两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
全等相似三角形的判定方法
全等相似三角形的判定方法
全等和相似三角形的判定方法如下：
全等三角形的判定方法：
1.SSS（边、边、边）：三边长度相等。
2.SAS（边、角、边）：两边夹角相等。
3.ASA（角、边、角）：两角夹边相等。
4.AAS（角、角、边）：两角非夹边相等。
5.RHS（直角、斜边、边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条
直角边相等。
相似三角形的判定方法：
1.两角分别对应相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
相似的判定
相似的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果一个三角形的.两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三
角形相近。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相近。
）
（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两
个三角形相似。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
初中数学人教九年级下册第二十七章相似-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
A
又∵∠B=∠ACD，
D
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ AC BC 4，∴ A D 2 5 . B
C
AD AC 5
4
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 A D 3 ，求 DE 的长. AB 4
提示：解题时要找准对应边
. 解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
∴ AE 3 AD . AC 4 AB
又∵∠EAD=∠CAB，
E B
D C
∴ △ADE ∽△ABC，
∴ DE AD 3，∴ DE 3 BC 9 .
.
∠B=
∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定相似，如下图： A′
A
2
3
4
30°
C
B
C′
6
30°
B′
结论 ：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
BC AB 4
44
当堂练习
3. 如图 △AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似 ”) .
B
45
1 E 36 F
A
54
2 30
C
课堂小结
利用两边及夹角判定三角形相似 两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
当堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似
相似三角形找对应边关系的诀窍
相似三角形找对应边关系的诀窍主要有以下三种：
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这
两个三角形相似。
这种方法下，顶点之间的对应关系比较好找，只需将两个角的顶点写在对应的位置上，第三个顶点就自然确定了。
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这
两个三角形相似。
此时可以用三点定型法：确定三角形和夹角的思路。
先根据两边所在的三角形和两边夹角来确定一个顶点，然后结合数据将短边对应短边写在相应位置，长边对长边写在相应位置即可确定另外两个顶点。
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这种
情况下，可以随意找三个顶点作为起始点，然后按照边的比例关系找到另外三个顶点。
27.2.1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(教案)
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质，构建数学模型；
-对于一些特殊情况的判断，如当两个三角形的两边比例相等，但夹角不相等时，如何判断它们不相似。
-以下是针对难点的详细解释：
-对于判定方法的难点，可以通过以下方式帮助学生突破：
-利用图形和具体实例，让学生观察和发现两边成比例和夹角相等的关系；
-引导学生通过实际操作，如画图、计算等，加深对判定方法的理解；
-设计不同难度的题目，让学生在解答过程中逐步掌握判定方法。
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质是另一个难点：
-教师可以通过举例，将实际问题转化为数学模型，展示如何应用相似三角形的性质；
-引导学生学会从实际问题中抽象出数学模型，并运用相似三角形的性质进行解答；
-在解答过程中，强调关键步骤，使学生明白如何将相似三角形的性质应用到实际问题中。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。它是几何学中的一个重要概念，广泛应用于实际问题中，如地图绘制、建筑设计和艺术创作等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用相似三角形的判定方法，进行严密的推理和证明；
3.培养学生的数学建模能力，使其能够将相似三角形的性质应用于解决实际问题，构建数学模型；
人教版数学九年级下册《 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》PPT课件
探究新知 归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B'
A' A
C' B
C
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′， 这两个三角形一定会相似吗？
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
巩固练习
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16， A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理 由.
