(完整版)翻折专题
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
上海市初三数学复习专题及答案 图形运动---翻折专题
图形运动——翻折1.理解图形翻折的概念和性质；2.培养学生利用图形翻折的性质解决相关问题；3.培养学生体验动感过程和动态思维能力；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。
知识结构一．图形翻折的性质和特征：二．图形翻折的常见题型：图形运动之翻折边长例1.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4， ∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是 ．（★★★）例 2.如下左图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 ．（★★★）例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 边上的中线，将ACD ∆沿CD 所在的直线翻折后到达ECD ∆的位置，如果AB CE ⊥，那么=ABAC．（★★★）例4在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．（★★★★）例5.如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是______．（★★★★★）例6.在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻 折后点B 落在点'B 处，那么DB ′的长为 ．（★★★★★）例7.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，若将△ABC 沿直线BD 翻折，使点C 落在直线AC 上的点 C ′处，AC ′＝3，则BC ＝ ．（★★★★★）我来试一试！1.如图，在直角坐标平面内，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，且2AB =，如果将线段AB 沿y 轴翻折，点A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是 ．（★★★）2.在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图2），折痕DE 的长为 ．（★★★）3.在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠ADC=30°，将△ADC 沿AD 折叠，使C 点落在'C 的位置，若BC=4，则'BC 的长为 （ ）（★★★） A ．32 B.22 C.4 D.34．已知在三角形纸片ABC 中，∠C =90度，BC =1，AC =2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A 与点B 重合，折痕交AC 于点M ，那么AM = ．（★★★）5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点1C 处，如果5AB =，4AC =，那么sin ∠1ADC 的值是 ．6.如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为（ ）（★★★★） A. 34 B. 6 C. 3 D. 41.如图1，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，点M 与点N 恰好重合，则AE :BE 等于（ ） （★★★）(A) 2:1； (B) 1:2； (C) 3:2； (D) 2:3．2.如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ︒∠=，则:EO FO = ．（★★★★）3．如图3，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在BC 的中点上，若BC=6，则折痕在△ ABC 内的部分DE 的长为 ．（★★★★）4．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结OB ，将△ABC 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为 ．（★★★★）5.如图5，在△ABC 中，MN ∥AC ，直线MN 将△ABC 分割成面积相等的两部分．将△BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = ．（★★★★）6.如图6，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折 叠， 使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= ．（★★★★）7.如图7，将ABE ∆沿直线AC 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，若5AB AC ==，9AE =，则CE = ．（★★★★★）图形运动之翻折角度例1.如图1，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ．（★★★）例2.如图2，在ABC ∆，AB AC =，点D 在边AB 上，将BDC ∆沿CD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，且AE DE =，那么_____A ∠=度．（★★★）例3.如图3，将正方形纸片ABCD 分别沿AE 、BF 折叠（点E 、F 是边CD 上两点），使点C 与D 在形内重合于点P 处，则=∠EPF ______________度．（★★★★）例4.如图4，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，58EFG ∠=，那么___AEG ∠=度． （★★★）例5.如图5，EF 为正方形ABCD 的对折线，将DAK ∆翻折，使顶点A 与EF 上的点G 重合，则____DKG ∠=．（★★★★）例6.如图6，等边OAB ∆直角坐标系中的位置如图示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则___CMN ∠=．（★★★★）1.在R t △ABC 中，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△A CM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于__________度．（★★★）2.如下右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，直线BD 交AC 于D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上，如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于（ ）（★★★）A 、600B 、450C 、300D 、22.503.已知，点D E 、为ABC ∆两边的中点，将ABC ∆沿线段DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若=50B ∠，则BDF ∠的度数是_________．（★★★）4如图示，在矩形ABCD 中，点F 在CD 上，将矩形ABCD 沿着AF 翻折，点D 恰好落在BC 边上，如果70AFE ∠=，那么_____BAE ∠=度．