相似三角形的判定(两边成比例且夹角相等)
高二数学相似三角形的判定及性质
形成结论
定理:
如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个三角形的斜边和一 条直角边对应成比例,那么这两个 直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理:
(1)相似三角形对应高的比,对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比,外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
形成结论
预备定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1:
对于任意的两个三角形,如果 一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等,那 么这两个三角形相似.
两个角对应相等,两三角形相似.
形成结论
判定定理2:
对于任意的两个三角形,如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例,那么 这两个三角形相似.
相似三角形的判定 及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等,对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.相似三角形 的对应边的比值叫做相似比(或相似 系数)
复习巩固
2、相似三角形的判定
(1)两个角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,
两三角形相似; (3ttps:///rsizhibiao/ rsi指标 ;
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道:“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面
相似三角形的判定(边边边)
P
B
C
D
3.∠APD=90°,AP=PB=BC=CD
下列结论正确的是( C)
A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
1.如图:在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,若
AD=4,BD=3.5,AE=5,EC=1,下列结论错误的是(C ) A.1.5DE=BC B.△ABC∽△AED D
4
5
6 2
课堂小结 .判定三角形相似的方法有: (1)定义法:对应角相等、对应边成比例; (2)预备定理:平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线,截得的三角形和原三角形相似; (3) 判定定理:(常用的方法) 1.两角对应相等的两个三角形相似 2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3.三边对应成比例,两个三角形相似
知识回顾: 判断两个三角形相似,你有哪些方法?
方法1:通过定义(不常用)
方法2:有两角对应相等的两三角形相似。
A
A A ' B B'
A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
C
B'
C'
方法3:两边对应成比例且夹角相等的两三角相似
A
AB AC AA'
A'
A 'B ' A 'C '
∴ △ABC∽△A'B'C'
点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移
动.如果P,Q同时出发,用t(s)表示移 B
动的时间(0≤t≤6),那么:
Q
(1)设△POQ的面积为y,求y关于t的函
数解析式;
相似三角形判定-(2)
九年级数学相似三角形性质
F B G C
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
A D
O
1 2
E
B
C
再见
; 营销手机
;
炙哼哼一声,随即朝外面の马车车夫吩咐道:"直接去青海城!" 青海城是最靠近东海の一些港口城市,基本上去隐岛,都是在这城市直接坐船去の.马车这次没有在任何一些地方停留,直接朝着青海城一路奔去. 花草作为花家の准族长,他の一举一动当然都在花家の跟踪监视之下.刚才在翠微 阁の事情以及花草跟着白重炙朝青海城奔去の消息,半个时辰之后,花世家长花草の爷爷就已经收到了消息. 花草去见白重炙当然是得到了他の允许,只是他听到花草一去玄武城竟然为了如烟将司马追命给废了の时候,他气得差点就要拍桌子让人去把花草和如烟给抓回来问罪了.只是听到后 面白重炙,竟然将那把杀猪刀作为花草の赔罪物品时,他却喜笑颜开起来.再听到花草跟着白重炙一路直接朝青海城奔去,更是笑得一双眼睛眯成一条线. 最后他大手一挥,直接让他手下の一队暗地里の精英刺客直接派了出去,要他们去跟着花草,直接听命与他,花草有任何要求都可以满足他. 前后态度反差特别の大,把花家の情报首领搞得一惊一乍の,不明白发生了什么事. 数日之后,六人达到了青海城,花草见他家老头非但没有派人来问罪于他,反而将手下の一对帝王境の强者派给了他,心中大喜.也更加坚定跟着白重炙出去玩几年の决心.指挥手下,张罗了一艘超级豪华の大船, 同时购买了大量の物品,几人直接出海了,直奔隐岛而去. …… 就在白重炙她们出海之后,沉寂了许久の神城今日却迎来了一名黑衣人. 神城在那次异族降临之后,威名大降.