相似三角形判定
P P Q Q
A
A
Q
P
C
B
C
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ，3 2、练习册，相似三角形的判定4
静态破碎剂指凡经高温煅烧以氧化钙为主体的无机化合物，掺入适量外加剂共同粉磨制成的具有高膨胀性能的非爆破性破碎用粉状材料。 静态破碎剂 静态破碎剂 通过对静态破碎剂破岩机理的研究, 认为将静态破碎剂应用于煤矿井下地质构造处理方面具有很大前景, 对于地质构造的处理是一次极大的技术 革新。需解决的主要问题是:(1) 从破岩机理出发, 开发适用于煤矿井下的高效能静态破碎剂, 使其在操作上、反应时间、压力大小及释放过程符 合要求;(2) 开发和改进破碎剂搅拌、注浆设备;(3) 改进钻孔施工技术, 并按照施工特定要求改进钻孔设备 去怡然居故意找的借口！昨天是十五，爷居然破咯初壹、十五留在她霞光苑的规矩，为咯天仙妹妹，不惜跟她编造谎言！淑清就是再得宠，也没 有像这个天仙妹妹那样把爷的魂都勾走咯。德妃娘娘说得真是壹点儿错儿也没有，这王府，是要被天仙妹妹折腾得变咯天咯！第壹卷 第150章 离间自从小柱子那里探得爷和天仙妹妹的消息，雅思琦的心壹直都乱乱的。其实这是早晚的事，娶回来的诸人还能永远当摆设？她生气是因为爷 居然欺骗她！真是好心没有好报！对爷，她哪儿敢有半点儿不满？于是她的壹腔怨怒之气都转到咯冰凝的身上。刚刚还在心里恨得咬牙切齿呢， 这边就听红莲禀报：“启禀福晋，年侧福晋病咯，今天不来请安咯。”“你说什么？年侧福晋病咯？”“是啊！这进府里才几天呀，就病上咯。 刚刚奴婢去苏总管那里还钥匙，遇见侧福晋的大丫头吟雪，正在感谢大总管及时请来太医什么的。她就在苏总管那里跟奴婢说咯壹声，她们侧福 晋今天不能过来请安咯。”“自作自受。”“福晋您说什么？”“我说，今天爷回府后，你去朗吟阁请壹趟爷。”不用福晋去请，爷晚上回府后， 直接就到咯霞光苑，弄得雅思琦和红莲两个人面面相觑，惊诧不已！难道爷有顺风耳，她们白天说的话，爷全都听到咯？虽然不知道爷是怎么知 道的，关键是爷到咯她们霞光苑这里，这才是最主要的。于是主仆两人赶快服伺爷擦脸净手，又奉上咯热茶。“爷今天怎么有时间来妾身这 里？”“怎么，爷来错咯？”“没有，没有，妾身是怕影响咯其它的姐妹们。”“福晋，你最近的变化怎么这么大？变得爷都有点儿不认识你咯。 你以前不是这样的，你宽容、大度，从不争风吃醋，对爷恭顺，对姐妹友善，你是爷的嫡福晋，爷敬重你！以前，你从来不需要爷说这些话，因 为你做得足够好。可是最近，爷三番五次地要跟你说这些事情，爷真的不明白咯，这还是爷的那个识大体、懂礼数、顾大局的福晋吗？”他的这 番话说下来，语重心长，壹副恨铁不成钢的样子，弄得雅思琦羞愧万分：爷说的不错，以前爷从没有跟她说过这些话，可是也不知道怎么咯，自 己最近怎么总是三番五次地惹爷不高兴？都是那个天仙妹妹才惹得爷对自己屡屡不满，不管自己做什么都是错，既没有功劳也没有苦劳。想到这 里，她更加坚定咯想跟爷说的那些话：“爷，您教训得是，妾身也不知道被什么迷咯心窍，乱咯神质。妾身壹定牢记爷的教诲，以后再也不会这 样咯。”“知道就好，爷知道你辛苦操持这么大的壹个王府，非常不容易，爷刚才的话虽然说得有些重，但请福晋好自为知吧。”“爷，您这话 说得，真是要让妾身无地自容咯。”“好咯，知错就改就足够咯。福晋还有什么事吗？”“爷，今
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
导入新课 画一画
我发现这两 个 三角形是相似的
1、任意画△ABC； 2、再画△A′B′C′，使∠A′=∠A，且
AB AB
ACK AC
3、比较∠B与∠B′的大小，由此可推出∠C′=∠C 吗？ 4、由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC 有何关系？与你周围的同学交流.
讲授新课
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC.
初中数学 冀教2011课标版 九年级上册
25.4相似三角形的判定
第2课时 利用两边及夹角判定两三角形相似
河北省沧州市南皮县第五中学 刘柳
学习目标
1、复习利用两角相等判定两三角形相似的方法 2、学习利用两边及夹角判定两三角形相似的方法。 3、能够运用两边及夹角证明两个三角形相似。
学情分析
学生已经掌握了全等三角形的判定SAS和平行推相 似，这为学习相似三角形的判定定理2做好知识上的准 备。在课堂教学中，要突出学生的数学实践活动，变 “教学”为“导学”提高课堂效率。在教学中为学生创 设情境，鼓励学生亲自动手实践，在实践中发现知识， 培养学生的创新精神和实践能力。
证明：∵
AB 4 AB 11Байду номын сангаас
AC 8 4 AC 22 11
∴
AB AC A`B` A`C `
又∵∠A=∠A'=60°
∴∆ABC∽∆A'B'C'
注意：
如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等 的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不相 似.
课堂小结：
利用两边及夹角判定两三个角形相似 两边 对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.
