高三数学上学期摸底考试试题 文
四川省2025届高三上学期入学摸底考试 数学试题[含答案]
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四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．的虚部为（ ）96i2i i -+A ．B ．C ．D ．7-6-7i-6i-2．已知等差数列满足，则（）{}n a 399,3a a ==12a =A ．B ．1C ．0D ．2-1-3，则（ ）()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭tan α=A B C ．D ．4．函数的极值点个数为（ ）()240e 10xx x x f x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，，，A ．0B ．1C ．2D ．35．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分X 布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（ ）()295,N σ()95110P X ≤≤=A ．B ．C ．D ．53251611323166．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空U 真子集且，那么称子集族构成集合()*12,,,N ,k A A A k ∈ 12kA A AU = {}12,,,k A A A的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（U k 2{N |650}I x x x =∈-+<I ）A ．3B ．4C ．14D ．167．已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到4π,25π35π上底面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．2782743783748．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的O 2:2(0)C x py p =>F l F 直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则1l C ,M N M C 2l ,x y ,P Q （ ）PQ ON ⋅=A ．B ．C ．D ．1212-1414-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知函数，则（ ）()()π3sin ,3cos232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x 4πB ．与有相同的最小值()f x ()g x C ．直线为图象的一条对称轴πx =()f x D ．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像()f x π3()g x 10．已知函数为的导函数，则（ ）()()313f x x x f x =-'，()f x A ．()00f '=B ．在上单调递增()f x ()1,∞+C ．的极小值为()f x 23D ．方程有3个不等的实根()12f x =11．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在1111ABCD A B C D -1,CC BC ,E F G 下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ）1111D C B A H 1AD 1GE AA =A ．三棱锥的体积为定值H DEF -B ．动点GC ．不存在点，使得平面G EG ⊥DEFD ．四面体DEFG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知向量，若，则.(7,12),(6,)a b x =-= a b ⊥ x =13．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为.3,5,7,,9x 14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点O 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>12,F F 在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐M 2F 2OF 1MF 2F 1MF C 近线交于点，且，则的离心率为.N 1F M MN =C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知中，角所对的边分别为.ABC A B C ，，a b c ，，2sin cos sin B A b A =(1)求的值；A (2)若的面积为，周长为6，求的值.ABC 3a 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD M N ，，棱的中点SB SC ，(1)证明：平面;//MN SAD (2)若，求直线与平面所成角的正弦值SA AD =SD ADNM17．已知椭圆，点在上.2222:1(0)x y C a b a b +=>>F (C (1)求的方程；C (2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，O A ():0l y kx m k =+≠l C FA l ⊥求的值.OA18．已知函数.()ln f x x x a=-+(1)若，求曲线在处的切线方程；0a =y =f (x )x =1(2)若时，求的取值范围；x >0()0f x <a (3)若，证明：当时，.01a <≤1x ≥()()1e 1x a f x x x -+≤-+19．已知首项为1的数列满足.{}n a 221144n n n n a a a a ++=++(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数20a >{}()14na n ≤≤40a <{}n a 为，求的分布列及数学期望；X X EX (2)若数列满足：若存在，则存在且，使得{}n a 5m a ≤-{}(1,2,,12k m m ∈-≥ )*m ∈N .4k m a a -=（i ）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；20a >{}n a {}n a n n S （ii ）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.{}n a 20250s a +=s1．A【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．67i --【详解】，则所求虚部为.2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i --+=+=--+=--7-故选：A ．2．C【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由可得：，399,3a a ==93391936a a d --===--所以，1293330a a d =+=-=故选：C 3．D【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用进行()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭sin tan cos ααα=求解即可.，()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，cos 0αα+=因此可得，sin tan cos ααα==故选：D.4．B【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得.【详解】当时，，0x ≥22()4(2)4f x x x x =-=--此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；[0,2][2,)+∞当时，，因恒成立，故函数在上单调递减，0x <()e 1xf x =-+()e <0x f x '=-()f x (,0)-∞结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点.[0,2]综上，函数的极值点只有1个.()f x故选：B.5．B【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，3(80)16P X <=求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得，15003(80)800016P X <==故；()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-=解法二：数学成绩在80分至95分的有人，400015002500-=由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故.()2500595110800016P X ≤≤==故选：B.6．B【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划I I 分的个数.【详解】依题意，，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N ∣的2划分为，共3个，I {}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}的3划分为，共1个，I {}{}{}{}2,3,4故集合的所有划分的个数为4.I 故选：B.7．C【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，12,r r 则，则，2212π4π,π25πr r ==122,5r r ==设圆台的母线长为，l 则，解得，()12π35πr r l +=5l =则圆台的高，4h ==记外接球球心到上底面的距离为，x 则，解得.()2222245x x +=-+378=x 故选：C.8．C【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得.,P Q PQ ON ⋅ 【详解】依题意，抛物线，即，则，设2:2C x y =212y x=1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线，联立得，则.11:2l y kx =+22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2210x kx --=121x x =-而直线，即，()21211:2x l y x x x -=-2112x y x x =-令，则，即，令，则，故，0y =12x x =1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x =212x y =-210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，故.211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2212121244x x x x PQ ON ⋅=--= 故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.9．ABD【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得与的最小值；对于C ：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根()f x ()g x ()πf 据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为，()()π3sin ,3cos232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭对于选项A ：的最小正周期，故A 正确；()f x 2π4π12T ==对于选项B ：与的最小值均为，故B 正确；()f x ()g x 3-对于选项C ：因为，()5π3π3sin362f ==≠±可知直线不为图象的对称轴，故C 错误；πx =()f x 对于选项D ：将的图象向左平移个单位长度后，()f x π3得到，故D 正确.()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：ABD.10．BD【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.【详解】因为，所以，，A 说法错误；()313f x x x =-()21f x x '=-()01f '=-令解得或，令解得，()0f x '>1x <-1x >()0f x '<11x -<<所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，B 说法正确；()f x (),1∞--()1,1-()1,+∞的极大值点为，极大值，极小值点为，极小值()f x 1x =-()21132f -=>1x =，C 说法错误；()2103f =-<因为当时，，当时，，x →-∞()0f x <x →+∞()0f x >所以方程有3个不等的实根，分别在，和中，D 说法正确；()12f x =(),1∞--()1,1-()1,+∞故选：BD 11．ACD【分析】对于A ，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到1AD ∥DEF H DEF A平面的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及的长，DEF 1C G 由此可知点的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设G DEF 点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的G EG EG ⊥DEF DEF EG 方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利G G 用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可.G DEF 【详解】对于A ，如图，连接、，1BC 1AD依题意，，而平面平面，故平面，EF ∥1BC ∥1AD 1AD ⊄,DEF EF ⊂DEF 1AD ∥DEF 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，H DEF A DEF 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；H DEF H DEF -A 对于B ，因为正方体的体积为8，故，则，而，1111ABCD A B C D -12AA =2GE =11EC =故1C G ==故动点的轨迹为以内的部分，即四分之一圆弧，G 1C 1111D C B A故所求轨迹长度为，故B 错误；12π4⨯=以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标1C 11111,,C D C B C C ,,x y z 系，则，故，()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=设为平面的法向量，则故n =(x,y,z )DEF 0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令，故为平面的一个法向量，2z =()1,2,2n =--DEF 设，故，()()0000,,00,0G x y x y ≥≥()00,,1EG x y =-若平面，则，EG ⊥DEF //n EG 则，解得，但，001122x y -==--001,12x y ==22003x y +≠所以不存在点点，使得平面，故C 正确；G EG ⊥DEF 对于D ，因为为等腰三角形，故，DEF 113222DEFS EF =⋅== 而点到平面的距离，G DEF 0000222233EG n x y xy d n ⋅++++=== 令，则，0x θ=0π,0,2yθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则，d==1tan 2ϕ=则四面体体积的最大值为D 正确.DEFG 1332⨯故选：ACD.12．72【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得.【详解】由可得，解得，.a b ⊥ 42120a b x ⋅=-= 72x =故答案为：.7213．5.5【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.6x =【详解】依题意，，解得，357965x ++++=6x =将数据从小到大排列可得：，3,5,6,7,9又，则分位数为.50.42⨯=40%565.52+=故答案为：.5.514【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代21F M NF ⊥1F M 1230MF F ∠=N 入，即可得出答案.by xa =【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，M 2F M 212,F M NF F M c ⊥=故，，1F M =1230MF F ∠=设，因为，所以为的中点，()00,N x y 1F M MN =M 1NF，故.，112NF F M ==0y =0sin30,cos302x c c ==⋅-=将代入中，故()2N c by x a =b a =c e a ===.15．(1)π3(2)2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出的值；A （2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出的值.a【详解】（1，2sin cos sin sin A B A B A =因为，则sin 0,sin 0A B ≠≠sin A A =tan A =因为，故.()0,πA ∈π3A =（2）由题意.1sin 2ABC S bc A === 4bc =由余弦定理得，222222cos ()3(6)12a b c bc A b c bc a =+-=+-=--解得.2a =16．(1)证明见解析；(2).12【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；//MN BC （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量,,AB AD AS SD 与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可.ADNM 【详解】（1）分别为的中点M N 、,SB SC 为正方形//MN BC ABCD ∴ 平面平面//BC AD ∴//MN AD MN ∴ ⊄,SAD AD ⊂SAD平面.//MN ∴SAD （2）由题知平面SA ⊥,ABCD AB AD ⊥建立如图所示的空间直角坚标系，，则2SA AD ==设,()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0S A D B C ,,,()()1,0,1,1,1,1M N ∴()0,2,2SD ∴=- ()0,2,0AD =()1,0,1AM = 设平面的一个法向量为ADNM n =(x,y,z )则,令则,200n AD y n AM x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1,x =0,1y z ==-()1,0,1n ∴=-设直线与平面所或的角为,SD ADNM θ，1sin cos ,2n SD n SD n SDθ⋅∴====⋅所以直线与平面所成角的正弦值为.SD ADNM 1217．(1)2212x y +=【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；,,a b c （2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，Δ0=2221m k =+FA l ⊥写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.FA l A 2||OA 【详解】（1）设，依题意，F (c,0)22222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故的方程为.C 2212x y +=（2）如图，依题意，联立消去，可得，F (1,0)22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214220k x kmx m +++-=依题意，需使，整理得（*）.