.【教学重点】 独立事件同时发生的概率【教学难点】 有关独立事件发生的概率计算一、 课前预习1.复习回顾：①不可能事件：______________________________②必然事件：________________________________③随机事件：________________________________④互斥事件（或互不相容事件）:______________________________________ ⑤对立事件：___________________________________⑥事件A 与B 的交（或积）：______________________2.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率_________,即______________,则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.3.当事件A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.4.两个相互独立事件同时发生的概率公式为：._________)( B A P推广：____________________________________________________________二、 课上学习高中数学课程2 例1、甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率;（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？三、课后练习1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率为___________2.加工某一零件需在流水线上经过两道工序，两道工序分别出次品的概率为0.02与0.03，则这条流水线上出来的产品是次品的概率是____________.3.甲射击命中目标的概率为21，乙命中目标的概率为31，丙命中目标的概率为41，现在三人同时射击目标，则恰有一人击中目标的概率为_________,目标被击中的概率为_____________.4.如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是___________。
人教版数学九年级上册《概率》教案1
人教版数学九年级上册《概率》教案1一. 教材分析《概率》是人教版数学九年级上册的一章内容，主要介绍了概率的基本概念、事件的相互独立性、概率的计算方法等。
本章内容是学生对概率的初步认识，为后续更深入的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了相关数学知识，如函数、统计等，但对概率的概念和计算方法可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解概率的概念，并通过实例让学生掌握概率的计算方法。
三. 教学目标1.了解概率的基本概念，理解事件的相互独立性。
2.学会使用概率公式计算简单事件的概率。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.概率的概念和事件的相互独立性。
2.概率公式的运用和计算。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究概率的计算方法。
2.通过实例分析，让学生理解概率的概念和事件的相互独立性。
3.运用小组讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.教学PPT或黑板。
2.与概率相关的实例和习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，如抛硬币实验，引导学生思考概率的概念。
提问：抛硬币实验中，正面朝上的概率是多少？为什么？2.呈现（10分钟）介绍概率的基本概念，如必然事件、不可能事件、随机事件等。
通过PPT或黑板，展示概率的定义和符号表示。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，如掷骰子、抽签等，计算其概率。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对各组的计算结果，进行讲解和分析，巩固概率的计算方法。
提问：如何判断两个事件是否相互独立？5.拓展（10分钟）介绍事件的相互独立性，并通过实例让学生理解。
提问：如何计算两个相互独立事件同时发生的概率？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调概率的概念和事件的相互独立性。
7.家庭作业（5分钟）布置相关习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）总结本节课的主要内容和重点知识点。
相互独立事件教案
相互独立事件教案教案标题：相互独立事件教案教案目标：1. 学生能够理解相互独立事件的概念和特征。
2. 学生能够运用相互独立事件的概念解决实际问题。
3. 学生能够运用概率的知识计算相互独立事件的概率。
教学内容：1. 相互独立事件的定义和特征。
2. 相互独立事件的计算方法。
3. 相互独立事件的实际应用。
教学步骤：引入活动：1. 引入概率的概念，让学生回顾已学的概率知识。
2. 提出一个问题，例如：“如果一个骰子掷出了一个6，那么下一次掷出6的概率是多少？”引导学生思考相互独立事件的概念。
教学主体：1. 解释相互独立事件的定义和特征，例如：“当一个事件的发生与另一个事件的发生无关时，这两个事件就是相互独立的。
”2. 通过示例解释相互独立事件的计算方法，例如：“如果掷一枚硬币两次，每次都是正面向上的概率是多少？”3. 引导学生进行练习，计算一些相互独立事件的概率。
拓展活动：1. 提供一些实际问题，让学生应用相互独立事件的概念解决问题，例如：“在一副扑克牌中，从中抽出一张牌，放回后再抽出一张牌，两次都是红心的概率是多少？”2. 引导学生思考相互独立事件在生活中的应用场景，例如：“购买彩票中奖的概率是否是相互独立事件？”3. 鼓励学生提出自己的问题，并尝试用相互独立事件的概念解决。
总结：1. 回顾相互独立事件的定义和特征。
2. 强调相互独立事件的计算方法和实际应用。
3. 鼓励学生在日常生活中运用相互独立事件的概念解决问题。
评估：1. 设计一些练习题，考察学生对相互独立事件的理解和应用能力。
2. 观察学生在拓展活动中的表现，评估他们的思维能力和创造力。
教学资源：1. 骰子、硬币等概率实验工具。
2. 扑克牌、彩票等实际问题的材料。
3. 相关练习题和解答。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究条件概率和独立性的关系。
2. 扩展学生对概率的理解，引入更复杂的概率问题，例如互斥事件和非互斥事件。
这个教案旨在帮助学生理解相互独立事件的概念和特征，并能够应用概率的知识解决实际问题。
相互独立事件同时发生的概率优秀教学设计
重难点创新教学方法：教案内容：人教2007修订版高二数学（选修2-3）第二章第3节第一课时§2.3.1相互独立事件同时发生的概率教案说明的思路：一、教材结构与内容简析：本节内容“相互独立事件同时发生的概率”是高二数学（选修2-3）第二章第3节第一课时的内容，此前学生已学了“等可能事件”、“互斥事件发生的概率”，所以学好本节内容是对前面知识的深化和拓展。
通过本节学习不仅要掌握相互独立事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用,为后继学习独立重复试验等概率知识以及今后升入高一级院校学习相关知识奠定良好基础, 而且更重要的是让学生真正意识到集体的力量大于个人的力量,虚心求教的必要性,养成谦虚求教的良好治学态度,适时地对学生进行德育教育。
概率论是研究随机现象规律性的学科，应用广泛，已渗透到社会生活的方方面面，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学发展提供理论依据。
本节仅限于两个事件相互独立时，研究它们的积事件的概率。
要求学生掌握相互独立事件的概念和计算，为学习后继课程打下基础。
概率这门学科要求对基本概念、基本性质和方法的理解比较强，本节在确定教学目标时，要结合概率知识的特点，教学时，一要使学生理解基本概念和计算方法，二要通过实例体会将复杂事件转化为和或积事件的思考方法。
基本概念搞清楚了，常规计算掌握了，这节课的教学目标就基本达到了。
二．学情分析：认知分析：高二学生此前学生已学了“等可能事件”、“互斥事件发生的概率”，已经具备具备一定数学基底，有学习本节内容的基础，教学应从设疑入手，引导其探索，提出解决问题的方法，重在进一步培养其分析问题、解决问题的能力和创新意识。
能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养。
情感分析：多数学生对数学学习有兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流方面，有待加强。
数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是携学生探究和思考，传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生传授正难则反数学方法。
“事件的相互独立性说课稿
事件的相互独立各位评委、各位老师，大家好。
我是张彬今天，我说课的内容是《事件的相互独立》。
下面我将从教材分析、核心素养及教学目标、教学的重难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学反思七个方面来说解。
一、教材分析本节选自人教版A版必修二的第十章第二节。
在已学古典概型，互斥事件和对立事件的基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，它的主要作用是简化概率计算、相互独立事件同时发生的概率是典型的概率模型。
将复杂问题分解为这种基本形式，是处理概率问题的基本方法。
同时为伯努利试验和二项分布的学习作铺垫.因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。
高考方向⼆、核心素养及教学目标根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下核心素养角度：1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念确定本节课的教学目标1.了解独立性的概念, 从对独立性的感性认识 (直观判断) 过渡到独立性的定义2. 了解并会应用独立性的判定 P (AB) =P (A)P (B)3. 会对实例进行分析，应用独立性性质对概率问题的解决和应用.三、教学的重难点1、教学重点：独立事件同时发生的概率2、教学难点：独立事件的判定及概率计算我通过“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的概率故事，引起学生兴趣，并利用独立性概念的判定 P (AB) =P (A)P (B) ，用小组讨论发现其中存在的问题，求出独立事件发生的概率。
再通过课堂练习和课后练习，加深对独立事件公式的理解和应用四、学情分析1学习状况：学生已经学习和了解了古典概型，互斥事件，对立事件2学生情况：学生对独立性有了感性认识学习，对独立性的定义这样抽象的理论难免会存在无法完全接受的现象，但是总体还是乐观学习3解决对策：通过实际例子直观理解、激发兴趣、分层兼顾五、教法与学法1、教法：在教学过程中，不仅仅要使学⽣“知其然”，还要使学⽣“知其所以然”。