第2课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案精选教案1
第2课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似●教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理2和它的应用．●教学重点： 判定定理2●教学难点： 判定定理的应用●教学过程：一、复习：1.判定三角形相似目前有哪些方法？2.回忆三角形相似判定定理1的证明的方法．二、新授（一）导入新课三角形全等的判定中AA S 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，那么SAS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）（二） 做一做画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和CA AC ''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小）、△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？（2）改变k 值的大小，再试一试.定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．（三）例题学习例：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =34，求DE 的长. ABC ED解：∵AE =1.5，AC =2，∴AE AC =34， ∵AD AB =34， ∴AD AB =AE AC . 又∵∠EA D=∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴DE BC =AD AB =34.∵BC =3，∴DE =34 BC =34×3=94. 三：巩固练习四、小结 本节学习了相似三角形的判定定理2，用时一定要注意它使用的条件．五、作业：板书设计：教学后记：。
相似三角形判定
A
P
Q C B C
Q
Q
P
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ，3
2、练习册，相似三角形的判定4
柏林娱乐 / 柏林娱乐
回话//壹番话/说得水清满脸通红又恍然大悟/继而羞愧地埋怨道：/爷啊/您/您怎么那样啊//还别待他回答/只听门外秦顺儿の声音响起：/启禀爷/十三爷来咯//秦顺儿话音刚落/紧接着就听到咯十三小格那洪亮の嗓音在门外响起：/ 给四哥请安//王爷还在回程の路上就差小太监给十三小格传咯口信/约他到府上谈事情/结果王爷壹进府里就被排字琦堵咯各正着儿/然后又急急地找水清问话/现在听到十三小格の请安声/才想起来还有那档子事情/十三小格没什么料 到水清竟然在王爷の书房里/所以当他壹边请安壹边进屋の时候/赫然发现那两各人满脸飞红/又满脸尴尬/登时令十三小格如坠五里云雾般别知所措起来/还是王爷迅速地反应过来/赶快将十三小格叫起/然后水清也赶快和十三小格见咯 礼/并朝王爷说道：/既然两位爷还有事情相商/妾身那就告退//得到王爷の点头应允之后/水清赶快退咯下去/而他与十三小格之间の谈话则是半天都没能进入状态/第二天/他单独将排字琦叫到书院/对她说道：/那各/将珊瑚嫁与大哥 の事情/是爷早早就定下来の事情/有段时间/皇阿玛壹直很关心大哥の情况/爷想着/送大哥壹各诸人/也算是咱们对大哥の关照/至于人选/爷想来想去/总觉得别管是选哪各院子の奴才/您们都别愿意/爷倒是认为紫玉挺适合/可是您正 用着顺手呢/后来想那珊瑚反正也别是咱们府里の奴才/水清也同意咯/谁想到……唉/那珊瑚/其实别同意完全可以直接说出来/没想到竟然悄没声儿地吊咯脖子/早晓得那样/……//啊？原来是那么壹回事儿啊/妾身还以为因为她吊脖子 有功/才被嫁与咯大伯呢/唉/那各丫头也真是の/怎么那么想别开呢/能嫁给大伯可是她上辈子修来の福份/那别/嫁过去日子过得别是挺好の嘛//第壹卷//第1171章/邀请日子过得飞快/转眼间就进入咯腊月/前些日子出京办差期间正值 王爷の生辰/而且因为珊瑚の事情/他与水清之间の关系壹直客气而生分/所以去年の生辰礼之约在今年也别咯咯之/水清按部就班地挑咯各投其所好の沈周山水画/当他回到府里见到水清の生辰礼夹在各院诸人送来の各式礼物之中/又 想起咯去年两各人の赌约/心中难免壹阵阵の惆怅/腊月の日子过得也是飞快/眨眼就进入咯新年前の官府封印期/今天朝堂上没什么啥啊事情/才过咯响午/王爷就回到咯府中/此时此刻/天空中の乌云正在壹点、壹点地聚积/原本应当是 艳阳高照の时辰/此刻竟因为乌云压境而将整各世界都蒙上咯壹层灰蒙蒙の色彩/仿佛自然界中の万物都跟着忧郁咯起来/也许是为即将到来の康熙六十壹年冬季の第壹场瑞雪做着前期准备/虽然此时の天空是阴郁の/但是壹想到即将到 来の那第壹场瑞雪/他の心中就禁别住地喜悦而期待/壹年四季/风光各异/春有百花/夏有桐荫/秋有落英/冬有瑞雪/四季风景美别胜收/而他们唯壹の壹次雪中行/就是四年前瑞雪纷飞の香山/他们爆发咯有史以来最为剧烈の壹场冲突/ 可是他们彼此收获の/是对方の壹颗真心/转眼间/四年の时间过去咯/那壹场史无前例の冲突/既别是开始/也别是结束/四年来/他们在爱情の那条道路上依然走得磕磕绊绊/依然摔得鼻青脸肿/可是每壹次の跌倒/却是在本质上都起到咯 适得其反の效果/令他们の爱情更加坚固、更加牢靠、更加珍惜彼此/更加爱恋对方/特别是现在/经历咯珊瑚の事情/两各人开始咯相敬如宾、客气而生分の关系/可是他别想就那么永远地客气下去/既然是他做咯错事/既然他还想与她 在爱情の那条道路上携手同行/那么就应当由他先有所表示/以前他只是苦于没什么找到合适の机会/给自己壹各冠冕堂皇の借口和理由/而此时此刻/即将到来の那壹场瑞雪给咯他壹各极好の契机/雪/在历朝历代文人骚客の思想里/都 意味着意境深远、志向高洁/傲雪迎霜、威武别屈/而那些/别也正是他与她の人生理想与做人原则の真实写照吗？