优选两边对应成比例且夹角相等两三角形相似
《两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》课件(两套)
B
又∵∠EAD=∠CAB,
A
D C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴DE= 3 BC 9 .
4
4
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
证明： ∵ CD是边AB上的高,
C
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ADC∽△CDB.
AD
B
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
探究归纳 如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的 夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
C
D
F
A
B
E 不相似（类比三角形全等的判定）
归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两 条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.
∠C′=∠C吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关
系？与你周围的同学交流.
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC . A'B' A'C'
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,
使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,
注意：相等的角一定要是两条对应边的夹角.
当堂练习
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵ B
45
1 E 36 F
∴
A
54
2
30
∵∠1＝∠2，
C
∴△AEB∽△FEC.
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC
相似三角形证明技巧(整理)
求证：BP2=PE·PF。
例10．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。
求证： 。
八、相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
（二）、作延长线
例7. 如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG AB于G，求证：FG =CF BF
例8．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点， ，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．
（三）、作中线
例10：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
9.（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证： ．
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；
平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂．
例1如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF⊥AB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG/FA＝FB/FH(2)FD是FG与FH的比例中项．
判定直角三角形相似的方法
判定直角三角形相似的方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相近。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
相似三角形介绍：
三角分别成正比，三边成比例的两个三角形叫作相近三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被
理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相
似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相近三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相近三角形任一对应线段的比等同于相近比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
投影全系列等三角形的认定定理，可以得出结论以下结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相近。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相近。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
初中数学知识点之相似三角形
初中数学知识点之相似三角形相似三角形平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似1、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似3、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)4、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)5、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比7、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比8、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方知识拓展：互为相似形的三角形叫做相似三角形。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的`数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
人教九年级下册数学-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案与教学反思
27.2.1 相似三角形的判定杭信一中何逸冬第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC，再结合条件明△FDC ∽△FAD ，可得AD CD ＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴错误!＝错误!未定义书签。
4.5 相似三角形判定定理的证明(数学北师大版九年级上册)
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
D
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ AD DE AE .
AB BC AC
B A′
又 A' B' B'C' A' C' ，AD=A′B′，
AB BC AC
∴ DE B' C'， AE A' C' . BC BC AC AC
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
解得 AB= 3 2 ．
B
∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直
角三角形相似．
A 2
D 2 C
当堂练习
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各 组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： 相似 ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： 相似； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： 相似.
B
F
C
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， AB AC .
A' B' A' C'
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
A'
B
C
B'
C'
A'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
北师大版九年级上册
*4.5 相似三角形判定定理的证明
学习目标
相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。
人教版数学九年级下册《 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》PPT课件
探究新知 归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B'
A' A
C' B
C
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′， 这两个三角形一定会相似吗？
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
巩固练习
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16， A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理 由.
直角三角形相似的判定
A D C E F B
证明：
(1)
CD是斜边AB上的高 ADF ACE 90 又 AE AD AF AC AE AC AF AD
b a
b
C
b a BD
2
2
A
ΔABC∽ΔBDC，
a
D 图（2）
B a b2 a 2 BD b 2 a a b 2 a 2 有两个三角形相似 答： BD 或 BD 当 b b
2.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
又
∠CAE=∠EAB
ΔACF∽ΔABE
AC AF AB AE
(2)
ΔAEC∽ΔAFD ∠CAE=∠BAE AE是∠CAB的角平分线 ∠ACD+∠CAB=90°
∠B+∠CAB=90°
AB•AF=AC•AEC E F BA∠ACD=∠BD
思考：
如图，在RtΔABC中， ∠C=90°，CD是AB边上的高。 求证： (1)
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°；
A 25° B' 65° C 65° B A'
相似三角形的判定两边及夹角
已知：如图，∠A=∠A′, A′B′=4，A′C′=3，AB=12， AC=9，那么这两个三角形会不会相似？
A
A′
4
B′
3
C′
12
9
B
C
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成
比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . A B C
AB AC AB AC
A = A
∴△ABC∽△ ABC
1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ） （A）∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE （B）∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80°
（C）∠A=∠D=50° AB=3
（D）∠B=∠E=70°
AC=5
DE=6
DF=10
AB：DE=AC：DF
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不 是夹角，则它们不一定会相似．
ABC∽ AB C
B
A C
C
复习回顾； 1.满足什么条件的两个三角形相似？
A
☆相似三角形的定义：
B
A C
C
☆相似三角形的判定一： 两角对应相等的两个三角形相似 B
在△ABC和△A’B’C’中 ∵∠A=∠A′,∠B=∠B′, ∴△ABC∽△A’B’C’(两角对应相等的两三角形 相似)
D
C
3.（2011∙无锡中考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD
相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角
形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的
是 (
) .