事件的独立性大学数学教案2
第五节 事件的独立性内容分布图示★ 引例★ 两个事件的独立性★ 例1★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性 ★ 相互独立性的性质★ 例2★ 例3★ 例4★ 例5★ 伯努利概型★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-5内容要点：一、 两个事件的独立性定义 若两事件A ,B 满足)()()(B P A P AB P = (1)则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立.注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证).定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:A 与B ,A 与B ,A 与B .二、有限个事件的独立性定义 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====则称事件C B A ,,相互独立.对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义:定义 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立.三、 相互独立性的性质性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独由独立性定义可直接推出.性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意)1(n m m ≤≤个事件换成它们的对立事件, 所得的n 个事件仍相互独立;对2=n 时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略. 性质3设n A A A ,,,21 是n )2(≥n 个随机事件，则 n A A A ,,,21 相互独立←/→ n A A A ,,,21 两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质,四、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生(记为A ) 或 事件A 不发生(记为A ), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设),10(,1)(,)(<<-==p p A P p A P将伯努利试验独立地重复进行n 次, 称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.注: n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A 在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中A 是否发生的影响.定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为).,,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k n kk n =-==-推论 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中, 事件A 在第k 次试验中的才首次发生的概率为).,,1,0(,)1(1n k p p k =--注意到“事件A 第k 次试验才首次发生”等价于在前k 次试验组成的k 重伯努利试验中“事件A 在前1-k 次试验中均不发生而第k 次试验中事件A 发生”,再由伯努利定理即推得.例题选讲：两个事件的独立性例1 (讲义例1)从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记=A {抽到K }, =B {抽到的 牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立?注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.解一利用定义判断. 由,131524)(==A P ,215226)(==B P ,261522)(==AB P。
《事件的独立性》教学案
高二数学《事件的独立性》教学案一、教学目标（1）正确理解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件。
（2）掌握相互独立事件都发生的概率的乘法公式，会运用此公式计算一些简单的概率问题。
二、教学重点与难点重点：相互独立事件的概念及都发生的概率公式。
难点：对相互独立事件的理解。
用概率公式解决实际问题。
三、教学过程（一）、温故知新（大约5分钟）1、什么是条件改率；2、事件A与B交或积的定义；3、条件概率公式。
4、在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮鸡蛋，两个白皮鸡蛋，每次取一个，有放回地取两次:(1)求在第一次取到红鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率;(2)求在第一次没有取到红鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率。
（前三问同位互查，第四问学生在学案上写出，对照课本校正。
引出课题）（二）、概念的形成与深化（大约10分钟）1、定义：相互独立与相互独立事件一般地，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)，我们称事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.思考:(1) 独立事件与互斥事件的区别?(2)当P(A|B)=P(A)时，能否称事件A，B相互独立？(3)如何求两个相互独立事件都发生的概率?（引导学习小组讨论交流，学生口答，补充。
）练习：判断下列事件哪些是相互独立的?①袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.③篮球比赛的“罚球两次”中。
思考：（1）判断相互独立事件的方法？（2）若事件A与B相互独立，那，，是否相互独立？（引导学习小组讨论交流，学生口答，补充。
）2、n个事件相互独立与相互独立事件）定义： n个事件相互独立一般地，对于n个事件A１， A２，…， An, 如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A１，A２，…， An相互独立．n个相互独立事件都发生的概率：（引导学生阅读课本。
2025届高考数学一轮复习教案：计数原理、概率、随机变量及其分布-事件的独立性、条件概率与全概率公式
第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=(B)()为在事件A 发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式:①利用古典概型:P(B|A)=(B)();②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.【微点拨】P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,A n是一组__两两互斥__的事件,A1∪A2∪…∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】选BCD.因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以选项A错误;因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=(B)()=P(B),所以选项B正确;因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以选项C正确;因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以选项D正确.2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为12,23,则此谜题没被破解出的概率为()A.16B.13C.56D.1【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=12,P(B)=23,故P()=12,P()=13,所以P()=12×13=16,即此谜题没被破解出的概率为16.3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是()A.310B.35C.12D.14【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=(B)()=31035=12.4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为________.【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,则P(BC)=452×351=1221,P(B)=452=113,所以P(C|B)=(B)()=1221113=117.答案:1221117【巧记结论·速算】如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n).【即时练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为13,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59【解析】选B.各项均合格的概率为13×16×15=190.【核心考点·分类突破】考点一事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).则P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=536,P(D)=66×6=16,对于A选项,P(AC)=0;对于B选项,P(AD)=16×6=136;对于C选项,P(BC)=16×6=136;对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.【解题技法】两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).【对点训练】某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动”的主力军,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲、乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A与B为对立事件B.A与C互斥C.A与C相互独立D.B与C相互独立【解析】选C.依题意,甲、乙两人所选课程有如下情形:①有一门相同;②两门都相同;③两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C21C42C42=16,P(BC)=0,所以P(AC)=P(A)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),即A与C相互独立,B与C不相互独立.