()()2222Δ16421220k m k m =-+-=2221m k =+因为，则直线的斜率为，则其方程为，FA l ⊥FA 1k -()11y x k =--联立解得即1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故，()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++将（*）代入得，故22221222,11m k k k ++==++OA =18．(1)10y +=(2)(),1-∞(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解；（3）转化为证明，构造关于的函数，利用导数求最小值，再由()1e ln 10x a x x a ---+-≥a 导数求关于的函数的最小值，由不等式的传递性可得证.x【详解】（1）当时，，0a =()ln f x x x=-则，所以，1()1f x x '=-(1)0k f '==又，所以切线方程为.(1)1f =-10y +=（2），()111x f x x x -=-='当时，，单调递增；01x <<()0f x '>()f x 当时，，单调递减，1x >()0f x '<()f x 所以，又，()(1)1f x f a ≤=-+()0f x <所以，即，10a -+<1a <所以的取值范围为.a (),1∞-（3）由可得，()()1e 1x a f x x x -+≤-+()1e ln 10x a x x a ---+-≥即证当，时，，01a <≤1x ≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥令，()()1e ln 1x a g a x x a-=--+-则，()()()()1e 111e 1x a x a g a x x --=-⋅--=--'由可知，，故在上单调递减，1x ≥()0g a '<()g a (]0,1所以，()()1(1)1e ln x g a g x x-≥=--令，则，()1()1eln x h x x x-=--()11111()e 1e e x x x h x x x x x ---=+--=-'当时，，，所以，1x ≥1e 1x x -≥11x ≤()0h x '≥故在上单调递增，所以，ℎ(x )[)1,+∞()(1)0h x h ≥=所以，即，()(1)()0g a g h x ≥=≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥所以成立.()()1e 1x a f x x x -+≤-+【点睛】关键点点睛：本题第三问中，要证明不等式成立，适当转化为证明成立，首先关键在于构造视为关于的函数()1e ln 10x a x x a ---+-≥a ，由此利用导数求出，其次关键()()1e ln 1x a g a x x a-=--+-()()1(1)1e ln x g a g x x-≥=--在于构造关于的函数，利用导数求其最小值.x ()1()1eln x h x x x-=--19．(1)分布列见解析，1(2)（i ）证明见解析，（ii ）152022n S n n=-【分析】（1）根据递推关系化简可得，或写出数列的前四项，利用14n n a a +=+1,n n a a +=-古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列中存在最小的整数，使得，根据所给条件{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-可推出存在，使得，矛盾，即可证明；{}1,2,,1k i ∈- 41ki a a =+≤-（ii ）由题意可确定必为数列中的项，构成新数列1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a ，确定其通项公式及，探求与的关系得解.{}n b 5072025b =-s a n b 【详解】（1）依题意，，故，221144n n n n a a a a ++=++22114444a n n n a a a a ++-+=++即，故，或()()22122n n a a +-=+14n n a a +=+1,n n a a +=-因为，故；121,0a a =>25a =则，:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----故的可能取值为，X 0,1,2故，()()()21122222222444C C C C 1210,1,2C 6C 3C 6P X P X P X =========故的分布列为X X012P162316故.1210121636EX =⨯+⨯+⨯=（2）（i ）证明：由（1）可知，当时，或；2n ≥1n n a a -=-124,5nn a a a -=+=假设此时数列中存在最小的整数，使得，{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-则单调递增，即均为正数，且，所以；121,,,i a a a - 125i a a -≥=15i i a a -=-≤-则存在，使得，此时与均为正数矛盾，{}1,2,,1k i ∈- 41ki a a =+≤-121,,,i a a a - 所以不存在整数，使得，故.()3i i ≥1i i a a -=-14nn a a -=+所以数列是首项为1､公差为4的等差数列，{}n a 则.()21422n n n S n n n-=+⋅=-（ii ）解：由，可得，20250s a +=2025s a =-由题设条件可得必为数列中的项；1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a 记该数列为，有；{}n b ()431507n b n n =-+≤≤不妨令，则或，n jb a =143j j a a n +=-=-1447j j a a n +=+=-+均不为141;n b n +=--此时或或或，均不为.243j a n +=-+41n +47n -411n -+141s b n +=--上述情况中，当时，，1243,41j j a n a n ++=-=+32141j j n a a n b +++=-=--=结合，则有.11a =31n n a b -=由可知，使得成立的的最小值为.5072025b =-20250s a +=s 350711520⨯-=【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。
2024-2025学年广东省珠海市高三(上)第一次摸底数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1<x<2}，则∁U A=( )A. (−∞,1]∪[2,+∞)B. (0,1]∪[2,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)2.复数z=10−3+i(i为虚数单位)，z的共轭复数为( )A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i3.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=( )A. 54B. 1 C. 78D. 584.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为( )A. 6B. 112C. 92D. 6−1025.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为( )A. 1：3：2B. 1：3：4C. 3：2：23D. 3：2：66.已知函数f(x)={2 x− a,x≤0log12(|x|+1)−a,x>0，(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是( )A. (1,+∞)∪{0}B. (0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,1]7.函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是( )A. ω=1B. 函数f(x)图象关于点(π3,3)对称C. 函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12D. 若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3+18.若不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,1]D. (−∞,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。
广西七市联考2025届高三上学期10月摸底测试 数学含答案
2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
小本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2}A x x =>∣，{23)B y y =<<∣，则A.=∅ A B B.= A B AC.= A B BD.= A B A2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为A.9B.5C.-8D.103.若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =A.23-B.23 C.32-D.324.在四棱锥P ABCD -中，“∥BC AD ”是“∥BC 平面PAD ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.433cos sin cos sin 551010i i ππππ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎝⎭⎝⎭A.1B.iC.-1D.-i6.已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 右支上一点，O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，T 为线段1QF 上一点，且QT OQ =，则1FT =A.3C.4D.57.定义在R 上的坷函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x - 的解集为A.)13⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞B.(11,,0,33⎡⎫⎡--⎪⎢⎢⎣⎭⎣ ∞C.{})103⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞D.(11,,0,33⎡⎤⎡--⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ∞S.若数列{}n a 、{}n b 满足121a a ==，11+=-+n n b a n ，13+=-+n n b a n ，则数列{+n n a b 的前50项和为A.2500B.2525C.2550D.3000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米）。
河北省唐山市第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底演练考试数学试题
河北省唐山市第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底演练考试数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}21x B y y ==+，则A B =I （ ）A ．(]1,2B ．(]0,1C ．[]1,2D ．[]0,22．已知i 为虚数单位，若2i1iz =+，则z z ⋅=（ ） A ．−2B ．2C ．2i -D ．2i3．已知非零向量,a b r r 满足a b a b +=-r r r r ，则a b -r r 在b r方向上的投影向量为（ ）A ．a -rB ．b -rC ．a rD ．b r4．若sin()2cos )4αααπ++，则sin 2α=（ ） A ．35-B ．45C ．45-D ．355．已知数列{}n a 满足1,,22,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若已知164a =，那么20S 的值为（ ） A ．322B ．295C ．293D ．2706．如图，圆台的上、下底面半径分别为1r ，2r ，且12212r r +=，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．72πD ．100π7．已知过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，点A ，B 在C 的准线上的射影分别为点1A ，1B ，线段AB 的垂直平分线l 的倾斜角为120o ，若114A B =，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．48．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f xy f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．数据1,1,2,4,5,6,8,9-的第25百分位数是1B ．若事件M N ､的概率满足()()()()0,1,0,1P M P N ∈∈且()()1P NM P N +=∣，则M N ､相互独立C ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，若()215D X +=，则5n =D ．若随机变量()23,,(2)0.62X N P X σ~>=，则(34)0.12P X <<=10．已知函数32()f x x mx =-，2x =是函数()f x 的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．3m =B ．函数()f x 在区间(1,2)-上单调递减C ．过点(1,2)-能作两条不同直线与()y f x =相切D ．函数[()]2y f f x =+有5个零点 11．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是AB 的中点，点,PF 为空间内两点，且[][]()1,,0,1,0,1BP BC BB BF tBC t λμλμ=+∈=∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．若1D F ⊥平面11AC D ，则点F 与点B 重合B ．设1D P P 的轨迹长度为π2C ．平面11CDE 与平面11A D ED ．若12t =，则平面1D EF三、填空题12．已知曲线()ln 1f x x x =-在1x =处的切线l 与圆22:(1)9C x y -+=相交于A 、B 两点，则||AB =．13．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则第4次传球后球在甲手中的概率为.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过1F 与双曲线C 的左支和右支分别交于,A B 两点，12BF BF ⊥．若x 轴上存在点Q 满足23BQ AF =u u u r u u u u r，则双曲线C的离心率为．四、解答题15．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B Cb a B +=． (1)求角A 的大小；(2)M 为△ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =△ABC 的面积．16．如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB ⊥平面11B BCC ，3AB =，11112BB B C CC ===，4BC =．(1)求证：11AA B C ⊥；(2)求平面11B BCC 与平面11A ACC 夹角的余弦值． 17．已知函数(),()x f x ax e a R =+∈． (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若[0,)x ∈+∞，()ln1ef x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．已知有穷数列{}n a 的各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”.例如，数列1a ､2a ､3a 满足132a a a >>，则其“序数列”{}n p 为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.(1)若数列32x -､56x +､2x 的“序数列”为2､3､1，求实数x 的取值范围； (2)若项数均为2021的数列{}n x ､{}n y 互为“保序数列”，其通项公式分别为1223nn x n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2n y n tn =-+（t 为常数），求实数t 的取值范围； (3)设1n n a q p -=+，其中p ､q 是实常数，且1q >-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若当正整数3k ≥时，数列{}n a 的前k 项与数列{}n S 的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p ､q 满足的条件.。
2024-2025学年广西桂林市高三上学期11月摸底考试数学检测试题
2024-2025学年广西桂林市高三上学期11月摸底考试数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）{}2|20,{|1}A x x xB y y =--≤==A B = A. [1,2]B. C. D. [1,)-+∞[1,1]-[1,)+∞2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）z (1i)1i +=-z z A. B. C. D. 1ii-1-3. 已知等比数列的前项和为，且公比大于，则（ ）{}n a n n S 4230,6a a a =+23S S =A. B. C. -3 D. 3134134-4. “直线与圆相切”是“”的（ ）340x y m +-=22(1)(2)4x y -++=5m =A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ）A. 1440种B. 240种C. 216种D. 120种6. 已知，则（ ）π4πsin ,,π652x x ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πtan 23x ⎛⎫-=⎪⎝⎭A .B. C. D. 37-247-247377. 已知是上的奇函数，，当时，cos ()y xf x =R (1)(3)0f x f x -++=[2,0]x ∈-，则以下说法正确的是（ ）()22x x f x x -=-+A. 的图象关于点对称B. 4是的一个周期()f x (2,0)()f x C.D. 5(2023)2f =(2.5)(2.8)f f >8. 已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双12F F 、2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F 曲线左右支于A 、B 两点，点在轴上，，则双曲线的C x 12221,3F BF F BC AF BC∠=∠= C 离心率为（ ）C. 2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求．（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）9.下列命题中，真命题有（ ）A. 若随机变量，则1~9,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭()3D X =B. 数据的第百分位数是6,3,9,7,540 5.5C. 若事件满足且，则与独立,A B ()()0,1P A P B <<()()()1AB P A P B P =-⋅⎡⎤⎣⎦A B D. 若随机变量，则()()2~2,,230.18X N P X σ≤≤=()10.32PX <=10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的()sin 1(0)f x x x ωωω=+>π是（）A. 的图象关于直线对称()f x 5π12x =B. 在上单调递增()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到()2sin 21g x x =+()f x π3D. 若函数在区间上有零点，则实数的取值范围为()()h x f x k =-ππ,122⎡⎫⎪⎢⎣⎭k [0,3)11. 