南宁市高考数学一轮复习：60 随机事件的概率A卷
高考数学第一轮复习概率专项练习(含答案)
高考数学第一轮复习概率专项练习（含答案）高考数学第一轮复习概率专项练习（含答案）概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
以下是高考数学第一轮复习概率专项练习，请考生掌握。
一、选择题1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A.0.852B.0.819 2C.0.8D.0.75答案：D 命题立意：本题主要考查随机模拟法，考查考生的逻辑思维能力.解题思路：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75，故选D.2.在菱形ABCD中，ABC=30，BC=4，若在菱形ABCD内任取一C. 1/3D.1/4答案：B 解题思路：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b0，因此满足此条件的基本事件有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9个，故所求的概率为=.5.在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为()A.1-B.1-C.1-D.1-答案：B 解题思路：函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点，需=4a2-4(-b2+0，即a2+b22成立.而a，b[-]，建立平面直角坐标系，满足a2+b22的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P===1-，故选B.6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.5/6B.11/12C. 1/2D.3/4答案：B 解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而为一白一黑的共有6个基本事件，所以所求概率P==.故选B.二、填空题7.已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2+y22的概率为________. 答案：命题立意：本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键，难度中等.解题思路：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，满足条件x2+y22的点分布在以为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何度量，由几何概型可得所求概率为=.8.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查古典概型，意在考查考生分析问题的能力.解题思路：设5名学生分别为a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，从5名学生中选2名的选法有(a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3种，故所求概率为.9.已知函数f(x)=kx+1，其中实数k随机选自区间，则对x[-1,1]，都有f(x)0恒成立的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查数形结合思想.解题思路：f(x)=kx+1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k[-1,1]时满足f(x)0在x[-1，1]上恒成立，而区间[-1,1]，[-2,1]的区间长度分别是2,3，故所求的概率为.10.若实数m，n{-2，-1,1,2,3}，且mn，则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________.解题思路：实数m，n满足mn的基本事件有20种，如下表所示.-2 -1 1 2 3 -2 (-2，-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1，-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1，-2) (1，-1) (1,2) (1,3) 2 (2，-2) (2，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3，-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3)，共6种，因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==.三、解答题11.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，，6，设编号为n的球重n2-6n+12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出1个球，求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率. 命题立意：本题主要考查古典概型的基础知识，考查考生的计算能力.解析：(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2-6n+12n，即n2-7n+120.解得n3或n4.所以n=1,2,5,6.所以从袋中任意取出1个球，其重量大于其编号的概率P==.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有15种可能的情形.设编号分别为m与n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且mn)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12，即有(m-n)(m+n-6)=0.所以m=n(舍去)或m+n=6.满足m+n=6的情形为1,5;2,4，共2种情形.故所求事件的概率为.12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率.命题立意：(1)不放回抽球，列举基本事件的个数时，注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球，列举基本事件的个数时，可以出现重复的号码，然后找出其中随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的公式进行计算.解析：(1)设事件A为方程x2+2ax+b2=0有实根.当a0，b0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为ab.以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A发生的概率为P(A)==.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P落在区域内的概率为.13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.命题立意：本题以频率分布直方图为载体，考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.解析：(1)由已知，得10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1-10(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为6400.85=544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为400.05=2，这2人分别记为A，B;成绩在[90,100]分数段内的人数为400.1=4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个.所以所求概率为P(M)=.14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车，包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国节能减排战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：燃料电池轿车混合动力轿车氢能源动力轿车标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中燃料电池轿车有10辆.(1)求y的值;(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆轿车，求至少有1辆标准型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测，经检测它们的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.命题立意：本题主要考查概率与统计的相关知识，考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问，设该厂这个月生产轿车n辆，根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有燃料电池轿车10辆，列出关系式，得到n的值，进而得到y值;对于第(2)问，由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问，首先求出样本的平均数，求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果.解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车，由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆标准型轿车，3辆豪华型轿车，用A1，A2表示2辆标准型轿车，用B1，B2，B3表示3辆豪华型轿车，用E表示事件在该样本中任取2辆轿车，其中至少有1辆标准型轿车，则总的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故所求概率为P(E)=.(3)样本平均数=(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.设D表示事件从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4，则总的基本事件有10个，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6个.所求概率为P(D)==.高考数学第一轮复习概率专项练习及答案解析的全部内容就是这些，查字典数学网希望考生可以取得优异的成绩。
高三数学第一轮复习课时作业(60)随机事件的概率与古典概型B
