7-2 毕奥萨法尔定律
毕奥---萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
毕奥-萨伐尔定律
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
毕奥萨伐尔定律
在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反比。
该定律在静磁近似中是有效的，并且与Ampère的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-Baptiste Biot和FélixSavart命名。
定义在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反比。
该定律在静磁近似中是有效的，并且与Ampère的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-Baptiste Biot和FélixSavart命名。
电流（沿闭合曲线）毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。
这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。
采用国际单位制，用方程表示：电流（整个导体体积）当电流可以近似为穿过无限窄的电线时，上面给出的配方工作良好。
如果导体具有一定厚度，则适用于Biot-Savart定律（再次以SI为单位）：Biot-Savart：毕奥萨伐尔定律定律是实验定律，以一些简单的典型的载流导体产生的磁场为基础，经分析、归纳出的定律，而不是由电流元直接得出的，实际上不可能得到单独的电流元。
毕奥萨伐尔定律公式
毕奥萨伐尔定律公式1埃尔维·毕奥萨伐尔定律埃尔维·毕奥萨伐尔定律（Erwin Bolza's Law）是一个定理，由德国数学家埃尔维·毕奥萨伐尔（Erwin Bolza）在1847年提出，指出把一个复数函数系统化为一个多项式来得到方程的解。
在这里，复数是表示多个自变量聚集在一起形成的函数，而多项式是一组关于自变量的有限阶多项式，当满足相应条件时，就可以将复数函数简化为多项式，从而得出所有的解决方案。
由于埃尔维·毕奥萨伐尔定律是一个常规的、可证明的定理，因此它被广泛应用于各种数学领域，包括几何、计算机科学和物理学等。
对于具有多个变量的函数系统，它可以比较快速地将复数函数简化为多项式，从而更容易求解。
2毕奥萨伐尔定理的原理埃尔维·毕奥萨伐尔定理的核心原理是，在满足一定条件的情况下，可以将一个复数函数简化为多项式，从而得出它的解。
首先，毕奥萨伐尔定理要求复数函数系统有@n@个自变量，其中每个自变量由特定的多项式表示，而这@n@个多项式的系数必须是一定的，唯一的属性是他们的阶数可以不同。
接下来，当@n@个多项式被联合起来时，它们就可以形成一个复数函数，其中也可以得到它们关于每个自变量的解。
但是，由于有许多系数参与到计算当中，这样的计算过程可能很耗时。
这时，埃尔维·毕奥萨伐尔定理的核心原理就起作用了：它可以把复数函数系统改写成一个多项式，这样就更容易求解，而@n@个多项式的系数也可以任意调整，以获得最优的解。
3应用由于埃尔维·毕奥萨伐尔定理对于多项式的变量以及联合变量的计算有重要的应用，因此它在多个领域中都有广泛应用。
例如，它可以用于求解一元二次方程组——一组有两个自变量的方程组——的解。
在这里，一元二次方程组有两个多项式，其中每个多项式有两个系数，这里也就是有两个自变量。
通过把它们简化成一个多项式，就可以求出来它们的解。
此外，埃尔维·毕奥萨伐尔定理还可以用于比较两个物体的动力学性质，因为它可以有效地求出这两个物体的总运动方程，以及这两个物体的动力学特性。
毕奥萨伐尔定律
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
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THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
毕奥撒法尔定律
毕奥撒法尔定律
毕奥-萨伐尔定律（也被称为电场定律）是电学中的一个重要定律，它描述了电荷之间的相互作用力与它们所带电荷量的乘积以及它们之间距离之间的关系。
具体来说，毕奥-萨伐尔定律表明在真空中，静止的点电荷所产生的电场强度与它们所带电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
公式表示为：$\frac{E}{q} = \frac{k}{r^{2}}$，其中E是电场强度，q是源电荷的电荷量，k是常数，r是源电荷与试探电荷之间的距离。
这个定律是英国物理学家约瑟夫·安培的学生，法国物理学家奥古斯汀·毕奥和其时的科学家萨伐尔共同发现的。
他们在研究电流产生的磁场时，通过实验和理论推导得出了这个定律。
这个定律不仅适用于点电荷产生的电场，还适用于任何形状的电荷分布产生的电场，以及多个电荷共同产生的电场。
需要注意的是，毕奥-萨伐尔定律是在静止电荷产生的电场中得出的，对于随时间变化的磁场，需要使用麦克斯韦方程组来描述。