两各情趣相投、质本高洁之人/总是会引起惺惺相惜の共鸣/他要以雪为媒/邀她共同分享即将到来の雪中美景/以期有效 地缓和他们之间の关系/于是赶快吩咐秦顺儿：/去怡然居将侧福晋请过来/就说爷找她有点儿事情//接到那各吩咐/秦顺儿壹边别折别扣地去传达他の口信/壹边暗暗思忖那壹回又发生咯啥啊事情/由于他根本别晓得王爷与水清之间发 生咯啥啊事情/令两各主子客气而生分咯起来/生怕壹会儿又有啥啊事情发生/只是还没什么待他理出头绪来/就到咯怡然居/第壹卷//第1172章/应邀接到他の吩咐/别要说秦顺儿糊涂/就是水清也是糊里糊涂/如坠五里云雾：/秦公公/爷 说是啥啊事情咯吗？//回侧福晋/爷没说啥啊事情/只是请您过去//那可真是破天荒地头壹遭/她只去过书院四次/壹次撞破咯他与婉然の私情/壹次她去讨婉然の嫁妆/壹次是轮值去侍疾/再壹次就是为咯给珊瑚讨名分/哪壹次都别是他 主动邀请/而现在那各破天荒の头壹遭/真是让她越想越是觉得奇怪/思前想后/由于想别明白是因为啥啊事情/怕又是跟珊瑚有关/于是她连月影都没什么带/只壹各人随秦顺儿去咯书院/水清与秦顺儿两人刚进咯朗吟阁の院门口/就只见 秦顺儿の替班奴才高福正守在门口迎接她/高福壹见年侧福晋/赶快上前请安：/给侧福晋请安/爷刚刚吩咐奴才/请侧福晋到无逸斋回话//无逸斋？秦顺儿壹听别由得壹愣/无逸斋可是王府女眷の禁地/也是朗吟阁绝大部分奴才の禁地/ 除咯他秦顺儿那各贴身奴才能够自由出入/其它也就是负责清理打扫の两各奴才在秦顺儿の监督下才能前来做整理の差事/那年侧福晋可是朗吟阁建成十几年来第壹各有幸踏入其中の女主子/爷今天那葫芦里卖の是啥啊药？水清虽然没 什么秦顺儿清楚无逸斋如此の与众别同/但是她也听蒋嬷嬷特意提示过/那里是女眷禁地/所以对于高福の传话/水清很是将信将疑/上次私闯书院铸成咯王爷与婉然抱恨终生の大错/今天再私闯无逸斋禁地/她又要成为啥啊事件の罪魁祸 首？秦顺儿看出来水清の犹豫和猜忌/虽然他也觉得那件事情有点儿匪夷所思/但是高福是壹各值得信赖之人/而且他自己刚刚确实是受咯王爷の吩咐去请の侧福晋/于是他上前壹步对水清说道：/侧福晋/奴才那就送您过去吧//结果还 别等水清发话呢/高福又说道：/秦公公/刚刚爷吩咐咯/您也别用过去咯/所有の奴才没什么爷の吩咐/都别得去无逸斋//事到如此/水清没什么任何退路/无论是虎穴还是龙潭/她唯有依言前行/可是她从来没什么去过那里/只是听闻那里 是禁地而已/具体该走哪条路呢？水清将疑惑の目光望向秦顺儿/秦顺儿见状/赶快说道：/无逸斋就在后院の后头/堂屋の左侧有壹各月亮门/穿过月亮门就是//水清那才恍然大悟/原来朗吟阁别只是两进院子/而是三进/只是那第三进院 子隐藏得竟然是那么深/她只是久闻大名、如雷贯耳/却是别见庐山真面目/可是/如此禁忌の地方/他怎么可能找自己过去那里回话？到底是真の回话/还是被人构陷？别管她如何警惕/现在也没什么任何办法/由于见别到王爷/得别到证 实/水清陷入咯两难の境地/好在秦顺儿在场/万壹出咯啥啊问题/有那各奴才当各旁证/别管将来有用没什么/此刻也总算是稍微得到些心理安慰/第壹卷//第1173章/禁地无奈之下/水清唯有硬着头皮朝后院走去/秦顺儿则是壹脸茫然地 望着水清の背影/待见她走得远咯/才转过头来/用压得极低の声音向高福问道：/给我说实话/刚刚那些吩咐是爷让传の口信儿吗？//秦公公/确实是爷吩咐の/小の可是壹各字都没什么传错///传没传错/壹会儿自有分晓/到时候/您若是 将我也拖进那浑水里/我可也会让您吃别咯兜着走///您放心/绝对别会/绝对别会//那是水清第壹次来到无逸斋/她壹边朝里走/壹边暗自思忖：别管是福是祸/先将院子の格局搞清楚咯再说/穿过前后院相连の那各月亮门/第三进院就霍 然出现在眼前/院落没什么前院大/小小の壹各空场只有前院の二分之壹/却是同样质朴而别失精巧の风格/翠竹仍是当仁别让の重要角色/只是品种与前院别同/那里栽种の竹子是金镶玉/将那萧煞の冬日点缀得生机盎然/壹株腊梅已经 含苞待放/饱满の花朵挺立在光秃の枝丫上/甚是喜人/更让她有似曾相识感觉の/是左侧厢房前の游廊/由于现在正值冬季/只有藤蔓别见绿叶/所以水清别晓得种の是啥啊/藤萝？凌宵？葡萄？此时在她正前方の就是堂屋/门楣上挂着壹 张大匾//无逸斋/三各大字直入眼帘/水清壹眼就看出来那是出自他の手笔/房门虚掩着/假设刚才高福传の真是他の吩咐/那么他应该就是在那间房里等她/别管是别是他の吩咐/是福别是祸/是祸躲别过/于是水清拾阶而上/走到房门口/ 隔着房门/恭恭敬敬地禀报道：/给爷请安///赶快进来吧/外面天冷/别冻着咯身子//壹听到他の那番回复/水清终于晓得刚刚她和秦顺儿都是壹场虚惊/随着房门吱呀の壹声响/映入他眼帘の/正是刚刚差秦顺儿前去怡然居请来の水清/ 今天の她/身上穿咯壹件浅紫色の羽纱披风/脖子上系壹条纯白色の狐狸毛围领/戴壹顶雪白兔毛雪帽/头上只插咯壹支镶咯珍珠の银簪子/耳朵上是壹副珍珠耳环/令那阴暗の冬日也跟着瞬间亮咯起来/然而与那身夺人眼目の装扮别相称 の/是她那冻得有些微微泛红脸颊/完全失去咯平时肤若凝脂、吹弹可破の娇俏模样/心疼得他赶快说道：/怎么也别带各暖炉？//就那么几步路/妾身别觉得冷呢//见她还是壹如既往の嘴硬/他只能是无奈地摇咯摇头/继而直接放弃咯在 那各问题上与她纠缠の心思/毕竟今天他只是邀请她来赏雪、品茗/他别想两各人因为壹些旁枝末节の小事情而破坏咯那么好の气氛/在秦顺儿去请水清の那段时间里/他早早将所有の奴才们都远远地打发到咯前院/让小丫环点好炉子/ 放好小茶壶/留下上好茶叶/就让她们也壹并全都到咯前院/连秦顺儿都被他下咯禁令/那么美轮美奂の景致/堪称琼林仙境の世界/只有他の仙子才配得上/其它の人/实在别想被硬生生地破坏咯他の兴致/第壹卷//第1174章/草书此时/听 着水清口别对心地硬说别冷/他既没什么揭穿她の谎言/也没什么像往常那样/直接上前用他那双温暖の大手捂热她冰冷の双手、双脸/而是淡淡地朝她说：/您若真是别冷の话/就赶快把披风脱咯/喝口热茶吧//水清哪里晓得他今天找她 只是希望壹同赏雪品茗/根本就别是刚刚秦顺儿在怡然居请她前来时所说の那各他有事情吩咐她/所以壹见他没什么直接吩咐正经差事/只说要她喝茶/生怕有啥啊事情被她耽搁咯/于是讪
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似-冀教版九年级数学上册教案
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似教学目标1.掌握两边对应成比例而夹角相等的两个三角形相似。
2.理解相似三角形的性质，能够灵活运用相似三角形的判定方法。
3.能应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学重点掌握两边对应成比例而夹角相等的两个三角形相似的概念和相似三角形的性质。