课时作业(六十)B 第60讲 随机事件的概率与古典概型时间：35分钟 分值：80分基础热身1．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.12，在80～89分的概率为0.55，在70～79分的概率为0.15，在60～69分的概率为0.08.则小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率与考试不及格(低于60分)的概率分别是( )A ．0.90,0.10B ．0.67,0.33C ．0.67,0.10D ．0.70,0.102．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率为( ) A.29 B.736 C.16 D.143．如图K60－1，三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 图K60－1A.37B.47C.114D.13144．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是( ) A.1564 B.15128 C.24125 D.48125 能力提升5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是( )A.5216B.25216C.31216D.912166．甲袋中有不可识别的m 个白球，n 个黑球，乙袋中有不可识别的n 个白球，m 个黑球(m ≠n )，现从两袋中各摸一个球．事件A ：“两球同色”，事件B ：“两球异色”，则P (A )与P (B )的大小为( )A ．P (A )<P (B ) B ．P (A )＝P (B )C ．P (A )>P (B )D ．视m 、n 大小确定7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )A.151B.168C.1306D.14088．以平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率P 为( )A.367385B.376385C.192385D.183859．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________．(结果用分数表示)10．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为________．11．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．12．(13分)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．难点突破13．(12分)2011·重庆卷某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数X的分布列与期望．课时作业(六十)B【基础热身】 1．C 解析 取得80分及以上的概率为：0.12＋0.55＝0.67；不及格的概率为：1－0.67－0.15－0.08＝0.10. 2．A 解析 基本事件的总数是36，点P 落在圆内的基本事件是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个，故所求的概率是836＝29.3．D 解析 从中任取三个数共有C 39＝84种取法，没有同行、同列的取法有C 13C 12C 11＝6，至少有两个数位于同行或同列的概率是1－684＝1314，选D.4．A 解析 将5本不同的书全发给4名同学共有45种发法，其中每名同学至少有一本书的发法有C 25A 44，故每名同学至少有一本书的概率是P ＝C 25A 4445＝1564，选A.【能力提升】5．D 解析 抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝125.于是没有出现一次5点向上的概率P ＝125216所求的概率为1－125216＝91216.6．A 解析 基本事件总数为(m ＋n )2，记事件A 为“两球同色”，则A 可分为“两球皆白”与“两球皆黑”两个互斥事件，∴P (A )＝mn (m ＋n )2＋mn (m ＋n )2＝2mn(m ＋n )2.而B 与A 是对立事件，且m ≠n ，所以P (B )＝1－P (A )＝m 2＋n2(m ＋n )2>P (A )．故选A.7．B 解析 基本事件总数为C 318＝17×16×3. 选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3(n －1)，a 1＝1时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法； a 1＝2时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法； a 1＝3时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法．所以P ＝4＋4＋417×16×3＝168.8．A 解析 由平行六面体的八个顶点，共能作成的三角形有C 38＝56个，从中任意取出两个三角形的方法数为C 256，由于平行六面体共有六个面和六个对角面，且每一个面上有四个顶点，从中任意取出三个点作成的三角形都是共面三角形，从而任取两个三角形共面的情况有12C 24＝72个，即任意取出的两个三角形恰好共面的概率是P 1＝72C 256＝18385.由于事件A ：“任意取出两个三角形不共面”与事件B ：“任意取出的两个三角形恰好共面”是对立事件，故所求概率P ＝1－P 1＝367385，选A.9.119190解析 方法1：将事件“两人不属于同一个国家”分拆为下列基本事件：A ：“一中一法”，B ：“一中一美”；C ：“一美一法”，则A 、B 、C 互斥，由P (A )＝C 14C 15C 220，P (B )＝C 111C 15C 220，P (C )＝C 111C 14C 220.∴P ＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝119190.方法2：设事件A ：“两人不属于同一国家”的对立事件为A ：“两人同属一个国家”，∵P (A )＝C 211＋C 24＋C 25C 220＝71190， ∴P (A )＝1－71190＝119190.10.3554解析 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除．所有的三位数有A 310－A 29＝648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}、被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{0,3,6,9}，若要求所得的三位数被3整除，则可以进行如下分类：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A 33＝12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A 34－A 23＝18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C 13·C 13·C 13·A 33＝162个；④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C 13·C 13·2·A 22＝36个．这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为420648＝3554.11.1315解析 方法1：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A 分拆为B ：“甲选乙判”，C ：“甲选乙选”，D ：“甲判乙选”三个互斥事件，则P (A )＝P (B )＋P (C )＋P (D )．而P (B )＝C 16C 14C 110C 19，P (C )＝C 16C 15C 110C 19，P (D )＝C 14·C 16C 110C 19，∴P (A )＝2490＋3090＋2490＝7890＝1315.方法2：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为A ：甲乙两人均抽判断题．∴P (A )＝C 14C 13C 110C 19＝1290，∴P (A )＝1－1290＝7890＝1315. 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315. 12．解答 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡． 设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P (A )＝C 16C 130C 236＝27，所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为： 事件B 1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B 2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 221C 36＋C 19C 16C 36＝44105，所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.【难点突破】13．解答 这是等可能性事件的概率计算问题．(1)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827.解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)X 的所有可能值为1,2,3.又P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427 ⎝⎛⎭⎫或P (X ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427， P (X ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝⎛⎭⎫或P (X ＝3)＝C 24A 3334＝49.综上知，X 有分布列从而有E (X )＝1×127＋2×27＋3×9＝27.。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业60随机事件的概率 含解析
C. D.
解析：将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件
总数为6×6＝36(个)，
这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个，
∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为P＝ .故选D.
(2)若某高三学生已选修A门课，则该学生同时选修B、C中哪门课的可能性大？
解析：(1)由频率估计概率得所求概率
P＝ ＝0.68.
