中考数学十大解题思路之待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常考的一种解题方法，它的思想是通过设定合适的未知数来构建方程，然后解方程求解问题。
待定系数法的应用广泛，包括代数问题、几何问题、概率问题等等。
下面我将详细介绍待定系数法在初中数学中的常见应用。
一、代数问题1.求一元一次方程的解待定系数法可以用来解决一元一次方程的解的问题。
例如，求方程7x-21=10的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为7a-21=10。
然后解方程，得到a=5、所以方程的解是x=52.求一元二次方程的解待定系数法可以用来求解一元二次方程的解。
例如，求方程x^2+5x+6=0的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为a^2+5a+6=0。
然后解方程，得到a=-3或a=-2、所以方程的解是x=-3或x=-23.求一元二次方程的系数待定系数法还可以用来求解一元二次方程的系数。
例如，已知方程的根为2和3，且方程的首项系数为1，我们要求方程的系数。
设方程为ax^2+bx+c=0，代入已知根得到两个方程：a(2)^2+b(2)+c=0和a(3)^2+b(3)+c=0。
解这两个方程，得到a=1，b=-5，c=6、所以方程为x^2-5x+6=0。
二、几何问题待定系数法可以用来解决几何问题的角度问题、边长问题等等。
例如：1.角度问题已知一条边和一个角的大小，求另一条边的长度。
设另一条边的长度为x，那么根据三角函数的定义，可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
2.边长问题已知两条边和一个角的大小，求第三条边的长度。
设第三条边的长度为x，根据三角不等式可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
三、概率问题待定系数法可以用来解决概率问题中的计数问题、排列问题等。
例如：1.计数问题已知有n个人，其中有m个男生和n-m个女生。
从中选出x个人，其中至少有y个男生，求选人的方法数。
设选出的x个人中有y个男生的方法数为C，那么根据组合的性质可以得到一个方程。
中考辅导第三讲待定系数法及方程的思想
第3讲：待定系数法及方程的思想★【概述】待定系数法指的是：为了达到解决的问题的目的，先假定、构想一个问题模式，其中存在一个或一个以上的未知字母，通常把这些未知字母称为待定系数，综合利用问题中的条件和已知的定理、公理、法则来求出未知系数的方法，就是待定系数法。
待定系数法在初中范围里主要用途是解决“因式分解”、“方程” 和“函数”问题，成都市的中考，重点放在函数题中考察，分值一般在15分左右。
I、运用在因式分解时，通常利用____________________ 给予解决；U、运用在方程问题时，通常利用______________________________ 给予解决；川、运用在函数问题时，分三种情况区别对待：(1)正比例、反比例函数：因为只有一个待定系数，所以利用或挖掘题目中个已知条件即可解决问题；(2)一次函数：因为y=kx・b中有两个待定系数k、b，所以利用或挖掘题目中____ 个已知条件即可解决问题；(3)二次函数：因为二次函数有 _种表达式，所以利用或挖掘题目中—个或个已知条件即可解决问题。
W、中考在给出求函数解析式的条件时，一般有三种设置：①、直接给出一一没有难度；②、间接给出(如交点的坐标、与坐标轴围成图形的面积等) 稍有难度；③、利用几何要素通过计算或推理给出——难度较大。
★★【典例精析与运用】一、待定系数法运用举例1. 在整式乘法与因式分解中的运用【例1】是否存在常数p,q使得x4 px q能被x2 2x 5整除？如果存在，求出p,q的值，否则请说明理由;【例2](成都市理科实验班考题)如果x3 - ax2 bx 8有两个因式x 1和x 2，♦目标训练一:1、已知2x ： x_11 =△ £ 2，其中A 、B 、C 为待定系数，求AW 的 X （x —1） x x X —1值。
2、（成都市理科实验班考题）：k 为何值时，多项式x 2 -2xy • ky 2 3x-5厂2能 分解成两个一次因式的积？★ 2、在方程或不等式中的运用 x 15 x 3【例3】（江苏）已知关于x 的不等式组 2只有4个整数解，则a 的x + 2x a .3 ★ 3.用函数思想解决几何问题【例4】如图，A 、B 、C 是一条公路上的三个村庄， A 、B 间的路程为100千 米，A 、C 间的路程为40千米，现在A 、B 之间设一个车站P ，设P 、C 之间 的路程为x 千米。
初中数学重点梳理：待定系数法
待定系数法知识定位待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
知识梳理知识梳理1：待定系数法在多项式除法中的应用多项式除多项式时，其结果的形式我们往往是可以判断出的，在这种情况下，我们可以先假设出最后的结果（当然也是含未知数的），转化为等式再进行计算。
知识梳理2：待定系数法在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．知识梳理3：待定系数法在解方程中的应用在解一些复杂方程时，如果能够判断出方程的部分根，或者有方程根的一些限制条件；在这种情况下，采用待定系数的方法去解方程，往往可以有意想不到的效果。
知识梳理3：待定系数法在代数式恒等变形中的应用 知识梳理4：待定系数法在求函数解析式中的应用例题精讲【试题来源】【题目】已知多项式56423+-+x x x ，除式为12+x ，求它们相除所得到的商式和余式。
【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知r qx px x x ++++464234能被39323+++x x x 整除，求p,q,r 之值.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式. 【答案】x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 【解析】用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐）， 得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a +bx 2－2bx+b +cx －c +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 本题也可用换元法： 设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4310252323-+-++-x x x cbx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.