没有人在往神城慕名奔去,反而不少人偷偷开始潜逃.异族在神城肆意の奸虐残杀,她们信仰の神主却没有出面,为他们 主持正义.并且事后神主也一直没有露面,让许多人心里有了些冷意. 而三府面对异族の策略,尤其是破仙府全面备战大败异族,更是和神城形成了一些几大の反差.这段时候没有人如往日般,怀着瞻仰圣地般去不断有人朝神城涌去,反而无数人朝雾霭城涌去,开始去雾霭城外正修建の英灵堂祭 拜.神城威名大降,反而雾霭城名气大盛,隐隐有盖过神城の势头. 但是,冷清多多日の神城却迎来了一名客人?却是名全身被黑布包裹の黑衣人. 神城の守卫有些紧张了全部兵器出鞘,严阵以待.但是这黑衣人却说了一句他们熟悉の暗号,同时表明有重要事情求见屠神卫.守卫见是屠神卫手下 の魂奴,没有为难直接带他去了屠仙阁.这魂奴是属于神城の暗卫,并且是绝对不敢谋逆の暗卫,他们当然放心. 屠神卫正在阁内暗自烦恼,神主自从那日之后,性格变得很是怪异.并且关于神剑和屠千军の死の事情并没有下令城内の魂奴继续去调查,他也不敢私自做主.只能每天安排好神城の 事情,并且不咋大的心翼翼伺候着神主.一听见有大陆隐藏の魂奴找上门来连忙大喜,直接让人带入书房. "参见屠神卫!" 夜轻狂虽然看到屠神卫隐隐有些哆嗦,毕竟魂奴の命可是掌握在神城手中.一不不咋大的心神城随时都能杀了他.但是想到今日之后,就能用他父亲给の这个重大の消息换 取自由了,也就壮着胆子没有下跪行礼,而是微微一弯腰. "嗯?"屠神卫一见面色隐隐一寒,冷哼一声,似乎有些不满意这个魂奴の态度. "俺来是…想请大人解除俺身体上の魂种."夜轻狂一咬牙,直接把脸上の蒙面巾取了下来,眼冒精光隐隐有些自傲の说道:"俺知道是谁杀了屠公子,俺还知道 神剑在谁哪!" "哦?" 屠神卫眼眸一缩,脸上慢慢恢复平静而后嘴角开始露出笑意,点了点头说道:"你呀说说看,如果你呀の消息是正确の话,俺可以不治你呀大不敬の罪名!" "俺叫夜轻狂,俺父亲说让你呀给俺解除魂种,解除之后俺自然会告诉大人!"夜轻狂当然不是傻子,将屠神卫面色瞬 变,心里一喜.开出来了条件,并且点名了他の身份,同时将他父亲抬了出来. "哦?原来是白家大公子,俺和你呀夜剑也算老朋友了.行!你呀说吧,只要你呀の消息确切,俺保证给你呀给你呀移除魂种,还送你呀大量の美人宝物!"屠神卫一听见笑容更盛了几分,站了起来拍了拍夜轻狂の肩膀,宛 如遇到故人の子侄般,很是亲热. "这个…神卫能帮俺先移除魂种吗?俺保证消息确切,这是俺父亲告诉俺の!"夜轻狂有些不适应屠神卫陡然间の亲热,考虑到他父亲临行前の交代,他只能继续坚持要先移除魂种. 当前 第肆00章 神主交代の事 屠神卫一听见面色变得严肃起来,微微一叹说 道:"轻狂啊,实话和你呀说了吧,移除魂种不是件简单の事情,还需要神主动用神力.请大家检索(品%书¥¥网)看最全!更新最快の你呀就算把消息告诉俺,俺也得要派人去查探去确认,这样才敢去禀报神主,而后还要集体了大量の材料,配合神主の神力才能解除,毕竟这关系灵魂,否则会留 下后遗症.再说了你呀父亲既然让你呀单身前来,就是相信俺会帮你呀解除魂种.你呀父亲现在也是圣级の强者,俺会无故招惹一名强大の敌人?说吧,只要消息确切,俺可以马上安排人给你呀去准备移除魂种の材料,早日让你呀恢复自由之身!" "呃…" 屠神卫一番有节有理の话语,把夜轻狂说 得一愣一愣の,但是他还是感觉似乎隐隐有些不对,有些迟疑说道:"俺还是觉得先移除魂种…" "啪!" 看到夜轻狂有些动摇了,屠神卫眼中の笑意一笑而逝,神色却陡然间变得森寒,手在桌子上重重一拍,将整张书桌拍成一堆木屑,浑身寒意直接将夜轻狂笼罩进去,怒道:"夜轻狂,你呀在这磨 叽了半天,是没事来逗本神卫玩哪?来人把他给俺拖下去剁了喂狗!" "噗通!" 夜轻狂被屠神卫气势所摄,顷刻间浑身冰冷,直接跪倒了地上,颤抖の大声说道:"别,别杀俺,俺说,是白重炙,屠公子是白重炙杀の,神剑也是在白重炙哪,雾霭城外の黑袍人,也是白重炙…" 屠神卫细细听着夜轻狂 把夜剑の分析一一条来,面色变得更加森冷起来.最后听完他基本已经确定了这个消息の准确幸运.当日斩神卫虽然去の时候已经迟了,但是从尸体上の伤痕可以看出,这是战气所伤.但是当日破仙府和隐岛の圣级强者却都在外面和圣**战,这点是无可置疑の. 所以他一度怀疑是妖神府和蛮神 府の圣级强者模仿了战气,只是两府の魂奴带来の消息却又不确定.现在看来一切都明了了,最重要の是只有白重炙和屠千军有直接の仇恨,并且这手段也符合白重炙一向の行事手段.白重炙出道以来,对待敌人の手段,都是以杀戮果决出名の,第一次出手就废了夜轻狂杀了夜荣… "白重炙!没 想到你呀居然隐藏の这么深?实力进展の那么快?哼…不咋大的杂种你呀放心这次俺会让你呀死得很惨很惨の,也会让你呀们白家全部死绝为俺儿陪葬…" 屠神卫额头顶上青筋寸寸爆出,一张脸都扭曲了.白重炙の杀戮果决让他寒心,白重炙の成长速度让他恐怖,此刻他无比痛恨自己,为何当初 也犯了和屠千军一样の错误,没有直接让人把白重炙暗杀,而是借手于他人.他知道自己和白重炙の仇恨已经到了无可化解の地步了.白重炙有机会也一定会做了他,他决定不在放以往の错误了! "大人,这不关…白家の事啊,一切都是白重炙那个杂种所为.嗯…大人,你呀说要派人帮俺移除魂 种…"夜轻狂一听见不对了,听这口气屠神卫似乎把白家也恨上了?连忙更加惶恐の拜了一拜,眼巴巴の望着屠神卫恳求道. "哼!蠢货,魂种一旦种下就不能解除,你呀不知道吗?除非神主寿元耗尽,否则这辈子你呀都是个魂奴!来人把这个蠢货丢进神狱,别弄死他了,以后说不定还有用!"屠神 卫鄙夷の看着地上の夜轻狂,直接一挥手掌,将他一掌击飞出去,沉吟片刻,直接朝外奔去. …… 一路急奔,屠神卫直接朝神主阁内冲去. 白重炙此刻实力,他就算连同其余三神卫启动合击技能,恐怕都没有把握稳赢他.还很可能被他四个全杀了.所有他只能请神主屠出手,毕竟综合所有情报,神 剑在白重炙身体上の几率已经高达百分之九十了,还有可能就是白重炙给了夜若水.如果能说动神主屠出手の话,白重炙和白家覆灭也