(2)若某学生已选修A门课，则该学生同时选修B门课的概率为P＝ ＝ ，
选修C门课的概率为P＝ ＝ ，
因为 < ，
所以该学生同时选修C门课的可能性大．
[
11．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
10．[2019·河南八市重点高中质量监测]某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的情况，如下表：
科目
学生人数
A
B
C120Biblioteka 是否是60
否
否
是
70
是
是
否
50
是
是
是
150
否
是
是
50
是
否
否
(1)试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修两门课的概率；
解析：(1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}．
2021高考数学一轮复习考点规范练：60随机事件的概率(含解析)
2021高考数学一轮复习考点规范练：60随机事件的概率（含解析）基础巩固1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是()A.事件A发生的概率等于B.事件A发生的概率等于C.事件A是不可能事件D.事件A是必然事件答案:D解析:因为从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故选D.2.从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③答案:C解析:从9个数字中取两个数有三种情况:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.3.从一箱产品中随机抽取一件,设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.5答案:C解析:∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,∴所求概率为1-P(A)=0.35.4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8答案:B解析:因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,已知甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,则中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.答案:解析:因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为6.(2019全国Ⅱ,理13)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.答案:0.98解析:由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.7.下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.其中正确命题的序号是.答案:①解析:根据对立事件与互斥事件的关系,得①正确,②不正确.当A,B是互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),③不正确.P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1,④不正确.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：9.4随机事件的概率Word版含答案
事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意 义，了解频率与概率的区别． 了解两个互斥事件的概率加法公式．知识点一 概率与频率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记作P (A )．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0.易误提醒 易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．[自测练习]1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：35知识点二 互斥事件和对立事件易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[自测练习]3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．答案：A4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.答案：A考点一 事件的关系|1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥也不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω，故事件B ，C 是对立事件．答案：D2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．答案：A3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．考点二 随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期 123456789101112131415天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期 161718192021222324252627282930天气晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．[解] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5. 答案：32 0.437 5考点三 互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. (2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ， 所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. 31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)[思路点拨]若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[思想点评](1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．(3)需准确理解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．[跟踪练习]某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为() A．0.95B．0.97C．0.92 D．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：CA组考点能力演练1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么()A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件． 答案：B2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：A3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“都是红球” C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.答案：D4．(2016·云南一检)在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.答案：C5．(2015·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.答案：A6．(2016·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：297．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65， P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6， 又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35， ∴P (B )＝0.25. 答案：0.258．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19289．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(1)(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则 G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则 H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.2．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。
2025高考数学一轮复习课件 随机事件的概率
4. (2024·邢台市第二中学期末)如图所示，A，B，C 表示 3
个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为 0.9，
0.8，0.8，则该系统的可靠性(3 个开关只要一个开关正常工作
即可靠)为( )
A．0.504
B．0.994
C．√0.996
D．0.964
解析 由题意知，所求概率为 1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝1－0.004＝ 0.996.故选 C.
C√．“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”
D．“至多有 1 个白球”和“都是红球”
【解析】 对于 A，“至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件，不 符合题意；对于 B，“至少有 2 个白球”表示取出的 2 个球都是白色的，而“至 多有 1 个红球”表示取出的球 1 个是红球，1 个是白球，或者 2 个都是白球， 二者不是互斥事件，不符合题意；对于 C，“恰有 1 个白球”表示取出的 2 个 球 1 个是红球，1 个是白球，与“恰有 2 个白球”是互斥而不对立的两个事件， 符合题意；对于 D，“至多有 1 个白球”表示取出的 2 个球 1 个是红球，1 个 是白球，或者 2 个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故 选 C.
并事件 (和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发
生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 __并__事__件__(或__和__事__件__)___
符号表示
___B_⊇__A___
(或 A⊆B)
_A__＝__B_
A∪B (或 A＋B)
交事件 (积事件) 互斥事件
对立事件
若某事件发生当且仅当 _事__件__A_发__生__ 且___事__件__B_发__生_____，则称此事件为