如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面1111ABCD A B C D -1A A⊥，三棱锥，底面和的中心分别是和ABCD 1A BCD -ABCD 1111D C B A O 是的中点，过点的平面分别交于点F 、N 、M ，且1,O E 11O C E α11111BB B C C D 、、平面是线段MN 上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），//BD,G αP 1AC 则下列说法正确的是（）A. 侧棱的长为1AA B. 四棱柱的外接球的表面积是1111ABCD A B C D -20πC. 当时，平面截四棱柱的截面是五边形1113B F BB =αD. 当和变化时，的最小值为5G P PO PG +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知平面向量，则向量和的夹角______．,(1,2),(2,)a b a b t ⊥== b a - aθ=13. 中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后F (km)x 每秒钟通过的路程都增加3km ，在达到离地面222km 的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大约需要12秒，则的值为______.x14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数()(1)e xf x x =+(1,)M t ()y f x =的取值范围是______.t 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中ABCV 6,cos sin a b c A a C=-==（1）求角的大小；A （2）若，求线段AD 的长.BD DC =16. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面为菱形，，点是CD 的中点，60,2ADC AB PA ︒∠===E.,PE CD PE ⊥=（1）证明：平面ABCD ；PA ⊥（2）求平面PAE 与平面PBC 的夹角的正切值.17. 某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一A B 天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概A 35A A 率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，如此往复．25B B 17（1）求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率；A （2）求该同学第二天选择餐厅的概率；A （3）记该同学第天选择餐厅的概率为，求数列的通项公式.n A n P {}n P 18. 在平面直角坐标系xOy 中，动点到定点的距离与动点到定直线(,)M x y (,)M x y，记的轨迹为曲线.x =M E（1）求曲线的方程；E （2）过点作两条互相垂直的直线，其中与曲线交于A 、B 两点，与曲线(1,0)P 12,l l 1l E 2l 交于C 、D 两点，求的最大值.E PA PB PC PD ⋅+⋅19. 若函数在上存在，使得，()f x [],a b ()1212,x x a x x b <<<()1()()f b f a f x b a -'=-，则称是上的“双中值函数”，其中称为在()2()()f b f a f x b a -'=-()f x [],a b 12,x x ()f x 上的中值点.[],a b （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；()33f x x x =-[]2,2-（2）已知函数，存在，使得，且是21()ln 2f x x x x t x =--⋅0m n >>()()f m f n =()f x 上的“双中值函数”，是在上的中值点.[],n m 12,x x ()f x [],n m ①求t 的取值范围；②证明：12 2.x x t +>+。
河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷(含答案)
石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则复数z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知平面向量a ，b 满足，且，，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A BCD ．5．已知，，则（ ）A ．3B ．C ．D ．6．若数列为等差数列，为数列的前n 项和，，，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若，则（ ）{}|15A x x =∈≤<R {}2|340B x x x =∈--<R A B = (]1,1-()1,4-[)1,4[)1,5(1i)23i z +=+125212-52-()2⋅-=a a b 1=a 2=b 6π23π3π56πsin()2cos()αβαβ+=-4tan tan 3αβ+=tan tan αβ⋅=3-1313-{}n a n S {}n a 490a a +>110S <n S 5S 6S 7S 8S 22:148x y C -=1F 2F 112F A F B =AB =A ．B ．C ．D ．48．已知函数为定义在R 上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足，则下列选项正确的是（ ）A．B ．C ．D ．10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，在上单调递增B．若，且，则函数的最小正周期为C ．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则的最小值为3D ．若在上恰有4个零点，则的取值范围为11．如图，曲线C 过坐标原点O ，且C 上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．若直线与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为C ．周长的最小值为12D ．面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分()F x [)0,+∞212(log )(log )2(3)f a f a f -≤10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,8[)8,+∞0a b c >>>a c ab c b+>+lg0a cb c->-b ca b a c>--a b ++>()sin()(0)6f x x πωω=+>3ω=()f x 47,99ππ⎛⎫⎪⎝⎭12()()2f x f x -=12min2x x π-=()f x π()f x 12πω()f x []0,2πω2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭(,)P x y 1(,0)F a -2(,0)(0)F a a >3a =y kx =[)1,+∞12PF F △12PF F △9212．在等比数列中，，，则____________．13．已知函数，若与的图象相切于A 、B 两点，则直线的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为2且位于x 轴上方的点，A 到抛物线焦点的距离为．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交抛物线C 于B 、D 两点（异于O 点），连接、，若，求的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，，，，，（1）设过点G 、B 、D 的平面交直线于点M ，求线段的长；（2）若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积．{}n a 11a =23464a a a ⋅⋅=5a =231,0()44,0x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+<⎪⎩y x =()y f x =AB 2:2(0)C y px p =>52OB OD 12OBF ODF S S =△△BD ABCD A B C D ''''-13A G A D '''=AB BC ⊥1AB =BC =BD =A B ''GM AC BD ⊥B AC D ''--ABCD A B C D ''''-17．（本小题满分15分）在中，，，点D 在边上，且．（1）若，求的长；（2）若，点E 在边上，且，与交于点M ，求．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）设方程的所有根之和为T ，且，求整数n 的值；（3）若关于x 的不等式恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x 的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，ABC △AB =AC =BC BD CD =2BAD π∠=BC 3BAC π∠=AC 12AE EC =BE AD cos AMB ∠e ()x f x x=0x >()f x 21()x f x x+=(,1)T n n ∈+()ln e 1f x ax a x ≥-+-012,,,,n a a a a 2012()n n G x a a x a x a x =++++ ()G x {}n a 1210100t t t =+++ 210()(1)G x x x =+++ (1,2,3,,10)i t i = 210()(1)n n n G x x x a x +∞==+++=∑ 100a 2()1f x x x =+++ 23()xf x x x x =+++ (1)()1x f x -=()f x 1()1f x x=-101000111001001010101()((1)()()()1G x x C x C x C x x----==-=-+-++-+- 10010010010109(10)(11)(101001)10910810100!100!a C C --⨯-⨯⨯--+⨯⨯⨯==== {}n a {}n a 2m 2k m ≤，不同的“规范01数列”个数记为．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式；（3）设数列对应的生成函数为①结合与之间的关系，推导的收缩表达式；②求数列的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD6-8BAD 二、多选题：9．BCD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．1613．14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。
数学(文)丨安徽省A10联盟2022届高三上学期摸底考试数学(文)试卷及答案
2022届安徽省A10联盟高三上学期摸底考试数学文试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卡上作答。
第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。
)1.已知集合A＝{x|x≤3，x∈N*}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝A.{0，1，2，3}B.{1，2，3}C.{0，1，2}D.{2，3}2.若复数z满足zi＝3－5i，则z的虚部为A.－3B.3C.5D.－53.函数f(x)＝3xx31+的图象大致是4.已知实数x，y满足2x2yx22yy20+≥⎧⎪≤-⎨⎪+≥⎩，则z＝x＋3y的最小值为A.0B.－8C.－10D.16 55.已知下表是某品牌的研发投入x(万元)与销售额y(万元)的一组数据：由散点图可知，销售额y与研发投入x间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是y＝4x＋a，则可以预测，当x＝12时，y的值为A.104B.103C.102D.1006.若cos(2π＋α)＝2cos(α＋π)，则sin2α＝ A.－25B.25C.－45D.457.如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大街之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和。
如图是求大衍数列前n 项和的程序框图，执行该程序框图，若输入m ＝7，则输出的S ＝A.44B.68C.100D.1408.已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a9.已知圆C 与过点(－1，0)且垂直于x 轴的直线l 仅有1个公共点，且与圆C'：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则点C 的轨迹方程为A.y 2＝12xB.y 2＝6xC.22143x y +=D.210x ＋y 2＝1 10.设函数f(x)＝2sinx ·cos(x ＋6π)，有下列结论： ①f(x)的图象关于点(512π，0)中心对称； ②f(x)的图象关于直线x ＝6π对称； ③f(x)在[6π，512π]上单调递减； ④f(x)在[－6π，6π]上的最小值为－1 其中正确的个数是A.1B.2C.3D.411.在OABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若111,,tanA tanB tanC成等差数列，则 A.ac ＝b 2B.ac ＝2b 2C.a 2＋c 2＝b 2D.a 2＋c 2＝2b 2 12.已知f(x)＝alnx ，g(x)＝(a ＋2)x －x 2，若∃x 0∈[1e，e]，使得f(x 0)≤g(x 0)成立，则实数a 的取值范围是A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.[－1，0]D.(－1，0)第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉新区第一学校2024学年高三摸底联考数学试题文试题
湖北省武汉新区第一学校2024学年高三摸底联考数学试题文试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数B ．()()f x g x ⋅是奇函数C ．()()f x g x ⋅是奇函数D ．()()f x g x ⋅是奇函数2．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x xB ．20,(1)(1)∀+>-x x x xC ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x3．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92-D ．92+4．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．1310 5．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．25-C ．D ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(0d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠7．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1] 8．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+9．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -10．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．1411．函数f (x )＝21x x e -的图象大致为()A ．B ．C ．D ．12．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数13．如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且3AC AE =，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则133n m ++的最小值为______．14．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于________.15．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是_______.16．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则12x x +=_______；12sin()x x -=_______．三、解答题：共70分。
陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题
陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,3,2,1,M a N a =+=，若{}1,4M N =I ，则a =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．2±2．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz+=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．已知平面向量()()3,4,,3a b m ==r r ．若向量2a b -r r 与a b +r r 共线，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．94C ．32D ．344．已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（ ） A ．ππ0x y +-= B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=5πsin()4αα=-，则22sin 2cos αα-=（ ）A ．34B ．12C ．14-D ．12-6．已知直线l 经过点()2,0-且斜率大于0，若圆22:20C x y x +-=的圆心与直线l 上一动点l 的斜率为（ ）A B C D 7．风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在筝形ABCD 中，对角线BD 所在直线为对称轴，ABC V 是边长为2的等边三角形，ACD V 是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线AC 折叠，使得2BD =，形成四面体ABCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．17π3C ．16π3D ．4π8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左顶点，M 为双曲线C 上位于第一象限内的一点，点M 关于y 轴对称的点为N ，记,MAN MOx αβ∠=∠=，若tan tan 3αβ=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC D 1二、多选题9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A ．事件1A 与事件2A 是互斥事件 B ．事件1A 与事件3A 是对立事件C ．事件1A 与事件3A 是相互独立事件D ．事件23A A I 与事件13A A ⋂是互斥事件10．在平面直角坐标系xOy 中，一动点从点0M 开始，以πrad/s 2的角速度逆时针绕坐标原点O 做匀速圆周运动，s x 后到达点M 的位置．设1(2A ，记2()||x A M ϕ=，则（ ） A ．ππ()43cos()23x x ϕ=--B ．当203x =时，()ϕx 取得最小值 C ．点5(,4)3是曲线()y x ϕ=的一个对称中心 D ．当[0,4)x ∈时，()ϕx 的单调递增区间为410[,]3311．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且22()()()f x y f x f y xy x y +=+++，当0x >时，33()f x x >，且(3)12,(3)10f f =='，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．4(1)3f -=-C ．()f x 在R 上单调递增D ．20241π(sin )30362i f i ='=∑三、填空题12．2824(3)x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中9x 的系数为．（用数字作答）13．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,1,a b A B C ==△，则c =．