角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为________.【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件A k(k=1,2,3…),则P(X=2)=P(A1A2)+P(12)=P(A1)P(A2)+P(1)P(2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A12A3A4)+P(1A2A3A4)=P(A1)P(2)P(A3)P(A4)+P(1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5= 0.1.答案:0.50.1【解题技法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.【加练备选】某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为34且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为()A.764B.1532C.2732D.5764【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×(34×34)=964,故该部件正常工作的概率为34+964=5764.考点二条件概率[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为()A .35B .25C .27D .15【解析】选D .设事件A 为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B 为“两块板恰好是全等三角形”,则P (AB )=2C 72=221,P (A )=C 52C 72=1021,所以P (B |A )=(B )()=2211021=15.(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”.(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.①证明:R =(|)(|)·(|)(|);②利用该调查数据,给出P (A |B ),P (A |)的估计值,并利用①的结果给出R 的估计值.【解析】①因为R =(|)(|)·(|)(|)=(B )()·()(B )·(B )()·()(B ),所以R =(B )()·()(B )·(B )()·()(B ).所以R =(|)(|)·(|)(|).②由已知P (A |B )=40100=25,P (A |)=10100=110,又P (|B )=60100=35,P (|)=90100=910,所以R =(|)(|)·(|)(|)=25×91035×110=6.所以指标R 的估计值为6.【解题技法】求条件概率的常用方法(1)定义法:P (B |A )=(B )().(2)样本点法:P (B |A )=(B )().【对点训练】1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A .0.8B .0.4C .0.2D .0.1【解析】选A .根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(B)=0.5,同时爱好两个项目的占该地中学生总人数的50%+60%-70%=40%,则P(AB)=0.4,则P(A|B)=(B)()=0.40.5=0.8.2.根据历年的气象数据可知,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为()A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1【解析】选A.设“发生中度雾霾”为事件A,“刮四级以上大风”为事件B,所以P(A)=0.25,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为P(B|A)=(B)()=0.20.25=0.8.考点三全概率公式的应用[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为() A.79160B.35C.2132D.58【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|) =58×0.9+38×0.25=2132.(2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95,因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×(0.07+0.95)=0.51.【解题技法】利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i=1,2,…,n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.【对点训练】某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05.(1)任取一箱,求从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.【解析】记事件A为取到的是甲厂的产品,事件B为取到的是乙厂的产品,事件C 为取到的是废品.(1)P(A)=3050=35,P(B)=2050=25,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=7125.(2)P(A)=30×10030×100+20×120=59,P(B)=20×12030×100+20×120=49,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=118.。
送教上门教学常规教案
送教上门教学常规教案一、教学内容本节课我们将使用教材《新概念数学》第四册第七章“概率与统计”的第三节“事件的独立性”进行教学。
具体内容包括：理解独立事件的定义，掌握独立事件同时发生的概率计算方法，以及能够运用独立性原理解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握独立事件的概念及判断方法。
2. 学会计算两个独立事件同时发生的概率。
3. 能够运用独立性原理解决实际生活中的问题。
三、教学难点与重点重点：独立事件的概念和计算方法。
难点：如何判断两个事件是否独立，以及如何运用独立性原理解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：PPT，黑板，粉笔。
学具：教材，练习本，计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）：通过PPT展示两个简单的日常生活中的实例，引导学生思考两个事件是否独立。
2. 知识讲解（15分钟）：详细讲解独立事件的定义，通过例题讲解如何判断两个事件是否独立，以及如何计算两个独立事件同时发生的概率。
3. 例题讲解（15分钟）：出示两个典型例题，引导学生逐步分析问题，解决问题，强调独立性原理的应用。
4. 随堂练习（10分钟）：布置两道课堂练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
六、板书设计1. 独立事件的概念及判断方法。
2. 独立事件同时发生的概率计算公式。
3. 典型例题及解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（2）计算两个独立事件同时发生的概率。
（3）运用独立性原理解决实际问题。
答案：见教材课后习题答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 教学反思：关注学生对独立事件概念的理解，及时纠正判断方法上的误区，提高计算准确性。
2. 拓展延伸：引导学生关注生活中的独立事件，学会运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 独立事件的概念及判断方法。
2. 独立事件同时发生的概率计算公式。
3. 实践情景引入的选取。
4. 例题讲解的深度和广度。
5. 作业设计的针对性和拓展性。
一、独立事件的概念及判断方法1. 定义法：直接根据独立事件的定义进行判断。
事件的相互独立性 说课稿 教案 教学设计
事件的相互独立性整体设计教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支．它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛．而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型．将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法．因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材．在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用．课时分配1课时教学目标知识与技能理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算．过程与方法通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣．重点难点教学重点：独立事件同时发生的概率．教学难点：有关独立事件发生的概率计算．教学过程引入新课我们知道求事件的概率有加法公式：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．那么怎么求A与B的积事件AB呢？回顾旧知：1．事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件，记为A∪B(或A＋B)；2．事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件，记为A∩B(或AB)；如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．提出问题：甲果盘里有3个苹果，2个橙子，乙果盘里有2个苹果，2个橙子，从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率是多少？活动结果：不妨设事件A：“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”；事件B：“从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果”．“从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作AB.(简称积事件)从甲果盘里摸出1个水果，有5种等可能的结果；从乙果盘里摸出1个水果，有4种等可能的结果．于是从这两个果盘里分别摸出1个水果，共有5×4种等可能的结果．同时摸出苹果的结果有3×2种．所以从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率P(AB)＝3×25×4＝310. 探究新知提出问题：大家观察P(AB)与P(A)、P(B)有怎样的关系？活动结果：从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P(A)＝35，从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P(B)＝24.