高中数学暑期特献重要知识点数列、函数的极限
高三下数学知识点
高三下数学知识点一、数列与数列的极限数列是数学中重要的概念之一。
数列是由一列数按照一定规律排列而成的序列，可以是递增或递减的，也可以是由一定的公式得到的。
数列的极限是指随着项数的增加，数列逐渐趋向于某个确定的值。
数列的极限可以用来描述数列的发散、收敛以及收敛到的极限值。
二、函数与函数的极限函数是数学中的基本概念，是一种特定的关系。
函数将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值逐渐趋近于一个确定的值。
函数的极限可以用来描述函数在某个点的连续性、单调性以及极值等性质。
三、导数与微分导数是函数的重要性质之一，表示函数在某一点上的变化率。
导数可以用来描述函数的斜率、切线以及函数的增减情况。
微分是导数的一种应用，是描述函数在某一点的局部变化情况的方法。
导数和微分在数学和物理中有广泛的应用，例如在求解最优化问题、描述曲线运动等方面。
四、不定积分与定积分积分是导数的逆运算，是计算曲线下面的面积的一种方法。
不定积分是指求解函数的原函数的过程，可以得到一个函数族。
定积分是指计算函数在一个区间上的累积效果，得到的结果是一个确定的数值。
积分在计算面积、求解物理中的变化量等问题上有广泛的应用。
五、三角函数与三角恒等式三角函数是研究三角学的重要工具，是描述角度与边长之间关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角恒等式是三角函数之间的等式关系，通过这些恒等式可以进行三角函数的简化以及推导。
三角函数和三角恒等式在几何图形的分析、物体运动的描述等方面有广泛的应用。
六、概率与统计概率与统计是数学中的两个重要分支。
概率用来描述随机事件发生的可能性，通过概率可以进行事件的预测和计算。
统计是指根据收集到的数据进行分析和推断，通过统计可以得到总体的特征、规律和趋势。
概率和统计在社会科学、自然科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
以上是高三下数学的主要知识点，这些知识点的学习和理解对于高中生的数学学习至关重要。
高三数学下册重点知识点
高三数学下册重点知识点一、数列与数列的极限1. 等差数列和等差数列的通项公式2. 等比数列和等比数列的通项公式3. 数列的极限概念及相关性质4. 无穷数列的极限和收敛性判定5. 数列极限的唯一性和保号性6. 数列极限的四则运算性质二、函数与导数1. 函数的概念与性质2. 基本初等函数及其性质3. 一次函数、二次函数的图像与性质4. 反函数与复合函数5. 导数的概念与计算方法6. 函数的单调性、增减性及极值点7. 函数的凹凸性与拐点8. 用导数研究函数的性质与应用三、导数的运算与应用1. 导数的四则运算法则2. 高阶导数与高阶导数的计算3. 隐函数求导4. 参数方程求导5. 反函数求导6. 导数应用于切线、法线问题7. 导数应用于函数的近似与极值问题四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本积分表及其应用3. 牛顿-莱布尼茨公式4. 定积分的概念与性质5. 定积分的计算方法6. 定积分的几何应用7. 定积分的物理应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念与常微分方程的解2. 可分离变量方程的解法3. 一阶线性微分方程的解法4. 高阶线性微分方程的解法5. 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解法6. 常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法六、空间解析几何1. 空间直线及其位置关系2. 空间平面及其位置关系3. 空间曲线的参数方程与一般方程4. 空间曲面的方程及其性质5. 球面坐标系与柱面坐标系6. 二次曲面的方程与性质以上是高三数学下册的重点知识点，通过深入学习这些知识点，同学们可以对相关概念、公式和计算方法有更深刻的理解，为高考取得优异成绩打下扎实的基础。
希望同学们能够认真复习，并在实践中灵活运用这些知识点，提高数学解题的能力。
衷心祝愿大家都能取得理想的成绩！。
高中数学知识点总结数列极限与函数极限
高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结：数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科，而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。
本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。
以下是各章节的内容：一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。
数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素也趋于某个确定的数。
数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的数。
收敛数列的定义涉及到两个重要概念：极限和无穷大。
