隶属函数及其确定方法
第4章_隶属函数的确定方法
第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。
对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。
因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。
然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。
其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。
但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。
本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。
4.1 直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函例1、“正好”、“热”和“很热”图1 空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描图2 汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。
因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。
例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。
如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。
(a) (b)图3 不同论域下“高个子”的隶属函数4.2 二元对比排序法建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。
模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法确定隶属函数是模糊数学中的一项重要任务，它决定了模糊集合如何描述和应用。
本文将介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
基于专家经验的方法是最常见的确定隶属函数的方法之一、通常，一些领域的专家会通过自己的经验和知识来确定隶属函数的形状和参数，以达到最佳的模糊集合描述效果。
例如，在模糊控制系统中，专家可以通过对系统的分析和调试来确定隶属函数的形状，从而实现对系统的精确控制。
基于数据分析的方法是一种较为客观的确定隶属函数的方法，它通过对已有数据的统计分析来确定隶属函数的形状和参数。
通常，需要收集一定数量的数据样本，并对这些数据进行分析，确定隶属函数的形状和参数。
例如，在模糊分类问题中，可以通过对已有分类数据的统计分析来确定隶属函数，从而实现对未知样本的分类。
基于模糊聚类的方法是一种将隶属函数与模糊聚类相结合的方法，它通过对数据样本进行聚类分析来确定隶属函数的形状和参数。
通常，需要先对数据进行模糊聚类，确定聚类结果，然后使用聚类结果来确定隶属函数。
例如，在模糊图像分割中，可以通过对图像像素进行模糊聚类，确定图像的不同区域，然后使用聚类结果来确定图像的隶属函数，从而实现图像分割。
基于优化算法的方法是一种通过优化算法来确定隶属函数的形状和参数的方法。
通常，需要将需要确定的隶属函数作为优化目标函数，利用其中一种优化算法来求解最优解，从而确定隶属函数的形状和参数。
例如，在模糊最优化问题中，可以将需要确定的隶属函数作为目标函数，使用遗传算法或粒子群算法等优化算法来求解最优解，从而确定隶属函数。
以上是一些常用的确定隶属函数的方法，不同的方法适用于不同的问题和场景。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的方法来确定隶属函数，以达到最佳的模糊集合描述效果。
第七讲 隶属函数的确定方法
中间型隶属函数
1.矩形 2.尖型 3.正态型 4.柯西型 5.梯形
µA1 ( x) =
ɶ
1, a − b < x ≤ a + b 0, 其他 exp[ k (x − a)] , x ≤ a (k > 0) exp[ −k ( x − a)] , x > a
−1
µA2 ( x) =
参数法是指利用已知形状的隶属函数作为样板， 通过确定函数参数的方式来给出隶属函数的方 法。 常用隶属函数
偏小型 偏大型 中间型
偏小型隶属函数
x≤a 1, µ A ( x) = ɶ f ( x), x > a
1.降半矩阵型 2.降半伽马型 3.降半正态型 4.降半柯西型 5.降梯形 6.降岭形 7.k次抛物线
隶属函数的确定方法
模糊统计法 参数法
模糊统计法
通过模糊统计实验来确定隶属函数的方法 四要素
① 论域X ② 试验所要处理的论域X的固定元素x0 ③ 论域X的可变动的子集A*，它作为模糊集 A 的有可塑性 ɶ 边界的反映，可由它得到每次试验中x0是否符合模糊集A ɶ 所刻划的模糊概念的一个判决 ④ 条件集C，它限制着A*的变化
ɶ ɶ
µA3 ( x) = exp −k ( x − a)2 , (k > 0) µA4 ( x) = 1+ α ( x − a)β (α > 0, β是非负偶数)
(a2 + x − a) /(a2 − a1), a − a2 < x ≤ a − a1 1, a − a1 < x ≤ a + a1 µA5 ( x) = ɶ (a2 − x + a) /(a2 − a1), a + a1 < x ≤ a + a2 0, 其他 0.5 + 0.5sin [π /(b − a)( x + (b + a) / 2)] , −b < x ≤ −a 0.5 − 0.5sin [π /(b − a)( x − (b + a) / 2)] , a < x ≤ b µA6 ( x) = ɶ −a < x ≤ a 1, 0, 其他
确定隶属函数的几种主要方法
区别： 区别：
若把概率统计比喻为“变动的点” 若把概率统计比喻为“变动的点”是否 落在“不动的圈” 落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈” 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否 盖住“不动的点” 盖住“不动的点”.
