确定隶属函数的几种主要方法21190
确定隶属函数的几种主要方法
分组
频数 隶属频率
13.5~14.5
2
0.016 25.5~26.5 103 0.798
14.5~15.5
27 0.210 26.5~27.5 101 0.783
15.5~16.5
51 0.395 27.5~28.5 99 0.767
16.5~17.5
67 0.519 28.5~29.5 80 0.620
0 b x
1
0a
x
1
0 ab
x
(2)半梯形分布与梯形分布
①偏小型
1 xa
1
A( x)
b b
x a
0
a xb b x
0
ab
x
②偏大型
0
A(
x)
x b
a a
xa a xb
1
1 b x
0 ab
x
③中间型
0
x
a
A(
x
)
b
1
a
d x d c
0
xa a xb b xc c xd dx
隶属频率
m/n
0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
m A(27) 0.78 n 将论域U分组,每组以中值为代表，分别计算各组
第七讲 隶属函数的确定方法
µA3 ( x) = exp −k ( x − a)2 , (k > 0) µA4 ( x) = 1+ α ( x − a)β (α > 0, β是非负偶数)
(a2 + x − a) /(a2 − a1), a − a2 < x ≤ a − a1 1, a − a1 < x ≤ a + a1 µA5 ( x) = ɶ (a2 − x + a) /(a2 − a1), a + a1 < x ≤ a + a2 0, 其他 0.5 + 0.5sin [π /(b − a)( x + (b + a) / 2)] , −b < x ≤ −a 0.5 − 0.5sin [π /(b − a)( x − (b + a) / 2)] , a < x ≤ b µA6 ( x) = ɶ −a < x ≤ a 1, 0, 其他
n m t 10 6 0.6 20 14 0.7 30 23 40 31 50 39 60 47 70 53 80 62 90 68 100 76 110 85 120 95 129 101
0.77 0.78 0.78 0.78 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
参数法
来自百度文库
µ A ( x0 ) = lim ln ( A)( x0 )
确定隶属函数的方法
编辑ppt
5
§6.２ Delphi法
设Ｕ为论域，A 是Ｕ上待确定其隶属函数的模糊集，
用Dephi法确定 A 的隶属函数 A ( u ) 的步骤如下:
~
~
⑴ 提出影响 A 的主要因素，连同较为详尽的资料
发送选定的n位专家，请专家对于取定的 u 0 U , 给 出隶属度 A (u 0 ) 的估值 m ⑵设第ｉ位专家第一次给出的估计值为 m1i(i1,2,...,n).
（３）若模糊集反映的模糊概念已有相应成熟 的指标，这种指标经过长期实践检验已成为 公认的对事物的真实的又是本质的描述，则 可直接采用这种指标，或者通过某种方式将 这种指标转化为隶属函数；
编辑ppt
4
（４）对某些模糊概念，虽然直接 给出其隶属函数比较困难，但却可 以比较两个元素相应的隶属度，此
时可用相对选择法（见§6.４ ）求的隶属函数； （５）若一个模糊概念是由若干个模糊因素复合 而成的，则可先求各因素模糊集的隶属函数，再 综合出模糊概念的隶属函数。
M
表示集合 M
的元素的个数，而
[0,1]是事先给
定的标准。
(7)以 m 作为 A (u 0 ) 的估计值，或直接计算
编辑ppt
8
m
1 n
n
mi,
i 1
e
1 n
n
ei
i1
(仅供参考)隶属函数的确定方法[1]
![(仅供参考)隶属函数的确定方法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4eb2959b852458fb760b563e.png)
第4章隶属函数的确定方法
在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。
然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。
但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。
4.1 直觉方法
直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函
例1、“正好”、“热”和“很热”
图1 空气温度的隶属函数
例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描
图2 汽车行驶速度的隶属函数
虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。
隶属函数及其确定方法