在对数列进行分析时，可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。
2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。
发散数列在数学中也有重要的研究价值，它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的数。
函数极限也分为收敛和发散两种情况。
1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从左边逼近的极限值。
同理，右极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从右边逼近的极限值。
左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。
2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。
无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。
通过研究函数的无穷极限，可以了解函数在无穷远处的行为特征。
三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。
当函数的自变量取数列中的元素，并且这个数列收敛时，函数的极限可以与数列的极限相联系。
这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。
综上所述，数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。
通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系，可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。
山东高二数学知识点下册
山东高二数学知识点下册一、数列与数列的极限数列是指按照一定规律排列的一列数值，是数学中重要的概念之一。
数列的极限表示数列中的数值随着项数的增加趋于无穷大或无穷小的值。
通过数列与数列的极限的研究，我们可以掌握数列的性质和常用的计算方法，从而应用于解决实际问题。
二、函数与函数的极限函数是数学中常见的一种关系，它将一个集合的元素（自变量）与另一个集合元素（因变量）进行对应。
函数的极限表示函数在某一点附近的趋势，可以帮助我们了解函数的变化规律和性质。
通过函数与函数的极限的学习，我们可以掌握函数的性质、图像与变化趋势，以及函数的极值、最值和连续性等概念。
三、导数与微分导数是表示函数变化速率与斜率的重要工具。
它用数值表示了函数在某一点附近的变化程度，可以帮助我们研究函数的增减性、凹凸性和函数的最值等问题。
微分是导数的一种具体运算，表示函数在某一点的线性变化，也可以用于求函数的近似值和最优化问题的求解。
四、方程与不等式方程是数学中等式的一种特殊形式，表示两个表达式相等。
通过方程可以求解未知数的取值，解方程是数学中的重要内容之一。
不等式是数学中关系的一种，表示两个表达式的大小关系。
通过不等式可以求解满足一定条件的变量取值范围，解不等式也是数学中的常见问题。
五、平面几何平面几何是研究平面内点、直线、角度和图形等性质的一门学科。
在高二数学中，我们主要学习平面几何的相关定理和证明方法，掌握平面内点与直线的位置关系、角的性质、图形的性质与判定等内容，并能运用所学知识解决相关的几何问题。
六、立体几何立体几何是研究空间内点、直线、角度和图形等性质的一门学科。
在高二数学中，我们会学习三维空间中的点、直线和平面的位置关系，掌握空间图形的性质与判定，以及体积和表面积的计算方法等内容。
通过立体几何的学习，我们可以应用数学知识解决与空间有关的问题。
七、概率与统计概率与统计是数学中重要的分支之一，用于描述随机事件发生的可能性以及对统计数据进行分析与推断。
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
第三讲 数列的极限与函数的极限
n 1 即 lim n n 1 1 即 lim n 0 n 2
n ( 1 )n1 1 1 即 lim n n
当 n 无限增大时, xn 无限接近常数 A , 则 lim xn A . n
3
数列极限的定义:（定义1.8) 设有数列 xn ，若存在常数 A，使对于任意给定的正数 总存在正整数 N ,当 n > N 时，恒有
. . .. .. …....… . … x .
3
x
5
例1. 证明 lim q 0
n n
( q 1)
n
证 0 , 要使 q 0 q
n
ln n 取 N 时, q 0 成立, , 则当 n N ln q
lim q n 0 所以, n
都是(2)的子数列.
7
收敛数列与其子数列的关系
定理1.1 如果数列 xn 收敛于A , 则它的任一子数列也收敛于 A
注意
(1).逆命题不成立. 子数列收敛的数列未必收敛. (2).逆否命题成立. 子数列发散的数列一定发散.
8
结论
( 1 ) lim xn A
n
lim x2n1 lim x2 n A
第三讲 数列的极限
数列极限
1
§1.2
数列的极限
数列极限的定义
子数列及其敛散性 收敛数列的性质
2
一、数列极限的定义
. .x . .x x . . x . . . .. .