二相F统计 二相 统计: 设有二相集 P2 = { A, A } 统计
x
−∞
Pη ( x )dx
的概率密度， 其中Pξ ( x )和Pη ( x )分别是随机变量 ξ和η的概率密度，即
A2 ( x ) = 1 − A1 ( x ) − A3 ( x )
按概率方法计算，得 按概率方法计算，
x − a1 A1 ( x ) = 1 − Φ σ1 x − a2 A3 ( x ) = Φ σ2
A3 ( x )
0
a1
a2
x
数对(ξ ,η )确定映射
e(ξ ,η ) :
即
U → { A1 , A2 , A3 }
x≤ξ A1 ( x ) e(ξ ,η )( x ) = A2 ( x ) ξ < x ≤ η A ( x) x >η 3
概率P{ x ≤ ξ }是随机变量 ξ落在区间[ x , b )的可能大小.
次实验中覆盖27岁的年龄区间的次数为 若n次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为 ， 次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为m， 则称m/n为27岁对于（青年人）的隶属频率。 为 岁对于 青年人）的隶属频率。 岁对于（ 则称
岁对（ 表2-1 27岁对（青年人）的隶属频率 岁对 青年人）
实验次数n 实验次数 隶属次数m 隶属次数 隶属频率 m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 10 20 30 40 6 14 23 31 50 39 60 47 70 53 80 62 90 100 110 68 76 85 120 130 95 101
模糊控制中隶属度函数的确定方法
模糊控制中隶属度函数的确定方法模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，其中隶属度函数是模糊控制的重要组成部分。
隶属度函数的作用是将输入信号映射到隶属度空间，为控制器提供输入参数。
确定合适的隶属度函数能够提高模糊控制器的精度和稳定性。
本文将介绍几种常用的隶属度函数的确定方法。
一、试验法试验法是最基本的隶属度函数确定方法，即通过试验的方式逐步调整隶属度函数，直到达到最佳效果。
该方法适用于控制系统较简单、规模较小的场景。
试验法需要较多的实验数据和多次改进，且缺乏理论和数学基础支持。
二、专家法专家法是利用经验和判断力，根据被控对象和控制目标的特点，设计隶属度函数。
专家法相对于试验法具有更高的效率和准确性，适用于大规模、复杂的控制系统。
但是，该方法需要控制领域的专家评估隶属度函数的质量，并征询其他领域的专家意见，所以其设计具有一定的主观性。
三、数学建模法数学建模法是利用系统建模方法对控制对象进行数学描述，从而确定隶属度函数的方法。
该方法需要掌握数学建模技术和数学分析方法，运用数学软件工具进行系统的建立和分析。
该方法较为科学，可以系统的分析控制对象，而且不依赖于控制领域的专家知识和经验。
四、经验法经验法是使用过往的经验数据和样本数据来确定隶属度函数的方法。
该方法适用于控制对象特征类似的场景，具有低成本的优势。
经验法需要提取出具有代表性的样本集，并根据样本集的特点进行隶属度函数的设计。
该方法缺点是其适用性相对较弱，需要额外的数据处理方法来提取有用的特征。
五、混合法混合法是将多种方法结合使用来确定隶属度函数，以尽可能综合各种方法的优点，提高确定隶属度函数的准确性。
