高数 函数的极限及性质 知识点与例题精讲

满足不等式 f ( x ) A ,那末常数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作
x x0
A
就叫函数
lim
f (x) A
或
f ( x ) A (当 x x 0 )
" " 定 义 0 , 0 , 使当 0 x x 0 时 ,
A
A

x0
x0
宽为 2 的带形区域内
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
x0
x
显然 , 找到一个
后 , 越小越好
.
例2 证明 lim C C , ( C 为常数 ).
x x0
证
任给 0 ,
任取 0 ,
当 0 x x0 时 ,
x x0
f (x) A C C
当 x a 时的子列
定理4
若 lim f ( x ) A , 数列 f ( x n ) 是 f ( x )当 x a
x a
时的一个子列
, 则有 lim f ( x n ) A .
n
证
lim
x x0
f (x) A
0 , 0 , 使当 0 x x 0 时 , 恒有 f ( x ) A .
恒有
f ( x ) A .
注意：
1 .函数极限与
f ( x ) 在点 x 0 是否有定义无关
;
2 . 与任意给定的正数
有关 .
2、几何解释:
当 x 在 x 0 的去心 邻 域时 , 函数 y f ( x ) 图形完全落在以直 线 y A 为中心线 , .
A
y
y f (x)
x
2
1
x 1
2 ,
x1
x 1
2.
三、函数的单侧极限:
1、在有限点的左右情况
1 x, 设 f (x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1 .
x 0
y y 1 x
x 0 x 0
1
y x 1
2
o
x
分x
0和 x
0 两种情况分别讨论
证
取
x n
1 , n
y sin
1 x
lim x n 0 ,
n
且 x n 0;
取
x n
1 , lim x 0, n 4n 1 n 2
且 x 0; n
而 lim sin
n
0 成立 , lim C C .
例3
证
证明
lim
x x0
x x0.
任给 0 ,
取 ,
f (x) A x x0 ,
当 0 x x 0 时 ,
f ( x ) A x x 0 成立 ,
lim x x 0 .
0 x a } (a , a ) (a , a )
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问 题 : 函 数 y f ( x ) 在 x x 0 的 过 程 中 ,对 应 函 数 值 f ( x )无 限 趋 近 于 确 定 值 A.
f ( x ) A 表示
例1. 证明: 证:
1 x 0
lim
x
1 x
0.
y

1 x
y
1 x
o
x
故 0 , 欲使 取
X 1 ,
即 就有
因此
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邻 域:
设 a 与 是两个实数
, 且 0.
数集 { x x a } 称为点 a 的 邻域 , 记为 U ( a , )
0 x x0
f ( x ) A 任意小 ;
表示 x x 0的过程 .

x0
点 x 0的去心 邻域 ,

x0
x0
x
体现 x 接近 x 0 程度 .
1、定义：
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x 0 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都
例6： 验证 lim 证
lim x x
x x
x 0
不存在 .
y
x 0
lim
x x
1
x 0
lim ( 1 ) 1
x 0
o
1
x
lim
x 0
x x
lim
x 0
x x
lim 1 1
x 0
f ( x ) 不存在 . 左右极限存在但不相等, lim x 0
x 从左侧无限趋近 x 从右侧无限趋近
x 0 , 记作 x x 0 0 ; 或 x 0