2 1 3 n
1. 数列: 无穷多个按顺序排列的数 x1 , x2 , , xn ,
1 2 3 n 例如 (1). , , ,, 1 , 2 3 4 n 1 1 1 1 1 ( 2). , , ,, n , 0 2 4 8 2 1 4 3 n ( 1) n 1 (3).2, , , ,, , 2 3 4 n ( 4).1,3,5,,2n 1, (5).1,1,1,1,, ( 1) n 1 ,
数列极限与函数极限
数列极限与函数极限数列极限与函数极限一、数列极限在数学分析中，数列是一组按照一定规律排列的数。
当数列中的数随着下标的增加趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该数列的极限。
例如，数列{1, 1/2, 1/3, ... , 1/n}当n趋近于正无穷时，其极限为0。
数列极限的概念具有广泛的应用。
在微积分、实分析和复分析等领域，数列极限是基础性的概念。
我们可以通过研究数列极限性质，研究数学中最基本的概念和问题，如无穷级数、函数极限等。
二、函数极限与数列极限类似，函数极限也是数学分析中的重要概念。
当自变量x趋近于某个确定的值时，函数f(x)的值也随之趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该函数的极限。
例如，当x趋近于0时，f(x) = 2x的极限为0。
函数极限的研究能使我们更好地理解和准确描述各种自然现象和科学实验。
高等数学中的导数和积分等概念都与函数极限密切相关。
三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限是大量数学理论的基础，这两者之间也存在着联系。
我们知道，当自变量x取无穷大或无穷小时，函数的极限可能存在，也可能不存在。
在这些无穷大或无穷小的情况下，函数极限可以用数列极限来表示。
具体来说，当x趋近于正无穷时，我们可以通过构造数列{f(x1), f(x2), f(x3), ...}，其中x1<x2<x3<...，使得该数列趋近于函数的极限L。
同理，当x趋近于负无穷时，我们也可以通过类似的方法得到函数极限。
此外，函数的导数和积分等重要概念也可以通过数列极限的思想表示和求解。
四、结语数列极限和函数极限是数学中极其重要的概念，无论在实际应用还是理论研究中都起着举足轻重的作用。
熟练掌握数列极限和函数极限的概念和性质，对于学习高等数学以及其他数学分支学科都有很大的帮助。
高三数学新教材知识点
高三数学新教材知识点高三数学新教材知识点的学习是高中生数学学习中至关重要的一部分。
在高三阶段，学生们已经掌握了基础的数学知识，并且接触到了一些更加复杂的数学概念和技巧。
下面将介绍一些高三数学新教材中的重要知识点。
1. 数列与数列极限在高三数学新教材中，数列与数列极限是一个重要的概念。
数列是由一系列数按照一定规律排列而成的。
数列极限的概念指的是当数列的项数趋于无穷大时，数列的极限存在且唯一。
学生们需要学会计算数列的通项公式，并且能够判断数列的极限是否存在。
2. 函数与极限函数与极限是高三数学新教材中的另一个重要知识点。
函数是一种映射关系，将一个自变量映射到一个因变量上。
学生们需要理解函数极限的概念，并且能够计算函数的极限。
此外，他们还需要学会判断函数的连续性，以及计算函数的导数和积分。
3. 三角函数三角函数在高三数学新教材中也占据着重要地位。
学生们需要学会计算各种三角函数的值，以及解三角方程。
此外，他们还需要了解三角函数的性质和图像。
4. 概率与统计概率与统计是高三数学新教材中比较实用的知识点。
在现实生活中，人们经常会遇到一些随机事件，概率与统计可以帮助我们理解这些事件的发生规律。
学生们需要掌握计算事件的概率和统计样本数据的方法。
5. 矩阵与行列式矩阵与行列式是高三数学新教材中的另一个重要内容。
学生们需要学习矩阵的运算规则，以及计算行列式的方法。
此外，他们还需要了解矩阵的逆和特征值等概念。
通过学习以上的高三数学新教材知识点，学生们可以进一步提高数学水平，为高考做好充分的准备。
希望同学们能够重视数学学习，多做题多总结，不断提高自己的解题能力和思维能力。
只有通过不断的努力和实践，才能够在高考中取得优异的成绩。
以上是关于高三数学新教材知识点的简要介绍，希望对同学们的数学学习有所帮助。
祝同学们在高三阶段取得优异的成绩！。
高中数学知识点归纳数列与函数的极限
高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。
本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。
1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。
简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。
1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。
换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。
二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。
函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将介绍函数的极限的概念。
2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。
2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。
高中数学中的数列极限与函数极限
高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念，在数学分析中有着广泛的应用。
本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并通过示例和推导来加深理解。
一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列，而数列极限则是指数列随着索引（通常是正整数）趋于无穷大时的极限值。
我们用符号来表示数列极限，记为lim(aa)=a，其中aa表示数列的第a项。
在数列极限的定义中，有两个重要的要素：趋于无穷大和极限值。
当数列的值越来越接近于某个常数a时，我们说数列的极限为a。
具体而言，对于任意给定的正实数a（ε），存在正整数a（N）使得当a>N 时，aa与a之间的差值小于a，即|aa−a|<a。