B．①与③相似
① ④
② ③
A．①与②相似
C．①与④相似
两边对应成比例且夹角相等两三角形相似
05
总结与展望
总结
两边对应成比例且夹角相等是判 断两三角形相似的充分必要条件， 这一结论在几何学中具有重要地
位。
在实际应用中，这一结论被广泛 应用于解决三角形相关问题，如
测量、建筑设计、航海等。
这一结论的证明过程涉及了比例、 相似三角形的性质、角的相等关 系等知识点，是几何学中较为经
典的一个证明题。
两边对应成比例且夹 角相等两三角形相似
目录
• 引言 • 两边对应成比例的三角形相似性质 • 夹角相等的三角形相似性质 • 两三角形相似性的综合应用 • 总结与展望
01
引言
主题引入
01
三角形是几何学中最基础和重要 的图形之一，研究三角形的相似 性质对于理解几何学的基本原理 和解决实际问题具有重要意义。
在工程领域，特别是在建筑设计、机械制造和航空航天等领域，相似三角形的性质被广泛 应用于测量、分析和优化设计方案。
实例3
在物理学中，特别是在研究波动、光学和力学等领域，相似三角形的性质也是非常重要的 。例如，在研究声波传播、折射和反射等现象时，我们需要利用相似三角形的性质来建立 数学模型并进行实验验证。
根据相似三角形的性质， 作辅助线AD垂直于BC于 点D，A'D'垂直于B'C'于 点D'。由于角ADB = 角 A'D'B'，且角A = 角A'， 因此三角形ADB与三角形 A'D'B'相似。
根据相似三角形的性质， 由于AD/A'D' = AB/A'B' = k，因此三角形ADC与 三角形A'D'C'相似。
03
夹角相等的三角形相似性 质
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似-冀教版九年级数学上册教案
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似-冀教版九年级数学上册教案一、教学目标1.知识与技能：掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定方法，并能应用特殊情况解决问题。
2.过程与方法：学会归纳总结和实验验证相似条件。
3.情感、态度与价值观：培养学生勇于探究和发现问题的意识，认真思考问题的能力。
二、教学重难点1.重点：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定方法及应用。
2.难点：如何理解相似，以及如何通过特殊情况判断相似。
三、教学过程1. 自主探究1.引入问题：展示两个不相等的木块模型，让学生感受相似和全等的不同之处。
2.给出两个三角形 ABC、DEF，并告诉学生 AC/DF=AB/DE，∠A=∠D，让学生判断这两个三角形是否相似。
3.学生在小组内进行讨论，并在黑板上依次给出判断理由。
4.教师补充相似的定义，引导学生回答什么情况下两个三角形是相似的。
5.学生再次讨论判断，进一步了解相似的判定方法。
2. 导入新知1.教师讲解两边对应成比例且夹角相等的三角形相似的判断方法，并用黑板上的图形进行演示。
2.学生跟随教师讲解过程，并记录下判断方法。
3. 合作探究1.授之以渔，让学生在小组内自行寻找两边对应成比例且夹角相等的三角形其他判定方法，并记录下来。
2.整个班级分享讨论，总结出所有判定方法，并挑选一些重要的讲解和演示，锻炼学生的合作能力和归纳总结能力。
4. 拓展应用1.让学生分别做出两个相似三角形的问题，提高解题能力。
2.让学生通过特殊情况解决相似问题，引导学生对相似进行深层次的思考，锻炼学生独立思考解决问题的能力。
四、教学评价1.组织小组内讨论，提高学生参与探究的积极性。
2.通过组织班级分享，培养学生合作能力和归纳总结能力。
3.引导学生通过特殊情况判断相似，提高学生解决实际问题的能力。
4.布置相应作业，巩固学生所学内容。
五、教学反思学生通过自己的实践探究，进一步理解和掌握了两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定方法，同时也具有了独立思考和解决问题的能力。
相似三角形证明技巧(整理)
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
9.（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证： ．
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
说明理由。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（“横定”还是“竖定”？）
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（“横定”还是“竖定”？）
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.