显然P(AB)＝P(A)P(B)． 继续探究：事件A 、B 是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)事件A 是否发生对事件B 发生的概率有无影响？(无影响)探究结果：显然，事件A“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”对事件B“从乙果盘里摸出1个球水果，得到苹果”没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是：P(B|A)＝P(B)，又P(B|A)＝P(AB)P(A)，易得：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)． 将上述问题一般化，得出如下定义：1．相互独立事件的定义：设A ，B 为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)．理解新知事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫做相互独立事件．若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．简证：若A 与B 是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)．所以P(A B )＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B )；P(A B)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝(1－P(A))P(B)＝P(A )P(B)；P(A B )＝P(A )－P(A B)＝P(A )－P(A )P(B)＝P(A )(1－P(B))＝P(A )P(B )； 即A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．教师指出：定义表明如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立，反之亦然．2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．类比：若事件A 与B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)．提出问题：该结论能否推广到一般情形？P(A 1＋A 2＋…＋A n )＝P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．活动结果：一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．运用新知例1已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？设计意图：题目富有趣味性，激发学生兴趣，使其创造力得到进一步发挥．解：设“臭皮匠老大解出问题”为事件A，“老二解出问题”为事件B，“老三解出问题”为事件C，“诸葛亮解出问题”为事件D，则三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为1－P(A B C)＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P(D)．所以，合三个臭皮匠之力解出问题的把握就大过诸葛亮．例2甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26，∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(法2)：“2人至少有一个射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，∴2人至少有1人射中目标的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)(法1)：“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.(法2)：“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.72＝0.28.【变练演编】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式1：如图添加第四个开关J D与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．([1－P(A B C)]·P(D)＝0.973×0.7＝0.681 1)变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．方法一：P(A B C)＋P(A BC)＋P(A B C)＋P(ABC)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.847.方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除J C开且J A与J B至少有1个开的情况．则1－P(C )[1－P(AB)]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.【达标检测】已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率．解：(1)设“敌机被第k 门高炮击中”为事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 )＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)P(A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5. ∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)设至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ，∴令1－(45)n ≥0.9.∴(45)n ≤110. 两边取常用对数，得n≥11－3lg2≈10.3. ∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．点评：逆向思考方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便．课堂小结1．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)。
事件的相互独立性教案(3篇)
第1篇课时：1课时年级：八年级教材：《数学》人教版教学目标：1. 理解事件的相互独立性的概念。
2. 能够运用相互独立事件的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
教学重点：1. 事件的相互独立性的概念。
2. 相互独立事件的性质。
教学难点：1. 相互独立事件的判断。
2. 运用相互独立事件的性质解决实际问题。
教学过程：一、导入1. 通过一个生活中的例子，引导学生思考事件的独立性。
2. 提问：在现实生活中，有些事件的发生是相互独立的，有些事件的发生是相互影响的。
你能举例说明吗？二、新课讲授1. 事件的相互独立性概念：（1）引入相互独立事件的定义。
（2）举例说明相互独立事件。
2. 相互独立事件的性质：（1）如果事件A和事件B相互独立，则P(A∩B) = P(A) × P(B)。
（2）如果事件A和事件B相互独立，则P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)。
3. 相互独立事件的判断：（1）根据事件的定义，判断事件A和事件B是否相互独立。
（2）通过计算P(A∩B)和P(A) × P(B)的值，判断事件A和事件B是否相互独立。
三、课堂练习1. 判断下列事件是否相互独立：（1）抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上。
（2）同时抛掷两枚骰子，第一枚骰子朝上的数字为奇数和第二枚骰子朝上的数字为奇数。
2. 运用相互独立事件的性质解决实际问题：（1）某工厂生产的零件合格率为90%，求在连续生产10个零件中，恰好有2个合格零件的概率。
（2）小明从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃K的概率。
四、课堂小结1. 总结事件的相互独立性的概念和性质。
2. 强调相互独立事件的判断方法和应用。
五、作业布置1. 完成课后习题。
2. 思考：在现实生活中，如何运用相互独立事件的性质解决实际问题？教学反思：本节课通过引入生活中的例子，引导学生理解事件的相互独立性的概念，并掌握了相互独立事件的性质。
91 事件的相互独立性 教案
事件的相互独立性事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主 探究式学习 合作学习教学工具：多媒体 课件 相关资料教学过程一、 情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究事件A 与B 相互独立对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B̅， A 与B ， A 与B ̅也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).四、典例分析、举一反三题型一 相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516．【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业教学后记两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
人教课标版高中数学选修2-3《事件的独立性》教案-新版