这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。
对于数列极限的性质，我们有以下结论：1. 常数数列的极限等于该常数本身：lim(a)=a，其中a为任意常数。
2. 收敛数列（即存在极限的数列）的极限唯一。
3. 若数列收敛，则数列必有界，即存在一个正数a（M），使得对于任意的a，都有|aa|≤a。
这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。
二、函数极限的定义与性质与数列极限类似，函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。
我们用lim(a→a)a(a)=a来表示函数极限，其中a(a)表示函数的表达式，a为自变量趋向的值，a为极限值。
函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。
对于任意给定的正实数a（ε），存在正实数a（δ）使得当0＜|a−a|<a时，有|a(a)−a|<a。
这个定义表明函数极限的存在性。
与数列极限类似，函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。
此外，我们还有以下性质：1. 若lim(a→a)a(a)=a_1，lim(a→a)a(a)=a_2，则lim(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。
2. 若lim(a→a)a(a)=a，则lim(a→a)aa(a)=aa，其中a为任意常数。
高中数学极限知识点
极限一、数列的极限：对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时，数列的相应项n x 无限趋近一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限，记为)(lim ∞→→=∞→n A x A x n n n 或 式子中“→”读作“趋于”，这时也称数列{}n x 是收敛的，若数列{}n x 没有极限，则称数列{}n x 是发散的二、函数的极限1.当∞→x 时函数的极限2.当+∞→x 或-∞→x 时函数的极限得到一个充要条件是：A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 3.当0x x →时函数的极限4.当+→0x x 或-→0x x 时函数的极限得到一个充要条件是：A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00 三、极限的运算法则（1）极限的唯一性 如果极限)(lim 0x f x x →存在，则它只有一个极限，即若A x f x x =→)(lim 0，B x f x x =→)(lim 0,则A=B（2）极限的运算法则设B x v A x u ==)(lim ,)(lim 则有（1）[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim（2）[]B A x v x u x v x u ∙=∙=∙)(lim )(lim )()(lim（3）当0)(lim ≠=B x v 时，BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim推论1 如果)(lim 0x u x x →存在，c 为常数，则)(lim ))((lim 00x u c x cu x x x x →→= 推论2 如果)(lim 0x u x x →存在，N n ∈,则nx x n x x x u x u )](lim [)]([lim 00→→= 四、函数的间断点间断点的分类：1）第一类间断点（1）可去间断点：左右极限相等，但不等于该点的函数值（2）跳跃间断点：左右极限存在，但不想等2）第二类间断点左右极限至少有一个不存在Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高三数学必须掌握的知识点
高三数学必须掌握的知识点在高三阶段，数学作为一门基础学科，对学生的学业发展起到至关重要的作用。
为了帮助同学们更好地应对高考数学，掌握必要的知识点是必不可少的。
本文将重点介绍高三数学必须掌握的知识点，供同学们参考。
一、数列与数列的极限数列是数学中常见的一种数值排列形式。
在高三数学中，数列与数列的极限是重点内容之一。
数列的极限是指当项数趋于无穷大时，数列中的数值趋于一定的值。
同学们要掌握数列的概念及常见数列的性质，如等差数列、等比数列等。
同时，要理解数列极限的概念，掌握计算数列极限的方法，并能应用到问题解决中。
二、函数与函数的极限函数是数学中研究自变量与因变量关系的重要工具。
在高三数学中，函数与函数的极限也是必须掌握的知识点。
同学们要熟悉函数的定义及性质，具体了解常见的函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
此外，对于函数的极限，同学们要了解极限的概念和性质，熟练掌握计算函数极限的方法，能够灵活运用到实际问题中。
三、导数和微分导数和微分是高中数学中的重点内容，也是高三数学中不可或缺的知识点。
同学们要理解导数的概念，熟悉导数的计算方法，掌握导数的基本性质，如可导性、导数与函数图像的关系等。
此外，同学们还需了解微分的概念和应用，能够计算函数的微分，理解微分在几何和物理问题中的应用。
四、不等式与方程不等式与方程是数学中常见的问题解决工具。
同学们在高三数学中要掌握各类不等式和方程的解法，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等。
同时，要了解不等式和方程的性质，熟练掌握解不等式和方程的方法，能够灵活应用到实际问题中。
五、平面向量与坐标系平面向量和坐标系是高中数学中的重要内容，也是高三数学必须掌握的知识点之一。
同学们要了解平面向量的概念和性质，熟练掌握平面向量的运算法则，如加减、数量积和向量积等。
此外，要熟悉平面坐标系的概念和性质，掌握直线、圆、抛物线等图形的基本方程，能够解决与坐标系相关的几何问题。
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 +n n ② .,)1(,,31,21,1 nn --- ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。