14．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆2221:C x y b +=，圆2222:C x y a +=，点()1,1P ，射线OP 交圆1C ，椭圆C ，圆2C 分别于点,,R S T ，若圆1C 与圆2C 围成的图形的面积大于圆1C 的面积，则2||OR OTOS ⋅的取值范围是．四、解答题15．某农场收获的苹果按,,A B C 三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且,,A B C 三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A 级苹果的概率；(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A ，B ，C 三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A 级苹果有X 箱，求X 的分布列与数学期望．16．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且31211,42a a a ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)令22log n n b a =-，记112211n n n n n S a b a b a b a b --=++++L ，求n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，M 在棱CD 上且2,3CM MD AB ==，2,BC PM PD ==⊥平面ABCD ，在棱PB 上存在一点Q 满足//CQ 平面PAM ．(1)证明：平面PCD ⊥平面PBC ； (2)求平面PAB 与平面ACQ 夹角的余弦值．18．已知动圆的圆心在x 轴上，且该动圆经过点()()()4,0,,0,0,x y -． (1)求点(),x y 的轨迹C 的方程；(2)设过点()1,0E -的直线l 交轨迹C 于,A B 两点，若()0,4,A x G 为轨迹C 上位于点,A B 之间的一点，点G 关于x 轴的对称点为点Q ，过点B 作BM AQ ⊥，交AQ 于点M ，求A M A Q ⋅的最大值．19．定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，在开区间(,)a b 内每一点存在导数，且()()f a f b =，那么在区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()0f c '=这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．(1)设()(1)(2)(4)f x x x x x =---，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理，说明方程()0f x '=根的个数，并指出它们所在的区间；(2)如果()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间(,)a b 内每一点存在导数，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理证明：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-；(3)利用（2）中的结论，证明：当0a b <<时，2()e e e a ba b a b a b ++<+．（e 为自然对数的底数）。
高三试卷数学-江苏省淮安市2024届高三上学期9月摸底考试数学试卷及参考答案
2023-2024学年度高三年级第一次调研测试数学试题总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{3},{0,1,2,3,4,5}A x x B =>=∣，则()RA B = ð（）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{4,5}D ．{3,4,5}2．“1a =”是“函数21()log 1ax f x x +=-是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．己知长方形ABCD 的边42AB AD ==，，E 为BC 的中点，则AE BD ⋅=（）A ．14-B ．14C ．18-D ．184．谢尔宾斯基（Sierpinski ）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（）图1图2图3图4A ．7316B ．9316C ．27364D ．373645．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：cm ）之间满足函数关系：πsin cos 6y t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则这个简谐运动的振幅是（）A ．1cmB ．2cmC D ．6．函数()ln f x x ax =-与直线10x y ++=相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．eD ．2e7．球M 是圆锥SO 的内切球，若球M 的半径为1，则圆锥SO 体积的最小值为（）A ．4π3B ．42π3C ．8π3D ．4π8．己知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则181()k g k ='=∑（）A ．18-B ．20-C ．88D ．90二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西部分示范性高中2025届高三上学期摸底质检数学试题及答案
高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}2450,42M x x x N x x =−−=−∣∣ ，则M N ∪=（）A.[]4,5−B.[]1,3−C.[]4,2−D.[]1,2−2.若211i z z −=+，则z =（ ）A.11i22−− B.11i 22−+C.11i 22+ D.11i 22−3.2024年1月至5月重庆市八大类商品和服务价格增长速度依次为3.1%,2.5%,1.9%，1.0%,0.8%,0.5%,0.1%,2.6%−−，则该组数据的第75百分位数为（ ）A.1.0%B.2.2%C.1.9%D.2.5%4.甲同学每次投篮命中的概率为p ，在投篮6次的实验中，命中次数X 的均值为2.4，则X 的方差为（ ）A.1.24B.1.44C.1.2D.0.965.已知函数()2(0x f x a a =−>，且1)a ≠的图象不经过第一象限，则函数()()1log 2ag x x =+的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在M 上，Q 为2PF 的中点，且121,FQ PF FQ b ⊥=，则M 的离心率为（ ）B.13C.127.已知正四面体的高等于球O 的直径，则正四面体的体积与球O 的体积之比为（）8.在ABC 中，()sin sin sin A C C B −+=，且BC ）A.ABCB.ABCC.ABCD.ABC 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点()1,2到抛物线2:C x my =准线的距离为4，则m 的值可能为（ ）A.8B.8− C.24D.24−10.将函数()π2sin 6f x x=+图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则（）A.π3f x+为偶函数B.()g x 的最小正周期为4πC.()f x 与()g x 在π2π,33上均单调递减D.函数()()y f x g x =−在[]0,2π上有5个零点11.若函数()32f x x ax bx c =+++，则（ ）A.()f x 可能只有1个极值点B.当()f x 有极值点时，23a b>C.存在a ，使得点()()0,0f 为曲线()y f x =的对称中心D.当不等式()0f x <的解集为()(),11,2∞−∪时，()f x 的极小值为427−三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量()()2,3,1,2a b m =−=+ ，且a∥b ，则m =__________.13.已知{}3n a +是等比数列，122,1a a =−=−，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 14.甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,6的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点,,E F G 分别在11,,AB CC DD 上，且13BECF DG AB ===.（1）若2FH HG =，证明：EF ∥平面1AHD . （2）求平面1D EF 与平面ABCD 夹角的余弦值. 16.（15分）为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳35 35 70 不喜欢跳绳10 20 30 合计4555100（1）依据0.1α=的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢运动有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数()170,100X N ∼，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[]170,200内的人数（结果精确到整数）.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++.α0.1 0.05 0.01 x α2.7063.8416.635若()2,X Nµσ∼，则()()0.6827,220.9545P X P X µσµσµσµσ−+≈−+≈ ，()330.9973P X µσµσ−+≈ .17（15分） 已知函数()()2e2xf x a b x =−++，且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为22a −.（1）比较a 和b 的大小；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有最小值，且最小值为()g a ，求()g a 的最大值.18.（17分）已知平面内一动点P 到点(2,0F −P 到定直线32x =−P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程.（2）在直线y x =上有一点M ，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点.设()2:3l x my n m =−>，证明：MA MB 只与m 有关.19.（17分）若数列{}n a 满足2122n n n n n a a a a a +++++ ，且0n a >，则称数列{}n a 为“稳定数列”.（1）若数列,,2m m 为“稳定数列”，求m 的取值范围；（2）若数列{}n b 的前n 项和()218n S n n =+，判断数列{}n b 是否为“稳定数列”，并说明理由； （3）若无穷数列{}n c 为“稳定数列”，且{}n c 的前n 项和为n T ，证明：当2n 时，22n T T n ++ .高三数学考试参考答案1.A 由题意得[]1,5M −，所以[]4,5M N ∪=−.2.C 由题意得121i z−=+，则()()11i 11i 1i 1i 1i 22z +===+−−+.3.B 因为875%6×=，所以该组数据的第75百分位数为1.9%2.5%2.2%2+=.4.B 由题意得()6 2.4E X p ==，则0.4p =，所以()()61 1.44D X p p =−=.5.D 当1a >时，()2xf x a =−的图象经过第一､三､四象限，不经过第二象限，当01a <<时，()2xf x a =−的图象经过第二､三､四象限，不经过第一象限，则01a <<，得11a>，所以()()1log 2a g x x =+的图象经过第一､二､三象限，不经过第四象限. 6.C 由题意得1122PF F F c ==，则()22111222QF PF a PF a c ==−=−.在12QF F 中，由2221212F Q QF F F +=，得222()4b a c c +−=，则2222224a c a ac c c −+−+=，得()()22220a ac c a c a c −−=−+=，解得2a c =，所以M 的离心率为12c a =. 7.A 设正四面体的边长为a ，球O 的半径为R，易得正四面体的高h a，则R =.正四面体的体积23111sin6032V a =× ，球O的体积333244ππ33V R a ==×，所以12V V =8.D 设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .由题意得()sin sin sin(A C CA −+=+C ），得sin cos sin cos sin sin cos sin cos A C C A C A C C A −+=+，得2sin cos sin C A C =.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =，即π3A =.由22211sin 222cos ,ABC S bc A a a b c bc A == =+− 得222,,a bc a b c bc = =+− ，则22222b c b c bc bc bc =+−− ，得1bc （当且仅当1b c ==时，等号成立），所以ABC S =，则ABC S9.AD 由题意得C 的准线方程为4my =−，则244m −−=，解得8m =或24−.10ACD ππ2sin 2cos 32f x x x+=+=为偶函数，A 正确.由题意得()()π2sin 2,6g x x g x=+的最小正周期2ππ2T ==，B 错误. 由π2π,33x∈，得ππ5ππ5π3π,,2,626662x x +∈+∈ ，所以()f x 与()g x 在π2π,33上均单调递减，C 正确.当[]0,2πx ∈时，函数()f x 和()g x 的图象如图所示，函数()f x 和()g x 的图象有5个交点，所以函数()()y f x g x =−在[]0,2π上有5个零点，D 正确.11.BCD 由题意得()2232,Δ412f x x ax b a b =++=−′.当Δ0 ，即23a b 时，()0f x ′ ，()f x 在R 上单调递增，无极值点.当Δ0>，即23a b >时，设()1212,x x x x <是方程()0f x ′=的两个解，则()f x 在()()12,,,x x ∞∞−+上单调递增，在()12,x x 上单调递减，()f x 有2个极值点.综上，()f x 不可能只有1个极值点，当()f x 有极值点时，23a b >，A 错误，B 正确.当0a =时，()()()220f x f x c f +−==，则点()()0,0f 为曲线()y f x =的对称中心，C 正确.当不等式()0f x <的解集为()(),11,2∞−∪时，易得()f x 的零点为1和2，且1为()f x =0的二重根，则()()2(1)2f x x x =−−，则()()()135f x x x =−−′.易知()f x 在(),1∞−，5,3∞ + 上单调递增，在51,3上单调递减，所以()f x 的极小值为54327f=−，D 正确.12.73−由题意得()314m +=−，解得73m =−.13.231nn −− 设等比数列{}3n a +的公比为q ，则21323a qa +=+，得()11332n n a a −+=+⋅，则123n n a −=−，所以{}n a 的前n 项和为0212123232323323121n n n n n −−−+−+−++−−−−−14.18若甲获得3分，则甲必取中6号球，乙必取中1号球.当甲小球上的数字为6,5,4时，甲获得3分的概率为333366A A 1A 20=；当甲小球上的数字为6,5,3时，甲获得3分的概率为336622A 1A 30××=；当甲小球上的数字为6,5,2时，甲获得3分的概率为33662A 1A 60=；当甲小球上的数字为6,4,3时，甲获得3分的概率为33662A 1A 60=；当甲小球上的数字为6,4,2时，甲获得3分的概率为3366A 1A 120=. 综上，甲获得3分的概率为1111122030601208++×+=. 15.（1）证明：FC GD = 且∥,GD ∴四边形CDGF 是平行四边形，CD FG ∴=且CD ∥FG .23FH CD = ，且FH ∥2,3CD AE CD =，且AE ∥CD ，AE FH ∴=，且AE ∥FH ，∴四边形AEFH 是平行四边形，EF ∴∥AH .EF ⊄ 平面1,AHD AH ⊂平面1,AHD EF ∴∥平面1AHD （2）解：以D 为原点，DA 为3个单位长度，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,3,3,2,0,0,3,1,3,2,3,0,3,2D E F D E D F =−=−.设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则113230,320,n D E x y z n D F y z ⋅=+−= ⋅=−=，取5x =，则6,9y z ==，得()5,6,9n =.易得平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，∴平面1D EF 与平面ABCD 夹角的余弦值为n m n m ⋅=16.解：（1）零假设为0H ：学生的性别和是否喜欢运动无关.根据列联表中的数据，计算得到22100(35203510)7002.357 2.70670304555297χ××−×==≈<×××，根据0.1α=的独立性检验，没有充分的证据推断0H 不成立， 因此可以认为0H 成立，即学生的性别和是否喜欢跳绳无关.（2）设经过训练后，该校学生每分钟的跳绳个数为Y ，则()180,100,180,10Y N µσ∼==. 由题意得()(170180)(180)2P Y P Y P Y µσµσσµ−+<=−<= ，()()()2218020022P Y P Y P Y µσµσµµσ−+=+=，则()()()221702000.81862P Y P Y P Y µσµσµσµσ−++−+≈ .因为10000.8186818.6×=，所以预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[]170,200内的人数为819.17.解：（1）由题意得()()22e xf x a b =−+′，则()()0222f a b a =−+=−′，得a b =.（2）由题意得()f x 的定义域为()2,2e2xf x a =−′R .当0a 时，()0f x ′>，则()f x 在R 上单调递增.当0a >时，令()0f x ′>，得1ln 2x a >，令()0f x ′<，得1ln 2x a <，则()f x 在1,ln 2a ∞−上单调递减，在1ln ,2a ∞ + 上单调递增. （3）由（2）可知当0a 时，()f x 没有最小值，则()min 10,()ln ln 22a g a f x f a a a a>===−+，得()ln g a a ′=−.当01a <<时，()()0,g a g a ′>单调递增，当1a >时，()()0,g a g a ′<单调递减，所以()max ()13g a g ==.18.（1）解：设(),P x y=化简得曲线C 的方程为2213x y −=.（2）证明：设()()1122,,,A x y B x y .联立22,1,3x my n x y =+ −= 得()2223230m y mny n −++−=，因为23m >，所以230m −>，所以()()()22222Δ(2)4331230,mn m n m n =−−−=+−>则1222122233.3mn y y m n y y m −+= − − = −联立,,x my n y x =+=得0y =.1MA y =−，同理可得2MB y =+−，所以()()()22210200121211MA MB myy y y m y y y y y y =+−−=+−++((223113n mm m −=+=+−()22313m m +=−.故MA MB 只与m 有关.19.（1）解：由题意得222m m m ++ ，得21m − .因为0m >，所以m 的取值范围为(]0,1.（2）解：（方法一）数列{}n b 不是“稳定数列”. 理由如下：当1n =时，1114b S ==； 当2n 时，114n n n b S S n −=−=（1b 也成立）. 由题意得()22212211111(1)(2)(2)24716164416n n n n n b b b b b n n n n n n n ++++−−=+++−−+=−−，当4n 时，()21247016n n −−>，即2122n n n n n b b b b b ++++>+. 故数列{}n b 不是“稳定数列”. （方法二）数列{}n b 不是“稳定数列”. 理由如下：当1n =时，1114b S ==； 当2n 时，114n n n b S S n −=−=（1b 也成立）. 当4n =时，254646252469101616416b b b b b +−−=+−−=>， 即254646b b b b b +>+.故数列{}n b 不是“稳定数列”.（3）证明：由2122n n n n n c c c c c +++++ ，得()()212221111n n n n n n n c c c c c c c ++++−+−−=−− ，假设121,1n n c c ++>>，得21210,10n n c c ++−>−>，则10n c −>.因为0n c >，所以20111n n c c +<−<<+，所以()()()()2212222111111n n n n n n c c c c c c +++++−−−<+−=− ，即12n n c c ++<.① 由()()()()212211111n n n n n c c c c c +++−−−=−− ，得()()2231111n n n c c c +++−−− . 因为22110,10n n c c ++−>−>，所以310111n n c c ++<−<<+，则()()()()22231111111111n n n n n n c c c c c c ++++++−−−<+−=− ，即21n n c c ++<.②①与②相互矛盾，则12,n n c c ++不能同时大于1.当2n 时，假设11n c +>，则21,1n n c c + ，则()()21210,110n n n c c c ++−>−− ，得()()212111n n n c c c ++−>−−，不符合题意，所以11n c + .故当2n 时，123121222211222n n T c c c c c c c c n T n +=++++++++++=++−+=+ .。