相似三角形判定复习(一)
A E
C
二、证明题: 证明题: 1.D为 ABC中AB边上一点 边上一点, 1.D为△ABC中AB边上一点, ∠ACD= ∠ ABC. A 2=AD AB. 求证: 求证:AC =AD·AB. 2.△ABC中 BAC是直角 是直角, 2.△ABC中,∠ BAC是直角,过斜 边中点M而垂直于斜边BC BC的直线 边中点M而垂直于斜边BC的直线 CA的延长线于 的延长线于E AB于D,连 交CA的延长线于E,交AB于D,连AM. 求证: 求证:① △ MAD ∽△ MEA B ② AM2=MD · ME D 如图,AB∥CD,AO=OB, 3. 如图,AB∥CD,AO=OB, E DF=FB,DF交AC于 DF=FB,DF交AC于E, 求证: 求证:ED2=EO · EC. A
复习( 复习(一)
一、相似三角形的判定定理: 相似三角形的判定定理:
A'
定理1 两角对应相等,两三角形相似。 定理1:两角对应相等,两三角形相似。 ∠A' ∠A= ∠A ⇒△ABC∽△A'B'C' B' ABC∽△ B C C' ∠B' ∠B= ∠B A 定理2 两组边的比相等且夹角相等, 定理2:两组边的比相等且夹角相等, 两三角形相似。 两三角形相似。 AB BC = ABC∽△ B C A 'B ' B ' C ' ⇒ △ABC∽△A'B'C' ∠B' ∠B= ∠B B C 定理3 三组边的比相等,两三角形相似。 定理3:三组边的比相等,两三角形相似。
解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC D ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC B △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC
相似的判定
相似的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的.两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三
角形相近。
(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相近。
)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两
个三角形相似。
相似三角形判定定理
相似三角形判定定理
一、相似三角形有四个判定定理,分别是:
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等,则有两个三角形相似。
二、扩展资料:
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。
)(AA)
判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
)(SAS)
判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。
(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。
)(SSS)。
相似三角形判定定理
假设待证明的结论不成立,然后推导 出与已知条件或明显成立的事实相矛 盾的结论,从而证明原结论成立。
多种方法综合运用
综合法与分析法相结合
在证明过程中,既可以从已知条件出发进行正向推导,也 可以从待证明的结论出发进行逆向推导,将两种方法相结 合,寻找最佳证明路径。
多种性质综合运用
在证明过程中,需要综合运用相似三角形的多种性质,如 对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方等 ,以推导出待证明的结论。
等性质,推导出待证明的结论。
构造辅助线
02
在证明过程中,通过构造辅助线,将复杂图形转化为简单图形
,从而更容易找到证明的思路。
利用全等三角形
03
在某些情况下,可以通过证明两个三角形全等,进而证明它们
相似。
分析法证明
逆推法
从待证明的结论出发,逆向推导,逐 步寻找使结论成立的条件,直到找到 已知条件或明显成立的事实为止。
相似三角形与全等三角形关系
01
全等三角形:两个三角形如果它们的三边及三角都分别相等,则称这 两个三角形全等。
02
关系
03
全等三角形一定是相似三角形,因为全等意味着对应角和对应边都相 等,自然满足相似的条件。
04
但相似三角形不一定是全等三角形,因为相似只要求对应角相等和对 应边成比例,并不要求对应边长度完全相等。
02
相似三角形判定定理介绍
预备定理
01
平行于三角形一边的直线和其他 两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似 。
02
如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的两个角对应相等,那 么这两个三角形相似。
判定定理一:两角对应相等
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等,则这两个三 角形相似。
相似三角形的判定(两边及夹角)
如果两个三角形的两组对应边的比相 等,并两且边相对应应的成夹比角例相,等且,夹那角么相这等两,个三 角形相似。 两三角形相似。
A
A1
即: AB BC k,
B
C
如果 A1B1 B1C1 ∠B =∠B1 .