毕奥-萨伐尔定律
x
l 2
17
B
I0 I0
从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场 分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在 管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管 外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎 等于零了。
18
例4. 在半径R=2cm的无限长的半圆形金属薄片中， 有电流I=6A自下而上的通过，如图求 圆柱轴线上任一点的磁感应强度。
位矢量，指向与电流的方向满足右螺旋关系。
多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝
线圈的电流的乘积代替。
0 m m 0 圆电流 B n 3 3 2π x 2x
10
三 磁矩
m ISen
2
I
例2 中圆电流磁感强度 公式也可写成
S
en
m
B
0 IR
2x
3
0 IR 2
0 IR 2
a
4π a
25
例7 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相 当于一个圆电流，具有相应的磁矩（称为轨道磁 矩）。求轨道磁矩 与轨道角动量之间的关系。 解： 设电子的轨道半径为r，每秒转速为ν。 电流：
I e 2 磁矩： IS e πr
圆电流面积： S π r 2
4π d
R
o （ 3） I R
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
13
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为 l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
7-2毕奥-萨伐尔定律
= ∫ dB⋅ sin θ
I dB dl dl θ x θ P dB x dB y
R θ d µo ( I) πR =∫ sin θ 2πR π µo I =∫ sin θ ⋅ dθ 2 2π R 0
µo I = 2 π R
结束
返回
例6. 载流圆线圈轴线上的磁场 0 µ o Idl sinα α = 90 dB = 2 r 4 π y dB µ o Idl I dl θ =4 2 π r r R P θ I 由对称性： 由对称性： x x rz B y = B z =0 dB I dl µoI B = ∫ dB x = ∫ dB sinθ = r 2 ∫ sinθ dl 4 π µoI = θ ∫ dl 2 sin 结束 4 r π
dl 方向决定上下限
µoI B= a
π 4
µ o I ( sinβ sinβ ) ∫β 1 cosβ dβ = 4π a 2 1
β2
B=
µoI
( sinβ 2 sinβ 1 ) 4π a
讨论： 讨论： 当直线电流为“无限长” 当直线电流为“无限长”时 β1
I
π β2 2
µo I B= 2 a
2π
π
µ oI
Φ m = ∫∫S B . dS a +b µ o I
, dS = l dx 2 x π x B l dx b
结束
返回
取面法线方向与B的方向相同 取面法线方向与 l 的方向相同 = ∫ a 2 x dx I π x µ o I l a +b = 2 ln a π a
例8*. 有限长载流螺线管轴线上 点的磁场 有限长载流螺线管轴线上P点的磁场 B=
内外半径分别为a 的圆环， 例2: 内外半径分别为 、b 的圆环，其上均 匀带有面密度为σ 圆环以角速度ω 匀带有面密度为 的电荷 ，圆环以角速度 环中心垂直于环面的轴转动， 绕通过圆 环中心垂直于环面的轴转动 ， 求 : 圆环中心处的磁感强度大小。 圆环中心处的磁感强度大小。 µ oI ω dB = 2r R2 dq σ 2π rdr I = = T T σ 2π r ω dr o = = σω rdr r R1 2π R2 µ0 µ0 B = ∫ σω dr = σω ( R2 − R1 ) 2 2 R1
毕奥萨伐尔定律表达式
毕奥萨伐尔定律表达式
毕奥萨伐尔定律公式: k=107T·m·A-1。
在静磁学中，毕奥－萨伐尔定律（英文：Biot-SavartLaw）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
具体表述如下：毕奥-萨伐尔公式，它指出，曲线涡丝段d l所诱导的速度d v，其方向垂直子d l和 r，大小则与距离 r的平方成反比，而且同d l和d l与 r
时夹角的正弦成正比。
毕奥萨伐尔定律介绍：
在恒定磁场中引入电流元的概念，分析电流元产生磁场的规律，即B-S定律，最后利用磁场的叠加原理，可以解决任意载流体所产生的稳恒磁场的分布。
B-S（毕奥萨伐尔定律）的物理意义：表明一切磁现象的根源是电流（运动电荷）产生的磁场。
反映了载流导线上任一电流元在空间任一点处产生磁感应强度在大小和方向上的关系。
由此定律原则上可以解决任何载流导体在其周围空间产生的磁场分别。