美国加利福尼亚大学控制论教授扎得（L、A、Zadeh）经过多年的琢磨，终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。指出：若对论域（研究的范围）U中的任一元素x，都有一个数A（x）∈[0，1]与之对应，则称A为U上的模糊集，A（x ）称为x对A的隶属度。当x在U中变动时，A（x）就是一个函数，称为A的隶属函数。隶属度A（x）越接近于1，表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表示x属于A的程度越低。用取值于区间[0，1]的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低，这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。
隶属度属于模糊评价函数里的概念：模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
隶属度函数及其确定方法分类
隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息
的问题中仍然殊途同归。下面介绍几种常用的方法。
(1)模糊统计法：
模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, v o是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率= v0∈A 的次数/ 试验总次数n
第三章_隶属函数
3.2常用的隶属函数
２、梯形分布 （１）降半梯形分布
1 b x ( x) b a 0 0 x a ( x) b a 1
0 xa ba ( x) 1 dx d c 0
xa a xb xb
xa 0 xa k ) a xb ( b a c xb 1 dx k ( x) ( ) cxd d c xd 0
并
3.3工程中的模糊现象的描述
1) 许用应力(强度校核) 工作应力模糊许用区间 a) 降半正态分布 xa 1 ( x) 2 exp k ( x a ) xa b) 降半梯形分布 xa 1 b x ( x) a xb b a xb 0
~
否(0)明确回答,如在 N 次试验中。
u 0 A*的次数 u0 对 A 的隶属频率 ~ n 随着 n 增大, 隶属频率会呈现稳定性, 频率稳定的那个数,称为 u0 对 A 的隶
~
属度。
3.1确定隶属函数的方法
若将论域 U 分组,每组以中值为代表,分别计算各组的隶属频率,连续描出图 形,便可得到所研究问题的隶属函数曲线. 例 以成绩作为论域 U 0,100(单位 : 分) , A 表示“优秀”, B 表示“良好”,
3.1确定隶属函数的方法
以年令作为论域 U 0,120 (单位 : 年) , A 表示“老年”, B 表示“中年”,
确定隶属函数的几种主要方法
基本事件 ω是随机变动的. 做n次试验
“ω ∈ A”的次数 A发生的频率 = → P ( A) n
在每次试验中， 是确定的， F统计试验： 统计试验： 统计试验 在每次试验中， u0是确定的，
集合 A∗ 是随机变动的 . 做n次试验
“u0 ∈ A∗”的次数 u0 对A的隶属频率 = → A( u0 ) n
连续描出图形，可得到“青年人” 连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲 线。
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2 0 15 20 25 30 35
岁
上述F统计试验说明了隶属程度的客观规律 上述 统计试验说明了隶属程度的客观规律. 统计试验说明了隶属程度的客观规律
F统计与概率统计区别： 统计与概率统计区别： 统计与概率统计区别 随机试验： 在每次试验中， 是确定的， 随机试验： 在每次试验中， A是确定的，
0
a
b
x
③中间型
x<a 0 x − a a≤ x<b b − a A( x ) = 1 b≤ x<c d − x c≤ x<d d − c 0 d≤x
1
0a b
c d
x
③中间型
x<a 0 k x − a a≤ x<b 1 b − a A( x ) = 1 b≤ x<c k 0a b d − x c≤ x<d d − c d≤x 0
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
在模糊决策中的应用
多属性决策分析
在多属性决策分析中，隶属函数可用于将各 属性的量纲统一到同一尺度上，便于后续的 权重分析和综合评价。
风险评估
在风险评估中，隶属函数可以用于确定风险因素对 风险级别的隶属度，为决策者提供更准确的决策依 据。
05 隶属函数的应用
在模糊控制中的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模糊控制系统的设计
隶属函数是模糊控制系统的核心组成部分，用于将输入的 精确值转换为模糊集合的隶属度，为后续的模糊逻辑处理 提供基础。
控制规则的制定
通过隶属函数，可以定义模糊控制规则，将输入变量的变 化范围映射到输出变量的变化范围，实现非线性控制。
模糊推理的实现
利用梯度下降法迭代更新隶属函数的参数，以最 小化误差函数。
遗传算法
通过模拟自然选择和遗传机制，搜索最优的隶属 函数。