安徽省重点高中联盟校(A10联盟)2025届高三第一次摸底考试数学试题含答案
高三数学试题（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足()1i 2z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算计算得到1i z =-，即可判断.【详解】由()1i 2z +=可得，22(1i)1i 1i 2z -===-+，即复数z 在复平面内对应的点为(1,1)Z -在第四象限.故选：D.2.在ABC V 中，2,CD DB AE ED == ，则CE =（）A.1163AB AC -B.1263AB AC -C.1536AB AC -D.1133AB AC -【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB 和AC表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112()2223CE CA CD AC CB=+=-+⨯1115()2336AC AB AC AB AC =-+-=-.故选：C.3.已知直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，则a b +的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出切点为()0,0，进而求得1b =，得到()()ln 1f x x =+，结合导数的几何意义，得到1a =，进而得到答案.【详解】由题意，直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，即切点为()0,0，所以ln 0b =，解得1b =，所以()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，可得()01f '=，即切线的斜率为1k =，所以1a =，所以2a b +=.故选：B.4.已知椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），则“C 的离心率22e =，是8λ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数λ的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.【详解】椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），当C 的离心率2e =，若04λ<<，有2e ==，解得2λ=，即充分性不成立；当8λ=时，得椭圆22:184x y C +=，此时离心率为2e ===，即必要性成立.所以“C 的离心率2e =，是8λ=”的必要不充分条件.故选：B.5.若1为函数()()()21f x x x a =--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(),1-∞ C.()1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得()()()1321f x x x a '=---，结合1x =是函数()f x 的一个极大值点，得出不等式2113a +>，即可求解.【详解】由函数()()()21f x x x a =--，可得()()()1321f x x x a '=---，令()0f x '=，可得1x =或213a x +=，因为1x =是函数()f x 的一个极大值点，则满足2113a +>，解得1a >，所以实数a 的取值范围为()1,+∞.故选：C.6.若sin140tan 40λ︒-︒=，则实数λ的值为（）A.2- B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得λ的值.【详解】由sin140tan 40λ︒-︒=sin 40sin 40cos40λ︒︒-=︒即sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，即1sin802sin(4060)2sin802λ=+= ，因sin800> ，解得4λ=.故选：D.7.设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则()5f =（）A.0B.1- C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值.【详解】因为函数()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-⇒()10f =；因为()23f x +为偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，令1x =得：()()15f f =，所以()50f =.故选：A8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，2OM ON OF =-=-，过点M 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且()01MA MB λλ=<<，直线BN 与C 的另一个交点为P ，若直线AN 与PM 的斜率满足3AN PM k k =，则AB =（）A.2B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意得(1,0),(1,0)M N -，则可设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，分别与抛物线方程联立，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由韦达定理可得31y y =-，31x x =，结合3AN PM k k =，可解得11,x y 的值，从而可得m 的值，再利用弦长公式即可求解.【详解】由题意得1(,0)2F ，2OM ON OF =-=- ，(1,0),(1,0)M N ∴-，设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则12122,2y y m y y +==，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，则23232,2y y n y y +==-，则31y y =-，则31x x =，故311131,111AN PM y y yk k x x x ===--++，由3AN PM k k =，得1111311y y x x -=⋅-+，解得21111,212x y x ===，则11132x m y +==±，故2AB ==.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件A =“第一次抛出的点数是1”，事件B =“两次抛出的点数不同”，事件C =“两次抛出的点数之和是8”，事件D =“两次抛出的点数之和7”，则（）A.A 与D 相互独立B.B 与D 相互独立C.()2|15P C B =D.()13P C D =【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB 的正误，根据条件概率的计算公式可求()|P C B ，从而可判断C 的正误，根据互斥事件的概率公式可求()P C D ，故可判断D 的正误.【详解】对于A ，由题设有()161666P A ⨯==⨯，()61666P D ==⨯，()166P AD =⨯，故()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，故A 正确.对于A ，由题设有()655666P B ⨯==⨯，()61666P BD ==⨯，故()()()P BD P B P D ≠，故,B D 不相互独立，故B 错误.对于C ，()()()4236|5156P P BC P B C B ===，故C 正确.对于D ，由题设,C D 互斥，故()()()511166636P C D P C P D =+=+=⨯ ，故D 错误，故选：AC.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111B A D P -的体积为定值B.直线1//B E 平面1A BDC.当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D.直线1B E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S --==⨯=⨯= ,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A BE ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,2DB DA B E ===--- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠ 知n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=- ,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-,因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ，此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠ ，故1A P 与AC不垂直，即C 错误；对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m = ，因11(1,1,)2B E =--- ，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯，故D 正确.故选：AD.11.已知点(),A m n 在圆22:4O x y +=外，过点A 作直线AM ，AN 与圆O 相切，切点分别为M ，N ，若60MAN ∠=︒，则（）A.8mn ≤ B.221498m n +≥C.[]91,17m +-∈D.当,0m n >742≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据相切关系可得2216m n +=，根据不等式即可判断AD ，利用不等式的乘“1”法即可判断B ，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C.【详解】由于AM ，AN 与圆O 相切，且60MAN ∠=︒，故120MON ∠=︒,60MOA ∠=︒，由2MO =,得4AO =，故22164m n +=>，符合题意，故22162mn m n +=≥，即8mn ≤，当且仅当228m n ==等号成立，故A 正确，()22222222221411414195516161616n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当223223n m ==时等号成立，B 错误，令4sin ,4cos m n θθ==，则[]π94sin 98sin 91,173m θθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，C 正确，当,0m n >时,()2222162m n m n mn mn m n +=++=+⇒+=，由于8mn ≤，故522m n +=≤==，由于2+≤≤742+≤，当且仅当m n ==等号成立，故D 正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213.已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为__________．【答案】50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求导，即可根据余弦函数的单调性求解.【详解】由题意得，()πcos 6x x f ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππππ,6662x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，只需πππ62ω+≤，解得503ω<≤故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦14.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称无序子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．已知集合106x I x x -⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭N ，则集合I 的所有划分的个数为___________．【答案】51【解析】【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可.【详解】由题意得，{}{}N 161,2,3,4,5|I x x =∈≤<=，共有5个元素，则2划分有1255C C 15+=个，3划分有15512432C C C 2C 25+=个，4划分有25C 10=个，5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．故答案为；51四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC V 中，内角,,A B C 满足()sin sin sin B A B C +-=．（1）求A ；（2）若ABC V 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3A =（2）3【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得1cos 2A =，故可求A ；（2）根据三角变换可得1sin sin 3B C =，故可求面积.【小问1详解】在ABC V 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin B A B C +-=，∴()()sin sin sin B A B A B +-=+，则sin sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A B A B A B +-=+化简得sin 2cos sin B A B =．又sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又∵0πA <<，∴π3A =．【小问2详解】∵π3A =，∴2π3B C +=，∴()1cos 2B C +=-．即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，∴111sin sin 263B C =-=记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，∵ABC V 的外接圆半径2R =，∴由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，∴163bc =，∴1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯= .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，CAB CBA ∠=∠，()1,01BC AC BM BA λλ⊥=<<．（1）求AB 的长；（2）若二面角1B B C M --λ的值．【答案】（1）AB =（2）12λ=【解析】【分析】（1）证明⊥BC 平面11ACC A ，则有BC AC ⊥，由2CA CB ==，求得AB =（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角1B B C M --的余弦值，可求出λ的值．【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CB ⊥．又1BC AC ⊥，111CC AC C ⋂=，11,CC AC ⊂平面11ACC A ，所以⊥BC 平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥，而CAB CBA ∠=∠，故2CA CB ==，故AB =．【小问2详解】由1CC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以C 为原点，1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy z ，因为12CA CB CC ===，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，故()2,2,0BA =- ，因为1)0(BM BA λλ=<<，故()2,22,0M λλ-．易知()1,0,0m =是平面1BCB 的法向量．因为()()12,22,0,0,2,2CM CB λλ=-=．设 =s s 是平面1CMB 的法向量、所以100n CM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()2220220x y y z λλ⎧+-=⎨+=⎩，取1x λ=-，得,y z λλ=-=，所以()1,,n λλλ=--，因为二面角1B B C M --2，故余弦值为33，则23cos ,31321m n m n m n λλ⋅===⨯-+，解得12λ=.17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，直线4:3l y x=与E 交于A ，B 两点，220F A F B =⋅﹒（1）求E 的离心率；（2）M 为E 上一点（不在x 轴上），过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，若1ON =，求12AF F 的面积．【答案】（15（2）4【解析】【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可；（2）结合图形特征，再应用面积公式计算.【小问1详解】由题意得，直线43y x =与双曲线两交点A ，B 关于原点对称，不妨设点A 在第一象限，由220F A F B =⋅，得22F A F B ⊥，设()2,0F c ，则24,tan 3OA c AOF =∠=，所以2243sin ,cos 55AOF AOF ∠=∠=，则34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程，得222291612525c c a b-=，即()2222291612525c c a c a -=-，化简得222169251e e e -=-，即42950250e e -+=，因为1e >，所以25e =，则e =，即双曲线E ．【小问2详解】因为点2F 关于12F MF ∠的平分线MN 的对称点G 在1MF 或1MF 的延长线上，所以1122F G MF MF a =-=，又ON 是21F F G 的中位线，所以ON a =，因为1ON =，所以1a =，因为e =，所以双曲线E 的方程为2214y x -=，所以c =，则3545,55A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．又12||2F F c ==，所以121425AF F S =⨯=△．18.已知函数()2sin f x x x =-．