磁场，物理概念，是指传递实物间磁力作用的场。
磁场是一种看不见、摸不着的特殊物质。
磁场不是由原子或分子组成的，但磁场是客观存在的。
磁场具有波粒的辐射特性。
磁体周围存在磁场，磁体间的相互作用就是以磁场作为媒介的，所以两磁体不用在物理层面接触就能发生作用。
大学物理-7-2 毕奥-萨伐尔定律
dl
dB
0
4π
nSdlqv r
r3
运动电荷的磁场
实用条件 v c
B
dB dN
dN nSdl 0 qv r
4π r3
q + r
v
B
q
r
v
B
R2 x2 R2 csc2
B 0nI 2 R3csc2d
2 1 R3 csc3
0nI 2 sin d
2 1
讨论
B
0nI
2
cos2
c os 1
（1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
cos 1 cos 2
cos2
l/2
l / 22 R2
B
0nI
cos2
0nI
ox
B
*x
B
0IR2
（2 x2 R2）32
讨 1）若线圈有N 匝
论
B
N （2 x2
0 IR2
R2）32
2）x 0 的B方向不变( 和 I成右B螺旋关系）
3）x 0 4）x R
Bห้องสมุดไป่ตู้
0I
2R
圆环形电流 中心的磁场
B
0IR 2
2x3
，
B
0 IS
2π x3
圆弧形电流在圆心处的磁场为什么？
B0
0I
2R
r3
dB
0
4π
Idl
r
r3
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
7
Idl 3
R
6
4
5 求解电流磁场分布基本思路：
1、5 点 ：dB 0
大学物理7.2 毕奥―萨伐尔定律
µ 0 Idl ∴ dB = 4π R 2
µ 0 I1dl µ 0 I1l1 ∴ B1 = ∫ 2 = 2 1 4π R 4π R
µ 0 I 2dl µ 0 I 2 l2 B2 = ∫ 2 = 2 4π R 4π R 2 U U ∵I = = R ρl s I1 l2 ∴ = I 2 l1
∴ B = B1 − B2 = 0
由于圆形电流具有对称性， 由于圆形电流具有对称性，各垂直分量 dB⊥ 相互抵消， 相互抵消，所以总磁感强度 B 的大小为各个平 行分量 dB// 的代数和为
B = ∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdB// = ∫ dB cosα
∵ cos α = R r
µ 0 IR µ 0 IR = dl = ∴B = 3 ∫0 3 4π r 2r
B
B
Idl
l
θ2
θ
∵ l = − r0 cot θ
r = r0 sinθ
r0 dθ ∴ dl = 2 sin θ
o
µ 0 θ 2 I sinθ dθ ∴B = 4π ∫ θ 1 r0
µ0 I (cosθ 1 − cosθ 2 ) = 4π r0
θ1
r r0
dB
A
特例：无限长导线： 特例：无限长导线： 1 = 0, θ 2 = π θ µ0 I B= 2πr0 圆形电流的磁场． 例2 圆形电流的磁场．有一半径为 R 的载流 圆环， 圆环，电流强度为 I ，求它轴线上任一点 P 的 磁感应强度 B ． Idl µ 0 Idl sinθ dB⊥ dB θα 解 ∵ dB = r 2 4π r R α o x θ = 900 P dB// x dB′ µ 0 Idl ∴ dB = 4π r 2 Idl ′
7.2 毕奥 萨伐尔定律及其应用 毕奥-萨伐尔定律 萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律介绍课件
该定律主要描述了电流元在空间 中产生的磁场分布规律，对于理 解电磁场的产生、传播以及电磁 感应等电磁现象具有重要意义。
毕奥萨伐尔定律的重要性
毕奥萨伐尔定律是电磁学核心理论之一，为研究电磁场的性质和行为提供了重要的 基础。
该定律对于现代电磁技术，如电磁感应、电磁波传播、电子设备等，都具有重要的 应用价值。
力学
在研究天体运动和物体运 动时，毕奥萨伐尔定律可 以用来描述物体的运动轨 迹和相对运动。
量子力学
在量子力学中，毕奥萨伐 尔定律可以用来描述微观 粒子的波粒二象性。
在工程中的应用
航空航天工程
毕奥萨伐尔定律在航空航天工程 中有重要的应用，如计算飞行器
的轨迹和空气动力学性能。
机械工程
在机械设计中，毕奥萨伐尔定律 可以用来分析机器的运动状态和
毕奥萨伐尔定律的物理意义
磁场产生
毕奥萨伐尔定律揭示了电流在空间中 产生磁场的过程，当电流通过导线或 导线网络时，会在周围空间产生磁场 。
磁场方向
根据毕奥萨伐尔定律，磁场的方向与 电流的方向垂直，可以用右手定则来 判断。
毕奥萨伐尔定律的适用条件
真空或电介质
毕奥萨伐尔定律适用于真空中的电流在空间中产生磁场的情况，或者适用于电 介质中的情况。
实验验证
介绍了毕奥萨伐尔定律的实验验证方法和结果，以及该定律在实验 中的应用。
毕奥萨伐尔定律在现代的应用
经典应用
介绍了毕奥萨伐尔定律在经典物理学中的应用， 如电磁学、光学和力学等。
现代应用
重点介绍了毕奥萨伐尔定律在现代物理学中的应 用，如量子力学、相对论和宇宙学等。
应用前景
探讨了毕奥萨伐尔定律在未来科技中的应用前景 ，如新材料、新能源和生物医学等领域。