【答案】a = 1 b = 1.5 c = -2 【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：.310434422-+---y x y xy x【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】m为何值时，6522-++-ymxyx能够分解因式，并分解之.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.【答案】解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【解析】设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442； 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m ma 213442.解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】推导一元三次方程根与系数的关系. 【答案】见解析【解析】设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++adx a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根. ∴x 3+=++adx a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得 x 3+=++adx a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是： x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－ad.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0. 【答案】见解析 【解析】证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）. x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b.⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202 由①得b=2a ， 代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq ap∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值. 【答案】f (1)=4【解析】∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设3g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数). 即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c) 14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c) ∴k=14, b=－2, c=5. 即f (x)=x 2－2x+5. ∴f (1)=4 . 【知识点】待定系数法 【适用场合】阶段测验 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x Cx B x A x x x x x ， 求：A ，B ，C 的值.【答案】A ＝－31. B ＝158. C ＝54. 【解析】去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158.当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54.【知识点】待定系数法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3．【答案】原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【解析】由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x ＋y ＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决． 设x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ， 比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．【答案】原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)【解析】分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程0412924=-+-x x x 有两根为1和2，解这个方程【答案】x 1 = 1 x 2 = 2【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知方程012823=+--x x x 有两个根相等，解这个方程. 【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】要使多项式))(2(2q x px x -++不含关于x 的二次项，则p 与q 的关系是（）A 相等B 互为相反数C 互为倒数D 乘积等于1【答案】A【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知多项式43261312x x x x m -+-+是一个完全平方式，试求常数m 的值。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。
它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。
接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。
一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。
在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。
二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。
2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。
3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。
4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。