第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.1 事件的独立性一、教学目标1、核心素养通过上一节课条件概率和本节课事件的相互独立性的学习，使学生会处理较为复杂的概率计算，同时也培养了学生分类讨论的思想.从而提高了学生的运算能力和数学建模能力；2、学习目标（1）理解事件独立性的概念；（2）理解互斥事件、对立事件和相互独立事件的区别；（3）会利用相互独立事件概率的乘法公式解决相应的问题；3、学习重点理解事件A与B独立的概念，并能运用相互独立事件的概率乘法公式解决实际问题；4、学习难点运用相互独立事件的概率乘法公式解决实际问题二、教学设计（一）课前设计1、预习任务任务1阅读教材，思考：（1）互斥事件、相互独立事件和对立事件的区别？（2）如何用条件概率证明两个事件相互独立？任务2熟记相互独立事件的乘法公式，并会利用公式解决预习自测的题目；2、预习自测1.设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是（）A．A与B是对立事件B．A与B是互斥事件C.A与B不相互独立D．A与B是相互独立事件答案 D2.一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B 表示第二次摸得白球，则A 与B 是（ ）A 、互斥事件B 、不相互独立事件C 、对立事件D 、相互独立事件 答案 B3.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（ ）A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42答案：D4.一学生通过英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率是（ ） A.41 B.31 C.21 D.43 答案：C（二）课堂设计1、知识回顾（1）互斥事件和相互独立事件的概念；（2）互斥事件与相互独立事件的区别；（3）古典概型的概率公式；（4）条件概率的概念及其性质、计算公式；（5）本节课所学习的事件独立性的概念？相互独立事件概率计算公式？2、问题探究问题探究一 活动一：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?解析：显然无放回时，A 的发生影响着B ，即是条件概率．而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P (B |A )=P (B )，代入条件概率公式得P (AB )=P (B |A )P (A )=P (A )P (B )活动二：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球 问题：事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响） “从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅. 相互独立事件的定义：设A,B 为两个事件，如果 P (AB )=P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ).事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题探究二、互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别 1.定义：设A ，B 为两个事件，如果()=()()P AB P A P B ⋅，那么称事件A 与事件B 相互独立．2.如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．3.如果A 与B 相互独立，那么()=()P B A P B ，()=()P A B P A ．4.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆.对于事件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，那么称A、B互斥．一次试验中，如果A、B两个事件互斥且A、B中必然有一个发生，那么称A、B对立，显然A+B为一个必然事件．A、B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生．如掷一枚骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，则A、B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．A、B互斥，则0)(=ABP；A、B对立，则1)()(=+BPAP．A、B相互独立，则)()()(BPAPABP⋅=，可见这是不相同的概率．问题探究三、利用相互独立事件乘法公式能解决哪些实际问题？例1.一个口袋内装有2个白球和2个黑球．求（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？【知识点：相互独立事件乘法公式、条件概率】详解：（1）先摸出一白球不放回这件事对再摸出一个白球的概率产生了影响，再摸时只有一个白球，两个黑球，则概率为13；（2）先摸出一白球后放回这件事对再摸出一个白球的概率没有影响，还是从两个白球两个黑球中摸，则概率为1 2例2.天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲乙两地都降雨的概率；（2）甲乙两地都不降雨的概率；（3）甲乙两地至少一个地方的概率；【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】详解：“甲地降雨”为时间A，“乙地降雨”为事件B．（1）“甲乙两地都不下雨”表示时间A,B同时发生，且甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件A与事件B相互独立．所以()()()=0.20.3=0.06p AB P A P B=⨯（2）“甲乙两地都不降雨”即事件A与B同时发生．利用独立事件的性质2可知，事件A与B 相互独立．所以()()()10.210.30.56p AB P A p B==-⨯-=（）（）（3）“至少一个地方降雨”用字母表示应为()()()()()()()()()()0.20.70.80.30.20.30.44p AB AB AB p AB p AB p AB p A p B p A p B p A p B ++=++=++=⨯+⨯+⨯=例3：俗话说“三个臭皮匠，顶上一个诸葛亮”，从数学角度解释这句话的含义【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】分析：三个臭皮匠不妨命名为A,B,C ．假设三人解决某一问题的概率为0.5，且相互独立．诸葛亮解决该问题的概率为0.8．那么这三个臭皮匠至少有一人解决问题的概率为：1()10.50.50.50.8750.8p ABC -=-⨯⨯=>从数学角度解释名言，更能引起同学们的兴趣．激发他们上课的热情和积极性．例4：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码；【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】详解：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB ．（1）由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖抽到某一指定号码的概率为P (AB )=P (A )P (B )=0.05×0.05=0.0025．（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A )()B AB 表示．由于事件B A B A 与互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为095.005.0)05.01()05.01(05.0)()()()()()(=⨯-+-⨯=+=+B P A P B P A P B A P B A P （3）“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用()()()AB AB AB 表示．由于事件B A B A AB ,,两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为0975.0095.00025.0)()()(=+=++B A P B A P AB P例5.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解：（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k =1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为5512345123454()=()()()()()(10.2)5P A A A A A P A P A P A P A P A ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭∴敌机未被击中的概率为5)54(． （2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为415n⎛⎫- ⎪⎝⎭∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点拨：上面例题的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便；3、课堂总结结合第一小节的知识梳理【知识梳理】【重点难点突破】(1)条件概率的计算方法有两种：①利用定义计算，先分别计算概率)(AB P 和)(A P ，然后代入公式)()()(A P AB P A B P =. ②利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A ，原来的事件B 缩小为AB ，利用古典概型计算概率：)()()(A n AB n A B P =. （2）判定相互独立事件的方法①由定义，若)()()(B P A P AB P ⋅=，则B A 、独立．②有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．4、随堂检测1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 920【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C2个球不都是白球的概率()D2个球中恰好有1个是白球的概率【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A0.128 ()B0.096 ()C0.104 ()D0.384【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案 B4．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A35192()B25192()C35576()D65192【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案 A5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案(1) 132(2) 0.56（三）课后作业★基础型自主突破1.一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A 表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是（）A、互斥事件B、不相互独立事件C、对立事件D、相互独立事件【知识点：相互独立事件、互斥事件】答案 B2.10件产品中有4件是次品，从10件产品中任取2件，恰好2件是正品或2件是次品的概率是（）A、225B、215C、13D、715【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类谈论思想】答案 D3.加工某零件需要经过两道工序，第一道工序的废品率是0.01，第二道工序的废品率为0.02，设这两道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A、0.9702B、0.9700C、0.9998D、0.9996【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 A4.种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是（）A、0.33B、0.66C、0.5D、0.45【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 B5.