混合法需要根据具体情况，结合试验法、专家法、数学建模法、经验法等多种方法进行综合性分析和处理，提出最终的隶属度函数。
混合法确定隶属度函数的准确性和实用性较为综合，但需要在方法融合的过程中考虑不同方法的权重和影响因素，难度较高。
综上所述，确定隶属度函数的方法因系统的复杂性、预测的精确度和需要的优化目标等多种因素而异。
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
主观经验法主要依赖于专家的专业知识和经验，通过专家对模糊概念的深入理 解和主观判断，来确定隶属函数的形状、参数和阈值等。这种方法简单易行， 但受限于专家知识和经验的局限性。
统计学习法
总结词
基于数据样本和统计学习理论来确定隶属函数的方法。
详细描述
统计学习法利用已知数据样本，通过统计学习理论和方法，如回归分析、决策树、支持向量机等，来拟合和优化 隶属函数。这种方法客观、科学，但需要足够的数据样本和计算资源。
VS
详细描述
连续性是指隶属函数在定义域内的任何一 点都存在明确的隶属度值，没有跳跃或中 断。连续的隶属函数能够更好地描述模糊 现象，因为模糊现象本身也是连续变化的 。
单调性
总结词
隶属函数应该是单调的，以反映模糊集合的 单调性质。
详细描述
单调性是指随着输入值的增大或减小，隶属 度值也相应增大或减小。单调递增的隶属函 数表示随着输入值的增加，隶属度也逐渐增 加；单调递减的隶属函数则表示随着输入值 的增加，隶属度逐渐减小。
经济效益评价
在经济效益评价中，隶属函数可以用于将各 评价指标的量纲统一，通过计算隶属度来评 价项目的经济效益。
在模糊聚类分析中的应用
模糊聚类算法
隶属函数在模糊聚类算法中起到关键作用，通过计算样本点对各个聚类的隶属度，实现样本点的软分 类。
聚类效果的评估
在模糊聚类分析中，隶属函数可以用于评估聚类效果，通过计算样本点对各个聚类的隶属度分布情况 ，判断聚类的质量和稳定性。
模糊数学教程第6章确定隶属函数 的方法
目 录
• 引言 • 确定隶属函数的方法 • 隶属函数的特性 • 隶属函数的优化 • 隶属函数的应用 • 总结与展望
01 引言
直觉方法-隶属函数的确定方法
虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背 景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描 述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建 立出不完全相同的隶属函数。例如，模糊集A = “很冷”的隶属函 数。不同性别、不同生活环境的人所得出的曲线方法
1、直觉方法
直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认 识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立 隶属函数。这种方法通常用于描述人们熟知、有共 识的客观模糊现象，或用于难于采集数据的情形。
例 1 考虑描述空气温度的模糊变量或“语言”变量，
我们取之为“很冷”、“冷”、“正好”、“热”和 “很热”，则凭借我们对“很冷”、“冷”、“凉 爽”、“适宜”和“热”这几个模糊概念的认知和理 解，规定这些模糊集的隶属函数曲线如图1 所示。
第6章确定隶属函数的方法
这里 (x)
x
1 2
e dt
t2 2
增量法（Incremental） 例１、设论域Ｘ＝[0, 200]（单位:岁），又设 A F (X),
且定义 A 为老年，求其隶属函数 A(x).