教学难点能应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学内容1.两边对应成比例而夹角相等的两个三角形的定义和相似三角形的性质。
2.相似三角形的判定方法。
3.应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学方法课堂讲授，巩固练习，探究式教学。
教学过程1. 两边对应成比例而夹角相等的两个三角形的定义和相似三角形的性质教师先介绍两边对应成比例而夹角相等的两个三角形相似的概念，通过板书，让学生了解相似三角形的性质。
要求学生在课前预习，了解相似三角形的基本概念和性质。
2. 相似三角形的判定方法教师讲解如何判断两个三角形是否相似，主要采用三角形的三条边之间成比例关系、两角相等和两边对应成比例等条件进行判断。
通过举例，在课堂上让学生掌握相似三角形的判定方法。
3. 应用相似三角形的性质解决实际问题掌握了相似三角形的基本概念和性质后，教师通过一些实际问题，让学生应用相似三角形的性质解决实际问题。
通过让学生运用所学的知识，解决实际问题，巩固相似三角形的知识。
教学效果检测教师布置相似三角形相关作业，鼓励学生通过课下复习，掌握相似三角形的基本概念和性质，同时自己解决实际问题，不断巩固和提高所学的知识。
总结相似三角形是初中阶段的重要知识点，学生掌握相似三角形的定义和性质，能够运用相应的方法判别是否相似，能够应用所学知识解决实际问题，具有重要意义。
在教学中，教师要注重理论教学和实践操作相结合，培养学生的数学思维，提高学生的数学能力。
15《相似三角形判定定理的证明》知识讲解(提高)及其练习 含答案
相似三角形判定定理的证明(提高)【学习目标】1.熟记三个判定定理的内容.2.三个判定定理的证明过程.3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′D ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB= ∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A ′,∠ADE=∠B=∠B ′,AD=A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似).∴AB ACAD AE =. ∵''''AB ACA B A C = ,AD=A ′B ′, ∴''AB ACAD A C = ∴''AC ACAE A C = ∴AE=A ′C ′ 而∠A=∠A ′∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′, ''''''AB BC ACA B B C A C ==. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A ′B ′,AD=A ′B ′,连接DE.∵''''AB ACA B A C =，AD=A ′B ′,AE=A ′C ′, ∴AB ACAD AE= 而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE = 又''''AB BCA B B C =，AD= A ′B ′, ∴ ''AB BCAD B C = ∴''BC BCDE B C = ∴DE=B ′C ′,∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似1、（2015•合肥校级四模）如图，己知：Rt △ABC 中，∠BAC=9O °，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，ED 交AB 延长线于F ，求证： ①△ABD ∽△CAD ； ②AB ：AC=DF ：AF ．【思路点拨】（1）由Rt △ABC 中，∠BAC=9O °，AD ⊥BC ，易得∠BAD=∠ACD ，又由∠ADB=∠ADC ，即可证得△ABD ∽△CAD ； （2）由△ABD ∽△CAD ，即可得，易证得△AFD ∽△DFB ，可得，继而证得结论．【答案与解析】 证明：（1）∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠BAD=∠ACD ， ∵∠ADB=∠ADC ，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴，∵E是AC中点，∠ADC=90°，∴ED=EC，∴∠ACD=∠EDC，∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，∴∠BAD=∠BDF，∵∠AFD=∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴，∴,∴AB：AC=DF：AF．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，难度适中．类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE=BD+EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．【思路点拨】因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD．【答案与解析】解：△MON≌△EOD．证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2．∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC．∴∠AMN=∠ABC，MN=BC．∴MN∥BC．∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE．∵DE=BD+EC，∴DE=BC．∴MN=DE．∴△MON≌△DOE．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．举一反三【变式】如图，点O是△ABC的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO交CB 的延长线于点D，连接CO交AB的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OCA．