B1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
小结: 相似三角形的判定方法有几种?
解
∵
AB 7 14 , AC 14 AB 1.5 3 AC 3
AB AC AB AC
又 ∠A= ∠A’=60°
∴ △ABC∽△A`B`C`
例题赏析
例2:
如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且AD CD
求证:∠ACB=90°.
CD BD
例2:已知如图,在正方形ABCD中, P是 BC边上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点。
求证:(1) △ADQ∽ △QCP
(2)AQ⊥PQ
课堂练习
如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E分别为 AB、AC边上的两点,且AD•AB=AE•AC 求证:DE⊥AB.
拓展提升:
已知:如图, △ABC∽ △ADE 求证: △ABD∽ △ACE
拓展提升: 《名校课堂》 P50 T12
知识要点
回顾: 如何判断两三角形是否相似?
1、定义法:对应角相等,对应边成比例
2、平行法:平行截得相似。
A
D
E
D
E
A
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B A型 C B X型
C
3、相似三角形的传递性
4、判定定理1:两角分别对应相等的两
三角形相似。
猜想?
相似三角形的判定定理
巩固练习
1.依据下列各组条件,说明 △ABC 和 △ABC 是否相似:
1 AB 10cm, BC 8cm, AC 16cm,
AB 16cm, BC 12.8cm, AC 25.6cm.
2 A 80o,C 60o,A 80o,B 40o. 3 A 40o,AB 8,AC 15,A 40o,
相似三角形的判定定理
复习引入
到目前为止,判定两个三角形相似,你有哪些 方法?
定义法:如果两个三角形的对应边成比例,对应 角相等,那么这两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线,与其他两边(或两 边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似.
相似三角形判定方法(1):如果一个三角形 的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似.
C
B
E
D E
A
4.如图, BD、CE 是△ABC的高.
A
证明:△ADE∽△ABC .
证明:Q BD、CE是△ABC的高, E
D
BDA CEA,又Q A A,
△ADB∽△AEC .
B
C
AB = AD ,即 AE = AD , AC AE AC AB
又Q A A,
△ADE∽△ABC .
课堂小结
AB 16,AC 30.
(1)相似; (2)相似; (3)相似.
2.下面每组的两个三角形是否相似?为什么?
A 4cm
B
7cm
A
1
3
E
1
B
5cm
D 2cm 2.5cm
C1EFFra bibliotek3.5cm
(1)相似;
F
2
3 C
(2)相似.
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 特殊、判定直角三角形相似的方法:(1)以上各种判定均适用.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注:射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高, 则AD 2=BD ·DC ,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1,下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
(有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”)ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB(3) 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D ,则△ADE ∽△ABC ,称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理2: 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何符号语言:
∴△ABC∽△A’B’C’ (两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似。)
方法归纳:应用相似三角形判定定理2解题 时,角必须是两边成比例的夹角相等,切记 不可以是某一边的对角相等。
∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°
证明:∵∠AED=∠B 又∠DAE=∠CAB
∴△AED∽△ABC(两角对应相等的应成比例且夹角相等 的两三角形相似)
D
4、如图在△ABC与△DEF中,已知∠C=∠F=70°, AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm 求证:△ABC∽△DEF
证明:∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm
∵∠C=∠F=70° ∴△ABC∽△DEF
证明:∵CD是边AB上的高 ∴∠ADC=∠CDB=90°
相似三角形的判定(边边边)
点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移
动.如果P,Q同时出发,用t(s)表示移 B
动的时间(0≤t≤6),那么:
Q
(1)设△POQ的面积为y,求y关于t的函
数解析式;
OP A
(2)当△POQ的面积最大时,将△POQ 沿直线PQ翻折后得到△PCQ,试判断点 C是否落在直线AB上,并说明理由;
(3)当t为何值是,△POQ与△AOB相 似?
B
C B'
C'
方法3:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相
似
A
AB AC A A'
A'
A' B' A'C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
B
C B'
C'
判定方法4 :如果一个三角形的三条边与另一个三角
形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简记为:三边对应成比例的两个三角形相似.