表示为a a lin n n =∞→2. 数列极限的表示方法：① a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.3. 几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn ∈=∞→③对于任意实常数， 当1||<a 时，0lim =∞→nn a当1=a 时，若a ＝1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在当1>a 时，nn a ∞→lim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x1上的极限为0，记作01lim =+∞→x x（2）当-∞→x 时，类似地可得函数xy 1=的值无限趋近于0，就是说，当-∞→x 时，函数xy 1=的极限为0，记作01lim =-∞→x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim =+∞→x x (或01lim =-∞→x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x =∞→)(lim（2）函数xx f 1)(=（x ≠0）,有01lim =∞→x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x →2-)时，y →4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x →2+)时，y →4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x →2-)和从右侧趋近于2(即x →2+)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim →x x 2＝4注意：x →2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112--=x x y (x ≠1),当x →1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121=+=--→→x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(.注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x →并不要求0x x =．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件．）如⎩⎨⎧<+->-=1111)(x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝ ⎪⎩⎪⎨⎧+x x 01).0(),0(),0(时当时当时当<=>x x x 当x →0-时，或x →0+时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x →x -0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0=-→；当x →x +0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0=+→． 只有a 1＝a 2时，a x f x x =→)(lim 0才存在。
高中数学 暑期特献 重要知识点 数列、函数的极限
数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
⑴、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数a n，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，a n，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
第n项a n叫做数列的一般项或通项.注：我们也可以把数列a n看作自变量为正整数n的函数，即：a n=，它的定义域是全体正整数⑵、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n)可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2， A3，…，An，…，它们就构成一列有序数列。
我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，…，An，…当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。
注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
⑶、数列的极限：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
⑷、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。
数列极限为a的一个几何解释：将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
高中数学教师必备的知识函数的极限(一)数列与函数的极限
数列的概念设是正整数的函数，当按增大顺序取值时，得到的一串函数值称为数列，记，即数列中的每个数叫数列的项，称为通项（或一般项），数列记为。
例如：（1）1，2，3，...，......（2）1，2，3，......（3）1，2，3，......（4）1,2，3，...-1， 1， -1 ， 1， -1， 1，...（5）1，2，3，...…单调数列：如果 … … ，称数列单调增；如果……，称数列单调减；单调增与单调减数列统称为单调数列。
如：数列（2）、（5）单调增，数列（3）单调减。
有界数列：如果对任何正整数，存在正数，使恒成立，称数列有界，否则称为无界。
如：数列（1）、（2）、（3）、（4）有界，数列（5）无界。
数列的极限对于数列，重要的是讨论它当项数n无限增大时（记），的变化趋势，是否无限接近于某一个常数。
如果时，无限接近于一个常数，则称为当时的极限，如前面数列中。
考察数列, 即…，…当n趋于无穷时的变化趋势。
由于，显然n 时，1，即无限接近于零。
也就是说：对于任意预先给定的无论多小的正数，当大到一定程度时，有。
如：对于，要，只要，就有对于，要，只要，就有对于，要，只要，就有对于，要，只要，就有一般地说，对于任意给定的正数，存在着一个正整数，对时的一切，有成立。