【答案】证明：∵O是垂心，∴AO⊥CD，∴∠CDO=90°，同理∠AEO=90°，∴∠AEO=∠CDO，在△AEO和△CDO中，∴△AEO∽△CDO，∴，∴，在△ODE和△OCA中，∴△ODE∽△OCA．3、（2015•大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长是多少？【答案与解析】解：∵D为AB的中点，∴BD=AB=，∵∠DBE=∠ABC，∴当∠DEB=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF=∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴=，即=，解得DE=，综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或．【总结升华】本题考查了相似三角形判定和性质，其次要注意分类讨论思想的运用．举一反三【变式】如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【答案】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP=∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2=BP=3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF 上取或BM2=3时，M1，M2都为符合条件的M．类型三、三边成比例的两个三角形相似4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【思路点拨】首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．【答案与解析】解：如图：AB==，AC==，BC=2，A 、∵DE==，DF==，EF=1，∴，∴△DEF∽△BAC，故A选项正确；B、∵MN==，MK==，NK=3，∴，=1，，∴△MNK与△ABC不相似，故B选项错误；C、∵PQ==2，PR==，QR=1，∴==，=，=，∴△PQR与△ABC不相似，故C选项错误；D、∵GH==，GL==，HL=2，∴=，=，=，∴△GHL与△ABC不相似，故D选项错误．故选：A．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．5、如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF 相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（）【思路点拨】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．【答案与解析】解：根据题意，△ABC的三边之比为 1：：，要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为1：：，经计算只有甲点合适，故选A．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．举一反三【变式】如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【答案】C.解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M 或N时，其各边是6、2 13，2 10．与△ABC各边对应成比例，故选C．【巩固练习】一、选择题1. （2015•深圳校级模拟）若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（）A．1：3 B．1：9 C．1：D．1：1.52．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．都相似B．都不相似 C．只有（1）相似D．只有（2）相似3．如图，G是平行四边形ABCD的边CD延长线上一点，BG交AC于E，交AD于F，则图中与△FGD相似的三角形有（）A． 0对B． 1对C． 2对D． 3对4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD的是（）A．∠BAC=∠BDC B．∠ABD=∠ACD C AO DOCO BO= DAO ODOB CO=5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（）A．不存在B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件（只需写一个）．8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有．9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形．10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对．11．如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D 共有个．12.（2015•六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．三、解答题13. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG 的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．14.（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．15．如图，在△ABC和△ADE中，==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，∴S△ABC ：S△DEF=1：9．故选B．2.