粒子群优化算法
利用粒子群优化算法的全局搜索能力，寻找最优 的隶属函数。
优化过程
评估与选择
在迭代过程中或迭代结束后，对优化后的 隶属函数进行评估，选择最优的隶属函数 作为最终结果。
数据预处理
聚类特征提取
在模糊聚类分析中，隶属函数还可以用于提取聚类的特征，通过分析样本点对各个聚类的隶属度分布 情况，提取出能够反映聚类特征的参数和指标。
第6章确定隶属函数的方法
例１、模糊统计试验的应用 设U=[0, 100]（单位：岁），A 是“青年人”在 Ｕ 上的模糊集，取 u0=27, 试用模糊统计试验来确定
u0对 A 的隶属度，并用模糊统计求 A, 的隶属函数
曲线（见教材１３２－１３４页）。
论域为实数域的隶属函数叫模糊分布（Fuzzy distribution), 即 A F (X) ，其中X为实数集，称 ~ = A(x) 为模糊分布。 常见的模糊分布有：
三分法（Trichotomy ） 基本思想：用随机区间的思想来处理模糊性的试 验模型，在某些场合适用此法来求隶属函数。
定理６.１ 设 ( , ) 是满足 P( ) 1 的连续随机 向量。对于 ( , ) 的每一个取点，都联系着一个映射
e( , ) : X P3 {A1 , A2 , A3 } A1 , x e( , ) (x) A 2 , x A 3, x
的隶属函数 A(u) 的步骤如下: 用Dephi法确定 A ~
~
⑴ 提出影响 A 的主要因素，连同较为详尽的资料 发送选定的n位专家，请专家对于取定的 u0 U, 给 出隶属度 A(u0 ) 的估值 m ⑵设第ｉ位专家第一次给出的估计值为 m1i (i 1, 2,...,n). 对于 m11 ,m12 ,,m1n 计算平均值 m1 和离差 d1 :
确定隶属函数的几种主要方法
A2( x) 1 A1( x) A3( x) 按概率方法计算，得
A1(
x
)
1
x
a1
1
A3 (
x)
x a2
2
从而
这里
A2 (
x)
x a1
1
x a2
2
x
( x)
1
t2
e 2 dt
2
用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.
3.F分布 实数R作为论域的情况. 实数R上F集的隶属函数称为F分布.
列出典型F分布, 根据问题性质选择适当分布.
(1)矩形分布或半矩形分布 1
①偏小型
A(
x
)
1 0
xa xa
0a
x
②偏大型
A(
x
)
Leabharlann Baidu0 1
xa xa
③中间型
0 x a A( x) 1 a x b
0 b x
1
0a
x
1
0 ab
概率P{x }是随机变量落在区间[x,b)的可能大小.
若x增大，则[ x, b)变小，从而落在区间[ x, b)的可能性
也变小. 概率P{x }的这个特性与矮个子F集相同 .
所以有
A1( x) P{ x } x P ( x)dx
隶属函数及确定方法
隶属函数
正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的几种确定方法
这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法
在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性
张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。由于每个被试者对于“青年人”这
确定隶属函数的几种主要方法
A2
(
x
)
x
a1
1
x
a2
2
这里
x
( x)
1
t2
e 2 dt
2
用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.
3.F分布
Before Reading Global Reading Detailed Reading
实数R作为论域的情况.
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
m A(27) 0.78 n 将论域U分组,每组以中值为代表，分别计算各组
隶属频率.(见表2 2)
Unit 6 The Pace of Life
Before Reading 表2Gl-o2bal分Rea组din计g 算D隶et属aile频d R率ead（ing实验A次fter数Re1a2di9ng） Supplementary Reading
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 15 20 25 30 35
岁
上述F统计试验说明了隶属程度的客观规律.
Before ReadFin统g 计G与loba概l Re率adi统ng 计D区eta别iled：Reading
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
隶属函数的确定方法
建立矮个子A1 ,中等个子A2 ,高个子A3的隶属函数
设 P3 { A1 , A2 , A3 }, U [0,3] (单位：m )
每次F试验确定U的一次划分, 每次划分确定 一对数（ ,） .