（★★★）5.如图示，在Rt ABC ∆中，9050ACB A ∠=∠=，，将其折叠，使得点A 落在边CB 上的'A 处，折痕为CD ，则'_____A DB ∠=．（★★★）6.如图示，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着边AB AC 、边翻折180形成的，若=150BAC ∠，那么=_____θ∠．（★★★）7.在ABC ∆中，AC BC =， 90ACB ∠=︒，点D 是斜边AB 的中点，将ABC ∆沿某条直线折叠，使点C 落在点D 处，折痕MN 交AC 、BC 于M 、N ，则CND ∠的度数为 ．（★★★★）8.在ABC ∆中，90C ∠=︒，CM 是ACB ∠的平分线，将CBM ∆沿着CM 折叠，点B 落在AC 上的B '处，如果B A B M ''=，那B ∠的度数为 ．（★★★★）9.如图3，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点G 在BC 上，60BEG ∠>︒，将GBE ∆沿直线GE 折叠得到GHE ∆．联结AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为 ．（★★★★）图形运动之翻折面积例1.有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ． （★★★）例2.平行四边形ABCD 中，3,4==BC AB ，∠B ＝60°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AFE ，那么△AFE 与四边形AECD 重叠部分的面积是 ．（★★★）例3.如图1，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB =3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，点C 至点C /，折痕为EF ．求△BEF 的面积是 ．（★★★★）例4.如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知︒=∠90MPN ，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD 的面积为______．（★★★★）例5.如图3，正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 。
初中数学翻折变换专题(完美版)
2021年最新12 翻折变换（折叠问题）一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C ．D ．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF ＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN ＝BF ＝，得出FN ＝BN ＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF ＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF ＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN ＝BF ＝，∴FN ＝BN ＝，即点F到BC 边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H ＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H ＝AB′，∵AB ′＝AC ＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB ′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF ＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A ．B ．C．3 D ．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E ＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD ＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．∴△ABE 的面积＝AE×BM ＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE ＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE ＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x ＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A ．B ．C ．D．26【分析】由勾股定理得出BD ＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM＝AM ＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD ＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x ＝，∴NM＝AM ＝，∴△MNB 的面积＝BN×NM ＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD 折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x ＝a，即AH ＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x ＝a，即AH ＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a ﹣a ＝a．∴sin∠ACH ＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F ＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE ＝，∴B'E＝BE ＝，BC＝AD ＝，C'E ＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F 中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F ＝，∴EF＝C'E+C'F ＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C ．D ．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H ＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE ＝B′H ＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD ＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H ＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H ＝×6＝3，∴HE ＝B′H ＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG ＝AC ＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x ＝a，即AH ＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x ＝a，即AH ＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a ﹣a ＝a．