这样就描述了当时无限接近于1这一事实。
1是当时的极限。
定义：如果数列与常数A有关系：对于任意给定的无论多小的正数，总存在正整数N（ε），使对于n＞N时的一切，不等式都成立，则称常数A是数列当时的极限，或者称数列当时收敛于A,记为或此时，称为收敛数列，如果不收敛（没有极限），称是发散的。
例 1证明数列的极限是1。
证对于任意给定的无论多小的正数，要使只要即可，取，则当时，有收敛数列的性质定理收敛数列的极限是唯一的。
证明用反证法。
假设又，且。
取，因，存在正整数，使时，有（1）同理，因，存在正整数，使时，有（2）取，则时，（1）、（2）两式应同时成立，又由（1）式可得，由（2）式可得，矛盾。
高中书数列的常考知识点：函数的极值与导数的关系
高中书数列的常考知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义： (1) 极大值：通常情况下，假设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x) (2) 极小值：通常情况下，假设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x) > f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值 = f(x0)，其中x0是极小值点。
极值的某质： (1) 极值是一个局部概念，根据定义可知，极值仅仅是某点的函数值与其附近点的函数值比较中最大或最小的情况，不代表在整个函数定义域内最大或最小； (2) 函数的极值不是唯一的，即在某区间或整个定义域内，一个函数可能有不止一个极大值或极小值； (3) 极大值与极小值之间没有确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； (4) 函数的极值点一定出现在区间的内部，而区间的端点不可能是极值点。
而使函数取得最大值或最小值的点可能在区间内部，也可能在区间的端点。
求函数f(x)的极值的步骤： (1) 确定函数的定义区间，并求导数f′(x)； (2) 解方程f′(x)=0，找出导数为0的根； (3) 将函数的定义区间根据导数为0的点分割成若干小开区间，并列成表格。
检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值。
第2篇：高中数学知识点：函数的极值与导数的关系数学是各门学科的基础，下面小编为大家带来了函数的极值与导数的关系，希望能够帮助到大家。
极值的定义：(1)极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
数列函数的极限
contents
目录
• 数列函数极限的定义 • 数列函数极限的性质 • 数列函数极限的计算方法 • 数列函数极限的应用 • 数列函数极限的注意事项
01
数列函数极限的定义
定义
极限的定义
对于任意给定的正数$varepsilon$， 存在一个正整数$N$，使得当$n>N$ 时，有$|f(n) - L| < varepsilon$，其 中$L$是常数，称为数列函数的极限。
详细描述
极限的连续性是数列函数极限的一个重要性质。它表明，当n趋于无穷大时，数列函数 的极限值等于该函数在某一点的极限值。这一性质在研究函数的极限行为和性质时非常
重要，是函数连续性的基础。
03
数列函数极限的计算方 法
代数法
代数法是计算数列函数极限的一种基 本方法，通过将数列函数进行化简， 将其转化为更易于计算的形式，从而 求得极限。
极限的运算顺序
极限的运算顺序
在计算数列函数的极限时，需要注意运算的顺序。有些 复杂的数列函数包含多个变量和运算符，需要按照一定 的顺序进行运算，以确保结果的准确性。
举例
考虑数列函数$f(x,y) = frac{xy}{x+y}$，在计算该函数的 极限时，需要先对$x$和$y$分别取极限，然后再进行运算。 如果先进行除法运算，会导致结果不准确。因此，在计算 数列函数的极限时，需要遵循正确的运算顺序。
等。
05
数列函数极限的注意事 项
初始值问题
初始值问题
举例
在计算数列函数的极限时，需要注意初始值 的影响。有些数列函数在初始阶段呈现出较 大的波动，随着项数的增加会逐渐趋于稳定。 因此，在计算极限时，需要充分考虑初始值 对结果的影响。
高三数学数列极限与函数极限人教版知识精讲
高三数学数列极限与函数极限人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容数列极限与函数极限二. 重点、难点1. 数列极限的几个重要公式 若a a n n =∞→lim b b n n =∞→lim则（1）)()(lim b a b a n n n ±=±∞→（2）b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim（3）)0(lim≠=∞→b b ab a nn n2. 数列极限的几个重要极限 （1）c c n =∞→lim（2）n n a c a c n n ∞→∞→⋅=⋅lim lim（3）01lim=∞→kn n )0(>k（4）0lim =∞→kq n )1(<q3. 函数极限（1）a x f x f a x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim（2）a x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+→-→→)(lim )(lim )(lim 000（3）)(x f 为0型需约分，再求极限。