2020届高考数学一轮复习：课时作业66《随机事件的概率》(含解析)
课时作业66 随机事件的概率1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( A )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.2．(2019·重庆九校联盟第一次联考)已知随机事件A ，B 发生的概率满足条件P (A ∪B )＝34，某人猜测事件A ∩B 发生，则此人猜测正确的概率为( C )A ．1 B.12 C.14 D ．0解析：事件A ∩B 与事件A ∪B 是对立事件，P (A ∩B )＝1－P (A∪B )＝1－34＝14，故选C.3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( B )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石解析：依题意，这批米内夹谷约为28254×1 534≈169石．4．(2019·湖南郴州教学质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( D )A ．1 B.16 C.12 D.13解析：甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13.故选D.5．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( A )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.6．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为( C )A.13B.12C.23D.56解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.7．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为0.55.解析：用频率估计概率为1－(0.015＋0.03)×10＝0.55.8．(2019·湖北武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是56.解析：乙不输包含两人下成和棋或乙获胜，所以乙不输的概率为12＋13＝56.9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有6_912人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人)．10．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为815；至少取得一个红球的概率为1415.解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝14 15.11．某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.12．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,2 20,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 420 220相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70 110 140 160 200 220 频率 120 320 420 720 320 220(2)根据题意，Y ＝460＋10×5＝X 2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.13．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得54<a ≤43. 14．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( D )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32解析：设“摸出一个红球”为事件A ，“摸出一个白球”为事件B ，“摸出一个黑球”为事件C ，显然事件A ，B ，C 都互斥，且C 与A ＋B 对立．因为P (A )＝45100＝0.45，P (B )＝0.23，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.45＋0.23＝0.68，P (C )＝1－P (A ＋B )＝1－0.68＝0.32.15．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是35，他属于不超过2个小组的概率是1315.解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝13 15.16．(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放金额50100150200(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：这 1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为11 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.。
备考2020年高考数学一轮复习：60 随机事件的概率
备考2020年高考数学一轮复习：60 随机事件的概率一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12、13、14，则有人能够解决这个问题的概率为（）A．1213B．34C．14D．1242．（2分）在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，…，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是()A．2635B．2535C．2636D．25363．（2分）奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件4．（2分）一个盒中有4个新乒乓球，2个旧兵乓球，每次比赛时取出两个，用后放回，则第二次比赛时取到两只都是新球的概率为（）A．225B．425C．725D．8255．（2分）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为（）A．34B．58C．716D．9166．（2分）将三颗做子各掷一次，设事件A=“三个点数互不相同”，B=“至多出现一个奇数”，则概率P（A B）等于（）A．14B．3536C．518D．5127．（2分）甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（）A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12C．乙输棋的概率是23D．乙不输的概率是128．（2分）下列事件中是随机事件的个数有（）①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解60 事件的概率
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第60讲 事件的概率与概型【知识通关】通关一通关一、、随机事件及其概率1.事件的相关概念（1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件． （2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件. （3)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件． 2.频率与概率（1)事件的频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比【例】()An n f A n=为事件A 出现的频率。
（2)概率的统计定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率()An n f A n=会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率，简称为A 的概率。
要点诠释：（1)频数是一个整数，其取值范围为0,A A n n n N ≤≤∈,因此随机事件A 发生的频率()An n f A n=的可能取值介于0与1之间，即0≤()n f A ≤1.（2)必然事件M 的概率为1,即P (M )=1；不可能事件N 的概率为0,即P (N )=0；随机事件A 的概率满足01P ≤≤（A).通关二通关二、、概率的几个基本性质1.任何事件的概率都在0∼1之间，即0≤P (A )≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.2.当事件A 与事件B 互斥时，P (A U B )=P (A )+P (B ).3.对立事件的概率之和为1,即若事件A 与事件B 对立，则P (A )+P (B )=1.4.当事件A 与事件B 互相独立时，P (AB )=P (A )P (B ).【结论第讲】结论一结论一、、独立事件的概率与性【例1】已知A,B,C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是12，事件B 发生的概率是23，事件C 发生的概率是34,求下列事件的概率：（1)事件A,B,C 至少发生一个； （2)事件A,B,C 只发生一个； （3)事件A,B,C 只发生两个； （4)事件A,B,C 至多发生两个．【解析】（1)记“事件A,B,C 至少发生一个”为1A ,其对立事件为1A :“事件A,B,C 一个也不发生”，从而1111123=23424P P P B C ⋅⋅××=（A )1-（A )=1-（A )=1-. 所以事件A,B,C 至少发生一个的概率为2324. （2）记“事件A ，B ，C 只发生一个”为2A ，则事件2A ，包括三种情况∶第一种是只发生事件A ，事件B ，C 不发生（即事件A B C i 发生）;第二种是只发生事件B ，事件A ，C 不发生（即事件A B C i i 发生）;第三种是只发生事件C ，事件A ，B 不发生（即事件A B Ci i 发生）;而这三种情况是不可能同时发生的，即事件A B C i ，A B C i ，A B Ci i 彼此互斥.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (2A )=P(A B C i i )+P(A B C i i )+P(A B Ci i )= 12312424244++=所以A ，B ，C 只发生一个的概率为14（3）记“事件A ，B ，C 只发生两个”为3A ，则事件3A ，包括三种彼此互斥的情况∶A B C i i ; A B C i i ;A B C i i 由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P （3A ）=P （A B C i i ）+P （A B C i i ）+P （A B C i i ）=2361124242424++=所以事件 A ，B ，C 只发生两个的概率为1124（4）记“事件A ，B ，C 至多发生两个”为4A ，则包括彼此互斥的三种情况∶事件A ，B ，C 一个也不发生，即1A ;事件A ，B ，C 只发生一个，即2A ;事件A ，B ，C 只发生两个，即3A 故P （4A ）=1P（A )+P (2A ) P （3A ）=1611183242424244++==所以事件 A ，B ，C 至多发生两个的概率为34【变式】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14,求：（1)两个人都译出密码的概率； （2)两个人都译不出密码的概率； （3)恰有1个人译出密码的概率； （4)至多1个人译出密码的概率； （5)至少1个人译出密码的概率．