（1）若函数()F x 与()f x 的图象关于点π,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，求()F x 的解析式；（2）当[]0,πx ∈时，()f x m ≤，求实数m 的取值范围；（3）判断函数()()()11g x x f x =++在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由．【答案】（1）()π22sin F x x x =+--（2）π,3⎫-+∞⎪⎭（3）零点个数为1，理由见解析【解析】【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式；（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.【小问1详解】由题意得，()()()()2π22sin πππ22sin F x f x x x x x =--=--+-=+--．【小问2详解】由题意得，()[]2co ,πs 1,0f x x x '=-∈，令()'0f x =，解得π3x =，所以当π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x <′，所以()f x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x的最大值为π3π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于[]0,πx ∈时，()f x m ≤，所以实数m的取值范围为π,3⎫+∞⎪⎭【小问3详解】令()0g x =，则()()12sin 10x x x +-+=，整理得12sin 01x x x -+=+，令()12sin 1h x x x x =-++，则()()212cos 11h x x x '=--+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<．所以()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()πππ1π1112sin 20,π2sinπππ0ππ2222π1π11122h h ⎛⎫=-+=-+>=-+=-+< ⎪++⎝⎭++，所以由零点存在性定理得，()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点．当[)π,x ∈+∞时，()12sin 2π101h x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点．综上所述，()h x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()g x 在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为1．19.定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；（1）已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔（2）已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；（3）已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105ii a==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．【答案】（1）{}n b 为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）先列出数列的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列.（2）利用“反证法”证明数列不是数列的“3项递增衍生列”.（3）先明确数列的各项，再根据“m 项递增衍生列”的概念分析数列的构成特点，可求数列的最大项数.【小问1详解】由题意得，数列为1，8，3，4，5，2，若是数列的“3项递增衍生列”，且1345<<<，则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒【小问2详解】设等比数列的公比为q ．假设数列是数列的“3项递增衍生列”，则存在1231k k k m ≤<<≤，使1231,16,81k k k a a a ===，所以31212131,k k k k k k k k a a qa a q --==，则312116,81k k k k q q --==，所以()3116221log 81log 81log 3*log 16q q k k k k -===-．因为*2131,k k k k --∈N ，所以3121k k k k --为有理数，但2log 3为无理数，所以（*）式不可能成立．综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”．【小问3详解】设等差数列的公差为d ．由14111491105ii aa d ==+=∑，又11a =，所以1d =，故数列为1，2，3，4，5，L ，14﹒令i i k b a =，因为数列中各项均为正整数，故313k k a a -≥﹔（若312k k a a -=，则123,,k k k a a a ，成等差数列）同理533k k a a -≥，且5331k k k k a a a a -≠-，所以513k k a a -≥，同理957k k a a -≥，且9551k k k k a a a a -≠-，所以9115k k a a -≥，这与已知条件矛盾，所以8i k ≤，此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列．综上所述，m 的最大值为8．【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m 项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题.。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新高考通用)01(答案及评分标准)
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学·答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 DCCBAABC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BCDACDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． π313．13 14．6四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）由题意2222AB CD AD BC ====，则60ABC ∠= ， 因为1,2BC AB ==，所以90,ACB AC BC ∠=⊥ ，（1分） 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD AB =， 且,PA AB PA ⊥⊂平面PAB ， 所以PA ⊥平面ABCD ，（2分） 因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，（3分） 且,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，（4分）又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ；（5分） （2）如图，以A 为原点，,AP AB分别为x 轴，y 轴正方向，在平面ABCD 内过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则13(1,0,0),(0,2,0),0,,0,22P B D C ，（7分，建系、设点各一分）所以1(1,0,0),0,2AP AD == ，1(1,2,0),0,2PB BC =−=− ， 设平面PAD 的一个法向量1(,,)n x y z =，则11002n AP x y n AD ⋅==⋅=+=，令1z =−，得11)n =− ，（9分） 设平面PBC 的法向量()2,,n m n p = ，则222002n PB m n n n BC ⋅=−+=⋅=−=，令1p =，得2n = ，（11分） 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ，则121221cos 244n n n n θ⋅===×⋅ ，（12分）所以平面PAD 与平面PBC．（13分）16．（15分）【详解】（1）易知9.398.570.82=+，所以根据正态分布区间公式有()()()19.390.162P x P X P x µσµσµσ−−≤≤+>=>+==，（3分） 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16， 则()2,0.16Y B ∼，（4分，不写不扣分） 所以：()()()121C 0.1610.160.2688P Y ==××−=；（6分） （2）因为0.2 2.2t x =+，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： 12314.6417.4220.726.1, 6.7,7.40.21 2.20.22 2.20.23 2.2u u u ======×+×+×+， 4525.230.088.4,9.40.24 2.20.25 2.2u u ====×+×+，（8分） 所以()()11123453, 6.1 6.77.48.49.47.655x u =×++++==×++++=，（10分） 则()()518.3i i i x x u u =−−=∑，()52110i i x x =−=∑（12分） 由公式可知()()()515218.30.83,7.60.833 5.1110ˆˆˆiii ii x x u u ba u bx x x ==−−====−=−×=−∑∑，（14分）即0.83 5.11u x +.（15分）17．（15分）【详解】（1）设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心， 故有：00233x x y y= =，（2分）解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，（4分） 又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104xy xy +=≠.（5分）（2）因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又HQ k ==l k =（7分）故设直线l的方程为()1y m m +≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++−=x m ，（8分） 由2Δ208160m =−>得213m <，（9分） 设()()1122,,,A x y B x y，则212124413m x x x x −+=，（10分） 由AH BQ ⊥2211y x −=−，所以()211210x x mm +++−=，（12分）所以)()21212410x x m x x m m −++−=， 所以()()()22444241130m m m m −−−+−=，化简得2511160m m +−=，（13分） 解得1m =（舍去）或165m =−（满足Δ0>），（14分） 故直线l的方程为165y =−.（15分）18．（17分）【详解】（1）由题意得()()ln e 1ln x xf x ax ax+==，()0,x ∈+∞，则()2ln x f x ax =−′，（1分） 由()0f x ′=，解得1x =．（2分） 显然0a ≠，若0a >，则当01x <<时，()()0,f x f x ′>单调递增，当1x >时，()()0,f x f x ′<单调递减；（3分）若0a <，则当01x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减，当1x >时，()()0,f x f x ′>单调递增．（4分） 综上，当0a >时，()f x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减； 当a<0时，()f x 在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（5分） （2）（i ）由()ln e 1x ax=，得1ln xa x+=， 设()1ln xg x x+=，由(1)得()g x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减，（6分） 又()10,11e g g ==，当1x >时，()0g x >，且当x →+∞时，()0g x →，（8分） 所以当01a <<时，方程1ln xa x +=有两个不同的根，即方程()ln e 1x ax=有两个不同的根，故a 的取值范围是()0,1．（9分）（ii ）不妨设12x x <，则1201x x <<<，且1212ln 1ln 1x x x x ++=．（10分） 设()()()11ln 1ln xh x g x g x x x x + =−=−−，()0,x ∈+∞， 则()222ln 1ln ln 0x x h x x x x x ′−−=+=⋅≥，（11分） 所以()h x 在区间()0,∞+内单调递增， 又()10h =，所以()()11110h x g x g x =−< ，即()111g x g x<．（13分） 又()()21g x g x =，所以()211g x g x< ，（14分）又()2111,1,x g x x >>在区间()1,+∞内单调递减． 所以211x x >，即121x x >，（16分） 又12x x ≠，所以22121222x x x x +>>，得证．（17分）19．（17分）【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得11a =，21a =，3122a a a =+=，（1分） 123,,2,c m c m c m ∴===（2分） 312+,c c c ∴=即1+212+,c c c = （3分）∴对m ∀∈R ，当正整数=1k 时，存在=2n ，使得k nk n c c c +=+成立，即数列{}n c 为“1阶可分拆数列”；（4分）（2）3n nS a =− ， ∴当1n =时，13d a =−，（5分） 当2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n d S S a a −−−=−=−−−=⋅，（6分）（i ）若数列{}n d 为“1阶可分拆数列”，则存在正整数n 使得11nn d d d +=+成立， 当1n =时，211d d d =+，即()623a =−，解得0a =，（7分） 当2n ≥时，()1233+23n n a −⋅=−⋅，即1433n a −⋅=−，（8分） 因0a ≥，所以33a −≤，又14312n −⋅≥，（9分） 故方程1433n a −⋅=−无解.综上所述，符合条件的实数a 的值为0. （10分） （ii ）证明：*21,()n n n a a a n ++=+∈N ， ∴当2n ≥时，()21111nn n n n n n n a a a a a a a a +−+−=−=−， ∴2222123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()21232134324543+++a a a a a a a a a a a a a =+−−+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11n n n n a a a a +−−2121=a a a −1+n n a a +1=n n a a +，（11分）222212311=1n n n a a a a a a +∴+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+，（12分） 由（i ）知3nn S =，所以3nn na f =， 31121231=++++33333n n n n na a a a a T −−∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①，3112234+11=++++333333n n n n n a a a a a T −⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②，（13分）由①-②可得324311211234+12=++++3333333n n n n n n a a a a a a a a a a T −−−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅+− 21234+11=+++33333n n n n a a a a −⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+ 1222122+111=+++333333n n n n a a a a −−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+（）（14分） -22+111=+333n n n a T −，（15分） +12<03n n n n a T T −> ， ，-22+1221111=++333333n n n n n a T T T −∴<，（16分）315n T ∴<<，当*n ∈N 且3n ≥时， 222212311n n n n T a a a a a a +<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+成立.（17分）。
2024届保定市高三数学上学期开学摸底考试卷附答案解析
2024届保定市高三数学上学期开学摸底考试卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足()1i i z -=，则z 的虚部为（）A ．12-B ．12C ．1i 2-D ．1i22．已知集合{}2Z |20A x x x =∈+-<，{}2N |0log (1)2B x x =∈≤+<，则A B ⋃的真子集的个数为（）A ．16B ．15C ．14D ．83．已知单位向量a ，b 满足()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4．已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为()12013%34.711+≈，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为()12013%0.026-≈，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：lg103 2.013≈，lg97 1.987≈）（）A ．28B ．38C ．60D ．1006．如图，在三棱锥-P ABC 中，异面直线AC 与PB 所成的角为60°，E ，F 分别为棱PA ，BC 的中点，若2AC =，4PB =，则EF =（）A ．3B ．2C ．3或7D ．2或77．已知抛物线Γ：()220y px p =->的焦点为F ，准线m 与坐标轴交于点1F ，过点F 的直线l 与Γ及准线m 依次相交于A ，B ，C 三点（点B 在点A ，C 之间），若13BF FC =，6AF =，则1F AB 的面积等于（）A ．23B ．33C ．43D ．638．已知()ln 1e a =+，e b =，2e3c =，则（）A ．b a c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在某区高三年级第一学期初举行的一次质量检测中，某学科共有2000人参加考试.为了解本次考试学生的该学科成绩情况，从中抽取了n 名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，成绩均在[]50,100内，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在[)50,60内的人数为16，则下列结论正确的是（）A ．1000n =B ．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分C ．若成绩低于60分定为不及格，估计全体学生中不及格的人数约为300人D ．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A 等，则成绩为79分的学生该学科成绩有可能是A 等10．将函数()22cos 3f x x =的图象向右平移π2个单位长度得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．x ∀∈R ，()2π3⎛⎫≤ ⎪⎝⎭g x gC ．()g x 在区间()0,5π上恰好有三个零点D ．若锐角α满足()3g α=，则π1cos 262α⎛⎫-=⎪⎝⎭11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，若21:||:1:4:5F Q PQ F Q =，则（）A ．12PF PF ⊥B ．12QF F 的面积等于26a C ．直线l 的斜率为22D ．C 的离心率等于2212．