一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次击中的概率是（）A、13B、23C、14D、25【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C6.甲、乙两篮球运动员在罚球线投球的命中率分别是0.7和0.6，每人投球3次，则两人都投进2球的概率是_________．【知识点：相互独立事件乘法公式】答案0.19★★能力型师生共研7.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 B8.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）(A ) 0．216 (B )0．36 (C )0．432 (D )0．648【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D9.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______. 【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 2411 10.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 31251053 11.甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别为0.5,0.25,0.125,现三人同时射击一目标,则目标被命中的概率为________.【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 6443 ★★★探究型 多维突破12.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是（ ）A.13 B.29 C.49 D.827答案 A【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】13.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为5 6、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在考核过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想，分类讨论思想】答案：设事件A i(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝56，P(A2)＝45，P(A3)＝34，P(A4)＝13，(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝1 6，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×(1－45)＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×(1－34)＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以，X的分布列为自助餐1.已知事件A 、B 发生的概率都大于零，则（ ）A ．如果A 、B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件B ．如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C ．如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D ．如果A ＋B 是必然事件，那么它们一定是对立事件【知识点：相互独立事件、互斥事件】答案 C2．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ）A ．充分但不是必要条件B ．必要但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点：互斥事件、对立事件】答案 B3.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（ ）A.35B.34C.1225D.1425【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 D4.今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（ ）A ．35035C CB ．350352515C C C C ++ C ．3503451C C -D ．3501452524515C C C C C + 【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D5.甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为（ ）A.115B.215C.15D.110【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 C6．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（ ）A ．201 B.1615 C ．53 D ．2019 【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 C7.到成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为（ ）A.36125B.44125C.54125D.98125【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D8.位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位移动的方向为向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为21，质点P 移动5次后位于（2，3）的概率是（ ） A.5)21( B.525)21(C C.325)21(C D.53525)21(C C【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 B9.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛甲乙两队夺取冠军的概率分别是4173和 ．则该市足球队夺得全省冠军的概率是_________.【知识点：互斥事件加法公式】答案 2819 10.一个家庭中有两个小孩，求：(1)两个小孩中有一个是女孩的概率；(2)两个都是女孩的概率； (3)已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案：设“家庭中有一个是女孩”为事件A ，“另一个也是女孩”为事件B ，则“两个都是女孩”为事件AB ，家庭中有两个小孩的情况有：男、男；男、女；女、男；女、女；共4种情况，因此n (Ù)＝4；其中有一个是女孩的情况有3种，因此n (A )＝3；其中两个都是女孩的情况有1种，因此n (AB )＝1.(1)由P (A )＝n (A )n (Ù)＝34，可得两个小孩中有一个是女孩的概率为34.(2)由P (AB )＝n (AB )n (Ù)＝14，可得两个都是女孩的概率为14.(3)由条件概率公式，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1434＝13或P (B |A )＝n (AB )n (A )＝13.因此，在已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率为13.11.某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的概率分别为0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05，那么这种零件的次品率是多少？【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案:设“第i 道工序出次品”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5,6，它们相互独立，但不互斥，所以出现次品的概率为P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A 5＋A 6)＝1－P (A －1·A －2·A －3·A －4·A －5·A －6)＝1－(1－0.01)·(1－0.02)·(1－0.03)2·(1－0.05)2＝0.176 1.12.甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率；(4)至多1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案: 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2 个人都译出密码”的概率为：P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12. (3)“恰有1个人译出密码”可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13(1－14)＋(1－13)×14＝512.(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：1－P (A ·B )＝1－P (A )P (B )＝1－23×34＝12.。
事件的相互独立性 说课稿 教案 教学设计
2．2.2事件的相互独立性(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解相互独立事件的定义及意义．(2)掌握相互独立事件概率的乘法公式．2．过程与方法通过进行一些与事件独立有关的概率的计算，掌握相互独立事件概率问题．3．情感、态度与价值观通过实例的分析，学会进行简单的应用，提高数学的学习兴趣．●重点、难点重点：相互独立事件的概率．难点：利用相互独立事件同时发生的概率公式求概率．教学时引导学生结合学习过的互斥事件、对立事件，不断比较、分析理解相互独立事件．再通过例题与练习进一步理解P(AB)＝P(A)P(B)．(教师用书独具)●教学建议在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念，初学者容易混淆，建议教师在教学中要让学生对这两个概念进行比较，让学生在比较中得到提高．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解相互独立事件的概率．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握事件独立性的判断．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求相互独立事件同时发生的概率．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握相互独立事件的实际应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1.理解相互独立事件的定义及意义．2．理解概率的乘法公式．3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.