【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A,B 为相互独立事件，且P(A)=13,P(B)= 14. （1)两个人都译出密码的概率为：P(AB)=P(A)·P(B)=111=3412×. （2)两个人都译不出密码的概率为：111==[[=342P A B P A P B P P ⋅⋅⋅×(）(）(）1-(A）]1-(B）]=（1-）（1-（3)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个 事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P=P(A B +A B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)=11115(1)(1343412×−+−×=. （4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1个人译出 密码的概率为：1-P(AB)=1-P(A)P(B)=111113412−×=.（5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：2311()1()()1342P A B P A P B −⋅=−=−×=.结论二结论二、、条件概率1.条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为B|A.2.利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=()()P AB P A . 3.利用缩小样本空间法计算（局限在古典概型内），即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A,原来的事件B 缩小为AB,利用古典概型计算概率：P(B|A)=()()P AB P A . 要点诠释：P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间关系的应用，即P(B|A)=()()P AB P A , P(A|B)= ()()P AB P B , P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A).【例2】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为____________ 【答案】499【解析】设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，4(|)99P B A =． 【变式】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）． ①P （B ）25=；②15(|)11P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立； ④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件；⑤P （B ）的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关． 【答案】②④【解析】易见1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，④正确；151()102P A ==，221()105P A ==，33()10P A =；11115()5211(|)1()112P BA P B A P A ×===，由此知，②正确； 24(|)11P B A =，34(|)11P B A =；而P （B ） 1231122331514349()()()()(|)()(|)()(|)211511101122P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++=×+×+×=． 由此知①③⑤不正确。
2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习考点规范练：60 随机事件的概率 Word版含解析
考点规范练60 随机事件的概率基础巩固1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A ,则下列推断正确的是( )A.事件A 发生的概率等于15B.事件A 发生的概率等于25C.事件A 是不可能事件D.事件A 是必然事件,所以事件A 是必然事件.故选D .2.从16个同类产品(其中有14个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件的概率为1的是( )A.三个都是正品B.三个都是次品C.三个中至少有一个是正品D.三个中至少有一个是次品16个同类产品中,只有2个次品,可知抽取3个产品,A 是随机事件,B 是不可能事件,C 是必然事件,D 是随机事件,又必然事件的概率为1,故C 正确.3.从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是( )A.① B.②④C.③D.①③9个数字中取两个数有三种情况:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.4.从一箱产品中随机抽取一件,设事件A 为“抽到一等品”,事件B 为“抽到二等品”,事件C 为“抽到三等品”,且已知P (A )=0.65,P (B )=0.2,P (C )=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A.0.7 B.0.65C.0.35D.0.5“抽到的产品不是一等品”与事件A 是对立事件,∴所求概率为1-P (A )=0.35.5.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.81,所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B .6.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,已知甲夺得冠军的概率为,乙37夺得冠军的概率为,则中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .14“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.37+14=19287.下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A ,B 为两个随机事件,则P (A ∪B )=P (A )+P (B );③若事件A ,B ,C 彼此互斥,则P (A )+P (B )+P (C )=1;④若事件A ,B 满足P (A )+P (B )=1,则A 与B 是对立事件.其中正确命题的序号是 .,得①正确,②不正确.当A ,B 是互斥事件时,才有P (A ∪B )=P (A )+P (B ),③不正确.P (A )+P (B )+P (C )不一定等于1,还可能小于1,④不正确.例如:袋中有除颜色外,其余均相同的红、黄、黑、绿4个球,从袋中任摸一个球,设事件A={摸到红球或黄球},事件B={摸到黄球或黑球},显然事件A 与B 不是对立事件,但P (A )+P (B )==1.12+128.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数/人012345概 率0.10.16x y 0.2z(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x 的值;(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,最少为3的概率为0.44,求y ,z 的值.“在竞赛中,有k 人获奖”为事件A k (k ∈N ,k ≤5),则事件A k 彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,∴P (A 0)+P (A 1)+P (A 2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P (A 5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少为3的概率为0.44,得P (A 3)+P (A 4)+P (A 5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44.解得y=0.2.9.在某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ,B ,C ,求:(1)P (A ),P (B ),P (C );(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率.由题意可知P (A )=,11000P (B )=,101 000=1100P (C )=.501000=120(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”为事件M ,则M=A ∪B ∪C.∵A ,B ,C 两两互斥,∴P (M )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=.1+10+501 000=611 000故1张奖券的中奖概率为.611000(3)设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N ,则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,故P (N )=1-P (A ∪B )=1-,(11 000+1100)=9891000即1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为.9891000能力提升10.空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI 大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI 大于100的天数为 .(该年为365天)AQI 大于100的频数是4,频率为,由此估计此地该年AQI 大于100的概率为,2525故估计此地该年AQI 大于100的天数为365×=146.2511.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图:(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h 的概率;(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.甲品牌产品寿命小于200 h 的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200 5+20100=14h 的概率为.14(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200 h 的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200 h 的产品是甲品牌的频率是.据此估计已使用了75145=1529200 h 的该产品是甲品牌的概率为.152912.袋中有除颜色外其他完全相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,分别求得到黑球、黄球13512512和绿球的概率各是多少.