毕奥萨伐尔定律
在静磁学中，Biot-Savart定律描述了电流元素在空间中任何一点p 激发的磁场。
该法则的文字描述：电流元素Idl在空间中某个点p上产生的磁感应强度dB与电流元素Idl的大小成正比，与电流元素Idl 和点p之间的位置矢量的正弦成正比该定律在静磁逼近中有效，并且与以让-巴蒂斯特·比奥（Jean-Baptiste Biot）和费利克斯·萨瓦特（Jean-Baptiste Biot）和费利克斯·萨瓦特（FélixSavart）命名的安培电路定律和高斯磁定律一致。
电流元素Idl在空间的某个点p上产生的磁感应强度dB与电流元素Idl的大小成正比，与电流元素Idl和点p之间的位置矢量的正弦成正比，与电流元素Idl的大小成反比。
当前元素Idl与点p之间的距离的平方。
在正确的公式中，μ。
/4π是比例系数μ。
这称为真空渗透率，其值为4π×10-7T * m / a，dB的方向垂直于由Idl和R确定的平面。
当右手弯曲并且四根手指从小于角度的方向，用笔直指向的方向是dB的方向，即三个向量DB，dl和R的方向符合右手定则。
毕奥-萨伐尔定律是由H.C.奥斯特（Oster）的实验（请参阅电流磁效应）表明，由长直载流线作用在磁极上的力是横向力。
为了揭示电流对磁极的作用力的一般定量定律，JB Biot和F. Savar认为，电流对磁极的作用力也应垂直于电流与磁极形成的平面，即，横向力。
他们通过长而弯曲的载流导线作用在磁极上的实验，获得了作用力与距离和弯曲角度之间的关系。
借助P.S.M拉普拉斯（P.S.M Laplace），经过适当的分析，可以获得电流元件在磁极上的作用力定律。
根据近距离作用的观点，现在可以理解为电流元件产生的磁场定律。
毕奥萨伐尔定律推导过程
毕奥萨伐尔定律推导过程嘿，咱今天就来唠唠毕奥萨伐尔定律的推导过程！这可真是个神奇又有趣的玩意儿呢！你想啊，电和磁那可是紧密相连的呀！电流通过的时候，就会产生磁场。
那这毕奥萨伐尔定律呢，就是描述这个过程的重要定律。
咱先从最基础的开始说。
想象一下，有那么一根导线，电流在里面欢快地流淌着。
这时候，周围就会有磁场产生啦。
那这个磁场到底是怎么个分布法呢？这就引出了毕奥萨伐尔定律啦。
它就像是一个神奇的魔法公式，能告诉我们在不同的位置，磁场的强度和方向。
就好比是一个指南针，给我们指引着磁场的路呢！在推导的过程中，可不能马虎呀！得一步步来，仔细琢磨。
就像是搭积木一样，一块一块地往上垒。
先得考虑电流的大小吧，电流越大，那产生的磁场不就越强嘛！这很好理解吧？然后呢，还得考虑距离呀，离得越远，磁场自然就会弱一些啦。
你说这是不是很有意思？就这么几个因素，通过复杂又巧妙的推导，就能得出这么重要的定律来。
这推导过程就像是一场冒险，充满了未知和惊喜。
每一步都需要我们用心去探索，去思考。
哎呀，真的很难用简单的几句话就把整个推导过程说清楚呢！那可是科学家们经过无数次的研究和尝试才得出的呀！咱平时生活中用到的好多东西，可都离不开这毕奥萨伐尔定律呢！像那些电磁设备呀，不都是靠它来工作的嘛。
所以说呀，这毕奥萨伐尔定律可真是太重要啦！它就像是一把钥匙，打开了电磁世界的大门。
让我们能更深入地了解电和磁的奥秘。
怎么样，听我这么一说，是不是对毕奥萨伐尔定律的推导过程有点感觉啦？这可真是个值得我们好好研究和探索的领域呀！咱可不能小瞧了这些科学知识，说不定哪天就能派上大用场呢！嘿嘿！。
7-2 毕奥-萨伐尔定律
dB =
µ0 Idl sin θ
2
v dB
P *
v r
θ
v Idl
I
v r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
v v v v µ0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r
毕奥—萨伐尔定律 7 – 2 毕奥 萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
v v v µ0 Idl × r dB = 4π r 3
第七章 稳恒磁场 （4） ）
v R B x 0 µ0 I o B0 = 2R
I
BA =
d （5） ） I *A
R1
µ0 I
4π d
B0 =
µ0 I
4R
R2
*o
B0 =
µ0 I
8R
B0 =
µ0 I
4 R2
−
µ0 I
4 R1
−
µ0 I
4π R1
B=
B=
cosα = R
µ 0 Id l
2
µ0 IR
4π r µ 0 I cos αdl dB x = 2 4π r
4π r 2 µ0 IR
2 2
3 0
∫
2π R
dl
3
（x + R ）2 2
毕奥—萨伐尔定律 7 – 2 毕奥 萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
I
R o x *
v B
x
B=
B=
µ0 IR
2
2 2 3
π θ1 → 2 θ 2 →π
BP =
µ0I
4π r
I
o
r
* P
毕奥—萨伐尔定律 7 – 2 毕奥 萨伐尔定律
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v j
S
v v v µ 0 nSdlqv × r dB = 4π r3