解：任给x一个增量 x, 相应地 A(x)也有一个增量 A(x x) A(x), 假定
这里c为积分常数，适当选择k和c，则可完全确定
因素加权综合法
实际问题中有时会遇到这样的模糊集，它 由若干个因素相互作用而成，而每个因素由可以用 模糊集来表示，此时的论域可以表示为n个因素的 Descartes乘积，即 U U1 Un , Ai F (Ui )(i 1,....,n)
，. . . , An 复合而成. A F (U), A由A１
(1)加权平均型（Method of weighted mean）
..., An (un ） 累加成的，可令 若 A(u）是由 A１(u１ ），
A(u）= i Ai (ui ) i 1
n
其中 u (u1 ,...,un ) U,(1, 2 ,, n）是权重向量，且
（４）条件Ｓ，它联系着对模糊概念所进行的划分 过程的全部客观或心理的因素，制约者Ａ*的运动。
Remark:
模糊统计法的基本要求是在每次实验中，对u0是 否属于 A 作出确切的判断，即要求在每次试验中， Ａ*必须确定。 模糊统计试验的特点：在各次试验中 u0固定，Ａ*是变的，这点不同于随机试验. 隶属度计算公式为:
1 （６）计算 m M
它情形，取 0 ei 1.
iM
m,
i
隶属度函数
隶属度函数----------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------美国加利福尼亚大学控制论教授扎得(L、A、Zadeh)经过多年的琢磨，终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。
指出:若对论域(研究的范围)U中的任一元素x，都有一个数A(x)?[0，1]与之对应，则称A为U上的模糊集，A(x )称为x对A的隶属度。
当x在U中变动时，A( x)就是一个函数，称为A的隶属函数。
隶属度A(x)越接近于1，表示x属于A的程度越高，A(x)越接近于0表示x属于A的程度越低。
用取值于区间[0，1]的隶属函数A(x)表征x 属于A的程度高低，这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。
隶属度属于模糊评价函数里的概念:模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
隶属度函数及其确定方法分类隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。
对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
下面介绍几种常用的方法。
(1)模糊统计法:模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。
对于不同的试验者,清晰集合 A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。
模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, vo是固定的,A3的值是可变的,作 n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率 = v0?A 的次数 / 试验总次数 n随着 n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是 vo对A 的隶属度值。
隶属函数及确定方法
隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的几种确定方法这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。
这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。
由于每个被试者对于“青年人”这一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。
现选取0u=27岁，对“青年人”的隶属频率为）调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1） 用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。
78.027）＝（青年人μ按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。
隶属函数及确定方法
隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的几种确定方法这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。
这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。
由于每个被试者对于“青年人”这一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。
现选取0u=27岁，对“青年人”的隶属频率为）调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1） 用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。
78.027）＝（青年人μ按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。
隶属函数确定问题
隶属函数确定问题standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive隶属函数确定问题一、隶属函数的确定原则1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合；即：在一定范围内或者一定条件下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性；从最大的隶属度函点出发向两边延伸时，其隶属度是单调递减的，而不许有波浪性，呈单峰；一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线。