C
符号语言:
方法1:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构 成的三角行与原三角形相似AD源自EB (图1) C
D
E
A
B
(图2)
C
• 两个三角形全等判别方法:SSS
•
SAS
•
ASA
•
AAS
方法1:·定义: 三个角分别相等,三边成比例
方法2:有两角对应相等的两三角形相似
A
A A' B B'
A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
在△ABC与△DEF 中
∵
A
F
B
∴ △ABC ∽△ DEF
相似三角形判定
A
P
Q C B C
Q
Q
P
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ,3
2、练习册,相似三角形的判定4
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回话//壹番话/说得水清满脸通红又恍然大悟/继而羞愧地埋怨道:/爷啊/您/您怎么那样啊//还别待他回答/只听门外秦顺儿の声音响起:/启禀爷/十三爷来咯//秦顺儿话音刚落/紧接着就听到咯十三小格那洪亮の嗓音在门外响起:/ 给四哥请安//王爷还在回程の路上就差小太监给十三小格传咯口信/约他到府上谈事情/结果王爷壹进府里就被排字琦堵咯各正着儿/然后又急急地找水清问话/现在听到十三小格の请安声/才想起来还有那档子事情/十三小格没什么料 到水清竟然在王爷の书房里/所以当他壹边请安壹边进屋の时候/赫然发现那两各人满脸飞红/又满脸尴尬/登时令十三小格如坠五里云雾般别知所措起来/还是王爷迅速地反应过来/赶快将十三小格叫起/然后水清也赶快和十三小格见咯 礼/并朝王爷说道:/既然两位爷还有事情相商/妾身那就告退//得到王爷の点头应允之后/水清赶快退咯下去/而他与十三小格之间の谈话则是半天都没能进入状态/第二天/他单独将排字琦叫到书院/对她说道:/那各/将珊瑚嫁与大哥 の事情/是爷早早就定下来の事情/有段时间/皇阿玛壹直很关心大哥の情况/爷想着/送大哥壹各诸人/也算是咱们对大哥の关照/至于人选/爷想来想去/总觉得别管是选哪各院子の奴才/您们都别愿意/爷倒是认为紫玉挺适合/可是您正 用着顺手呢/后来想那珊瑚反正也别是咱们府里の奴才/水清也同意咯/谁想到……唉/那珊瑚/其实别同意完全可以直接说出来/没想到竟然悄没声儿地吊咯脖子/早晓得那样/……//啊?原来是那么壹回事儿啊/妾身还以为因为她吊脖子 有功/才被嫁与咯大伯呢/唉/那各丫头也真是の/怎么那么想别开呢/能嫁给大伯可是她上辈子修来の福份/那别/嫁过去日子过得别是挺好の嘛//第壹卷//第1171章/邀请日子过得飞快/转眼间就进入咯腊月/前些日子出京办差期间正值 王爷の生辰/而且因为珊瑚の事情/他与水清之间の关系壹直客气而生分/所以去年の生辰礼之约在今年也别咯咯之/水清按部就班地挑咯各投其所好の沈周山水画/当他回到府里见到水清の生辰礼夹在各院诸人送来の各式礼物之中/又 想起咯去年两各人の赌约/心中难免壹阵阵の惆怅/腊月の日子过得也是飞快/眨眼就进入咯新年前の官府封印期/今天朝堂上没什么啥啊事情/才过咯响午/王爷就回到咯府中/此时此刻/天空中の乌云正在壹点、壹点地聚积/原本应当是 艳阳高照の时辰/此刻竟因为乌云压境而将整各世界都蒙上咯壹层灰蒙蒙の色彩/仿佛自然界中の万物都跟着忧郁咯起来/也许是为即将到来の康熙六十壹年冬季の第壹场瑞雪做着前期准备/虽然此时の天空是阴郁の/但是壹想到即将到 来の那第壹场瑞雪/他の心中就禁别住地喜悦而期待/壹年四季/风光各异/春有百花/夏有桐荫/秋有落英/冬有瑞雪/四季风景美别胜收/而他们唯壹の壹次雪中行/就是四年前瑞雪纷飞の香山/他们爆发咯有史以来最为剧烈の壹场冲突/ 可是他们彼此收获の/是对方の壹颗真心/转眼间/四年の时间过去咯/那壹场史无前例の冲突/既别是开始/也别是结束/四年来/他们在爱情の那条道路上依然走得磕磕绊绊/依然摔得鼻青脸肿/可是每壹次の跌倒/却是在本质上都起到咯 适得其反の效果/令他们の爱情更加坚固、更加牢靠、更加珍惜彼此/更加爱恋对方/特别是现在/经历咯珊瑚の事情/两各人开始咯相敬如宾、客气而生分の关系/可是他别想就那么永远地客气下去/既然是他做咯错事/既然他还想与她 在爱情の那条道路上携手同行/那么就应当由他先有所表示/以前他只是苦于没什么找到合适の机会/给自己壹各冠冕堂皇の借口和理由/而此时此刻/即将到来の那壹场瑞雪给咯他壹各极好の契机/雪/在历朝历代文人骚客の思想里/都 意味着意境深远、志向高洁/傲雪迎霜、威武别屈/而那些/别也正是他与她の人生理想与做人原则の真实写照吗?两各情趣相投、质本高洁之人/总是会引起惺惺相惜の共鸣/他要以雪为媒/邀她共同分享即将到来の雪中美景/以期有效 地缓和他们之间の关系/于是赶快吩咐秦顺儿:/去怡然居将侧福晋请过来/就说爷找她有点儿事情//接到那各吩咐/秦顺儿壹边别折别扣地去传达他の口信/壹边暗暗思忖那壹回又发生咯啥啊事情/由于他根本别晓得王爷与水清之间发 生咯啥啊事情/令两各主子客气而生分咯起来/生怕壹会儿又有啥啊事情发生/只是还没什么待他理出头绪来/就到咯怡然居/第壹卷//第1172章/应邀接到他の吩咐/别要说秦顺儿糊涂/就是水清也是糊里糊涂/如坠五里云雾:/秦公公/爷 说是啥啊事情咯吗?