: 矮个子与中等个子的分 界点 : 中等个子与高个子的分 界点
矮个子,中等个子和高个子的区 间是随机区间 ,
0 x a1 a1 a2 1 1 A( x ) sin x a1 x a2 2 2 2 a2 a1 1 a2 x
③中间型
0 x a 2 1 1 a1 a2 sin x a2 x a1 2 2 2 a2 a1 A( x ) 1 a1 x a1 1 1 a1 a2 sin x a1 x a2 2 2 2 a2 a1 0 a2 x
0
a
b
x
（4）正态分布
①偏小型
1 A( x ) x a 2 e
②偏大型
xa xa
1
0
a
x
0 xa 2 A( x ) x a 1 e xa
1
0
a
x
③中间型
x e e
xa 0 x a a xb b a A( x ) 1 b xc d x c xd d c dx 0
模糊控制中隶属度函数的确定方法
模糊控制中隶属度函数的确定方法
一、引言
模糊控制是一种利用模糊逻辑进行控制的方法，广泛应用于各个领域。其中，隶属度函数是模糊控制中的重要组成部分，用于描述输入和输出变量之间的隶属关系。确定合适的隶属度函数对于模糊控制系统的稳定性和性能至关重要。本文将详细探讨模糊控制中隶属度函数的确定方法。
二、隶属度函数的概念
隶属度函数（Membership Function ）是模糊集合中最核心的概念之一。它用于描述一个元素对于某个模糊集合的隶属度程度。在模糊控制中，输入和输出变量的隶属度函数决定了输入输出之间的映射关系。
三、常用的隶属度函数
在模糊控制中，常用的隶属度函数包括三角隶属度函数、梯形隶属度函数、高斯隶属度函数等。下面将分别介绍这些常用的隶属度函数。
3.1 三角隶属度函数
三角隶属度函数是一种常见且简单的隶属度函数形式。它以一个三角形为基础，通常具有两个参数：峰值和宽度。三角隶属度函数的形状如图1所示。
3.1.1 三角隶属度函数公式
三角隶属度函数的数学表达式如下所示：
μ(x )={
0,x ≤a or x ≥c x −a b −a ,a ≤x ≤b c −x c −b ,b ≤x ≤c 其中，a 、b 、c 分别表示三角隶属度函数的左脚、峰值和右脚的位置。
3.2 梯形隶属度函数
梯形隶属度函数是一种介于三角隶属度函数和矩形隶属度函数之间的形式。它以一个梯形为基础，通常具有四个参数：左脚、上升边沿、下降边沿和右脚。梯形隶属度函数的形状如图2所示。
3.2.1 梯形隶属度函数公式
梯形隶属度函数的数学表达式如下所示：
模糊数学隶属函数的确定
我们取之为“很冷”、“冷”、“正好”、“热”和 “很热”，则凭借我们对“很冷”、“冷”、“凉 爽”、“适宜”和“热”这几个模糊概念的认知和理 解，规定这些模糊集的隶属函数曲线如图1 所示。
虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背
景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的Leabharlann Baidu言学描 述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建 立出不完全相同的隶属函数。例如，模糊集A = “很冷”的隶属函 数。不同性别、不同生活环境的人所得出的曲线是不同的。
③根据表3的数据，可作出模糊集A =“青年人”的隶属函数 曲线如图5所示：
模糊统计试验方法可以比较客观地反映论域中元素相对于模糊 概念的隶属程度，也具有一定的理论基础，因而是一种常用的确定 隶属函数的方法。但需要指出的是，模糊统计与概率统计是有区别 的：概率统计可以理解为“变动的点”是否落在“不动的圈内”， 而模糊统计则可理解为“变动的圈”是否覆盖住“不动的点”。 如图3所示。
元素uu0o属于AA** 的次数为m，则元素uu0o对A 的隶属频率定义为：
uo对A的隶属频率
"uo A*"的次数m 实验的总次数 n
当试验次数 n 足够大时，元素uu0o的隶属频率总是稳定于某一数(大数定律)，这个 稳定的数即为元素uu0o对A 的隶属度。
8.3 隶属函数的确定
例1 参数确定 试确定A = “年 轻 人 ” 的隶属 函数.
指派法选择偏小型柯西分布
1,
x a
A(x) 1,x(a1x a)
a 20, 2,A(30) 0.5
1/ 25
例2 函数修正 试确定A=“靠 近 5的 数 ” 的隶属 函数.