求证:
（判断“横定”还是“竖定”？）
例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的
平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？
求证： BC2＝2CD·AC．
中考综合题型
1.已知：如图，在 中， 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明 ．
2.如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ）．动点 同时从 点出发，分别沿 ， 运动，速度是 厘米／秒．过 作直线垂直于 ，分别交 ， 于 ．当点 到达终点 时，点 也随之停止运动．设运动时间为 秒．
例2 如图6，□ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC＝3：1，
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法各位读友大家好,此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢相似三角形的判定1.两个三角形的两个角对应相等2.两边对应成比例,且夹角相等3。
三边对应成比例4。
平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定方法根据相似图形的特征来判断。
1。
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,那么这两4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;5.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形绝对相似三角形1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3。
两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,并且分成的两个直角三角形也相似.射影定理三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。
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中考数学复习---相似重点归纳
中考数学复习---相似重点归纳一、相似三角形的判定及性质1、定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2、性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3、判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．二、相似多边形1、定义对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2、性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．三、位似图形1、定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2、性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．3、找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．4、画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．。
两边成比例且夹角相等的相似证明方法
两边成比例且夹角相等的相似证明方法我折腾了好久两边成比例且夹角相等的相似证明方法，总算找到点门道。
记得最开始的时候，我真的是一头雾水，就像在一个迷宫里乱撞一样。
我先看了书上的概念，知道是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，但是真到实际证明的时候，就各种出问题。
我刚开始的做法就是简单地列出两个三角形对应边的比例，然后指出有一个夹角相等，就觉得可以了。
但根本不是这么回事啊，老师说这根本就没有严密的逻辑。
我那时候好沮丧，感觉看都看明白了，但是做就不对。
后来我就想，这得一步一步来。
我遇到这样一道题啊，三角形ABC和三角形DEF，角A和角D相等，AB比DE等于AC比DF。
我就开始试着从最基础的步骤做。
我先把已知条件详细地写出来，就像在整理线索一样。
角A = 角D，AB / DE = AC / DF，这两个就是我手上最有用的东西。
为了让证明更清楚，我就想，这个好比要给两件东西建立联系，它们不是有对应的部分嘛，那就得好好把这些部分一一对应起来。
我先根据边的比例关系，通过设一个系数，比如说设AB = k DE，AC = k DF。
然后利用这个系数，通过一些几何图形的性质来推导。
本来我有点忽略图形的特性，就是只看这些数字和比例的关系，这也是我失败的一个原因。
后来我又比试了几个不同的三角形，在纸上不停地画，不断地标注角度和边的关系。
然后我发现，在证明相似的时候，不光要写出来边成比例和角相等，还得根据三角形的一些性质定理，比如说三角形的内角和等一些基础知识来辅助。
举个例子，如果有个直角三角形，其中一个锐角相等，而两直角边成比例，在证明的时候勿忘直角也是一个重要的线索。
边成比例和夹角相等是核心，但要充分利用三角形本身的性质，让整个证明过程连贯起来，就好比我们做菜，边成比例和夹角相等是主要食材，三角形其他性质这些辅料也要搭配得当，这样做出来的证明这道菜才完整。
再试了几次之后，我就熟悉多了。
遇到类似的题目，先找相等的那个夹角，把它在图上标记清楚，再找对应的边，按比例关系列式子，最后结合三角形的其他性质过一遍逻辑，这样的证明就比较完整了。
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形
三角形全等
边S 边S 角A 边S 与 直
相似 三角对应相等, 三
三角 边对应成比例的两 √
角 边
形 个三角形相似
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
探究
边S 角A 边S
B
已知： AB AC k, A' B' A'C' ∠A =∠A/ .