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且满足对任意实数x ，()()33f x g x +-=，()()11g x f x --=，若()f x 是偶函数，()02f =，则（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()11f x +-为奇函数C ．()g x 是周期为4的周期函数D ．()202314046n g n ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2sin x f x a x x x =++-（0a >，且1a ≠），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线2290x y -+=平行，则=a .14．在()5321x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含x 项的系数是.15．已知动点P 与两个定点()0,0O ，()3,0A 满足2PA PO=，设点P 的轨迹为曲线Γ，则Γ的方程为；过A 的直线l 与Γ相切，切点为M ，B ，C 为Γ上两点，且23BC =，N 为BC 的中点，则AMN 面积的最大值为.16．鳖臑（biēnào ）出自《九章算术·商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑S ABC -中，SC BC ⊥，SC AC ⊥，AB BC ⊥，且10AB BC ⋅=，5SC =，则其外接球体积的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin a b B Cc A B++=-.(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 上一点，BAD CAD ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值.18．2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业、光伏产业、5G 等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布()64,100N ，且质量指标值在[]54,84内的零件称为优等品.(1)求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）；(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量X 表示抽取的5件中优等品的个数，求X 的分布列、数学期望和方差.附：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且321n n a S -=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知31log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形BCEF 是矩形，四边形ADEF 是直角梯形，//AD EF ，AD AF ⊥，122AF BF AD EF ====，BE 与CF 交于点O ，连接AO .(1)证明：//AO 平面CDE ；(2)若23AB =，求平面ABF 与平面OAB 的夹角的余弦值.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为C 的渐近线上一点，2AF 的最小值为3.(1)求C 的方程；(2)过C 的左顶点B 且斜率为()0k k ≠的直线l 交C 的右支于点P ，与直线12x =交于点Q ，过1F 且平行于2QF 的直线交直线2PF 于点M ，证明：点M 在定圆上.22．已知函数()sin 1e ex x af x π+=-，a ∈R .(1)当1a =-时，证明：()1f x >在[],0π-上恒成立；(2)当1a =时，求()f x 在[],2ππ内的零点个数..1．A【分析】由已知，利用复数的除法，求出z ，得到z ，可知z 的虚部.【详解】复数z 满足()1i i z -=，则()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z +===-+--+，所以11i 22z =--，z 的虚部为12-.故选：A 2．B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法确定集合,A B ，即可求解.【详解】由220x x +-<，解得2<<1x -，所以{}1,0A =-，又由20log (1)2x ≤+<可得114x ≤+<，解得03x ≤<，所以{}0,1,2B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，有42115-=个真子集，故选：B.3．C【分析】由向量垂直可得()20a b b +⋅=，结合已知条件和向量的数量积的定义可求出夹角的余弦值，从而可求出向量的夹角.【详解】解：因为a ，b 是单位向量，所以1==a b rr ，因为()2a b b +⊥ ，所以()20a b b +⋅= ，即2222cos ,2cos ,10a b b a b a b b a b ⋅+=+=+=，则1cos ,2a b =- ，因为a 与b 的夹角范围为[]0,π，所以a 与b 的夹角为23π.故选:C.4．C【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，若两直线平行，则()()()211a a ⨯-=-⨯-，解得1a =-或2a =.当1a =-时，1l ：210x y ++=，2l ：210,210x y x y ---=++=，此时两直线重合，不符合.当2a =时，1l ：2210x y -+=，2l ：20x y -+=，符合题意.所以“2a =”是“12//l l ”的充要条件.故选：C5．B【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可.【详解】设要经过n 天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍，则(13%)10(13%)n n +=-，即1031097n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则10397110log 10lg103lg 97g n ==-11382.013 1.9870.026≈=≈-.故选：B.6．C【分析】利用线线角以及余弦定理求得EF .【详解】设G 是AB 的中点，连接,FG EG ，由于E ，F 分别为棱PA ，BC 的中点，所以11//,1,//,222FG AC FG AC EG PB EG PB ====,所以EGF ∠是异面直线AC 与PB 所成的角或其补角，当60EGF ∠=︒时，在三角形EFG 中，由余弦定理得14212cos 603EF =+-⨯⨯⨯︒=.当120EGF ∠=︒时，在三角形EFG 中，由余弦定理得14212cos1207EF =+-⨯⨯⨯︒=.所以EF 为3或7.故选：C7．D【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，以及三角形的性质，即可求解．【详解】如图，过A 作AM m ⊥于M ，过B 作BN m ⊥于N ，连接FM抛物线Γ：()220y px p =->的焦点为,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为2p x=，则1,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由抛物线定义可得13BF BN FC ==，所以12BN BC =，则30BCN ∠=︒，故60CBN ∠=︒，又有60FAM CBN ∠=∠=︒，由抛物线定义得AF AM =，所以AFM △为正三角形，则6FM AF ==，所以60AFM ∠=︒，则160MFF ∠=︒，所以1226MF FF p ==⋅=，故3p =故13FF =，所以126FC FF ==，则13232B BF BN FC x ====-+，所以12B x =-，则263B B y x =-=，不妨由图取3B y =-，又362A AF AM x ==-+=，所以92A x =-，则2627AA y x =-=，不妨由图取33A y =，所以11113436322F AB A B S FF y y =⋅-=⨯⨯= .故选：D.8．D【分析】构造函数()ln(1),0f x x x x =+->，利用导函数讨论其单调性和最值，可得ln(1)x x +<，从而可得1ln(1e)1e +<+，11e 211e e e +<<，即可比较,a b 的大小关系，再利用作差法比较,b c 大小关系.【详解】令()ln(1),0f x x x x =+->，则1()1011xf x x x-'=-=<++，所以函数()f x 在()0,∞+单调递减，且(0)0f =，所以()0f x <，即ln(1)x x +<，令1e x =，则有11ln(1)e e+<，所以11ln(1)ln e 1e e ++<+，即1ln(1e)1e+<+，又由11ln(1)e e +<，可得11e 211e e e+<<，所以()ln 1e e +<，即a b <，又因为2224e 4ee=e(1)099c b -=-->，所以b c <，综上可得c b a >>，故选：D.9．BD【分析】由频率分布直方图区间[)50,60的概率确定样本总容量，由频率和为1求x ，根据频率分布直方图估计均值，确定79分前所占比例从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图可得：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率依次为10,0.3,0.4,0.1,0.04m .对于A ：因为100.30.40.10.041m ++++=，所以0.016m =，因为成绩落在[)50,60内的人数为16，所以161000.01610n ==⨯，故A 错误；对B ：估计全体学生该学科成绩的平均分0.16550.3650.4750.1850.049570.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分，故B 正确；对C ：由选项A 可得：成绩落在[)50,60的频率为0.16，所以估计全体学生中不及格的人数约为20000.16320⨯=，故C 错误；对D ：设该学科成绩为A 等的最低分数为m ，因为[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率依次为0.4,0.1,0.04，则0.10.040.140.150.540.40.10.04+=<<=++，可知[)70,80m ∈，则()800.040.10.040.15m -⨯++=，解得79.75m =，虽然79.7579>，但79.75是估计值，同时学生成绩均为正整数，所以成绩为79分的学生该学科成绩有可能是A 等，D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】利用三角函数的图象变换求得()g x 的解析式，再根据余弦函数的图象性质求解.【详解】将函数()22cos 3f x x =的图象向右平移π2个单位长度，得到函数()2π2π2cos 2cos()3233g x x x ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对A ，ππ2cos()043π6g ⎛⎫=--= ⎪-⎝⎭，所以()g x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；对B ，π2cos()2π923g ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，B 错误；对C ，2ππ(0,5π),,3π333x x ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，所以当2ππ3π5π,,33222x -=时，()0g x =，所以()g x 在区间()0,5π上恰好有三个零点，C 正确；对D ，()2π2cos()333g αα=-=，所以2π3cos()332α-=，因为π2ππ0,,,02333αα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ336α-=-，解得π4α=，所以ππ1cos 2cos 632α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，D 正确；故选:ACD.11．ABD【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知12PF PF =，且满足22211PF PQ F Q +=，即可得A 正确；易知1211226QF F QF P PF F S S a S =-= 可得B 正确；在等腰直角三角形12PF F △中，可知直线l 的斜率为1-，计算可得C 的离心率等于22.【详解】由21::1:4:5F Q PQ F Q =可知，不妨设21,4,5F Q m PQ m F Q m ===，又224PQ QF PF m =+=，可得23PF m =；利用椭圆定义可知12126QF QF PF PF m +=+=，所以可得13PF m =；即123PF PF m ==，所以点P 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：由13PF m =，14,5PQ m F Q m ==可知满足22211PF PQ F Q +=，所以12PF PF ⊥；即A 正确；所以12PF F △为等腰直角三角形，且13PF m a ==，因此12QF F 的面积为12112222212111931622226QF F QF P PF F S S S PQ PF PF PF m m m a =-=-=-== ，即B 正确；此时可得直线l 的斜率21PQ PF k k ==-，所以C 错误；在等腰直角三角形12PF F △中，易知()2222a a c +=，即可得离心率22c e a ==，即D 正确；故选：ABD 12．BCD【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，()()33f x g x +-=①，()()11g x f x --=②，以3x -替换②中的x 得()()321g x f x ---=③，由①③得()()22f x f x +-=④，令0x =得()()()()022,200f f f f +==≠，A 选项错误.由④得()()1210f x f x -+--=⑤，以1x +替换⑤中的x 得()()11110f x f x +-+-+-=，所以()11f x +-为奇函数，B 选项正确，且()()()011110,11f f f +-=-==，以1x -替换②中的x 得()()()()111g x f x g x f x ---=--=⑥，由①⑥得()()314g x g x -+-=⑦，以x 替换⑦中的1x -得()()()()24,24g x g x g x g x ++=+=-+，所以()()()()()4222444g x g x g x g x gx +=++=-++=--++=⎡⎤⎣⎦，所以()g x 是周期为4的周期函数，所以C 选项正确.由()()33f x g x +-=，令0x =，得()()()033,31f g g +==，令2x =，得()()()2113f g g +==，由()()11g x f x --=，令0x =，得()()()()()()0101011,02g f g f g g --=-=-==，()()402g g ==令2x =，得()()()()21211,22g f g g -=-==，所以()()()()123432128g g g g +++=+++=，所以()202312020832140464n g n ==⨯+++=∑，所以D 选项正确.故选：BCD【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好的办法，如()()11f x f x +=-这是对称性，并且是轴对称；()()11f x f x +=--这也是对称性，且是中心对称.13．e【分析】由题意有()01f '=，可解出a 的值.【详解】函数()2sin x f x a x x x =++-，()ln cos 21xf x a a x x '=++-，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线2290x y -+=平行，则有()0ln 111f a '=+-=，得e a =.故答案为：e .14．90-【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()515312255C 22Crr rrr rx xx---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令5322r -=-，解得3r =；令5312r-=，解得1r =.所以()5321x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项为()()3133211552C 12C 90x x x x -⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-，所以展开式中含x 项的系数是90-.故答案为：90-15．22230x y x ++-=33【分析】设(),P x y ，由2PA PO=得到方程，变形后得到答案，先得到N 点的轨迹为以()1,0G -为圆心，半径为1的圆，并得到MN 的最大值为1213MG +=+=，且此时MN ⊥AM ，故此时AMN 的面积最大，求出各边长度，求出面积的最大值.【详解】设(),P x y ，则()222232x y x y -+=+，变形得到22230x y x ++-=，故Γ的方程为22230x y x ++-=；设22230x y x ++-=的圆心为()1,0G -，半径为2，又23BC =，因为N 为BC 的中点，所以GN ⊥BC ，3BN =，由勾股定理得222431GN BG BN =-=-=，故GN =1，故N 点的轨迹为以()1,0G -为圆心，半径为1的圆，由于AM 为圆G 的切线，故MN 的最大值为1213MG +=+=，且此时MN ⊥AM ，故此时AMN 的面积最大，由于22224223AM AG GM =-=-=，最大值为12333322AM MN ⋅=⨯⨯=.故答案为：22230x y x ++-=，3316．125π6【分析】证明出SC ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥得到外接球球心O 在平面ABC 的投影在AC 的中点H 上，且点O 为AC 的中点，由基本不等式求出25AC ≥，从而得到外接球半径52OA ≥，从而得到外接球体积的最小值.【详解】因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，BC AC C ⋂=，,BC AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，因为AB BC ⊥，故外接球球心O 在平面ABC 的投影在AC 的中点H 上，因为SC ⊥平面ABC ，所以点O 为AC 的中点，且5212S H C O ==，由勾股定理得222220AC AB BC AB BC =+≥⋅=，当且仅当AB BC =时，等号成立，故25AC ≥，则5AH ≥，222525544OA OH AH =+≥+=，故52OA ≥，故其外接球体积的最小值为344125125πππ3386OA ⋅≥⋅=故答案为：125π617．(1)2π3A =(2)27【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b c +的最小值.【详解】（1）依题意，sin sin sin sin a b B Cc A B++=-，由正弦定理得222,a b b c a b bc c c a b++=-=+-，222c b a bc +-=-，所以2221cos 022b c a A bc +-==-<，所以A 是钝角，所以2π3A =.（2）1π23BAD CAD A ∠=∠==，ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()333,1b c bc c b bc c b+=+=+=，所以()33123123441515227b c b c b c b c c b c b c b ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当()123,293b cc b cb bc c b ⎧=⎪==⎨⎪=+⎩时等号成立.18．(1)0.82(2)分布列见解析，() 4.1E X =，()0.738D X =.【分析】（1）产品质量指标值服从正态分布()64,100N ，结合3σ原则，求优等品的概率；（2）随机变量X 的取值，计算相应的概率，列出分布列，利用二项分布求数学期望和方差.【详解】（1）()64,100X N ~，则64μ=，10σ=，54μσ=-，842μσ=+，由()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得()()()115484546464840.68270.95450.8222P X P X P X ≤≤=≤≤+≤≤=⨯+⨯≈.