2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的模糊变量的标值选择一般取3-9个为宜，通常取奇数（平衡），在“零”“适中”等集合的两边语言值通常取对称。
3、隶属度函数要避免不恰当的重复在相同的论域上使用的具有语意顺序的若干标称的模糊集合，应该合力排序。
4、论语中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域，同时它一般应该属于之多不超过两个隶属度函数的区域。
5、对于同一输入，没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度6、对两个隶属度函数重叠时，重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。
二、隶属度函数确定的方法1、模糊统计法模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素v是否属于论域上的一个可变的清晰集的判断。
（清晰集、模糊集）模糊统计法计算步骤：Step1 确定论域Step2形成调查表Step3统计成频数分布表Step4建立隶属函数Step5隶属度（由频数分布表或者隶属函数可得）所谓模糊统计实验包含以下四个要素：假设做n次模糊统计试验，则可计算出：实际上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x 对A的隶属度，即2、例证法例证法由已知的有限个隶属度函数的值，来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。
3、专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法。
4、二元对比排序法5、群体决策法6、指派方法（待定来自算法大全第22章模糊数学模型）指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。
隶属函数确定问题
隶属函数确定问题一、隶属函数的确定原则1、表示隶属度函数的模糊集合必须就是凸模糊集合;即:在一定范围内或者一定条件下,模糊概念的隶属度具有一定的稳定性;从最大的隶属度函点出发向两边延伸时,其隶属度就是单调递减的,而不许有波浪性,呈单峰;一般用三角形与梯形作为隶属度函数曲线。
2、变量所取隶属度函数通常就是对称与平衡的模糊变量的标值选择一般取3-9个为宜,通常取奇数(平衡),在“零”“适中”等集合的两边语言值通常取对称。
3、隶属度函数要避免不恰当的重复在相同的论域上使用的具有语意顺序的若干标称的模糊集合,应该合力排序。
4、论语中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域,同时它一般应该属于之多不超过两个隶属度函数的区域。
5、对于同一输入,没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度6、对两个隶属度函数重叠时,重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。
二、隶属度函数确定的方法1、模糊统计法模糊统计法的基本思想就是对论域U上的一个确定元素v就是否属于论域上的一个可变的清晰集的判断。
(清晰集、模糊集)模糊统计法计算步骤:Step1 确定论域Step2形成调查表Step3统计成频数分布表Step4建立隶属函数Step5隶属度(由频数分布表或者隶属函数可得)所谓模糊统计实验包含以下四个要素:假设做n次模糊统计试验,则可计算出:实际上,当n不断增大时,隶属频率趋于稳定,其频率的稳定值称为0x 对A的隶属度,即2、例证法例证法由已知的有限个隶属度函数的值,来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。
3、专家经验法就是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法。
4、二元对比排序法5、群体决策法6、指派方法(待定来自算法大全第22章模糊数学模型)指派方法就是一种主观的方法,它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。
如果模糊集定义在实数域R上,则模糊集的隶属函数称为模糊分布。
模糊控制中隶属度函数的确定方法
模糊控制中隶属度函数的确定方法一、引言模糊控制是一种利用模糊逻辑进行控制的方法，广泛应用于各个领域。
其中，隶属度函数是模糊控制中的重要组成部分，用于描述输入和输出变量之间的隶属关系。
确定合适的隶属度函数对于模糊控制系统的稳定性和性能至关重要。
本文将详细探讨模糊控制中隶属度函数的确定方法。
二、隶属度函数的概念隶属度函数（Membership Function ）是模糊集合中最核心的概念之一。
它用于描述一个元素对于某个模糊集合的隶属度程度。
在模糊控制中，输入和输出变量的隶属度函数决定了输入输出之间的映射关系。
三、常用的隶属度函数在模糊控制中，常用的隶属度函数包括三角隶属度函数、梯形隶属度函数、高斯隶属度函数等。
下面将分别介绍这些常用的隶属度函数。
3.1 三角隶属度函数三角隶属度函数是一种常见且简单的隶属度函数形式。
它以一个三角形为基础，通常具有两个参数：峰值和宽度。
三角隶属度函数的形状如图1所示。
3.1.1 三角隶属度函数公式三角隶属度函数的数学表达式如下所示：μ(x )={0,x ≤a or x ≥c x −a b −a ,a ≤x ≤b c −x c −b ,b ≤x ≤c 其中，a 、b 、c 分别表示三角隶属度函数的左脚、峰值和右脚的位置。
3.2 梯形隶属度函数梯形隶属度函数是一种介于三角隶属度函数和矩形隶属度函数之间的形式。
它以一个梯形为基础，通常具有四个参数：左脚、上升边沿、下降边沿和右脚。
梯形隶属度函数的形状如图2所示。
3.2.1 梯形隶属度函数公式梯形隶属度函数的数学表达式如下所示：μ(x )={ 0,x ≤a or x ≥d x −a b −a ,a ≤x ≤b 1,b ≤x ≤cd −x d −c ,c ≤x ≤d其中，a 、b 、c 、d 分别表示梯形隶属度函数的左脚、上升边沿、下降边沿和右脚的位置。
3.3 高斯隶属度函数高斯隶属度函数是一种基于高斯分布的隶属度函数形式。
它通常具有两个参数：峰值和方差。
隶属函数的确定方法
1 2
t2 e 2 dt
用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.