x 0 , 记作 x x 0 ; 或 x 0 0
左极限与右极限 左极限 : f
( x0 )
lim
x x0

f ( x) A
0 , 0 , 当x ( x 0 , x 0 )
又 lim x n x 0 且 x n x 0 ,
n
对上述 0 , N 0 , 使当 n N 时 , 恒有 0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故 lim f ( x n ) A .
n
例如, lim
sin x x 1 n
x x0
例4
证
证明 lim
x
2
1
x1
x 1
2.
函数在点x=1处没有定义.
x
2
f (x) A
要使
1
x 1
2 x 1
任给 0 ,
f ( x ) A , 只要取 ,
当 0 x x 0 时 , 就有
x
2
1
lim
2.2、2.3 函数的极限及性质
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 : 一、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、函数的单侧极限 四、函数极限的性质
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x x 当 x 时的变化趋势 .
播放
问 题 :函 数 y f ( x )在 x 的 过 程 中 , 对 应 函 数 值 f ( x )无 限 趋 近 于 确 定 值 A.
则 0 , 当 x U ( x 0 , )时 , f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ).
推论
若 lim
x x0
f ( x ) A , 且 0 , 当 x U ( x 0 , )时 ,
0
f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ), 则 A 0 ( 或 A 0 ).
1 n
x 0
1
y
sin x x
lim n sin
n
1,
lim
n
n sin
1 , lim
n
2
n
n 1
sin
n 1 n
2
1
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
例7：证明 lim sin
x 0
1 x
不存在 .
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) A ,
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)
那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim
x
f (x) A
或
f ( x ) A (当 x )
" X "定义
lim f ( x ) A
点 a 叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径
.
U ( a , ) { x a x a } x
x a

a
点 a 的去心的

a
=(a ,a+)
a
x
邻域 ,
记作 U ( a , ).
0
U (a , ) { x
0
时, 有
右极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
x x0

0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
定理1:
x x0
时, 有
lim

lim f ( x ) A
f ( x ) lim
x x0
x x0

f ( x) A
x
x
lim
f ( x ) A;
x
lim
f ( x ) A;
x x0
lim
f ( x ) A;
lim
x x
0
f ( x ) A;
lim
x x
通过上面演示实验的观察:
当 x 无限增大时 , f (x) sin x x 无限接近于 0.
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小 ;
x X 表示 x 的过程 .
1、定义：
定义 1: 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切
推论
设 lim
x x0
f ( x ) A , lim g ( x ) B , 且 A B
x x0 0
则 0 , x U ( x 0 , ), 有 f ( x ) g ( x ).
定理3(保号性)
若 lim
0
x x0
f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ),
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例5. 设函数
y
x0 x 1, 1 f ( x) 0 , x0 o 1 y x1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x ) 的极限是否存在 .
y x1
x
解: 利用定理 3 . 因为
lim
x 0

f ( x ) lim ( x 1 ) 1
x
0 , X 0 , 使当 x X 时 , 恒有
f ( x ) A .
2、几何解释:
y
A
sin x x
X

X
当 x X 或 x X 时 , 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线 y A 为中心线 , 宽为 2 的带形区域内 .
1 xn
1 x n
lim sin n 0 ,
n
而 lim sin
n
lim sin
n
4n 1 2

lim 1 1 ,
n
二者不相等,
故 lim sin
x 0
1 x
不存在
.
小结
函数极限的统一定义
lim f ( n ) A ;
n
lim f ( x ) A ;
2.唯一性
定理 2 若 lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
3.不等式性质
定理(保序性)
设 lim
x x0 0
f ( x ) A , lim
x x0
g( x) B.
若 0 , x U ( x 0 , ), 有 f ( x ) g ( x ), 则 A B .
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系)
定义
有数列 设在过程 x a ( a 可以是 x 0 , x 0 , 或 x 0 )中

x n ( a ), 使得 n 时 x n a .则称数列 f (x)
f
( x n ) , 即 f ( x 1 ), f ( x 2 ), , f ( x n ), 为函数 .
定理 2 : lim
x
f (x) A .
f ( x) A.
f ( x ) A lim
x
f ( x ) A 且 lim
x
四、函数极限的性质
1.有界性
定理 1 若在某个过程下, f ( x ) 有极限, 则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
2、在无限远处的另两种情形:
1 . x 情形 :
0
x
lim
f (x) A
0 , X 0 , 使当 x X 时 , 恒有
f (x) A .
2 . x 情形 :
0
x
lim
f (x) A
0 , X 0 , 使当 x X 时 , 恒有
x0

lim
x 0

f ( x ) lim ( x 1 ) 1
x 0

显然 f ( 0 ) f ( 0 ) , 所以 lim f ( x ) 不存在 .
x 0


定理 : lim
x x0
f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.