相互独立事件的概念与性质甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．(1)事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ (2)试求P (A )，P (B )，P (AB )． (3)P (B |A )与P (B )相等吗？ (4)P (AB )与P (A )P (B )相等吗？ 【提示】 (1)不影响；(2)P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310；(3)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12，∴P (B |A )＝P (B )；(4)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )，∴P (AB )＝P (A )P (B )． 1．相互独立的概念设A 、B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．事件独立性的判断判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 【思路探究】 利用相互独立事件的定义判断．【自主解答】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}， ∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16.∴P (AB )＝P (A )·P (B )， ∴事件A 与B 相互独立．1．利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A ，B 事件的相互独立性与互斥性．(1)A ：取一个球为红球，B ：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A ：取出的两球为一白球一红球；B ：取出的两球中至少一个白球． 【解】 (1)由于取出的红球放回，故事件A 与B 的发生互不影响，∴A 与B 相互独立，A ，B 能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a ，b ，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a ，b }，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P (A )＝46＝23，P (B )＝56，P (AB )＝23，∴P (AB )≠P (A )·P (B )．∴事件A ，B 不是相互独立事件，事件A ，B 能同时发生，∴A ，B 不是互斥事件．相互独立事件发生的概率C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．【思路探究】 明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值【自主解答】 令事件A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 发生，故 P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件A B C 同时发生．故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C )) ＝(1－15)(1－14)(1－13)＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35.在求事件概率时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为A B ； A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪A B .在例中条件不变，求：(1)只有一个机构研制出疫苗的概率； (2)至多有一个机构研制出疫苗的概率．【解】 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪ A B C ∪A B C )，故所求事件的概率为P ＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))P (C )＋(1－P (A ))·P (B )(1－P (C ))＋P (A )(1－P (B ))(1－P (C )) ＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝15＋215＋110＝1330. (2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )发生，故所求事件的概率为 P (A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋215＋15＝56.相互独立事件的实际应用B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率； (2)求红队至少两名队员获胜的概率．【思路探究】 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．【自主解答】 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件． 因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F ，D E F ，D E F ，以上3个事件彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P 1＝P (D E F ＋D E F ＋D E F )＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F，且P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(D E F)＝1－0.35－0.1＝0.55.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验，求恰有一件不合格的概率．【解】设从三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.P(A)＝0.90，P(B)＝P(C)＝0.95,则P(A)＝0.10，P(B)＝P(C)＝0.05.因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一件不合格的概率为P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.故恰有一件不合格的概率为0.176.间接法在相互独立事件概率中的应用(12分)(2012·成都高二检测)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【思路点拨】 本题可以从反面：甲、乙两人考试均不合格来考虑． 【规范解答】 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A ，B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23，P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415，6分且事件A ，B 相互独立．甲、乙两人考试均不合格的概率为P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－23)(1－1415)＝145.9分故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.12分求解此类问题的思路一般有两种：1．直接法，即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件，在此基础上求相应事件的概率，采用的是“各个击破”的方针．2．间接法，利用对立事件的知识求解，采用的是“正难则反”的解题原则．1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB＝∅概率公式A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)·P(B)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立生的概率等于每个事件发生的概率的积．1．若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件为()A．A与B B.A与BC．B与B D．B与A【解析】由相互独立性质知A与B，A与B，B与A也相互独立．【答案】 C2．若事件E、F相互独立，且P(E)＝P(F)＝14，则P(EF)＝()A ．0 B.116 C.14 D.12【解析】 ∵E 、F 相互独立，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116.【答案】 B3．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________．【解析】 P ＝1－(1－910)(1－45)＝4950.【答案】49504．制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中任取两件．(1)两件都是正品的概率是多少？ (2)恰有一件是正品的概率是多少？【解】 分别用A 、B 表示从甲、乙机床的产品中抽得正品，C 表示抽取的两件产品中恰有一件是正品，则C ＝A B ＋A B .由题意知，A 、B 是相互独立事件，A B 、A B 是互斥事件． (1)P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.96×0.95＝0.912. (2)P (C )＝P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝0.96×(1－0.95)＋(1－0.96)×0.95 ＝0.086.一、选择题1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件【解析】 由题意知A 2表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2是相互独立事件．【答案】 A2．(2012·鄂州高二检测)甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是13，乙解决这个问题的概率是14，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( )A.712B.112C.1112D.12【解析】 “甲解决问题”记为事件A ，“乙解决问题”记为事件B ，且A 、B 相互独立，∴P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－13)(1－14)＝12.【答案】 D3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16【解析】 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A ，因事件相互独立，所以P (A )＝23×14＋13×34＝512. 【答案】 B4．