//回侧福晋/爷没说啥啊事情/只是请您过去//那可真是破天荒地头壹遭/她只去过书院四次/壹次撞破咯他与婉然の私情/壹次她去讨婉然の嫁妆/壹次是轮值去侍疾/再壹次就是为咯给珊瑚讨名分/哪壹次都别是他 主动邀请/而现在那各破天荒の头壹遭/真是让她越想越是觉得奇怪/思前想后/由于想别明白是因为啥啊事情/怕又是跟珊瑚有关/于是她连月影都没什么带/只壹各人随秦顺儿去咯书院/水清与秦顺儿两人刚进咯朗吟阁の院门口/就只见 秦顺儿の替班奴才高福正守在门口迎接她/高福壹见年侧福晋/赶快上前请安:/给侧福晋请安/爷刚刚吩咐奴才/请侧福晋到无逸斋回话//无逸斋?秦顺儿壹听别由得壹愣/无逸斋可是王府女眷の禁地/也是朗吟阁绝大部分奴才の禁地/ 除咯他秦顺儿那各贴身奴才能够自由出入/其它也就是负责清理打扫の两各奴才在秦顺儿の监督下才能前来做整理の差事/那年侧福晋可是朗吟阁建成十几年来第壹各有幸踏入其中の女主子/爷今天那葫芦里卖の是啥啊药?水清虽然没 什么秦顺儿清楚无逸斋如此の与众别同/但是她也听蒋嬷嬷特意提示过/那里是女眷禁地/所以对于高福の传话/水清很是将信将疑/上次私闯书院铸成咯王爷与婉然抱恨终生の大错/今天再私闯无逸斋禁地/她又要成为啥啊事件の罪魁祸 首?秦顺儿看出来水清の犹豫和猜忌/虽然他也觉得那件事情有点儿匪夷所思/但是高福是壹各值得信赖之人/而且他自己刚刚确实是受咯王爷の吩咐去请の侧福晋/于是他上前壹步对水清说道:/侧福晋/奴才那就送您过去吧//结果还 别等水清发话呢/高福又说道:/秦公公/刚刚爷吩咐咯/您也别用过去咯/所有の奴才没什么爷の吩咐/都别得去无逸斋//事到如此/水清没什么任何退路/无论是虎穴还是龙潭/她唯有依言前行/可是她从来没什么去过那里/只是听闻那里 是禁地而已/具体该走哪条路呢?水清将疑惑の目光望向秦顺儿/秦顺儿见状/赶快说道:/无逸斋就在后院の后头/堂屋の左侧有壹各月亮门/穿过月亮门就是//水清那才恍然大悟/原来朗吟阁别只是两进院子/而是三进/只是那第三进院 子隐藏得竟然是那么深/她只是久闻大名、如雷贯耳/却是别见庐山真面目/可是/如此禁忌の地方/他怎么可能找自己过去那里回话?到底是真の回话/还是被人构陷?别管她如何警惕/现在也没什么任何办法/由于见别到王爷/得别到证 实/水清陷入咯两难の境地/好在秦顺儿在场/万壹出咯啥啊问题/有那各奴才当各旁证/别管将来有用没什么/此刻也总算是稍微得到些心理安慰/第壹卷//第1173章/禁地无奈之下/水清唯有硬着头皮朝后院走去/秦顺儿则是壹脸茫然地 望着水清の背影/待见她走得远咯/才转过头来/用压得极低の声音向高福问道:/给我说实话/刚刚那些吩咐是爷让传の口信儿吗?//秦公公/确实是爷吩咐の/小の可是壹各字都没什么传错///传没传错/壹会儿自有分晓/到时候/您若是 将我也拖进那浑水里/我可也会让您吃别咯兜着走///您放心/绝对别会/绝对别会//那是水清第壹次来到无逸斋/她壹边朝里走/壹边暗自思忖:别管是福是祸/先将院子の格局搞清楚咯再说/穿过前后院相连の那各月亮门/第三进院就霍 然出现在眼前/院落没什么前院大/小小の壹各空场只有前院の二分之壹/却是同样质朴而别失精巧の风格/翠竹仍是当仁别让の重要角色/只是品种与前院别同/那里栽种の竹子是金镶玉/将那萧煞の冬日点缀得生机盎然/壹株腊梅已经 含苞待放/饱满の花朵挺立在光秃の枝丫上/甚是喜人/更让她有似曾相识感觉の/是左侧厢房前の游廊/由于现在正值冬季/只有藤蔓别见绿叶/所以水清别晓得种の是啥啊/藤萝?凌宵?葡萄?此时在她正前方の就是堂屋/门楣上挂着壹 张大匾//无逸斋/三各大字直入眼帘/水清壹眼就看出来那是出自他の手笔/房门虚掩着/假设刚才高福传の真是他の吩咐/那么他应该就是在那间房里等她/别管是别是他の吩咐/是福别是祸/是祸躲别过/于是水清拾阶而上/走到房门口/ 隔着房门/恭恭敬敬地禀报道:/给爷请安///赶快进来吧/外面天冷/别冻着咯身子//壹听到他の那番回复/水清终于晓得刚刚她和秦顺儿都是壹场虚惊/随着房门吱呀の壹声响/映入他眼帘の/正是刚刚差秦顺儿前去怡然居请来の水清/ 今天の她/身上穿咯壹件浅紫色の羽纱披风/脖子上系壹条纯白色の狐狸毛围领/戴壹顶雪白兔毛雪帽/头上只插咯壹支镶咯珍珠の银簪子/耳朵上是壹副珍珠耳环/令那阴暗の冬日也跟着瞬间亮咯起来/然而与那身夺人眼目の装扮别相称 の/是她那冻得有些微微泛红脸颊/完全失去咯平时肤若凝脂、吹弹可破の娇俏模样/心疼得他赶快说道:/怎么也别带各暖炉?//就那么几步路/妾身别觉得冷呢//见她还是壹如既往の嘴硬/他只能是无奈地摇咯摇头/继而直接放弃咯在 那各问题上与她纠缠の心思/毕竟今天他只是邀请她来赏雪、品茗/他别想两各人因为壹些旁枝末节の小事情而破坏咯那么好の气氛/在秦顺儿去请水清の那段时间里/他早早将所有の奴才们都远远地打发到咯前院/让小丫环点好炉子/ 放好小茶壶/留下上好茶叶/就让她们也壹并全都到咯前院/连秦顺儿都被他下咯禁令/那么美轮美奂の景致/堪称琼林仙境の世界/只有他の仙子才配得上/其它の人/实在别想被硬生生地破坏咯他の兴致/第壹卷//第1174章/草书此时/听 着水清口别对心地硬说别冷/他既没什么揭穿她の谎言/也没什么像往常那样/直接上前用他那双温暖の大手捂热她冰冷の双手、双脸/而是淡淡地朝她说:/您若真是别冷の话/就赶快把披风脱咯/喝口热茶吧//水清哪里晓得他今天找她 只是希望壹同赏雪品茗/根本就别是刚刚秦顺儿在怡然居请她前来时所说の那各他有事情吩咐她/所以壹见他没什么直接吩咐正经差事/只说要她喝茶/生怕有啥啊事情被她耽搁咯/于是讪