2 2 ~ N (a1 , 1 ), ~ N (a2 , 2 )
A1 ( x ) A2 ( x )
A3 ( x )
0
a1
a2
x
3、F分布
实数R作为论域的情况 . 实数R上F集的隶属函数称为 F分布. 列出典型F分布, 根据问题性质选择适当 分布.
隶属频率
m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
m A( 27) 0.78 n 将论域U分组, 每组以中值为代表，分 别计算各组 隶属频率.(见表2 2)
表2-2 分组计算隶属频率（实验次数129）
4.其他方法
①专家打分；②推理方法； ③二元对比排序法
二、确定隶属函数的注意事项
（1）带有主观色彩，但要符合实际。
（2）F统计实验确定
（3）借助概率统计确定
（4）推理的产物 （5）经F运算“并、交、余”
（6）先建立近似隶属函数，再逐步完善
（7）整体特性
b
x
(2)半梯形分布与梯形分布
①偏小型 1 b x A( x ) b a 0
②偏大型
xa a xb b x xa a xb b x
1
0
a b
x
0 x a A( x ) b a 1
1
0
a
b
x
(2)半梯形分布与梯形分布 ③中间型
在每次试验中， u0是确定的， F统计试验：
集合A 是随机变动的. 做n次试验
第三章 确定隶属函数方法
5
二、优先关系法 设U=｛u1，u2，u3，u4，u5｝，先将U中元素具有 A 的程度排序， ~ 再依次建立U中元素隶属于 A的程度，从而得到 A ~ ~ 的优先关系矩阵： 1、建立 A 的优先关系矩阵： 、 ~
C = ( cij ) n×n
其中：
cii =0, cij ∈[0,1], cij +cji =1
若按
A(uik ) = 1 − k − 1： ~
n
A = 1/ u1 + 0.75/ u2 +1/ u3 + 0.5/ u4 ~
三、相对比较法： 相对比较法： 通过二元相对比较来完成 1、建立比较关系矩阵 、
c = (cij ) n×n
其中，（1）ui与u j (i ≠ j ) 比较时，如果 u i 相对于 u j 具有 A 的程度为 ~
cij
（2） ii c
，则
u j 具有 A 的程度为 c ji ~
=1
∗
2、建立相及矩阵 c 、
∗
= (cij
∗
)
n× n
cij cij = max (cij , c ji )
3、确定U中元素具有 A 的顺序 、确定 中元素具有
~
c ∗ 中每一行取最小值，得各行的α i ，α i 的大小顺序即为 u i 的顺序。 将
ui 排在第1 位， （未必唯一，可以并列），然后c中去除第一位已排的
1
那些对象所在行、列，对新矩阵重复上述做法，可选出第2、3、…… 直至全排完。
3、根据2中排的顺序确定 A 、根据 中排的顺序确定
~
A = ∑ A(u i ) / u i ~
A 式中， (ui ) 依赖于 u i 所排位置，位置越前，越优先，越接近于1。
常见隶属函数小结
常见隶属函数小结1、比a 大得多的隶属函数：20;1();1()u a A u u a u a λ⎧≤⎪⎪=>⎨⎪+⎪-⎩其中λ为经验参数。
（如：取100λ=）2、老年人的隶属函数：20;01();2001()u A u u u λλαλ⎧≤≤⎪⎪=⎨<≤⎪+⎪-⎩其中;αλ为经验参数。
（如：取550αλ=⎧⎨=⎩）3、年轻人的隶属函数：21;01();2001()u A u u u λλλα⎧≤≤⎪⎪=⎨<≤-⎪+⎪⎩其中;αλ为经验参数。