1 A(x)
④ ☆随着n的增加，隶属频率趋于稳定
指派法
隶属函数类型
举例
一般表达
偏大型 偏小型 居中型
大、热、年老
A(Hale Waihona Puke Baidu)
0f (,x)
x , x
a a
小、冷、年轻 中、暖、中年
A(x)
1f (, x)
,
x x
a a
A(x) f0(,x),
xa x [a,b]
0, x b
模糊数学
之隶属函数的确定
模糊统计法 指派法 借用已有的客观尺度
模糊统计法
模 糊 统 计 法 ： 以 确 定 “青年人” 的隶属函数为 例 ① ☆以人的年龄作为论域U，调查n个人选
☆请他们认真考虑“青年人”的含义后 ②，
提出自己认为的最合适的年龄区间 ☆对于确定年龄（如27），若n个人选中，
③ 有m个人的年龄区间覆盖27，则称m/n 为27对 于 “青年人” 的 隶 属 频 率
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Unit 6 The Pace of Life
设进行了n次试验, 第k次试验的映射为e . Before Reading Global Reading Detailed Reading After Reading Supplemenktary Reading
令
aik
(u)
1 0
ek (u) Ai ek (u) Ai
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
A(
x)
e
xe
2
x
1
（5）哥西分布 ①偏小型
0
a
x
1
A(
x)
1
1 ( x )
xa
x a( 0, 0)
1Before Reading
1 Global Reading Detailed Reading
①偏小型
1 xa
1
A( x)
b b
x a
0
a xb b x
0
ab
x
②偏大型
0
A(
x)
x b
a a
xa a xb
1
1 b x
0 ab
x
Before Reading Global Reading
③中间型
Detailed Reading
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
分组
频数 隶属频率
分组
频数 隶属频率
13.5~14.5
2
0.016 25.5~26.5 103 0.798
14.5~15.5
27 0.210 26.5~27.5 101 0.783
15.5~16.5
51 0.395 27.5~28.5 99 0.767
16.5~17.5
67 0.519 28.5~29.5 80 0.620
x
P ( x)dx
其中P ( x)和P ( x)分别是随机变量和的概率密度，即
A2( x) 1 A1( x) A3( x)
按概率方法计算，得
A1
(
x)
1
x a1
1
A3
(
x
)
x
a2
2
从而 Before Reading Global Reading
Detailed Reading
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
0
x
a
A(
x
)
b
1
a
d x d c
0
xa a xb b xc c xd dx
1 0a b c d x
③中间型
Before Reading Global Reading
Detailed Reading
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
m A(27) 0.78 n 将论域U分组,每组以中值为代表，分别计算各组
隶属频率.(见表2 2)
Unit 6 The Pace of Life
Before Reading 表2Gl-o2bal分Rea组din计g 算D隶et属aile频d R率ead（ing实验A次fter数Re1a2di9ng） Supplementary Reading
区
Detailed Reading
别：
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
• 若把概率统计比喻为“变动的点”是否
落在“不动的圈”内，
• 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否 盖住“不动的点”.
Unit 6 The Pace of Life
e( ,) : U { A1, A2, A3}
即
e(
,
)(
x)
A1( A2 (
x) x)
x x
A3( x) x
概率P{ x }是随机变量落在区间[ x,b)的可能大小.
若x增大，则[ x,b)变小，从而落在区间 [ x,b)的可能性
也变小. 概率P{ x }的这个特性与矮个子F集相同 .
After Reading
1
Supplementary Reading
0a
x
③中间型
0 x a A( x) 1 a x b
0 b x
1
0 ab
x
Before(Re2a)di半ng 梯形Glob分al R布ead与ing 梯形Deta分iled布Reading
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 15 20 25 30 35
岁
上述F统计试验说明了隶属程度的客观规律.