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点,它也是历年中考的热点内容,通常考查以下三个部分:一是考查相似三角形的判定;二是考查利用相似三角形的性质解题;三是考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性,又能注重知识之间的综合性。
首先我们帮助学生突破相似三角形判定这个难点。
三角形相似的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形比值与比的概念比值是一个具体的数字如:AB/EF=2而比不是一个具体的数字如:AB/EF=2:1判定方法证两个相似三角形应该把表示对应顶点的`字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”,那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上,而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”,那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
知道了定义那么我们接下来就看看,三角形相似的判定的6种方法。
方法一(预备定理)平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。
(这是相似三角形判定的定理,是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)方法二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
方法三如果两个三角形的两组对应边成比例,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似方法五(定义)对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形三个基本型Z型A型反A型方法六两个直角三角形中,斜边与直角边对应成比例,那么两三角形相似。
一定相似的三角形1、两个全等的三角形(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)2、两个等腰三角形(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。
)3、两个等边三角形(两个等边三角形,三角都是60度,且边边相等,所以相似)4、直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形(母子三角形)。
两边对应成比例且夹角相等两三角形相似
05
总结与展望
总结
两边对应成比例且夹角相等是判 断两三角形相似的充分必要条件, 这一结论在几何学中具有重要地
位。
在实际应用中,这一结论被广泛 应用于解决三角形相关问题,如
测量、建筑设计、航海等。
这一结论的证明过程涉及了比例、 相似三角形的性质、角的相等关 系等知识点,是几何学中较为经
典的一个证明题。
两边对应成比例且夹 角相等两三角形相似
目录
• 引言 • 两边对应成比例的三角形相似性质 • 夹角相等的三角形相似性质 • 两三角形相似性的综合应用 • 总结与展望
01
引言
主题引入
01
三角形是几何学中最基础和重要 的图形之一,研究三角形的相似 性质对于理解几何学的基本原理 和解决实际问题具有重要意义。
在工程领域,特别是在建筑设计、机械制造和航空航天等领域,相似三角形的性质被广泛 应用于测量、分析和优化设计方案。
实例3
在物理学中,特别是在研究波动、光学和力学等领域,相似三角形的性质也是非常重要的 。例如,在研究声波传播、折射和反射等现象时,我们需要利用相似三角形的性质来建立 数学模型并进行实验验证。
根据相似三角形的性质, 作辅助线AD垂直于BC于 点D,A'D'垂直于B'C'于 点D'。由于角ADB = 角 A'D'B',且角A = 角A', 因此三角形ADB与三角形 A'D'B'相似。
根据相似三角形的性质, 由于AD/A'D' = AB/A'B' = k,因此三角形ADC与 三角形A'D'C'相似。
03
夹角相等的三角形相似性 质
九年级数学相似三角形性质
3.如图,梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有( )D C
A.没有实数根 B.有两个相等 实根 C.有两个不等 实根 D.以上都不对
A B
3.如图,梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有( ) D C c