∴sin∠ACH ＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM ＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C ＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M ＝DM ＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH ＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH ＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D 作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8 B．4C．2+4 D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE ＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG ＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF ＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．年数学二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，复习题∴∠ACD ＝60°，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝CD ，∴AC ＝DE ，∵AC ∥DE ，AC ＝CD ，∴四边形ACDE 是菱形，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，∠B ＝30°，∴AC ＝，∴AE ＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则CE ＝ 2 ． 【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD ＝2DF ，A 'F ＝EF ，通过勾股定理可得AB 的长度，可可求AD ，DF ，BF 的长度，可得BF ＝DF ，可证BEDA '是平行四边形，可得BE ＝A 'D ＝2，根据勾股定理可得CE 的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4∴AB ＝4 ∵D 是AB 中点练习∴BD ＝AD ＝2∵折叠 ∴AD ＝A 'D ＝2，S △ADE ＝S △A 'DE∵S △DEF ＝S △ADE∴AD ＝2DF ，S △DEF ＝S △A 'DE∴DF ＝，A 'F ＝EF ∴BF ＝DF ＝，且A 'F ＝EF∴四边形BEDA '是平行四边形∴A 'D ＝BE ＝∴根据勾股定理得：CE ＝2故答案为2 【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题． 16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan A ＝，BC ＝，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将△BCD 沿着CD 翻折得△B 1CD ，DB 1⊥AC 且交于点E ，则DE ＝．【分析】作BF ⊥AC 于F ，证明△B 1EC ≌△CFB （AAS ），得出B 1E ＝CF ＝1，设DE ＝3a ，则AD ＝5a ，得出BD ＝B 1D ＝3a +1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF ⊥AC 于F ，如图所示：则∠AFB ＝∠CFB ＝90°，在Rt △ABF 中，tan A ＝＝，AB ＝5， ∴AF ＝4，BF ＝3，sin A ＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC ＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF 中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a ＝，∴DE ＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．202117．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B ’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB ＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x ）2，解得x＝，由△CA′H ∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD ＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′年数学C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB 'C＝∠B ＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC ＝∠B ＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题年数学关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。
[数学]-专题4 平行线中的翻折求角度问题及角度之间的关系(原版)
![[数学]-专题4 平行线中的翻折求角度问题及角度之间的关系(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/ce84137b42323968011ca300a6c30c225901f0ec.png)
专题4 平行线中的翻折问题解题技巧（原卷版）第一部分专题典例分析+针对训练类型一翻折一次典例1（2022•大渡口区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片ABCD沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若∠GEB＝28°，则∠DFE的度数是（）A．75°B．76°C．77°D．78°针对训练1．（2022春•渝北区月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B，C分别落在点M，N的位置，且∠AFM=12∠EFM，则∠NED的度数为（）A．72°B．35°C．43°D．36°典例2（北仑区期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC 分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°针对训练1．（2021•达州）如图，长方形ABCD将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE＝65°，则∠AEB ＝．