中年人
Before ReadFin统g 计G与loba概l Re率adi统ng 计D区eta别iled：Reading
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
17.5~18.5
124 0.961 29.5~30.5 77 0.597
18.5~19.5
125 0.969 30.5~31.5 27 0.209
19.5~20.5
129
1
31.5~32.5 27 0.209
20.5~21.5
129
1
32.5~33.5 26 0.202
21.5~22.5
129
1
33.5~34.5 26 0.202
设有二相集P { A, A } 二相F统计: Before Reading Global Reading
Detailed Readin2g
c
After Reading
Supplementary Reading
每次F试验确定一个映射：
e : U P2
这是对U的一次划分,是两个相反的模糊概念
在U中竟选的结果。隶属函数A(u)与Ac (u)满足
随机试验： 在每次试验中，A是确定的，
基本事件是随机变动的. 做n次试验
A发生的频率 “ A”的次数 P( A)
n
F统计试验： 在每次试验中，u0是确定的， 集合A 是随机变动的 . 做n次试验
u0 对A的隶属频率
“u0
A”的次数 n
A(u0 )
Before Reading
Global Reading
0 xa
x b
a a
k
axb 1
A( x) 1 b x c
d d
x c
k
cxd 0a b
cd
x
0
dx
(3)抛物型分布
Before Reading Global Reading
①偏小型
Detailed Reading
1
A(
x
)
b b
x a
k
0
②偏大型
xa a xb
b x
22.5~23.5
129
1
34.5~35.4 26 0.202
23.5~24.5
129
1
35.5wk.baidu.com36.5 1
0.008
24.5~25.5
128 0.992
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连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲线。
Before Reading Global Reading Detailed Reading After Reading Supplementary Reading
0
A(
x)
x b
a a
k
1
xa a xb b x
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
1
0 ab x
1
0 ab
x
Before Re（adin4g ）正Glo态bal分Rea布ding ①偏小型
1
A(
x)
e
11
After Reading2 Supplementary Reading 22
A1( x)
A2( x)
A3( x)
0
a1
a2
x
数对( , )确定映射 Before Reading Global Reading Detailed Reading
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
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§6 确定隶属函数的方法综述 Before Reading Global Reading Detailed Reading After Reading Supplementary Reading
一、确定隶属函数的几种主要方法
1.F统计方法
确定“青年人”的隶属函数.
以年龄为论域 U , A是“青年人”在 U上的F集. 选取u0 27岁, 用F统计实验确定u0对A的隶属度.
选择若干（n）合适人选，请他们写出各自认为 “青年人”最适宜、最恰当的年限，即将模糊概念 明确化。
Unit 6 The Pace of Life
Before若Reandin次g 实G验lob中al R覆ead盖ing 27D岁eta的iled年Rea龄ding区间Af的ter R次ead数ing为mSu，pplementary Reading
实数R上F集的隶属函数称为F分布.
列出典型F分布, 根据问题性质选择适当分布.
(1)矩形分布或半矩形分布
1
①偏小型
A(
x)
1 0
xa xa
0a
x
②偏大型 Before Reading Global Reading Detailed Reading
A(
x)
0 1
xa xa
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则称m/n为27岁对于（青年人）的隶属频率。
表2-1 27岁对（青年人）的隶属频率
实验次数n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
隶属次数m 6 14 23 31 39 47 53 62 68 76 85 95 101
隶属频率
m/n
0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
aik (u)为元素u在第k次试验划归Ai的次数
u对Ai的隶属频率
Ai
(u)
1 n
n
aik
(u)
k 1
m
Ai
i 1
(u)
m1 i 1n
n
aik
(u)
k 1
1 n
m
n
aik
i 1k 1
(u)
1 n
nm
aik
k 1i 1
(u)
1 n
n
1
i 1
1 n
•
n
1
2.三分法 Before Reading Global Reading
所以有
A1( x) P{ x } x P ( x)dx
类似地
Before Reading Global Reading
Detailed Reading
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A3( x) P{ x}
Detailed Reading
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用随机区间的思想处理模糊性（模糊性的清晰化）
建立矮个子A1 ,中等个子A2 ,高个子A3的隶属函数 设 P3 { A1, A2, A3}, U [0,3] (单位：m) 每次F试验确定U的一次划分,每次划分确定 一对数（ ,）.
A2
(
x
)
x
a1
1
x
a2
2
这里
x
( x)
1
t2
e 2 dt
2
用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.
3.F分布
Before Reading Global Reading Detailed Reading
实数R作为论域的情况.
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: 矮个子与中等个子的分界点
:中等个子与高个子的分界点
矮个子,中等个子和高个子的区间是随机区间,
从而和是随机变量.它们服从正态分布.
Before Reading
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~ N (a , ), ~ N (a , ) Global Reading Deta2iled Reading
u U , A(u) Ac (u) 1
多相F统计: 设有多相集Pm { A1, A2 , , Am }
Ai F (U ) i 1,2 m.每次试验都确定一个映射 e : U Pm
多项F统计的结果,可确定各相在U上的隶属函数
它们满足
u U , A1(u) A2(u) Am (u) 1
xa
2
Detailed Reading
xa xa
Unit 6 The Pace of Life After Reading Supplementary Reading
1
0a
x
②偏大型
1
0
xa
A(
x)
1
e
xa
2
xa
0
a
x
③中间型 Before Reading Global Reading
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