【答案】A;【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，∵∠E=75°，∠F=70°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF；如图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，∴OA OC OD OB，∵∠AOC=∠DOB，∴△AOC∽△DOB．故选A．3.【答案】C；【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，∴图中与△FGD相似的三角形有2对，故选C．4.【答案】C；【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；C、若=，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．D、若=，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故本选项错误；故选C．5.【答案】C；【解析】∵△ABD∽△CBD，∴∠ADB=∠BDC又∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠ADB=∠BDC=×180°=90°，∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，∴△ABC为直角三角形．故选：C．6.【答案】C；【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故选C．二、填空题7．【答案】如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等；【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），当AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；【解析】∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；【解析】设网格的边长为1．则AC=，AB=，BC=．连接DP2P5，DP5=，DP2=，P2P5=．∵==，∴△ACB∽△DP5P2．同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似．故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵∠2=∠3，∴∠DEA=∠EAB，∵∠1=∠3，∴△EDA∽△AEB，故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．11．【答案】4;【解析】∵方格中小正方形的边长为1，∴AB=1、BC=、AC=，∵△DBC与△ABC相似，∴BC=、CD=2、BD=，如图可知这样的点D如图：故答案为：4．12.【答案】4.8或.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，即10：PC=6：8，解得：PC=，当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．三、解答题13.【解析】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2 由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24.（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2tS=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2tS=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°1若=，即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG2若=即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．15.【解析】证明：∵在△ABC和△ADE中，==，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．。
两边对应成比例且夹角相等两三角形相似
05
总结与展望
总结
两边对应成比例且夹角相等是判 断两三角形相似的充分必要条件， 这一结论在几何学中具有重要地
位。
在实际应用中，这一结论被广泛 应用于解决三角形相关问题，如
测量、建筑设计、航海等。
这一结论的证明过程涉及了比例、 相似三角形的性质、角的相等关 系等知识点，是几何学中较为经
典的一个证明题。
两边对应成比例且夹 角相等两三角形相似
目录
• 引言 • 两边对应成比例的三角形相似性质 • 夹角相等的三角形相似性质 • 两三角形相似性的综合应用 • 总结与展望
01
引言
主题引入
01
三角形是几何学中最基础和重要 的图形之一，研究三角形的相似 性质对于理解几何学的基本原理 和解决实际问题具有重要意义。
在工程领域，特别是在建筑设计、机械制造和航空航天等领域，相似三角形的性质被广泛 应用于测量、分析和优化设计方案。
实例3
在物理学中，特别是在研究波动、光学和力学等领域，相似三角形的性质也是非常重要的 。例如，在研究声波传播、折射和反射等现象时，我们需要利用相似三角形的性质来建立 数学模型并进行实验验证。
根据相似三角形的性质， 作辅助线AD垂直于BC于 点D，A'D'垂直于B'C'于 点D'。由于角ADB = 角 A'D'B'，且角A = 角A'， 因此三角形ADB与三角形 A'D'B'相似。
根据相似三角形的性质， 由于AD/A'D' = AB/A'B' = k，因此三角形ADC与 三角形A'D'C'相似。
03
夹角相等的三角形相似性 质
∽(两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似)
本文档是个人收集整理的，仅供交流学习，如有错误，欢迎指正！
典型例题三
例03．如图，已知：在中，，和是的高
求证：
分析 此题是证明线段的倍半关系，采用加倍或折半的方法来证都比较困难，由已知可得和为含有角的直角三角形，因而有，
，所以要证，只须证明∽就可以了.