类型二翻折两次或多次典例3（2022春•潍坊期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+∠2＝90°C．∠1﹣∠2＝30°D．2∠1﹣3∠2＝30°典例4（2021•临海期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q 处．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．针对训练1．（2022•南京模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A'处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝°2．（2022•市南区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ABC +∠ACB ＝α，按图进行翻折，使MD ∥NG ∥BC ，ME ∥FG ，则∠NFE 的度数是 ．3．（2022春•九龙坡区校级期中）如图，将长方形ABCD 沿EF 翻折，再沿ED 翻折，若∠FEA ″＝105°，则∠CFE ＝ 度．4．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿EF 折叠成图（2），再第二次沿BF 折叠成图（3），继续第三次沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFB ∠，整个过程共折叠了11次，问图（1）中DEF ∠的度数是( )A ．20︒B ．19︒C ．18︒D ．15︒类型三 因翻折的不确定性引发的分类讨论典例5（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD 中，AD ＞AB ．E ，F 分别是AD ，BC 上不在中点的任意两点，连接EF ，将长方形ABCD 沿EF图4图3图1CBB翻折，当不重叠（阴影）部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE的度数为度．针对训练1．（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕EF翻折四边形CDEF得四边形C′D′EF，已知∠EFC′被FB分成的两个角相差15°，则图中∠1的度数为．第二部分专题提优训练1．（2022秋•咸安区期中）如图所示，△ABC中∠C＝60°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝度．2．（2022春•满城区校级期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C，D分别落在点M，N的位置．（1）若∠AEN＝20°，则∠AEF的度数为；（2）若∠BFM=12∠EFM，则∠DEF的度数为．3．（2022春•海州区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC 上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为°．4．（2021春•汝阳县期末）如图，△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，若∠B＝40°，则∠BDA′的度数是．5．（2018春•江岸区期中）如图，纸片ABCD，AD∥BC，点M、N分别在AD、BC上，沿MN折叠纸片，点C′、D′分别与点C、D对应．如果在翻折之后测量得∠C′NC＝140°，则∠AMN＝．6．（2018•东西湖区模拟）如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG＝．7．（2016春•黄陂区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，连接BD，若∠ADB＝∠ACB，AE∥BD，则∠EAC的度数为°．8．（2021春•高新区校级期中）已知，直线PQ∥MN，点C是直线PQ和MN之间的一点．（1）如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C＝∠1+∠2；（2）把一块三角板ABC（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDQ的度数；（3）如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点G，试判断∠BDQ和∠GEN有何数量关系？写出你的结论并说明理由．9．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．（1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系．。
专题10 勾股定理中的翻折模型(原卷版)
专题10勾股定理中的翻折模型翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。
在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。
比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。
总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。
【知识储备】勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x ，将此三角形中的三边长用具体数或含x 的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD 中，以对角线AC 为折痕，折叠 ABC ，点B 的对应点为B ’.结论1：ABC ≌'AB C ；结论2：折痕AC 垂直平方BB ’；结论3： AEC 是等腰三角形。
模型2.折痕过一顶点模型【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
(1)若P为BC上一点．①如图1，当点E落在边CD上时，求CE∥，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；②如图2，连接CE，若CE AP为直角三角形时，求PB(2)如果点P在BC的延长线上，当PEC模型3.折痕任意两点模型【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
例3．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，把矩形G处，若CD＝2，AD＝例5．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在矩形边BC上有一点H，将矩形沿边在同一条直线上时，AC'的长为模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】1）沿过点A 的直线翻折使得点B 的对应点为B ’落在斜边AC 上，折痕为AD ；2）沿过点C 的直线翻折使得点B 的对应点为B ’落在斜边AC 上，折痕为CD ；3）沿过点B 的直线翻折使得点A 的对应点为E 落在BC 边上，折痕为BD 。
【高中数学】专题：翻折问题 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
易知∠AFD 为二面角 A-BC-D 的平面角,tan∠AFD= AD = 4 2 = 42 ,C 错; DF 4 21 3 7
④BC 与平面 ACD 所成的角是∠BCD,sin∠BCD= BD sin120 = 21 ,D 正确；
BC
14
选ABC.