5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。
6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。
三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。
解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。
将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。
2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。
解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。
对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。
然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。
解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。
解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。
中考数学专题复习之二：待定系数法和消元法
中考数学专题复习之二：待定系数法和消元法【中考题特点】：待定系数法是确定代数式中某些项的系数的重要数学方法，它是以代数式形式上的恒等变换的性质为依据，通过特定的已知条件，辩证地转化已知和未知的关系，从而求得代数式中某些系数的值；而消元法是从已知量和未知量间的关系中，求得未知量的值的数学方法，而代入和等式之间的加减、又是消元法的重要且常用的具体手段，在中考题中根据已知条件来求某些未知量的值时，非常需要这种数学方法。
【范例讲析】：例1：问题1：已知点A （m ，1）在直线y=2x －1上，求m 的方法是 ， ∴m= ；已知点B （－2，n ）在直线y=2x －1上，求n 的方法是 ，∴n= ；问题2：已知某一次函数的图象经过点P （3，5）和Q （－4，－9），求一次函数的解析式是一般先 ，再由已知条件可得 ，解得 。
∴满足已知条件的一次函数解析式是： ，这个一次函数解析式的图象与坐标轴交点坐标为： 。
像解决问题2这样 的方法，叫做待定系数法。
例2：一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
⑴求这个一次函数的解析式；⑵若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
例3：一次函数y=－2x+4的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 为x 轴上一点，且△ABC 的面积为6，某二次函数图象过A 、B 、C 三点，求这个二次函数的解析式及此二次函数图象的顶点坐标。
例4：已知：4x －3y －6z=0，x+2y －7z=0，且xyz ≠0。
求：22222275632zy x z y x ++++的值。
例5：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A （1，1）、B （α，β）、C （β，α）三点，其中α、β是方程x 2－x －1=0的两个根，求二次函数的解析式。
【练习】：1． 已知一次函数的图象经过点（－2，5），并且与y 轴相交于点P ，直线y=－x 21+3与y 轴相交于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，求这个一次函数的解析式。
初三 专题 待定系数法 求解析式
初三专题待定系数法求解析式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初三数学十大题型解题方法之待定系数法
这篇关于初三数学十大题型解题方法之待定系数法，是无忧考特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！ 待定系数法： 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定 系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数 法。它是中学数学中常用的重要方法之一。
中考专题：待定系数法应用
中考专题之：待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
2020年中考复习——常用解题方法【待定系数法】(一)讲义设计
2020中考复习——常用解题方法【待定系数法】（一） 知识点梳理： 待定系数法，一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等 。
使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
典型例题：【例1】已知y 与x 的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与x 2成正比，另一部分是常数，且y 与x 的对应关系如表，则y 与x 的函数关系式为( )A. y =2x 2−5B. y =2x −1C. y =−25x 2+35D. y =2x +1【解】：由题意设y 与x 的解析式为y =ax 2+b ，把x =2，y =3和x =−1，y =−3代入得{4a +b =3a +b =−3，解得{a =2b =−5，∴y与x的函数关系式为y=2x2−5．【解题反思】本题考查了待定系数法求h函数的解析式.解题的关键是根据题意设函数解析式，然后将x、y的值代入所设解析式即可求出待定的系数即可作出判断．【例2】银行职员小吴观察了某一周五个工作日每天的存款人次x(百人次)与存款金额y(万元)后，获得如下表的数据：请你观察表中的数据，猜一下y与x之间可近似看成是________函数的关系．【解】：设解析式为y=kx+b，∴2k+b=30；2.4k+b=35.6；解得k=14，b=2，∴y=14x+2，当x=2.9时，y=42.6，基本适合，所以可能满足一次函数关系式．【解题反思】解决本题的关键是应先猜测相应的函数关系，进而把具体点的坐标代入进行验证．可假设为一次函数关系式，把任意两点代入，求得相应的函数解析式，看其余点的坐标是否适合即可．【例3】待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x 3−1．因为x3−1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3−1可以分解成x3−1=(x−1)(x2+ax+b)，展开等式右边得：x3+(a−1)x2+(b−a)x−b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a−1=0，b−a=0，−b=−1，可以求出a=1，b=1.