方法一)从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ,B ,C ,D ,则P (A )=,P (B ∪C )=P (B )+P (C )=,13512P (C ∪D )=P (C )+P (D )=,P (B ∪C ∪D )=P (B )+P (C )+P (D )=1-P (A )=1-,解得P (B )=,P (C )=51213=231416,P (D )=,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是.1414,16,14(方法二)设红球有n 个,则,即n=4,即红球有4个.n12=13又得到黑球或黄球的概率是,512所以黑球和黄球共有5个.又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3个.又得到黄球或绿球的概率也是,所以黄球和绿球共有5个,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2个.512所以黑球有12-4-3-2=3个.因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是.312=14,212=16,312=1413.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故所求概率为=0.025.502000(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1 628(部).由古典概型概率公式得P (B )==0.814.1 6282000(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1.高考预测14.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (单位:吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100名居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x.估计x的值,并说明理由.由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100名居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.。
2022版高考数学一轮复习 练案(69理+62文)第十章 概率(文)随机事件的概率练习(含解析)新
第十章概率(文）第一讲随机事件的概率（文）第四讲随机事件的概率（理）A组基础巩固一、选择题1．（2021·河南驻马店模拟）书架上有两套我国四大名著,现从中取出两本．设事件M 表示“两本都是《红楼梦》"；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》"；事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”,下列结论正确的是(B）A．M与P是互斥事件B．M与N是互斥事件C．N与P是对立事件D．M，N,P两两互斥［解析］在A中,M与P是既不是对立也不是互斥事件，故A、D错误;在B中，M 与N是互斥事件，故B正确；在C中，N与P是互斥事件,故C错误．故选B。
2．(2021·湖北十市联考）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(D）A．“至少有一个黑球"与“都是黑球"B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球"与“至少有一个红球"D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”［解析]A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球"的事件，不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系．3．（2018·新课标全国卷Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（D）A．0。
6B．0。
5C．0。
4D．0。
3［解析]解法一：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C 错误!＝10种，其中全是女生的有C错误!＝3种，故选中的2人都是女同学的概率P＝错误!＝0。
3。
解法二：设2名男生为a,b，3名女生为A,B,C，则任选2人的种数为ab，aA，aB,aC,bA，bB,Bc,AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P＝错误!＝0.3，故选D。
高考数学第一轮复习资料随机事件的概率
-1 -第39讲 随机事件的概率第39讲随机事件的概率1八随机事件和确定事件両芝/必裁事件I 裡斜$卜」定缈生的刪 __ •'厨人~丽能輛n 往条杵$ F 匚定不金雄吐的事申\faSTl■Ju'l T 在雳件E 下•可就我生也可能空发牛的事杵(1) 在条件S 下，一定会发生的事件，叫做 相对于条件S 的必然事件.(2) 在条件S 下，一定不会发生的事件，叫 做相对于条件S 的不可能事件. (3) 必然事件与不可能事件统称为相对于 条件S 的确定事件.(4) 在条件S 下可能发生也可能不发生的事 件，叫做相对于条件S 的随机事件.(5) 确定事件和随机事件统称为事件，一般 用大写字母A ，B ，C …表示. 2.频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某 一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A) =罟为事件A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件 A ，如果随着试验次 数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某 个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为A 的概率. 3•概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0丰(A) <1 (2) 必然事件的概率P(E)= 1. (3) 不可能事件的概率P(F)= 0. (4) 互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P(A U B) =P(A) + P(B).②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P(A) =1 — P(B).考点剖析曇点 随机事件的关系【例1】一个均匀的正方体玩具的各个面上分 别标以数字123,4,5,6将这个玩具向上抛掷1 次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点， 事件B 表示向上的一面出现的点数不超过 3, 事件C 表示向上的一面出现的点数不小于 4, 则()A . A 与B 是互斥而非对立事件B . A 与B 是对立事件C . B 与C 是互斥而非对立事件 件B ，C 是对立事件，故应选D.【拓展练习】1■对飞机连续射击两次，每次发 射一枚炮弹.设A = ｛两次都击中飞机｝，B = ｛两次都没击中飞机｝，C 二｛恰有一弹击中飞 机｝，D = ｛至少有一弹击中飞机｝，其中彼此 互斥的事件是 _______________ 互为对立事件的是<?寸j丄A ■VJ1 2345D . B 与C 是对立事件 【解析】如图作6X 3的坐标表格，x 轴为基本事件(点数)，y 轴为事件，在单元格内按事件包含的 基本事件打上 ⑷。
人教A版高考理科数学一轮总复习课后习题 课时规范练60 随机事件的概率
课时规范练60 随机事件的概率基础巩固组1.在5张电话卡中,有3张A 卡和2张B 卡,从中任取2张,若事件“2张全是A 卡”的概率是310,那么概率为710的事件是( )A.至多有一张A 卡B.恰有一张A 卡C.都不是A 卡D.至少有一张A 卡2.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A 为“向上的点数为1或4”,事件B 为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是( ) A.A 与B 互斥 B.A 与B 对立 C.P(A+B)=23D.P(A+B)=133.(广西南宁三中二模)从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,现有如下说法:①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件; ②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件; ③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件; ④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.44.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是.,某人猜测事件A∩B 5.已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34发生,则此人猜测正确的概率为., 6.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17.求从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率.都是白子的概率为12357.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率是0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3,设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率;(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.8.从A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下.所用时间/分10~20 20~30 30~40 40~50 50~60(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.综合提升组9.(山西朔州怀仁一中二模)7月24日,中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,要求学校做好课后服务,结合学生的兴趣爱好,开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相关课程,为了解学生选课情况,在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查,得到如下数据:(附:计算得到K2的观测值为k≈8.333.)根据以上数据,对该校学生情况判断不正确的是( )A.估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占25B.从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈,则他们每个个体被抽到的概率为15C.从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈,则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系10.(四川绵阳三模)某车间从生产的一批产品中随机抽取了1 000个零件进行一项质量指标的检测,整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示,则下列结论错误的是( )A.a=0.005B.