探究4： 折叠后的综合运用
例 4. 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AB∥CD ，
答题模板: 第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后 的变化量和不变量; 第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确 需要用到的线面; 第三步:利用判定定理或性质定理进行证明; 第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求体积.
探究2：折叠后的位置关系及体积
例 2:如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB ＝BC＝1AD＝a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将 2 △ ABE 沿 BE 折 起 到 图 2 中 △ A1BE 的 位 置 ， 得 到 四 棱 锥 A 1-B CDE .
3
(C)二面角 A-BC-D 的正切值是 42
5
(D)BC 与平面 ACD 所成角的正弦值是 21
14
解析:沿 AD 折后如图,因为 AD⊥BC,易知∠CDB 是二面角 C-AD-B 的平面角, ∠CDB=120°,CD=8,BD=4,AD=4 2 ,由余弦定理得 BC2=CD2+BD2-2CD·BD·cos 120°,可得 BC=4 7 , ①过 D 作 DP⊥AC 于 P,连 BP,若平面 ABC⊥平面 ADC,则∠BPD 为 90°,
(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知，AF⊥BF， AF⊥CF， 又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF， 所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG. 在折叠前的图形中，
勾股定理——翻折专题
《勾股定理——翻折》专题班级姓名即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。
【翻折直角三角形】1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。
AC2.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
将△ABC折叠,使点B于点A 重合，折痕为DE,求CE的长。
还可以求哪些线段的长？【翻折矩形】1. 已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，使AB与对角线AC重合,则可求哪些线段的长度？2. 已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将△ABC沿对角线AC折叠，点B落在E处，F,则可求哪些线段的长度？CE交AD于3. 一矩形纸片，AB=6，BC=10，如图在BA上取一点E,将△EBC沿EC折叠，使点B落在AD 边上的F处，则可求图中哪些线段的长度？①翻折的实质是全等，充分利用全等带来的等量关系。
②恰当的设某条线段为x，尽可能的利用x表示多条线段。
③寻求最佳的直角三角形，运用勾股定理列方程。
【提高训练】1. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
若将△ABC折叠,使点A与点C重合，折痕为DE,可以求哪些线段的长？2. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
若将△ABC折叠,使点B与点C重合，折痕为DE,可以求哪些线段的长？3.已知矩形ABCD,AB=8，BC=12，在BC边上取一点H，在AB边上取一点E，沿EH折叠使点B 落在AD边上的F处，AF=4,则可求图中哪些线段的长度？4.将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，B点为坐标原点，C点在x轴上，AB=8，BC=12，在F处，AE相等吗？。
专题01 翻折问题(解析版)
专题01 翻折问题一、解答题1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−6）2＋（x−4）2＝102，求出AD＝x＝12．【详解】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．化简得：x2﹣10x﹣24=0解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）所以AD=x=12．2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴点B、C、D三点共线．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．【答案】（1）AB=2BC；补全证明过程见解析；（2）【分析】（1）根据翻折的性质可得AB=AD，BC=BD，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，即可AB；证明BC=12（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，根据翻折的性质可得∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，可得∠BAD=60°，∠BCD=90°，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，根据勾股定理可得，即可得答案．【详解】（1）∵把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=2BC．（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，∴∠BCD=360°-135°-135°=90°，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，=∴．3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）思路见（2）（2）①过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【详解】（1）BD（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝BC ＝AC∵EF //BC ∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，∠FEC ＝∠ECB∵又∠A ＝60° ∴△AEF 是等边三角形∴AE ＝AF ＝EF ，∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∴CF ＝BE∵ED ＝EC∴∠D ＝∠ECB∴∠D ＝∠FEC∴∠FCE ＝∠BED在△DBE 和△EFC 中，CF BE FCE BEDCE DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△DBE ≌△EFC （SAS ）∴BD ＝EF∴BD ＝AE②小明思路：∵DE ＝EC ∴∠ECB ＝∠D∵∠ABC ＝∠DEB +∠D ，∠ACB ＝∠ACE +∠ECB∴∠DEB ＝∠ACE∵△EBD 翻折到△EBF∴△EBD ≌△EBF ∴∠DEB ＝∠FEB ，DE ＝EF∴∠DEB ＝∠ACE ＝∠FEB∵∠CEB ＝∠CEF +∠FEB ＝∠A +∠ACE ∴∠CEF ＝∠A ＝60°∵DE ＝EF ＝CE ∴△ECF 为等边三角形∴CE ＝CF ，∠ECF ＝60°∴∠ACE +∠ECB ＝∠ECB +∠BCF∴∠ACE ＝∠BCF ，在△ACE 和△BCF 中CF BE BCF ACEAC BC =ìïÐ=Ðíï=î∴△ACE ≌△BCF （SAS ）∴AE ＝BF ＝BD4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的表格．