直线与圆地方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为2

2

2

)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2

2

2

)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．

∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2

22

24)3(16)1(r

a r a

解之得：1-=a ，202

=r ．

所以所求圆的方程为20)1(2

2

=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为

13

12

4-=--=

AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．

又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2

2=

++==AC r ．

故所求圆的方程为20)1(2

2

=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为

r PC d >=++==254)12(22．

∴点P 在圆外．

例2 求半径为4，与圆04242

2

=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．

解：则题意，设所求圆的方程为圆2

22)()(r b y a x C =-+-：

． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242

2

=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．

(1)当)4,(1a C 时，2

2

2

7)14()2(=-+-a ，或2

2

2

1)14()2(=-+-a (无解)，故可得

1022±=a ．

∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2

224)4()1022(=-++-y x ．

(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2

221)14()2(=--+-a (无解)，故

622±=a ．

∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2

224)4()622(=+++-y x ．

说明：对本题，易发生以下误解：

由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如

2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为

)1,2(A ，

半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2

227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2

224)4()1022(=-++-y x ．

上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆切的情况．也是不全面的．

例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．

解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．

∴

5

25

2y x y x +=

-．

∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，

∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C

∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，

∴

22)53(5

32-+=+t t t t ．

化简整理得0562

=+-t t ． 解得：1=t 或5=t

∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(2

2

=-+-y x 或125)15()5(2

2

=-+-y x ．

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．

例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．

分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．

解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．

由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴2

2

2b r =

又圆截y 轴所得弦长为2． ∴12

2

+=a r ．

又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为