dl
d N = nS d l
物理学
第五版
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
运动电荷的磁场 v v v v d B µ0 qv × r B= = d N 4 π r3 适用条件 v << c
讨 （1）若线圈有 N 匝 B = ） 3 2 2 （x + R ） 2 2 论
N µ 0 IR
2
x （2） = 0 B = ）
R
µ0 I
2R
r
x
o
v B *p x
x （3） >>R ）
B=
µ 0 IR
3
2
I
2x µ 0 IS B= 2 π x3
，
物理学
第五版
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
三 磁偶极矩
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
2
x = R cot β
B = ∫ dB =
dx = − R csc βdβ
µ 0 nI
2
∫ (R
x1
x2
R dx
2
2
+x
2 3/ 2
)
R2 + x2 = R2 csc2 β
R
β1
β
β
2
x 1 O*
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
物理学
第五版
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
解
圆电流的磁场
2π µ0dI µ0σω dB = = dr 2r 2 dI =
ω
σ 2 π rdr = σω rdr
σ R
o
r
ω
dr
B=
µ 0σω
2
∫
R
0
dr =
µ 0σω R
2
v σ > 0, B 向外
v σ < 0, B 向内
物理学
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7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
解法二
运动电荷的磁场
d B0 =
物理学
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毕奥毕奥-萨伐尔定律
dBx =
µ0 I cos αdl
4π r2
cos α d l B= ∫l r 2 4π
µ0 I
v Id l
R
r
x
o
ϕ
ϕ
*p
v dB
α
B=
µ0 IR
4πr
3 0
∫
2π R
dl
x B=
µ0 IR
2
2 2 3
（x + R ） 2 2
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毕奥毕奥-萨伐尔定律
R
P
*
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
x
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毕奥毕奥-萨伐尔定律
解
由圆形电流磁场公式 µ 0 IR 2 B= 2 2 3/ 2 2( x + R )
dB =
µ0
2
(R
x
R 2 In d x
2
+ x
2 3/2
)
R
P
O*
x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
物理学
第五版
4 R2 −
−
µ0 I
4 R1
* o
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
3 载流直螺线管内部的磁场 载流直螺线管内部的磁场. 如图所示，有一长为l 半径为R的载流 如图所示，有一长为 , 半径为 的载流 密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N， 密绕直螺线管，螺线管的总匝数为 ，通 有电流I. 设把螺线管放在真空中， 有电流 设把螺线管放在真空中，求管内 轴线上一点处的磁感强度. 轴线上一点处的磁感强度
2 π r0
I
v B
y
半无限长载流长直导线 半无限长载流长直导线
π θ1 → 2 θ2 → π
x
C
o
θ1
P
BP =
µ0I
4πr
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7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
无限长载流长直导线的磁场
B=
µ0I
2πr
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系 电流与磁感强度成右螺旋关系
物理学
第五版
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
B=−
µ 0 nI
2
∫β
β2
1
R 3 csc 2 β d β R 3 csc 3 β d β
=−
µ0 nI
2
∫β
β2
1
sin β d β
R
β1
β
β
2
x 1 O*
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