(2)将函数y ＝－2x 2＋3x ＋1的图像沿y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ．(3)将函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y 轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．【答案】(1)1x +，y ，61y x =+(2)2323y x x -=-+(3)2(2)y ax a b x a b c=--+---【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；（2）根据二次函数图像与几何变换，将x 换成x -，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论；（3）利用图像向左平移、关于,x y 轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答．【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点P 的坐标为(,)x y ，将点P 向右平移1个单位长度得点(1,)P x y ¢+平移后的图像对应的函数表达式为：61y x =+，故答案为：1x +，y ，61y x =+；（2）解：将二次函数2231y x x =-++的图像沿着y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是22()3()1y x x +=--×-+，即2323y x x -=-+，故答案为：2323y x x -=-+；（3）解：将2y ax bx c =++(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，得2(1)(1)y a x b x c =++++，再沿y 轴翻折，得2(1)(1)y a x b x c =-++-++，即2(21)(1)y a x x b x c =-++-+，最后绕原点旋转180°，得2(21)(1)y a x x b x c -=+++++，整理得：2(2)y ax a b x a b c =--+---，故答案为：2(2)y ax a b x a b c =--+---．答：所得到的图像对应的函数表达式2(2)y ax a b x a b c =--+---．5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：①如图①，把正方形ABCD 对折后再展开，折痕为EF ；②如图②，将点A 翻折到EF 上点A ¢处，且使折痕过点B ；③如图③，沿A C ¢折叠，得A BC ¢V （如图④）．回答下列问题：(1)判断：A BC ¢V 的形状为______________；并说明你的理由；(2)若正方形纸片的边长为2，则线段A F ¢的平方的值为______________．【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)3【分析】（1）由折叠的性质可知EF 垂直平分BC ，结合正方形的性质可知A C A B AB BC ¢¢===，可判断A BC ¢V 是等边三角形．（2）利用勾股定理解直角A FB ¢D 可得222A F A B FB ¢¢=-．【详解】（1）解：等边三角形．理由如下：∵如图②，把正方形纸片ABCD 对折，折痕为EF ，∴EF 垂直平分BC ．∵将点A 翻折，折痕过点B ，且使点A 落在EF 的点A ¢处，∴A C A B AB BC ¢¢===．∴A BC ¢V 是等边三角形．（2）解：∵正方形纸片的边长为2，EF 垂直平分BC ，∴2A B AB ¢==，112122FB BC ==´=，90A FB ¢Ð=°，∴2222213A F A B FB ¢¢=-=-=，线段A F ¢的平方的值为3．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt ABC V 中，9060A CB ，A Ð=°Ð=°，CD 平分ACB Ð，试判断BC 和AC AD 、之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将ACD V 沿CD 翻折，使点A 落在BC 边上的E 处，展开后连接DE ，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出BC 和AC AD 、之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在ABC V 中，2C B Ð=Ð，AD 平分32CA B ，A B ，A D Ð==，求ACD V 的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的E 处，展开后连接DE ，这样可以将问题解决（如图4）；请帮小明写出解答过程：【实践拓展】（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD 的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的ABC V 和ACD V ，若AC 平分10m 17m 9m BAD BC CD AC AD Ð====，，，．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．【答案】（1）A C D E C D @V V ；（2）BC AC AD =+；（3）ACD V 的周长为5；（4）需要买67m 长的栅栏【分析】（1）将ACD V 沿CD 翻折得到ECD V ，则A CD E C D @V V ，即可得答案；（2）由90,60ACB A Ð=°Ð=°，得30B Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，得30EDB B Ð=Ð=°，所以E D E B A D ==，于是B C E C E B A C A D =+=+；（3）将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，则,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，于是得2B E D B B Ð=Ð+Ð，则B EDB Ð=Ð，得EB ED CD ==，所以3A C C D A B +==，即可得答案；（4）将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，设m EF BF c ==，则()9A F x m =+，可得方程()222217910x x -+=-，解得：6x =，即可求得6m EF BF ==，()21m AB =，则()91010211767m AD BC CD AB AC ++++=++++=，可得答案．