估计这批产品该项质量指标的众数为45C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60D.从这批产品中随机选取1个零件,其质量指标在[50,70)的概率约为0.5创新应用组11.下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).(1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论,不要求证明)(2)求此人到达该市当日空气质量优良的概率;(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.答案：课时规范练60 随机事件的概率1.A2.C 事件A与B不互斥,当向上点数为1时,两者同时发生,故事件A与B 也不对立.事件A+B表示向上点数为1,3,4,5之一,所以P(A+B)=46=23.故选C.3.C 设两个红球为球a、球b,两个黑球为球1、球2,则从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,所有可能的结果为(a,b),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(1,2),共6种.①至少有一个黑球与都是黑球有公共事件(1,2),故二者不是互斥事件,判断错误;②至少有一个黑球与至少有一个红球有公共事件(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),故二者不是互斥事件,判断正确;③恰好有一个黑球包含事件(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),恰好有两个黑球包含事件(1,2),故二者是互斥事件,判断正确;④至少有一个黑球包含事件(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(1,2),都是红球包含事件(a,b),故二者是对立事件,判断正确. 故选C.4.54,43由题意可知{0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,则{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,故54<a ≤43.5.14因为事件A ∩B 与事件A ∪B 是对立事件,所以P(A ∩B )=1-P(A ∪B)=1-34=14.6.解设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A ∪B,且事件A 与B 互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735,即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735.7.解记A表示事件“该车主购买甲种保险”,B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”,C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”,D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”.(1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.(2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.8.解(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率分布如下表:(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.9.C 对于A选项,估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占2050=25,正确;对于B选项,每个个体被抽到的概率为630=15,正确;对于C选项,“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人喜欢音乐”为对立事件,则C错误;对于D选项,由k≈8.333>7.879,则在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系,故D正确.故选C.10.C (a+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1,解得a=0.005,故A正确;频率最大的一组为第二组,中间值为40+502=45,所以众数为45,故B正确; 质量指标大于等于60的有两组,频率之和为(0.020+0.010)×10=0.3<0.5,所以60不是中位数,故C错误;由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为(0.03+0.02)×10=0.5,可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件,其质量指标在[50,70)的概率约为0.5,故D正确.故选C.11.解(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).,且A i∩A j=⌀(i≠j,j=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=113设B为事件“此人到达当日空气优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13..所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=613(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A,即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150,且小于300”,由题意可知P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪.A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=813。
2021届高考数学一轮总复习第10章概率第1节随机事件的概率跟踪检测文含解析
第十章 概 率第一节 随机事件的概率A 级·基础过关|固根基|1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对解析：选A 由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ∪C 与B∪D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B∪C∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A∪B∪C∪D 是一个必然事件，所以任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A∪B，且事件A 与B 互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.故选C.5．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A ，B ，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B 互斥B ． A 与B 互斥C ．P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)D ．P(A ＋B)＝1解析：选C 根据互斥事件的定义可知，A 与B ，A 与B 都有可能同时发生，所以A 与B 互斥，A 与B 互斥是不正确的；P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)正确；A 与B 既不一定互斥，也不一定对立，所以P(A ＋B )＝1是不正确的．6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：07．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果：解析：由表格中的数据可知，该猕猴桃种子的发芽率约为80%. 答案：80%8．已知随机事件A ，B 发生的概率满足条件P(A∪B)＝34，某人猜测事件A ∩B 发生，则此人猜测正确的概率为________．解析：事件A ∩B 与事件A∪B 是对立事件，则P(A ∩B)＝1－P(A∪B)＝1－34＝14.答案：149．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区发达地区(1)(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.10．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.故所求概率为502 000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722 000＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率. B 级·素养提升|练能力|11.掷一个骰子，事件A 为“出现的点数为偶数”，事件B 为“出现的点数小于6”，记事件A ，B 的对立事件为A ，B ，则P(A ＋B )＝( )A.56B.23C.12D.16解析：选B 因为P(A)＝36＝12，P(B)＝56，所以P(A )＝1－12＝12，P(B )＝1－56＝16，事件A 为“出现的点数为奇数”，B 为“出现的点数为6”，显然A 与B 互斥，所以P(A ＋B )＝P(A )＋P(B )＝12＋16＝23. 12．已知随机事件A ，B 互斥，其发生的概率均不等于0，P(A)＝2－a ，P(B)＝3a －4，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a<1，0<3a －4<1，2－a ＋（3a －4）≤1，解得43<a ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤43，3213.如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知得共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为P＝44100＝0.44.(2)由题意知选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为1212121L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因为P(B1)<P(B2)，所以乙应选择L2.14．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝1 5，P(A2)＝10100＝110.所以P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.。
2020版高考数学一轮复习-第4讲随机事件的概率教案(理)(含解析)新人教A版