求证：△ABC∽△A/B/C/.
B/
A
C
A/
C/
你能证明吗？
优选两边对应成比例且夹角相 等两三角形相似
我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你用符号语言叙述。
知识回顾 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线(相似三角形预备定理)。
方法3：三边对应成比例，
两三角形相似。
A
A
D
A
D
D
EF
E
BC
B（1）∵C∠EA=∠DF,
B
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
例1 根据下列条件,判断△ABC和△A/B/C/是否相似,并说明理由: ∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A/=120°,A/B/=3cm,A/C/=6cm,
例2.如图在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm，
如图,在△ABC和△A/B/C/中,
AB AC A' B' A'C'
,∠A=∠A/,
求证:△ABC∽△A/B/C/
证明:在线段A/B/(或它的延长 线)上截取A/D=AB,过点D作 DE//B/C/,交A/C/于点E,
则△A/DE∽△A/B/C/ A' D DE A' E
A' B' B'C' A'C'
求∠ EAF + ∠EFA
A
GH D
BE
F
C
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6， BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？ 并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。
△ABC∽△AED．
A
1
D
2
B
EC
2、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且 BD2 PD • AD
求证：△ADC∽△CDP．
A
P
B
D
C
3、在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是AB的四分一等分点， 连结EF、EC；△AEF与△DCE是否相似?说明理由.
AE D F
B
C
4、如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,GEFH,HFCD组成的,
三角形相似。 A
A/
B
C
在△ABC和△A/B/C/中, B/
C/
AB AC k, ∠A=∠A/
A' B' A'C'
∴△ABC∽△A/B/C/
对于△ABC和△A/B/C/,如果
AB AC , A' B' A'C'
∠B=∠B/,这两个三角形一定相似吗?试着画画看?
A
A/
B
C
B/
D
C/
这两个三角形不一定相似
D
C E
（3）∵ AB DE
AC DF
BC EF
∠B= ∠E,
A
∠C= ∠F
∴△ABC∽△DEF
AB AC BC C
B
DE DF EF （2）∵DE∥BC
∴△ABC∽△DEF ∴△ADE∽△ABC
回顾并思考
定义
判定方法
全等 三角、三边对 边 S 边 S 角 A 角 A 斜 H
三角 应相等的两个 边 S 角 A 边 S 角 A 边 L
求证：△ABD∽△ABC.
A D
B
C
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：∵ AE = 54 =1.5
B
FE 36
45
BE ＝ 45＝1.5
CE 30
1 E 36 F
A
54
2
30
∴ AE ＝ BE
C
FE CE
又∵∠1＝∠2
∴△AEB∽△FEC
1、如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：
∵
AB AC , A' D AB A' B' A'C'
A' E AC A' E AC A'C' A'C'
A
A/
B
CD
E
B/
C/
∵∠A=∠A/,
∴△A/DE≌△ABC
∴△ABC∽△A/B/C/
判定方法4：如果两个三角形的两组对应边的比相
等，并且它们的夹角相等,那么这两个三角角相等，两