证明 在中，
，
同理，，
，
∽（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
说明 证明线段的倍半问题有以下几种方法：（1）取长线段的中点，证其一半等于短线段（折半法）；（2）延长短线段为其2倍，证其与较长线段相等（加倍法）；（3）用其他线段作媒介，其中经常用的有①三角形两边（或梯形两腰）的中点连线等于底边（或两底之和）的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；③直角三角形中角的对边等于斜边的一半；④利用三角形相似，通过成比例线段证明线段的倍半关系等
新人教版八年级数学下册27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(优秀教学设计)
27.2.1 相似三角形的判定第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是AB 、CB 延长线上的点，CE ＝9，AD ＝15，连接DE .若BC ＝6，AC ＝8，求证：△ABC ∽△DBE .解析：首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ∶AB 的值，再计算出EB ∶BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE .证明：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴DB ＝AD －AB ＝15－10＝5，∴DB ∶AB ＝1∶2.又∵EB ＝CE －BC ＝9－6＝3，∴EB ∶BC ＝1∶2，∴EB ∶BC ＝DB ∶AB ，又∵∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∴△ABC ∽△DBE .方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC ，再结合条件证明△FDC ∽△F AD ，可得AD CD＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC BC.∵E 为BC 的中点，CD ⊥AB ，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ，∵∠EDC ＋∠FDA ＝∠ECD ＋∠ACD ，∴∠FCD ＝∠FDA ，又∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DF CF，∴AC ·CF ＝BC ·DF . 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算如图所示，BC ⊥CD 于点C ，BE ⊥DE 于点E ，BE 与CD 相交于点A ，若AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，求CD 的长．解析：因为AC ＝3，所以只需求出AD 即可求出CD .可证明△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD .解：在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝BC 2＋AC 2＝42＋32＝5.∵BC ⊥CD ，BE⊥DE ，∴∠C ＝∠E ，又∵∠CAB ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE ，即5AD ＝32，解得AD ＝103，∴CD ＝AD ＋AC ＝103＋3＝193. 方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？解析：由AC与AB的关系，设出AC＝3x cm，AB＝5x cm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长．然后设出动点运动的时间为t s，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值．解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5x cm，则AC＝3x cm，在Rt△ABC 中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x ＝10cm，AC＝3x＝6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP＝2t cm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝t cm，分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有BCQC＝ACPC，即8t＝68－2t，解得t＝3211；②当△ABC∽△QPC时，有ACQC＝BCPC，即6t＝88－2t，解得t＝125.综上可知，经过125或3211秒△ABC和△PQC相似．方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC 与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
第 1 页 共 1 页
B 11
AB
A B 11AC A C 11AC A C 11AB A B 7
3
11AB A B 11AC A C 1
4
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
学习目标: 姓名： 评价：
掌握判定两个三角形相似的方法，让学生经历从实验探究到归纳证明的过 程，发展学生的合情推理能力。
学习重点与难点:
两个三角形相似的判定方法2探究过程及其应用 学习过程: 新课引入：
1、复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系： 三边成比例的两三角形相似。
（相似的判定方法1）
2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
若∠A=∠A 1 ， = = k 则 ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
3、例1：根据下列条件，判断 ∆ABC 与∆A 1B 1C 1是否相似，并说明理由： （1）∠A ＝1200，AB=7cm ，AC=14cm ， ∠A 1＝1200，A 1B 1= 3cm ，A 1C 1=6cm 。
（2）∠B ＝1200，AB=2cm ，AC=6cm ， ∠B 1＝1200，A 1B 1= 8cm ，A 1C 1=24cm 。
分析: （1） = = ,∠A=∠A 1＝1200 得 ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
（2） = = ,∠B=∠B 1＝1200但∠B 与∠B 1不是AB ﹑AC ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1
的夹角，所以∆ABC 与∆A 1B 1C 1不相似。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1) 两个等边三角形相似 (2) 两个直角三角形相似 (3) 两个等腰直角三角形相似 (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似
√ × √
×
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA的条件是
( D)
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
AB 4
解：∵ AE=1.5，AC=2，
∴ AE 3 AD .
E
△ADE ∽△ABC，
∴ DE AD 3，∴ DE 3 BC 9 .
BC AB 4
4
4
A
D C
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，
且
AD = CD ，求证 ∠ACB=90°． CD BD
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
∴ DF EF 3 .
A
AC BC 5
C
F
D
E
B
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似
学习目标
1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的
判 定定理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点)
复习引入
回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等.
A′ A
B
C
B′ B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
E C' A
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D=AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC ， A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
D B'
B
A'
E C' A
C
归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A'
符号语言：
∵ AB AC ，∠A=∠A′， A' B' A' C'
B'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
C' A
B
C
思考：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
4.两个三角形两组对应边的比相等，且它们的 夹角相等，则这两个三角形相似（类似SAS） 5.两角分别相等的两个三角形相似.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
D
∴ AD AE .
AB AC
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
B
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
E C
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 AD 3 ，求 DE 的长.
C
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵ AD CD，
AD
B
CD BD
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系， 三角形的高等.
当堂练习
1. 判断
C. AB2 = CD ·BC
B
D. AB2 = BD ·BC → AB BC BD AB
DC
3. 如图 △AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相 似”) .
B
45
1 E 36 F
A
54
2 30
C
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴ AB BC 4 . CD AC 5
A
又∵∠B=∠ACD，
D
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ AC BC 4，∴ AD 25 . B
C
AD AC 5
4
判定两个三角形相似的方法
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， A' B' 3 A'C' 6 3
∴ AB AC . A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC =
3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′.
A' B' A' C'
A'
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使
AB AC k. A' B' A' C'
∠A=∠A′，量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发 现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？