故该企业生产的零件为优等品的概率为0.82.（2）X 可能的取值为0，1，2，3，4，5，()()5010.82P X ==-，()()4151C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()()32252C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()()23353C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()()4454C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()550.82P X ==，则X 的分布列为：X 012345P()510.82-()415C 0.8210.82⨯⨯-()3225C 0.8210.82⨯⨯-()2335C 0.8210.82⨯⨯-()445C 0.8210.82⨯⨯-50.82由()6,0.82X B ~，则有()50.82 4.1E X =⨯=，()()50.8210.820.738D X =⨯⨯-=.19．(1)13n n a -=(2)()21314n nn T -⋅+=【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得正确答案.（2）利用错位相减求和法求得n T .【详解】（1）依题意，321n n a S -=①，当1n =时，111321a a a -==，当2n ≥时，11321n n a S ---=②，①-②得()113320,32n n n n n a a a a a n ----==≥，所以数列{}n a 是首项为11a =，公比为3的等比数列，所以13n n a -=（1a 也符合）.（2）31113lo 3g log 33n n n n n n b a n a +--=⋅=⋅=⋅，01113233n n T n -=⋅+⋅++⋅ ，12313233n n T n =⋅+⋅++⋅ ，两式相减得21132********n n nnn T n n ---=++++-⋅=-⋅- ，()()112321312,24n n n n n n T T -+-⋅-⋅+-==.20．(1)证明见解析(2)1717【分析】（1）作辅助线：取CE 的中点为M ，连接,DM OM ，根据中位线定理可证明四边形ADMO 是平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得出证明；（2）根据几何体性质可知EF ⊥平面ABF ，过点F 作FN AB ⊥，连接NE ，易知角ENF ∠即为平面ABF 与平面OAB 的夹角的平面角，即可求出其余弦值.【详解】（1）取CE 的中点为M ，连接,DM OM ，如下图所示：因为四边形BCEF 是矩形，所以O 是CF 的中点，所以//OM EF ，1=2OM EF ，又//AD EF ，12AD EF =，所以//OM AD ，=OM AD ；即四边形ADMO 是平行四边形，所以//AO DM ，又AO ⊄平面CDE ，DM ⊂平面CDE ，所以//AO 平面CDE ；（2）因为四边形ADEF 是直角梯形，//AD EF ，AD AF ⊥，所以EF AF ⊥；又因为四边形BCEF 是矩形，所以EF BF ⊥，又BF AF F = ，,BF AF ⊂平面ABF ，所以EF ⊥平面ABF ；又AB ⊂平面ABF ，所以EF AB ⊥，过点F 作FN AB ⊥，连接NE ，如下图所示：又FN EF F ⋂=，,FN EF ⊂平面EFN ，所以AB ⊥平面EFN ；又NE ⊂平面EFN ，所以AB NE ⊥；平面ABF 与平面OAB 的夹角即为平面ABF 与平面EAB 的夹角，其平面角为ENF ∠；在Rt ENF △中，cos NFENF NE∠=，又122AF BF AD EF ====，所以4EF =，N 为AB 的中点，23AB =，所以2212AB NF AF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又因为EF NF ⊥，所以2217NE EF NF =+=；所以117cos 1717NF ENF NE ∠===；即平面ABF 与平面OAB 的夹角的余弦值为1717.21．(1)2213y x -=(2)证明见解析【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点到直线距离公式求解；（2）根据题意做出几何图形，求出点P 的坐标，利用斜率公式求出2221PF kk k =-，进而可得22QF B QF P ∠=∠，从而有212221F F M QF B QF P F MF ∠=∠=∠=∠，即可证明求解.【详解】（1）设双曲线的右焦点2(,0)F c ，一条渐近线的方程为0bx ay -=，因为2AF 的最小值为3，所以右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=的距离为3，所以223bc b b a==+，又因为离心率2212c b e a a==+=，所以1a =，所以C 的方程为：2213y x -=.（2）由题得，C 的左顶点(1,0)B -，右焦点2(2,0)F ，所以直线12x =为线段2AF 的垂直平分线，所以2,QB QF 的斜率分别为,k k -，所以直线QB 的直线方程为(1),y k x =+与C 联立有，2222(3)230k x k x k ----=，设11(,)P x y ，则有212213k x k -+=-，即21233k x k +=-所以22236,33k k P k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，当2PF x ⊥轴时，(2,3)P ，则有223PF BF ==2PBF 为等腰直角三角形，所以22π4PF B BF P ∠=∠=,当2PF 不垂直于x 轴时，2222260233123PF kk k k k k k --==+---，所以222tan 1kPF B k ∠=--，2tan QF B k ∠=，所以2222tan 2tan 1kQF B PF B k ∠==∠-，所以22QF B QF P ∠=∠，因为21//QF F M ，所以212221F F M QF B QF P F MF ∠=∠=∠=∠所以2124MF F F ==为定值，所以点M 在定圆22(2)16x y -+=上.22．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）当1a =-时，通过导数求()f x 在[]π,0-上的最小值，证明()1f x >；（2）当1a =时，求()f x 在[]π,2π内的零点个数，转化为()()πe sin 11x g x x -=+-在[]π,2π内的零点个数，利用导数求()g x 在[]π,2π内的单调性，由零点的存在定理判断零点的个数.【详解】（1）当1a =-时，函数()πsin 11e e x x f x +=+，()πcos 1e ex x f x '=-，函数πcos e xy =在[]π,0-上单调递增，1exy =-在[]π,0-上单调递增，所以()f x '在[]π,0-上单调递增，()π1010e f '=-<，则()0f x '<在[]π,0-上恒成立，()f x 在[]π,0-上单调递减，在[]π,0-上，()()π1011e f x f ≥=+>，即()1f x >在[]π,0-上恒成立；（2）当1a =时，函数()πsin 11e ex x f x +=-，πsin 110e ex x +-=，等价于()πe sin 110x x -+-=，令()()πesin 11x g x x -=+-，()()πe sin cos 1x g x x x -'=++，在3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内πsin cos 2sin 2,14x x x ⎛⎫⎡⎤+=+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭，()0g x '≤，()g x 在3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，cos 0x ≥，sin cos 10x x ++≥，()0g x '≥，()g x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，()()ππe sin 110x g x -=+-=，π是()g x 的零点，π23π3πe sin 11122g ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()ππ2πe sin 2π11e 10g =+-=->，()g x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个零点，所以()f x 在[]π,2π内的有两个零点.。
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题(含答案)
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两支足球队比赛，两队踢平的概率为16，甲队获胜的概率为12，则乙队获胜的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 162.已知复数z =−1−2i ，则z 2+2z =( )A. 3−8iB. 3C. −5−8iD. −53.已知实数x ，y 满足x 2+y 2=6x ，则y 的最小值为( )A. −3B. −2C. 0D. 34.在(2−1x )5的展开式中，1x 的系数为( )A. 160B. 80C. −80D. −1605.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +b cos C =a ，则B =( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π46.在数列{a n }中，a 1=1，a n +1a n =n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 6−2S 5+S 4=( )A. 80B. 96C. 112D. 1287.设a =81，b =4π，c =π4，已知log 23>1.58，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于E 点，A ，B 分别为C 与l 上的点，且|AF|=|BF|，|BE|=4 3，则△AEF 与△BEF 的面积的比值为( )A. 1B.32 C.2 33D. 32二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，AB 是圆的一条动直径，P 为正六边形边上的动点，则PA ⋅PB 的可能取值为( )A. 9B. 11C. 13D. 1510.已知函数f(x)=e x −x ，g(x)=x−ln x ，则( )A. f(x)在(0,+∞)上单调递增B. g(x)在(0,+∞)上单调递增C. ∀x∈(1,+∞)，f(x)−g(x)>0D. ∀x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)>211.已知椭圆C:x28+y24=1的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，直线l:x=t(|t|<22)与C交于P，Q两点，与x轴交于点D，则( )A. 满足∠A1PA2=2π3的点P有4个B. DA1⋅DA2=2DP⋅DQC. 当FP⋅FQ取最小值时，|DF|=13D. 当△PFQ的周长最大时，|PQ|=22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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普宁华侨中学2017届高三摸底考试高三文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R,若集合A={＞13|xx }，B={＞0log |3x x },A ∩C u B().A.{＜0|x x }B. {＞1|x x }C. {＜10|x x ≤}D. {1＜0|≤x x } 2.已知复数i iz 2310-+=(其中i 为虚数单位),则|z | = ( ). A. 33 B. 23 C. 32D. 223.在平面直角坐标xoy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，=（3,1),=(2,-2), 则 • = ( ).A.2B. -2C.-10D. 104. 己知命题P: ＞ax 5),3,2(2+∈∀x x 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. [52，+∞)B.[29, +∞） C .[314, +∞） D.(-∞，52] 5.先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（ ). A.121 B.61 C.41D.316.过双曲线1322=-y x 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A 、B 两点，则|AB|=( ). A.334 B. 32 C. 3π D. 125π7．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图K15－2，则( )图K15－2A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点8．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围（ ） A ．2-≥b B ．2->b C ．2-≤b D ． 2-<b 9.已知4213332,3,25a b c ===，则（ ）A b<a<cB a<b<cC b<c<aD c<a<b10、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、0==b a11.设函数f(x)定义在R 上，图象关于直线x=1对称，且当x ≥1时，()31xf x =-，则有（ ）A 、132()()()323f f f <<B 、231()()()323f f f <<C 、213()()()332f f f <<D 、321()()()233f f f <<12．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >32B ．m ≤32C ．m ≥32D ．m <32第II 卷二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知命题：R x p ∈∃:，使322=+x x ，则p ⌝是 。
14.设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则AB = 。
15．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－1)＝2，则f (2017)＝________16.已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （Ⅱ）已知ABC ∆的内角分别是,,A B C ，A 为锐角，且14,cos sin 21225A f B C π⎛⎫-==⎪⎝⎭，求的值.（18）（本小题满分12分）为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95.（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：平面1BC D ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求三棱锥1C BC D -的体积．（20）（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的点到两个焦点的距离之和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 与圆251:22=+y x O 相切，证明：MON ∠为定值．1A（21）（本小题满分12分）已知函数()21ln 22f x ax x =--，R a ∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答。
答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交O 于点,M N ．（Ⅰ）求证：,,,B E F N 四点共圆； （Ⅱ）求证：22AC BF BM AB +⋅=．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|f x ax =-．（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[6,2]-，求实数a 的值；（Ⅱ）当2a =时，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，A B CDMNE FO求实数m的取值范围高三（文科）数学答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBBACDACADBC二、填空题 13. 32,2≠+∈∀x x R x 14.(4,2]- 15. -2 16. y=2x 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 解：（Ⅰ）由周期12πππ,2362T =-=得2ππ,T ω==所以.2=ω ………………2分当π6x =时，1)(=x f ，可得πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为π,2ϕ<所以π.6ϕ=故π()sin(2).6f x x =+………4分由图像可得)(x f 的单调递减区间为π2ππ,π,.63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣Z ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，ππsin(2())12126A -+=, 即1sin 2A =,又A 为锐角,∴π6A =.…………8分0πB <<，53cos 1sin ,02=-=∴<<B B B π. ……………9分 )sin(sin B A C --=∴π)sin(B A += …………10分B A B A sin cos cos sin +=1033453235421+=⨯+⨯=. …………12分 18.解：（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示， …………3分 由样本得成绩在90以上频率为215，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为2150015⨯=200人. …………5分 （Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A ,B ,C ,D ,E ,F ,其中E ，F 的成绩在90分以上（含90分）， …………6分成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，D }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，F }，{A ，D ，E }，{A ，E ，F }，{B ,C ,D },{B ,C ,E },{B ,C ,F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，{D ，E ，F }，{B ，E ，F },{C ，E ，F }共20种，………8分 其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，F }，{A ，D ，E }，{B ,C ,E },{B ,C ,F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }共12种， …………10分∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为1220=35. …………12分 19．解：（Ⅰ）证明：因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BD ⊥……………2分 因为底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点,所以BD AC ⊥……………4分 因为A AC AA =⋂1，所以BD ⊥平面11ACC A ………………5分 因为平面BD ⊂平面1BC D ,所以平面1BC D ⊥平面11ACC A …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ABC ∆中，BD AC ⊥，sin 60BD BC =︒=所以132BCD S ∆=⨯⨯=………………………………9分所以11163C BC D C C BD V V --=== ………………………12分 20.解：（Ⅰ）由题意得41,31,212,322==∴==b a b a 116922=+∴y x …………4分（Ⅱ）当直线x l ⊥轴时，因为直线与圆相切，所以直线l 方程为51±=x 。