所以x3−1=(x−1)(x2+x+1)(1)若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+(3−a)x+s恒成立，则a=_____；(2)已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．(3)请判断多项式x4−x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．【解】：(1)∵x2+2x+3=x2+(3−a)x+s，∴3−a=2，a=1；(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)=x4+(a+1)x3+(a+2)x2+(a+1)x+1，a+1=0，a=−1，多项式的另一因式是x2−x+1；(3)不能，理由：∵设x4−x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)=x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1，∴a+b=0，ab+2=−1，解得：a=√3或−√3，则b=−√3或√3，∴x4−x2+1=(x2+√3x+1)(x2−√3x+1)．而系数中有√3，∴多项式x4−x2+1是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积．【解题反思】此题考查因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．(1)直接对比系数得出答案即可；(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)，进一步展开对比系数得出答案即可；(3)设x4−x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)，进一步展开对比系数，系数有解则能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，否则不能．综合训练一、选择题1.如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y(元)与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是()A. y=32x B. y=23x C. y=12x D. x=18x2.若x=2m+1，y=4m+3，则x与y之间的满足的关系式是()A. y=x2+2x−4B. y=x2+2x+4C. y=x2−2x−4D. y=x2−2x+43.二次函数y=ax2+bx+c过点A(−3,5)，(−2,6)，(1,5)三点，则c的值为()A. 5.B. 6.C. 7.D. 8.4.已知x=2−a，y=3+2a，则y关于x的函数关系式是()A. y=−2x+7B. y=−2x+5C. y=−x+1D. y=2x−15.已知一次函数y=kx+b的图像如图，则下列说法：①k<0,b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x1,y1)，B(x2,y2)是这个函数的图像上的两点，且x1<x2，则y1−y2>0；④当−1≤x≤2时，1≤y≤4，则b=2.其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6.已知y与x成正比例，且x=2时y=−6，则y与x的解析式为_________．7.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为．8.若点(−3,2)、(a,a+1)在函数y=kx−1的图象上，则k=_______，a=______．9.已知y+5与3x+4成正比例，且当x=1时，y=2，则y与x的关系式为；10.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示，则旅客可免费携带的行李的质量是_______kg．三、解答题11.小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表：其中有一格不慎被墨迹遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少⋅写出你的理由．12.已知函数y=2y1−y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式．13.如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点D(4,4)在反比例函数y=kx (x>0)的图象上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．(1)求k，b的值；(2)求△ACE的面积．14.舟山市最大的儿童游乐园2020年元月一日正式开放．如图所示，图中点的横坐标x表示儿童乐园从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表示到达儿童乐园的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y={ax2,0≤x≤30&b(x−90)2+n,30≤x≤90,10：00之后来的游客较少可忽略不计．(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证游乐园内游客的游玩质量，园内人数不超过684人，后来的人在园外休息区等待．从10：30开始到12：00园内陆续有人离园，平均每分钟离园4人，直到园内人数减少到624人时，园外等待的游客可全部进入．请问园外游客最多等待多少分钟？15. 如图，在直角坐标系中，直线y =−12x +3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x =1的抛物线过B ，C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接AC ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点D 为第一象限内抛物线上一点，使四边形ACDB 面积最大？求点D 的坐标；(3)在X 轴上是否在点P ，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、C 、P 、Q 为顶点四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|={a(a ≥0)−a(a <0)． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y =|kx −3|+b 中，当x =2时，y =−4;当x =0时，y =−1.(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质；(3)已知函y =12x −3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx −3|+b ≤12x −3的解集．17.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过A(−1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与直线y=−x−1交于A，E两点，坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线与直线y=−x−1交于A，E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．答案和解析1. A解：依题意单价为18÷12=32元，∴y =32x. 2. D解：∵x =2m +1，y =4m +3=22m +3 又∵x 2=22m +2·2m +1，2x =2·2m +2 ∴x 2−2x =22m +2·2m +1−(2·2m +2) =22m −4=4m −4∴y =4m −4+4=x 2−2x +43. B解：把三个点的坐标代入，可得{9a −3b +c =54a −2b +c =6a +b +c =5，解得{a =−13b =−23c =6，4. A解：由x =2−x ，得到a =2−x ，代入y =3+2a ，得：y =3+2(2−x)=−2x +7．5. C解：∵图象过第一，二，四象限， ∴k <0，b >0，故①是正确的，符合题意； 根据图像可以直接得出x =m 时y =0，故②是正确的，符号题意， ∴y 随x 增大而减小，∵x 1<x 2∴y 1−y 2>0，故③是正确的，符号题意， 根据图像可知当x =−1时y =4， 当x =2时y =1，代入一次函数表达式为{−k +b =42k +b =1解得{k =−1b =3，故④错误的，不符号题意， 故①②③是正确的，故正确的有3个．6. y =−3x解：∵y 与x 成正比例，∴y 与x 的函数解析式为y =kx ， ∵当x =2时，y =−6，∴−6=2k ，解得：k =−3，∴y 与x 之间的函数解析式是y =−3x ，7. y =100x解：设y =k x ，∵200度近视眼镜镜片的焦距是0.5m ， ∴k =200×0.5=100，∴y =100x ，8. −1；−1解：把(−3,2)代入y=kx−1，得−3k−1=2，∴k=−1，∴解析式为：y=−x−1，把(a,a+1)代入y=−x−1，得：−a−1=a+1，解得a=−1．9.y=3x−1解：设y与x的函数关系式为y+5=k(3x+4)，∴5+2=k(3×1+4)，解得k=1，∴y+5=1(3x+4)，∴y=3x−1．∴y与x的函数关系式为y=3x−15．10.30解：设一次函数y=kx+b，∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，∴{60k+b=680k+b=10∴{k=1 5b=−6,∴所求函数表达式为y=15x−6，当y=0时，15x−6=0，∴x=30，故旅客可免费携带的行李的质量是30kg．11.解：设y=kx+b，根据图中的信息得{3=−2k+b1=b，求得：k=−1，b=1，∴y=−x+1当y=−1时，−1=−x+1，x=2，所以空格里原来填的数是2．12.解：由题意得：y 1=k 1(x +1), y 2=k 2x ， ∵y =2y 1−y 2，∴y =2k 1(x +1)−k 2x ， ∴{4=4k 1−k 23=6k 1−k 22, 解得：{k 1=14k 2=−3, ∴y =12(x +1)−−3x 即y =12x +3x +12(x ≠0)．13. 解：(1)∵A(1,0)，D(4,4)∴AD =√(1−4)2+(0−4)2=5，∵ABCD 是菱形，∴AD =DC =BC =AB =5，且DC//AB ，AD//BC ，∴可得B(6,0)，C(9,4)，∵点D(4,4)在反比例函数y =k x (x >0)的图象上，∴k =16，将点C(9,4)代入y =23x +b ，∴b =−2；∴k ，b 的值分别为16和−2．(2)由(1)可知一次函数解析式为y =23x −2，∴E(0,−2)，令y =0，可得直线y =23x −2与x 轴交点为(3,0)，记作G ，过C 作CH 垂直x 轴，垂足为H ，EC 与x 轴交点为G ，则CH 为△AGC 的高，OE 为△AGE 的高，∴S △AEC =S △AGE +S △AGC=12AG ×OE +12AG ×CH ，∵AG =3−1=2，OE =2，CH =4，∴S △AEC =12×2×2+12×2×4=6，答：三角形ACE 的面积为6．14. 解：(1)由图象可知，当0≤x ≤30时，y =ax 2，300=a ×302，解得a =13， 当30≤x ≤90时，y =b(x −90)2+700，b ×(30−90)2+700=300，解得b =−19，∴图中曲线对应的函数解析式为y ={13x 2(0≤x ≤30),−19(x −90)2+700(30≤x ≤90).(2)由题意，得−19(x −90)2+700=684，解得x =78或x =102(舍去)．而684−6244=15(分钟)，∴15+30+(90−78)=57(分钟)．故馆外游客最多等待57分钟．15. 解：(1)y =−12x +3，令x =0，则y =3，令y =0，则x =6，故点B 、C 的坐标分别为(6,0)、(0,3)，抛物线的对称轴为x =1，则点A(−4,0)，则抛物线的表达式为：y =a(x −6)(x +4)=a(x 2−2x −24)，即−24a =3，解得：a =−18，故抛物线的表达式为：y =−18x 2+14x +3…①；(2)过点D 作y 轴的平行线交BC 于点G ，连接CD ，DB ，将点B 、C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y =−12x +3，设点D(x,−18x 2+14x +3)，则点G(x,−12x +3)，∴DG =−18x 2+14x +3−(−12x +3)=−18(x −3)2+98，∴S △DCB =12×DG ×OB =12×6×98=278，∴四边形ACDB 面积=S △ACO +S △BCO +S △BCD =12×4×3+12×6×3+278=1478此时面积最大，∴当x =3时，y =218， ∴点D(3,218)； (3)假设在X 轴上是否在点P ，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、C 、P 、Q 为顶点四边形是平行四边形，如果以AC 为对角线的平行四边形不符合题意，∴不存在这样的平行四边形；如果以AC 为边，存在这样的四边形CAP 1Q 1，如图，当y =3时，−18x 2+14x +3=3，解得x =0或2，∴点Q 1的坐标为(2,3)，如果以AC 为边，存在这样的四边形CAP 2Q 2，如图，当y =−3时，−18x 2+14x +3=−3，解得x =8或−6，∴点Q 1的坐标为(8,−3)，(−6,−3)综上，点Q 的坐标为：(2,3)或(8,−3)或(−6,−3)．