4. 连续)(x f y =在0x x =处连续)()(lim 00x f x f x n =⇔→（在0x 左右有定义）【典型例题】[例1] 求证0lim =∞→nq n )10(<<q证：任意小正数0>ε 解不等式ε<-0nq ε<nq εlg lg <q n∴qn lg lg ε>令]lg lg [qN ε=（[…]为取整函数） 故当1+>N N 时总有ε<-0nq ∴1lim =∞→nq n （ε、N 证明）[例2] 下列数列极限n a n ∞→lim（1）2210043++=n nn a n （2）13124+⋅+⋅=n n n n n a（3）113)2(3)2(+++-+-=n n nn n a （4）)3(2n n n a n --= （5）]1[n n n a n -+⋅=（6）33321)1(3221n n n a n ++++++⋅+⋅=（7）1)23(412+-+++=n n a n （8）)211()411)(311(+-⋅--=n n a n解：（1）0lim =∞→n a n（2）0)31(11)31(41)32(4limlim =⋅+⋅+⋅=∞→∞→nn n n n n a n n （3）311)32(31)32(31lim lim 1=+-+-⋅=+∞→∞→n n n n n a （4）231313lim 33limlim 2-=+--=+--=∞→∞→∞→nn n n n a n n n n （5）211limlim =++=∞→∞→nn n a n n n （6）0)1(412)1()12)(1(61lim limlim 2232111=+++++=+=∞→===∞→∞→∑∑∑n n n n n n n kkka n nk nk nk n n n（7）231)13(21lim lim 2=+⋅-=∞→∞→n nn a n n n（8）222lim 214332lim lim =+=++⋅⋅=∞→∞→∞→n nn n n a n n n n [例3] 填空（1）2724)2(lim 22=++-∞→n nn a n ，=a 。
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数列的极限
我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
⑴、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数a n，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，a n，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
第n项a n叫做数列的一般项或通项.
注：我们也可以把数列a n看作自变量为正整数n的函数，即：a n=，它的定义域是全体正整数
⑵、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n)可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2， A3，…，An，…，它们就构成一列有序数列。
我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，…，An，…当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。
注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
⑶、数列的极限：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .
记作：或
注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
⑷、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。
数列极限为a的一个几何解释：将常数a及数列
在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：
因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。
⑸、数列的有界性：对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。
定理：若数列收敛，那末数列一定有界。
注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…是有界的，但它是发散的。
函数的极限
前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。
下面我们来学习函数的极限.
函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。
我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢?
下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!
⑴、函数的极限(分两种情况)
a):自变量趋向无穷大时函数的极限
定义：设函数，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式的一切x，所对应的函数值都满足不等式那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作：
下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：
数列的极限的定义函数的极限的定义
存在数列与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正整数N ，对于n ＞N 的所有
都满足＜ε则称数列，当x→∞时收敛于A记：。
存在函数与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正数X，对于适合的一切x，都满足，函数当x→∞时的极限为A，记：。
从上表我们发现了什么？？试思考之
b):自变量趋向有限值时函数的极限。
我们先来看一个例子.
例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.
或说：只要与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ时满足
＜δ定义：设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε则称函数当
x→x0时存在极限，且极限为A，记：。
注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。
此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均满足不等式。
有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？
a):先任取ε＞0；
b):写出不等式＜ε；
c):解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能；
d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜＜δ时，＜ε成立，因此。