如图2－2－1所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )图2－2－1A.49B.29C.23D.13【解析】 左边转盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边转盘指针落在奇数区域的概率为23，∴两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.【答案】 A5．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人通过的概率是( )A.13B.23C.12D ．1 【解析】 设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．依题意知事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一个人通过听力测试”为事件C ，则C ＝A B ∪A B ，且A B 和A B 互斥，故P (C )＝P (A B ∪A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×(1－13)＋(1－12)×13＝12.【答案】 C 二、填空题6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．【解析】 设“从甲袋中取白球”为事件A ， 则P (A )＝812＝23.设“从乙袋中取白球”为事件B ，则P (B )＝612＝12.取得同色球为AB ＋A B .P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×12＋13×12＝12.【答案】 127．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序是否出废品彼此无关，那么产品的合格率是________．【解析】 产品合格要求两道工序都成为正品，则产品合格率为(1－a )(1－b )＝ab －a －b ＋1.【答案】 ab －a －b ＋18．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是________．【解析】 法一：用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝12×C 45C 16＝512，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率＝1－P (A B )＝712.法二：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )＝12＋16－12×16＝712，或P (A ＋B )＝1－P (A ＋B )＝1－(1－12)(1－16)＝712.【答案】712三、解答题9．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10．(2012·石家庄高二检测)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．【解】 记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A ，B ，C .P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9.(1)该应聘者用方案一通过的概率是P 1＝P (AB C )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (ABC ) ＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9 ＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75.(2)应聘者用方案二通过的概率P 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC )＝13(0.5×0.6＋0.6×0.9＋0.5×0.9) ＝13×1.29＝0.43. 11．(2013·重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．【解】 设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105(教师用书独具)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求三位同学都没有中奖的概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．【思路探究】 本题考查相互独立事件、互斥事件等概率的计算，考查运用所学知识解决实际问题的能力．(1)直接利用相互独立事件的概率公式求解；(2)利用互斥事件的概率求解，可直接求，也可先求对立事件的概率．【自主解答】 (1)记甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，则P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝(56)3＝125216.所以三位同学都没有中奖的概率为125216.(2)法一：1－P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝1－3×(16)2×56－(16)3＝2527.法二：P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝(56)3＋3×16×(56)2＝2527.所以三位同学中至少有两位没有中奖的概率为2527.甲、乙两人破一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率．【解】 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A 、B 相互独立，从而A 与B 、A 与B 、A 与B 均相互独立．(1)“两个都能破译”为事件AB ，则 P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A B ，则 P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·[1－P (B )] ＝(1－13)×(1－14)＝12.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：一、复习引入：1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫n做事件A的概率，记作()P A．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两P A个极端情形5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A、B是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P（B| A）=P(B）,P（AB）=P( A ) P ( B |A）=P（A）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B相互独立（mutually independent ) .事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B）U （A B）表示．由于事件A B与A B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B）十P（A B）=P（A）P（B）+ P（A）P（B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B）U（A B）表示．由于事件AB , A B和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P ( AB ) + P（A B）+ P（A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：⋅=⋅=⨯=，P A B P A P B()()()0.80.90.72∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B⋅发生）根据题意，事件A B⋅与A B⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：⋅+⋅=⋅+⋅P A B P A B P A P B P A P B()()()()()()=⨯-+-⨯=+=0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为=⋅+⋅+⋅=+=．()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是P A B P A P B⋅=⋅=--=，()()()(10.8)(10.9)0.02∴“两人至少有1人击中目标”的概率为=-⋅=-=．1()10.020.98P P A B（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：=⋅+⋅+⋅P P A B P A B P A B()()()=⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ． 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与B J 至少有1个开的情况[]21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-= 例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2． （1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n )54( ∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机 点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习： 1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（）()A2个球都是白球的概率()B2个球都不是白球的概率()C2个球不都是白球的概率()D2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A0.128 ()B0.096 ()C0.104 ()D0.384 4．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A35192()B25192()C35576()D651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)1(2) 0.56326.(1)0.01,0.16(2)0.999,0.9367. P=22⨯≈0.790.810.4048. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9.提示：86461P=⋅+⋅=121212122五、小结：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B 组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。