紊流理论(紊流模型)

– 引入数学方程或者代数公式，确定所产生的新未知 项雷诺应力 uiu ，而不引入新的变量。 j
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
du – 对应层流中切应力与流速梯度关系的公式： dy
– 引入一个涡粘度 t ，将紊流中的雷诺应力与流场 中的时均流速梯度建立下述关系：
概述
• DNS之外的其他方法
– 大涡模拟LES。 – DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却 无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 – 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而 利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度 紊流运动的影响。 – LES较DNS拟占计算机的内存小，模拟需要的时间 也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。
du1 1 d u1 2 u( y1 dy ) u1 dy dy 2 dy 2 dy
2
du2 1 d 2u2 2 u( y2 dy ) u2 dy dy 2 dy 2 dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。既然水流中各点紊动的基本格局彼 此相似，则影响流速变化的各个因素之间应该成一 定比例：
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
du dy
d u d u l, 2 2 dy 1 dy
2
1
2
d u 1 l 3 dy 2
2
3
– 卡门在分析时只取上式的第一项
du l dy
d u dy 2
du du t uv t t dy dy
ui u j t - uiuj t x j xi
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
ui u j t - uiuj t ptij x j xi
' '
d ( u) 2 du t m ,m l l u2 dy dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： l ky ，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图） – 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
du 1 l k1 b, u max u min dy b


–则
t k1b u max u min


雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。卡门假定：（1）除了在周界外， 紊流现象与水流的粘性无关；（2）水流中各点紊 动的基本格局彼此相似，所不同的只是时间和长度 尺度。 – 假定水层y1和y2处的流速分别为u1和u2，则在其附 近，流速变化可以用泰勒级数表示：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 定义 y1 l y1 y1 l 的平均流速差为脉动，则 根据泰勒展开
u( y l ) u( y ) u( y )l / 1! u( y )l 2 / 2!
u1 u y1 u y1l
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——常数模型
– 对于大体积水体水力计算的计算方法，对整个流场 采用一个常数作为紊动粘性（扩散）系数，其数值 根据实验资料确定。 – 在充分发展紊流区，紊动粘性系数是一个常数。没 有固体边界的自由剪切紊流，如射流和尾流，紊动 粘性系数都是常数。 – 缺陷：在管道或者槽道的流动中，常数模型过粗， 如在明渠水流中，紊动粘性系数沿水深的分布近似 为抛物线，如果取为常数，将得不出合理的流速场。
概述
• 直接求解连续方程和运动方程，即 DNS(Direct Numerical Simulation)。 • 原则上讲，DNS并无理论上的困难。
– 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出， 即N－S方程；从数学观点看来，紊流就是N－S方 程的通解。 – 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解N－S 方程。 – 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足 以求解任何一个实际的紊流问题。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 雷诺时均方程的封闭问题
ux u y uz 0 x y z
– 将瞬时值写成时均值+脉动值 u u u ，代入连 续方程和运动方程，并对方程两边取平均：
ui ui 1 p ui uj fi uiuj t x j xi x j x j
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。 – 1897年，Boussinesq((布辛涅司克))涡粘性假定。 – 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多 粘性流动的机理尚未清楚。 – 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘 性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著 的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此 类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数 模型。 – 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k 的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的 k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型。
ui 0 – 根据 xi
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
' ' 2
du 2 du du l t u v l dy dy dy
– 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观 粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无 关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流 的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界 条件。 – 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构 造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为 确定的分布。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型
– 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长 模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念， 均不包含紊动量的微分输运方程。
• 确定紊动粘性系数的方法
– 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式； 主要是常数模型。 – 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。 主要指混合长模型，自由剪力层模型。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 在气体运动中，气体分子以随机的方式运动，气体 分子运动一个平均分子自由程后与其他气体分子发 生碰撞，并产生动量交换。 – 普朗特（1925年）提出混掺长度理论：假设在紊流 运动中，与气体分子运动相似，流体微团在运动过 程中保持原有的运动特征不变，直到运行某一距离 后与周围其它微团相混掺，失去原有的运动特征 （动量、热量、含沙量等），与当地的平均性质取 得一致。这一运动距离l，相当于微团的生命跨度， 称为紊流的掺混长度。
概述
• 紊流模型分类
– 直接数值模拟（DNS）。直接求解N－S方程，必 须采用很小的时间步长与空间步长。 – 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格 上模拟小尺度运动。 – Reynolds时均方程法（RANS）。将N－S方程对 时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程 中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式 不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型 两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、 单方程和双方程模型。
概述
• DNS实际应用中的困难
– 紊流运动所包含的单元，比流动区域的尺度要小得 多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素， 数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如此 之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计算 机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术运 算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却步。 – 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大 约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力 用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的 未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。 – 到现在，DNS算法已有很大发展。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。 – 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。 – 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
二、紊流模型 • 1、概述 • 2、雷诺方程数值模拟（RANS）
• 3、大涡模拟（LES） • 4、直接数值模拟（DNS）
概述
• 紊流运动的瞬时连续方程和运动方程 • 连续方程
• 运动方程
ui u 0， 0 xi
du 1 f p 2 u dt ui ui 2 ui 1 p uj fi t x j xi x j x j
du1 dy
– 因此
du2 d 2 u1 2 dy dy
d 2 u2 d 3u1 3 2 dy dy
d 3u2 dy 3
du1 dy
d 2u1 du2 2 dy dy
d 2u2 d 2u1 , 2 2 dy dy