【详解】解：（1）如图2，ACD QV 沿CD 翻折得到ECDV A C D E C D \@V V ；（2）BC AC AD =+，理由：90,60ACB A Ð=°Ð=°Q ，30B \Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，603030E D B C E D B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，EDB B \Ð=Ð，ED EB \=，EB AD \=，B C E C E B A C A D \=+=+；（3）如图4，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，由翻折得,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，A E D E D B B Ð=Ð+ÐQ ，2B E D B B \Ð=Ð+Ð，B EDB \Ð=Ð，EB ED \=，CD EB \=，3A C C D A E E B A B \+=+==，325A C C D A D \++=+=，ACD V 的周长为5；（4）如下图5，将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，10m,17m,9m BC CD CA AD ====Q ，9m,10m AE AD CE CD \====，10m BC CE \==，CF AB ^Q ，\90,A FC B FC E F B F Ð=Ð=°=，设m EF BF c ==，则()9m AF x =+，22222A C A F B C B F C F -=-=Q ，()222217910x x \-+=-，解得：6x =，6m EF BF ==Q ，()96621m AB AE EF BF \=++=++=，()91010211767m AD BC CD AB AC \++++=++++=，\需要买67m 长的栅栏．7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC V ，按要求回答下列问题：(1)ABC V 的面积为 ；(2)画出将ABC V 向右平移6格，再向上平移3格后的111A B C △；(3)画出ABC V 绕点B 顺时针旋转90°后的图形22A BC V ；(4)画出ABC V 沿直线EF 翻折后的图形33A B C △．【答案】(1)3(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）直接利用三角形面积求法得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出111A B C △；（3）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出22A BC V ；（4）直接利用翻折变换的性质得出对应点位置，进而得出33A B C △．【详解】（1）ABC V 的面积为：13232´´=；故答案为：3；（2）如图所示：111A B C △即为所求；（3）如图所示：22A BC V 即为所求；（4）如图所示：33A B C △即为所求；8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC，结合中垂线的性质定理与三角形三边长的关系，即可得到结论；（2）延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．易证△ACE≌△CAN，得AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，结合“三角形中，大角对大边”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，进而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到结论．【详解】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC．将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，∵DE为BC的中垂线，∴DB=DC．∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q．∵∠ACP=∠ACQ=90°，∴AP＞AC，AQ＞AC，∴AP＋AQ＞2AC．∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ．同理可得：PC＞PM．∵△ACE≌△ACN，∴∠CAN=∠CAE，又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，∴△ACP≌△ACQ（ASA），∴PC=CQ，∴QE＞PM，∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．又∵AP＋AQ＞2AC，∴AM＋AN＞2AC．∵正方形ABCD中，AC=BD，∴AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D ＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【详解】解：（1）由折叠的性质，则∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°-45°=15°；故答案为：15°．（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面积为6．（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C ＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景如图1，矩形ABCD中，AB=AB AD<，M、N分别是AB、CD的中点，折叠矩形ABCD，使点A落在MN上的点K处，折痕为BP．（1）用直尺和圆规在图1中的AD 边上作出点P （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AK ，判断ABK V 的形状；（3）如图2，若点E 是直线MN 上的一个动点．连接EB ，在EB 左侧作等边三角形BEF ；连接MF ，则MF 的最小值是______；（4）如图3，若点E 是射线KM 上的一个动点将BEK △沿BE 翻折，得BET △，BT 所在直线交直线MN 于点Q ，当TQE △是直角三角形时，KE 的长为多少？请直接写出答案．【答案】（1）见详解；（2）ABK V 是等边三角形，理由见详解；（3（4）4或12【分析】（1）作∠ABK 的平分线交AD 于P ，点P 即为所求；（2）先求出∠BKM ＝30°；根据对称性可得∠AKB =60°，进而即可得到答案；（3）由△FBA ≌△EBK ，因为FM 、EH 分别是AB 、BK 上的中线，推出FM ＝EH ，根据垂线段最短可知，当HE ⊥MN 时，EH 的值最小，进而即可求解；（4）分四种情形分别画出图形，求解即可；【详解】解：（1）如图①中，点P 即为所求：（2）连接AK ，在Rt △BKM 中，∵sin ∠BKM ＝BM BK ＝12，∴∠BKM ＝30°．∵M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴∠AKM =∠BKM ＝30°，AK =BK ，∴∠AKB =60°，∴ABK V 是等边三角形；（3）如图②中，连接AF ，取BK 的中点H ，连接EH ．