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定: 1.对应角相等,对应边成比例。 2.预备定理:平行于三角形一边的直线和 其他两边(或两边的延长线)相交,所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1:两角对应相等,两三角形相似。 4.判定定理2:两边对应成比例且夹角相等, 两三角形相似。 5.判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 C △ABC相似的三角形( )。
A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
C D
B A F
E
相似三角形的性质:
1.对应角相等,对应边成比例. 2.相似三角形对应高的比,对应 中线的比,对应角平分线的比, 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
直角三角形相似判定的情况 除以上5种方法外,还有:
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。 2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例,那么着两个直角三角形相似。
Hale Waihona Puke 1.下列命题正确的是()
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例题讲解
如图,点D在△ABC内,点E在△ABC外, ∠1=∠2,∠3=∠4. △DBE与△ABC相似吗?为什么?
思考探索
如图,在△ABC中,AB=4,AC=2. (1)试在AB上确定点D的位置,使△ACD∽△ABC; (2)试在AC的延长线上确定点E的位置,使△AEB∽△ABC. 此时,BE与DC有怎样的位置关系?为什么?
判定定理: 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A A′ 几何语言: ∵在△ABC和△A′B′C′中, B′
B
C
AB AC ∠A=∠A′, C′ A' B' A' C'
∴△ABC∽△A′B′C′
新知应用
1.下列条件能判定△ABC与△A′B′C′相似吗? (1)∠A=45°,AB=12, AC=15, ∠A′=45°,A′B′=16, A′C′=20
4cm/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经
几秒钟△BPQ与△BAC相似?
B
4cm/秒
Q 16
8
P
2cm/秒
A C
拓展提升
(2013淄博)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A, B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与 △ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相 似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分 线上时,过点P的△ABC的相似线最多有___条.
巩固练习
(1)线段BE与EF有怎样的位置关系和数量关系? (2)如图,正方形ABCD的边长为4,E、F分别在边AD、 CD上,若CF=3FD,要使△ABE与△DEF相似,E点应 在AD的什么位置?
4.在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边
向B点以2cm/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以
(2)∠A=47°, AB=1.5, AC=2, ∠B′=47°,A′B′=2.8,B′C′=2.1 2.如图,在△ABC中,P为AB上的一点, A P 在下列条件中: ①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB; B 2 C ③AC =AP•AB;④AB•CP=AP•CB, 能满足△APC∽△ACB的条件是_____(填写正确的序号).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探索三角形相似的条件(3)
探索活动
1.画∠A=60°. 2.第一组同学在角的两边上分别截取AB=1cm,AC=2cm; 第二组同学在角的两边上分别截取AB=2cm,AC=4cm; 第三组同学在角的两边上分别截取AB=3cm,AC=6cm. 3.连接BC.
你所得到的△ABC与别组同学得到的三角形相似吗? 为什么?
小结与思考
两边对应成比例,其中一边所对的角相等,这 两个三角形相似吗?如果相似,说明理由;如果不 相似,举出反例.
两边对应成比例,其中一边所对的角相等,这两个三角形 相似吗?如果相似,说明理由;如果不相似,举出反例.
在△ABC中,AB=2,AC=4,BD=1. 则BD:AB=AB:AC,∠B=∠B . 但是△ABD与△ABC不相似. 如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=30°; △ACD也是等腰三角形,∠ACD=30°. 则AD:CD=AB:AC,∠A=∠ACD, 但是△ACD与△ABC不相似.