（如：取525αλ=⎧⎨=⎩）4、正态模糊数：（接近a 的数）22()()u a a u eσ--= 其中：σ为经验参数。
构造隶属函数的几个方法1、三分法例：建立矮个子1()A u 、中等个子2()A u 、高个子3()A u 的隶属函数。
设：x ，y 分别是矮个子与中等个子，中等个子与高个子的分界线。
通过实验或调查，得到x 与y 的概率密度函数。
则有：1()()xuA u p x dx +∞=⎰ 3()()uyA u p y dy -∞=⎰ 213()1()()A u A u A u =-- （证明过程书中没有介绍。
）一般地，x 与y 可以取正态分布。
2、根据事物的特征来确定函数形式：如：正态模糊数 是更具离数a越远，隶属度越小；且具有对称性的特点给出的。
原则：1、隶属函数的值域比在[0,1]内。
2、隶属函数的趋势与实际相符。
3、参数可由经验给出，也可用统计方法估计。
8.3 隶属函数的确定
1 A(x)
1 1 (x 5)2 5
1 A(x)
1 1 (x 5)2 10
借用已有的客观尺度
论域 设备 产品 家庭
模糊集 设备完好 质量稳定 贫困家庭
隶属度 设备完好率
正品率 Engel系数
④ ☆随着n的增加，隶属频率趋于稳定
指派法Biblioteka 隶属函数类型举例一般表达
偏大型 偏小型 居中型
大、热、年老
A(x)
0f (,x)
x , x
a a
小、冷、年轻 中、暖、中年
A(x)
1f (, x)
,
x x
a a
A(x) f0(,x),
xa x [a,b]
0, x b
模糊数学
之隶属函数的确定
模糊统计法 指派法 借用已有的客观尺度
模糊统计法
模 糊 统 计 法 ： 以 确 定 “青年人” 的隶属函数为 例 ① ☆以人的年龄作为论域U，调查n个人选
☆请他们认真考虑“青年人”的含义后 ②，
提出自己认为的最合适的年龄区间 ☆对于确定年龄（如27），若n个人选中，
③ 有m个人的年龄区间覆盖27，则称m/n 为27对 于 “青年人” 的 隶 属 频 率
例1 参数确定 试确定A = “年 轻 人 ” 的隶属 函数.
指派法选择偏小型柯西分布
1,
x a
A(x) 1,x(a1x a)
a 20, 2,A(30) 0.5
1/ 25
例2 函数修正 试确定A=“靠 近 5的 数 ” 的隶属 函数.
1 A(x)
2.2隶属函数的确定
粒状 微粒 体u8
0.00
壳质体 平均最 树脂体 大反射 u9 率u10
0.00 4.92
92.21
2.74
0.84
3.58
92.58
2.80
1.00
2.98
90.01
9.70
0.20
0.00
Байду номын сангаас0.00
3.98
无烟 煤 A1
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
8
1 6 其中 a j aij , j 1, 2,...,10. 6 i1 1 12 b j bij , j 1, 2,...,10. 12 i1 1 6 c j cij , j 1, 2,...,10. 6 i1 3）分别计算待识别煤样u ={u1 ,u2 ,...,u10 }与a (a1 , a2 ,..., a10 ), b (b1 , b2 ,..., b10 ), a (c1 , c2 ,..., c10 )之间的欧拉距离，得： d1(u,a )=((u j - a j ) ) ,
ai a i1 , a i 2 ,..., a im
其中
a ik
1 ki
a
j 1
ki
ij k
, k 1,2,..., m
称ai为Ai的均值样板.