第4讲随机事件的概率基础知识整合1．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有□01稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的□02概率，03P(A)．记作□04概率是一个确定(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而□的值，因此，人们用□05概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用□06频率作为随机事件概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：□070≤P(A)≤1.②必然事件的概率：P(A)＝□081.③不可能事件的概率：P(A)＝□090.④概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝□10P(A)＋P(B)．⑤对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝□111，P(A)＝□121－P(B)．2．事件的关系与运算1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A．互斥事件但非对立事件B．对立事件但非互斥事件C．互斥事件也是对立事件D ．以上都不对答案 A解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.2．(2019·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品答案 B解析 ∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A “至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件，也不是对立事件答案 C4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08答案 C解析 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数)．答案 0.5173解析 男婴出生的频率依次约是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为________． 答案 18解析 设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人．核心考向突破考向一 事件的概念例1 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．触类旁通事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．即时训练 1.(2019·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案 D解析 A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．考向二 随机事件的概率与频率例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50， 故所求概率为502000＝0.025. (2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．由古典概型概率公式得P (B )＝16282000＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．触类旁通概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．即时训练 2.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 考向三 互斥、对立事件的概率角度1 互斥事件的概率 例3 (2019·唐山模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元， 所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24， 由频率估计概率得P (C )＝0.24.角度2 对立事件的概率例4 (2019·扬州模拟)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)． (2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110. P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.触类旁通求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算． 2间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P A ＝1－P A ，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便.即时训练 3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000. 故1张奖券的中奖概率为611000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.。
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南宁市高考数学一轮复习：60 随机事件的概率A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）从装有2只红球和2只黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A . 至少有一个黒球与都是黒球
B . 至少有一个黒球与都是红球
C . 至少有一个黒球与至少有2个红球
D . 恰有一只黒球与恰有2只黒球
2. （2分）一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）
A . A与B是互斥而非对立事件
B . A与B是对立事件
C . B与C是互斥而非对立事件
D . B与C是对立事件
3. （2分） (2018高二上·福建期中) 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是（）
A . P与R是互斥事件
B . P与Q是对立事件
C . Q和R是对立事件
D . Q和R是互斥事件，但不是对立事件
4. （2分）口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是（）
A . 0.42
B . 0.28
C . 0.7
D . 0.3
5. （2分）(2020·日照模拟) 两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2017高二下·山西期末) 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。
若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立。
则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了3局的概率为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人
被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高二下·海南期末) 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则X 的最大值是（）
A . M
B . n
C . min{M，n}
D . max{M，n}
9. （2分）从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）
A . A与C互斥
B . B与C互斥
C . 任何两个均互斥
D . 任何两个均不互斥
10. （2分）对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（）
A . 互斥不对立
B . 对立不互斥
C . 互斥且对立
D . 不互斥也不对立
11. （2分）从标有数字1,2,6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（）
A . 0.59
B . 0.54
C . 0.8
D . 0.15
二、填空题 (共5题；共5分)
13. （1分）判断下列每对事件是不是互斥事件：
①将一枚硬币抛掷两次，记事件A：两次出现正面；事件B：只有一次出现正面．________
②某人射击一次，记事件A：中靶；事件B：射中9环．________
③某人射击一次，记事件A：射中环数大于5；事件B：射中环数小于5．________．
14. （1分） (2017高二下·邢台期末) 某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准
备了A、B、C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类或C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A类、B类或C类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若腰每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为________ （填A、B 或C）
15. （1分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，两人下成和棋的概率为，则乙不输的概率为________
16. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量/mm[ 100,150 )[ 150,200 )[ 200,250 )[ 250,300 ]
概率0.210.160.130. 12则年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率是________
17. （1分）小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是________．
三、解答题 (共5题；共50分)
18. （15分）有一道数学题，在半小时内，甲学生能解决它的概率是，乙学生能解决它的概率是，两个人试图独立地在半小时内解决它，记解决此题的人数为ξ：
（1）求ξ的期望；
（2）此题得到解决的概率．
19. （10分） (2016高一下·汉台期中) 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：
（1） 3只全是红球的概率；
（2） 3只颜色全相同的概率；
（3） 3只颜色不全相同的概率．
20. （10分）设人的某一特征(如眼睛的大小)是由他的一对基因所决定,以d表示显性基因,r表示隐性基因,
则具有dd基因的人为纯显性,具有rr基因的人为纯隐性,具有rd基因的人为混合性,纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到一个基因,假定父母都是混合性,问:
（1） 1个孩子显露显性特征的概率是多少?
（2）“该父母生的2个孩子中至少有1个显露显性特征”,这种说法正确吗?
21. （10分） (2018高一下·南阳期中) 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：
排队人数人以上
概率
（1）至多有人排队的概率是多少？
（2）至少有人排队的概率是多少？
22. （5分） (2017高一下·鞍山期末) 某射手平时射击成绩统计如表：
环数7环以下78910
概率0.13a b0.250.24
已知他射中7环及7环以下的概率为0.29．
（1）求a和b的值；
（2）求命中10环或9环的概率；
（3）求命中环数不足9环的概率．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共5题；共50分)
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。