物理学
第五版
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
讨 论
B=
µ0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
q+
v v vθ v r ×B
−q
v r
θ
v v
v B
物理学
第五版
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
σ R
o
ω
例3 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷 面密度为σ , 并以角速 度ω 绕通过盘心垂直 于盘面的轴转动 ，求 圆盘中心的磁感强度. 中心的磁感强度 圆盘中心的磁感强度
物理学
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7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
β1 = π − β 2
l/2
点位于管内轴线中点 （1）P点位于管内轴线中点 ） 点位于管内
cos β1 = − cos β 2
cos β2 =
B = µ0 nI cos β 2 =
若 l >> R
µ0 nI
2
(l / 2)
l
2
+R
2
(l
2
/4+ R
2 1/ 2
)
B = µ 0 nI
物理学
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7-2
物理学
第五版
7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
毕奥－ 一 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场 电流元在空间产生的磁场) 电流元在空间产生的磁场
dB =
µ0 Idl sin θ
4π
v dB
P* v
v Id l
v dB
r2 v v v µ0 Idl × r dB = 3 4π r
v r
I
真空磁导率 µ0 = 4 π×10−7 N ⋅ A−2
2 圆形载流导线轴线上的磁场 圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 µ 0 Id l 解 B = Bx = ∫ dBcosα dB = 2 4π r
v Id l
R
r
x
o
ϕ
ϕ
*p
v dB
α
cos α = sinϕ = R r r 2 = R2 + x2
x
dB x =
µ 0 I cos α dl
4π r2
I
z
θ1
x
C
o r0
P
y
=
µ0 I
4 π r0
(cosθ1 − cosθ 2 )
v B 的方向沿 x 轴的负方向
物理学
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7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
B=
µ0 I
4 π r0 z
θ2
(cos θ1 − cos θ 2 )
无限长载流长直导线 无限长载流长直导线
θ1 → 0 θ2 → π
×
D
B=
µ0I
1 8 2 ×
1、5点 ：d B = 0 、 点 3、7点 ：dB = 、 点
µ 0 Id l
7
v Id Idl
R
6 5 ×
×3
4
v v v µ 0 Id l × r dB = 3 4π r
4 π R2 2、4、6、8 点 ： 、 、 、 µ 0 Idl dB = sin 450 4 π R2
毕奥－ 毕奥－萨伐尔定律
2 圆形载流导线轴线上的磁场 圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场
v Id l
R
r
x
o
ϕ
ϕ
*p
v dB
α
x
物理学
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7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
2 圆形载流导线轴线上的磁场 圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 解
v Id l
R
r r
x
ϕ
ϕ
v dB
o
p
x
α
物理学
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7-2
毕奥毕奥-萨伐尔定律
x
C
o r0
P
y
µ0
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毕奥毕奥-萨伐尔定律
Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 4 π CD r 2 z
D
θ2
µ0
z = −r0 cotθ , r = r0 / sin θ
dz = r0dθ / sin2 θ
dz θ v
B=
v dB
*
µ0I
4 π r0
r
∫θ
θ2
1
sin θ d θ
µ 0 dqv
4 π r2
σ R
o
r