2
(3) 计算模糊模式Ai的隶属函数 计算识别对象u=(u1,u2,…,um)与均值样板 的距离di(u, ai).令D=d1(u, a1)+d2(u, a2)+…+dp(u, ap), 则可取模糊模式Ai的隶属函数为
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美国加利福尼亚大学控制论教授扎得（L、A、Zadeh）经过多年的琢磨，终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。
指出：若对论域（研究的范围）U中的任一元素x，都有一个数A（x）∈[0，1]与之对应，则称A为U上的模糊集，A（x ）称为x对A的隶属度。
当x在U中变动时，A（x）就是一个函数，称为A的隶属函数。
隶属度A（x）越接近于1，表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表示x属于A的程度越低。
用取值于区间[0，1]的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低，这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。
隶属度属于模糊评价函数里的概念：模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
隶属度函数及其确定方法分类
隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。
对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息
的问题中仍然殊途同归。
下面介绍几种常用的方法。
(1)模糊统计法：
模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。
对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。
模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, v o是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率= v0∈A 的次数/ 试验总次数n
随着n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是vo对A 的隶属度值。
这种方法较直观地反映了模糊概念中的隶属程度,但其计算量相当大。
(2)例证法：
例证法的主要思想是从已知有限个μA的值,来估计论域U 上的模糊子集 A 的隶属函数。
如论域U代表全体人类,A 是“高个子的人”。
显然 A 是一个模糊子集。
为了确定μA,先确定一个高度值h,然后选定几个语言真值(即一句话的真实程度)中的一个来回答某人是否算“高个子”。
如语言真值可分为“真的”、“大致真的”、“似真似假”、“大致假的”和“假的”五种情况,并且分别用数字1、0.75、0.5、0.25、0来表示这些语言真值。
对n个不同高度h1、h2、…、hn都作同样的询问,即可以得到 A 的隶属度函数的离散表示。
(3)专家经验法：
专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数值来
确定隶属函数的一种方法。
在许多情况下,经常是初步确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。
(4)二元对比排序法：
二元对比排序法是一种较实用的确定隶属度函数的方法。
它通过对多个事物之间的两两对比来确定某种特征下的顺序,由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。
二元对比排序法根据对比测度不同,可分为相对比较法、对比平均法、优先关系定序法和相似优先对比法等。
举例
【例一】
A(x )=表示模糊集“年老”的隶属函数，A表示模糊集“年老”，当年龄x≤50时A（x）=0表明x不属于模糊集A（即“年老”），当x ≥100时，A（x）=1表明x 完全属于A，当50くx〈100时，0〈A（x）〈1，且x越接近100，A（x）越接近1，x属于A的程度就越高。
这样的表达方法显然比简单地说：“100岁以上的人是年老的，100岁以下的人就不年老。
”更为合理。
【例二】
按照模糊综合分析法，我们对某企业效绩进行评价。
1.设因素集U：U={u1，u2， (9)
综合我国现行评价体系和平衡记分法(SEC)，我们选取了u1(净资产收益状况)、u2(资产营运状况)、u3(长期偿债能力)、u4(短期偿债能力)。
U5(销售增长状况)，u6(市场占有能力)、u7(技术能力)、u8(发展创新能力)、u9(学习能力)等9个指标为反映企业效绩的主要指标。
其中，u1、u2、u3、u4、u5是财务业绩方面的指标，原来都用精确的比率指标反映，但对它们适当地模糊化更能客观真实地反映企业效绩。
例如，在评价企业短期偿债能力时，该企业流动比率为1.8，但专家们发现该企业存货数额庞大，占了流动资产的较大部分，说明其资产的流动性并不好，因而仍可评定该指标为较低等级。
U6是客户方面业绩指标，u7内部经营过程方面业绩指标，u8、u9是学习与增长方面业绩指标。
2.设评价集V={v1，v2……v4} 。
简便起见，我们设v1：优秀，v2：良好，v3：平均，v4：较差。
3.我们选取了该企业的注册会计师、熟悉该企业情况的专家组成评判组，得到评价矩阵
4.根据专家意见，我们确定权重集A为：
5.按照M(,，+)模型
所以，根据最大隶属度原则，该企业效绩评定为“良好”。
事后，该企业领导认为这个评价结果比较符合实际情况。