16. 解：(1)∵在函数y =|kx −3|+b 中，当x =2时，y =−4；当x =0时，y =−1， ∴{|2k −3|+b =−4|−3|+b =−1，得{k =32b =−4， ∴这个函数的表达式是y =|32x −3|−4；(2)∵y =|32x −3|−4，∴y ={32x −7(x ≥2)−32x −1(x <2)， ∴函数y =32x −7过点(2,−4)和点(4,−1)；函数y =−32x −1过点(0,−1)和点(−2,2)； 该函数的图象如右图所示，性质是当x >2时，y 随x 的增大而增大；(3)由函数图象可得，不等式|kx −3|+b ≤12x −3的解集是1≤x ≤4．17. 解：(1)∵抛物线过点A(−1,0)，C(0,3)，将A(−1,0)，C(0,3)代入y =ax 2+2x +c ，得：{a −2+c =0c =3，解得：{a =−1c =3, ∴抛物线的函数表达式为y =−x 2+2x +3；(2)联立直线AE 和抛物线的函数关系式成方程组，得：{y =−x −1y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=−1y 1=0，{x 2=4y 2=−5， ∴点E 的坐标为(4,−5)，①Q 在x 轴上，设Q(x,0)，则AQ =EQ ，即x +1=√(4−x )2+52，解得x =4，故Q 点坐标为(4,0)；②Q 在y 轴上，设Q(0,y)，则AQ =EQ ，即√12+y 2=√42+(y +5)2，解得y =−4，故Q 点坐标为(0,−4)，故存在Q 点坐标，分别为(4,0)，(0,−4)．(3)由(2)得点E 的坐标为(4,−5)，∴AE =√[4−(−1)]2+(−5−0)2=5√2，∵点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，∴∠CBO =45°，BC =3√2，∵直线AE 的函数表达式为y =−x −1，∴∠BAE =45°=∠CBO ，设点P 的坐标为(m,0)，则PB =3−m ．∵以P 、B 、C 为顶点的三角形与△ABE 相似，∴PBBC =ABAE或PBBC=AEAB，∴3√2=5√2或3√2=5√24，解得：m=35或m=−92，∴点P的坐标为(35,0)或(−92,0)．。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。
用待定系数法确定解析式的步骤：①设函数表达式为：y=k某或y=k某+b②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)③解方程或组，求出待定的系数的值。
④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。
注意;正比例函数y=k某只要有一个条件就可以。
而一次函数y=k某+b需要有两个条件。
初中数学知识点解析：构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、一些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于某的方程a某+b=2(2某+7)+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少?解：原方程整理得(a-4)∵此方程有无数多解，∴a-4=0且分别解得a=42、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2某，3y的平均数是4、20，18，5某，-6y的平均数是1、求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出某、y的值，再求出的值。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为某轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
初中待定系数法公式
初中待定系数法公式一、公式：设一元二次方程为：ax^2 + bx + c = 0 （a≠0）。
引入一个未知数t，假设方程有两个解为x1和x2，则可将方程表示为：ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0。
通过乘法公式展开，得到：a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)=0。
比较同类项系数，可得到以下等式：x^2-(x1+x2)x+x1x2=0（1）ax^2 + bx + c = 0。
二、步骤：1.假设方程的两个解分别为x1和x2，并求出这两个解。
2.将x1和x2的值代入方程（1）中，并比较同类项系数，得到一元二次方程。
3.通过解这个一元二次方程，求出a、b和c的值。
4.待定系数法的求解思路是通过假设方程的解，从而得到方程的系数，最终得到方程的解。
三、示例：解方程x^2+5x+6=0。
1.假设方程的两个解分别为x1和x2，并求出这两个解：根据二次方程求解公式，可得到x1=-2，x2=-32.将x1和x2的值代入方程（1）中，并比较同类项系数，得到一元二次方程：由于a=1，所以有：x^2-(x1+x2)x+x1x2=0（1）代入x1=-2和x2=-3，得到：x^2+5x+6=0。
3.通过解这个一元二次方程，求出a、b和c的值：通过比较同类项系数，可得到a=1，b=5，c=64.最终解方程x^2+5x+6=0：根据一元二次方程求解公式，可得到方程的解为x=-2或x=-3这就是初中待定系数法的公式和步骤，通过引入一个未知数，假设方程的解，通过待定系数的设定来求解方程。
初中学生可以通过这个方法解一元二次方程，提高解题能力。
初中数学十大思想方法-待定系数法
初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
九年级待定系数法知识点
九年级待定系数法知识点待定系数法是在代数方程中常用的一种解方程方法，通过设定某些系数为未知数，从而解出方程中的未知数的值。
接下来，我们将介绍九年级数学学科中的待定系数法知识点。
一、待定系数法的基本概念待定系数法是一种通过设定方程中某些系数为未知数来解方程的方法。
通常情况下，我们通过设定的未知数来构建方程，并根据方程的条件来求解这些未知数的值。
二、一元一次方程的待定系数法一元一次方程是待定系数法最基本的应用场景。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
通过设定系数a与b为未知数，我们可以构建一个由两个未知数组成的方程组，然后通过方程组求解的方法来求解这两个未知数的值，从而得到原方程的解。
三、一元二次方程的待定系数法待定系数法也可以应用于一元二次方程的求解。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
通过设定方程中某些系数为未知数，我们可以构建一个由多个未知数组成的方程组，通过解方程组求解这些未知数的值，从而得到原方程的解。
四、应用实例：解决几何问题待定系数法不仅可以用于解方程，也可以应用于解决几何问题。
比如，我们可以通过设定某些长度或角度为未知数，构建几何方程，并求解这些未知数的值来解决几何问题。
这种方法常常被用于解决平面几何和立体几何问题。
五、待定系数法的优缺点待定系数法是一种灵活高效的解方程方法，能够帮助我们解决各种类型的方程问题。
它的优点在于可以通过设定适当的未知数来精确求解问题，简化解题过程。
但是，待定系数法也有一定的局限性，它对方程的形式和条件有一定的要求，不同的问题需要选用不同的待定系数方法。
六、总结待定系数法是解方程中常用的一种方法，它通过设定方程中的某些系数为未知数，从而通过求解这些未知数来得到方程的解。
在九年级数学学科中，待定系数法可以应用于一元一次方程和一元二次方程的求解，同时也可以用于解决几何问题。
初中待定系数法公式
初中待定系数法公式待定系数法是解代数方程组的一种常用方法，适用于多个未知数的情况。
以下是待定系数法的基本步骤和公式。
步骤一：设方程的未知数个数为n，根据方程的条件构建n个方程。
步骤二：设未知数的系数为a₁，a₂，...，aₙ，构建n个方程表示与未知数相关的条件。
步骤三：根据未知数的系数和方程的条件列方程组。
步骤四：解方程组，求出未知数的值。
待定系数法常用的公式如下：1.线性方程组的待定系数法对于形如ax + by = c的线性方程组，可以使用待定系数法进行求解。
设x的系数为a₁，y的系数为b₁，等号右边的常数项为c₁，代表第一个等式。
设x的系数为a₂，y的系数为b₂，等号右边的常数项为c₂，代表第二个等式。
构建如下方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。
2.二次方程的待定系数法对于形如ax² + bx + c = 0的二次方程，可以使用待定系数法进行求解。
设二次项系数为a₁，一次项系数为b₁，常数项为c₁，代表第一个等式。
设二次项系数为a₂，一次项系数为b₂，常数项为c₂，代表第二个等式。
设x的系数为x₁，y的系数为y₁，代表第三个等式。
构建如下方程组：a₁x²+b₁x+c₁=0a₂x²+b₂x+c₂=0x₁+y₁=0接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。
3.三元一次方程组的待定系数法对于形如ax + by + cz = d的三元一次方程组，可以使用待定系数法进行求解。
设x的系数为a₁，y的系数为b₁，z的系数为c₁，等号右边的常数项为d₁，代表第一个等式。
设x的系数为a₂，y的系数为b₂，z的系数为c₂，等号右边的常数项为d₂，代表第二个等式。
设x的系数为a₃，y的系数为b₃，z的系数为c₃，等号右边的常数项为d₃，代表第三个等式。
构建如下方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x、y和z的值。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常用的一种解题方法，它主要用于解决带有未知系数的方程问题。
通过设定未知系数，列出方程，再根据已知条件以及方程的性质进行求解。
接下来，我将从待定系数法在一元一次方程、一元二次方程、及数列中的应用等方面进行详细介绍。
在初中数学中，一元一次方程通常是最早接触到的方程类型。
待定系数法可以用来解决一元一次方程中的问题。
例如，如下的一道例题：例题1：有一个三位数，各位数字之和为9，将它的各位数字反过来得到一个不同的三位数，再将这两个三位数相加，得到1332，求原数。
解析：设这个三位数为100a+10b+c，反过来得到的三位数为100c+10b+a。
根据已知条件列出方程为：(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=1332化简得：101a+20b+101c=1332由于方程中含有三个未知数a、b和c，我们可以设定一个待定系数，假设a为一个未知数。
那么b和c就可以通过1332-101a得到。
代入方程可得：101a+20(1332-101a)+101(1332-101a)=1332解这个一元一次方程可得：a=144根据所设待定系数，可将b和c代入求得：b=10，c=18通过这道题目的解答过程不难看出，待定系数法在一元一次方程中的应用既能简化方程的形式，又能得到未知数的值，大大提高了问题的解答效率。
一元二次方程是初中数学中的重点和难点，待定系数法在解决一元二次方程问题中提供了一种有效的思路。
下面以一道例题为例进行解析：例题2：已知一元二次方程 x^2 + ax +b =0 的两根α 和β 之和等于 -1，乘积等于 3、求这个二次方程的解析式。
解析：设方程的解析式为 x^2 + ax +b =0，根据题目中所给条件，可以列出方程为：x^2 + ax + b = (x-α)(x-β) = 0展开得：x^2-(α+β)x+αβ=0根据题目中给出的条件α+β=-1和αβ=3，代入方程可得：x^2-(-1)x+3=0即：x^2+x+3=0所以这个二次方程的解析式为x^2+x+3=0。
中考数学十大解题思路之待定系数法可修改全文
可编辑修改精选全文完整版中考数学十大解题思路之待定系数法中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=?∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1)2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。
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中考数学十大解题思路之待定系数法
知识梳理
对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．
使用待定系数法解题的一般步骤是：
(1)确定所求问题含待定系数的解析式；
(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
初中数学中，待定系数法主要用途如下：
典型例题
一、在求函数解析式中的运用
这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前
面三种分别可设y=kx ，k y x
=
，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2
为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数． 【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．
【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．
【例2】 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．
【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1
k y x =
+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式． 【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1
k y x =
+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1
k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+． 【解题反思】 本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121
y x =+不是反比例函数． 【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．
(1)求这个函数的解析式．
(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．
【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：
0093142a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪-=++⎩解这个方程组得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431
y x x y x ⎧=-+⎨=-+⎩ 解这个方程组得：1110x y =⎧⎨=⎩，2221x y =⎧⎨=-⎩ ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)
【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．
二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．
例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x 2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．
【例4】 已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．
【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．
三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．
分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．
【例5】 把分式
21172x x x
-+-化为部分分式． 【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x
-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用
【例6】 分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7
【解】 因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －
1)(x －y+7)．
五、待定系数法在多项式除法中的应用
【例7】 当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?
【解】 设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－1
1．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．
2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．
(1)求此二次函数的关系式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标；
(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．
3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．
4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)
(1)求点B的坐标．
(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．
1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300
a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，
解方程组得12
a b =⎧⎨=-⎩． ∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1) 2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)5
3．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，
4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442
y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°． ∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．
(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366
y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310
x =-． 点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ⎛⎫-
⎪⎝⎭，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。