∵等边三角形BEF中，∴∠FBE＝∠ABK＝90°-∠BKM=90°-30°=60°，又∵BF＝BE，BA＝BK，∴∠FBA＝∠EBK，∴△FBA≌△EBK（SAS），∵FM、EH分别是AB、BK上的中线，∴FM＝EH，根据垂线段最短可知，当HE⊥MN时，EH的值最小，最小值EH＝12∴FMAB MKB=30°，（4）∵MB=12∴MK=6，如图，当∠TEQ＝90°时，则TE∥MB，∴∠MBQ=∠T=∠MKB=30°，∴MQ=，设EK=ET=x，则QE，x+x+2=6，解得：x EK如图，当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，QE=2=，∴EK=6-2=4；如图当∠TEQ＝90°时，则∠BEM=45°，∴EM=BM∴EK如图：当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，∵∠TEM=90°-∠T=60°，×60°=30°，∴∠KEB=12∴∠EKB=∠KEB=30°，∴ME=MK=6，∴EK=12．综上所述，满足条件的EK的值为4或12．11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；(2)EQ＝CQ，理由见解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论；（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI ⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ，AH = QI，由H L证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；(4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，{BAE CBF AB BC ABE BCFÐ=Ð=Ð=Ð，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在图2中，连接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，{AB CB ABQ CBQ BQ BQ=Ð=Ð=，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI= AB= AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA = 45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分线，AQ= QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ= QE，AH= QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH =∠QEI，∠AQH＋∠EQI = 90°，△AQ E是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF= 45°故答案为：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：则EG =AG =5，∴AE = 10，在Rt △ABE 中，BE 6==CE = BC - BE = 8-6=2，由折叠的性质得： AC '=CE =2，故答案为： AC ′=2.12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD ，E 是边CD 上一点，将△BCE 沿BE 翻折，使得C 落在AD 上的点F 处，求证：△ABF ∽△DFE ．（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，点E 在AD 上，∠BEC =90°，2∠BCE +∠ECD =180°，过点E 作EF ⊥BC 垂足为F ，若EF =2，BC =5，求AE 的长．（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD ，AB =9，BC =12，E 是边CD 上一动点，将△BCE 沿BE 翻折至△BPE ，连接AP 在上取点T ，使得PT =2AT ，连接DT ，求出DT 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2（3）4【分析】（1）由矩形的性质和翻折得到∠BFE ＝∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由同角的余角相等可推得∠DEF ＝∠AFB ，证得△EDF ∽△FAB ；（2）证明△ECF ∽△BEF ，得CF =1，BF =4 ，由△ABF ∽△DFE ，2∠BCE +∠ECD =180°，构造矩形ABGD ，由BG =AD 建立方程，解方程求解即可；(3)在AB 边上取Q ，使得BO =2AQ ，连接TQ ，则ATQ APB V V ∽求得4TQ =，可得T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，根据点圆关系求最值即可．【详解】（1）证明：如图1，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由翻折得∠EFB ＝∠C ＝90°．∵∠DEF ＋∠DFE ＝90°，∠AFB ＋∠DFE ＝180°−90°＝90°，∴∠DEF＝∠AFB，∴△ABF∽△DFE．（1）尝试应用：如图2，过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，设DE＝m，CD＝x．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝∠BFE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°−∠CEF＝∠FEB，∴△ECF∽△BEF，EF CFBF EF\=\EF2=CF·BF25EF BC==，Q()225CF CF\=-解得CF=1，或4（舍去）\CF=1，BF=4\EC==EB==∵△ABF∽△DFE∴12 CD DE CE AE AB BC===设CD=x，则AE=2x∵2∠BCE+∠ECD=180°∴D、C、G共线，在矩形ABGD中则DG x AB==由BG=AD得2x=∴AE=（2）拓展创新：在AB边上取Q，使得BQ=2AQ，连接TQQ PT =2AT ，PAB TAQÐ=Ð\ATQ APBV V ∽\13TQ AQ AT PB AB AP ===143TQ PB \==\T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，当点T 落在DQ 上，即DT ＝DQ−4时，DT 的值最小，9AB DC ==Q \133AQ AB ==Q 90CB =°DQ \==∴DTmin =413．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm 点E 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度是2cm/s ；点F 从点B 出发，沿BD 方向匀速运动，速度是1cm/s ，MN 是过点F 的直线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，且在运动过程中始终保持MN ⊥BD ．连接EM 、EN 、EF ，两点同时出发，设运动时间为t （s ）（0<t <3.6），请回答下列问题：(1)求当t 为何值时，△EFD ∽△ABD ?(2)求当t 为何值时，△EFD 为等腰三角形；(3)将△EMN 沿直线MN 进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD(2)当t 的值为5021或103时△EFD 为等腰三角形(3)不存在，理由见解析【分析】（1）当△EFD ∽△ABD 时，得到相似比DE DF DA DB=，解得207t =即可；（2）根据题意，等腰三角形分三种情况：EF ＝DE 时；EF ＝DF 时；DE ＝DF 时；作出相应图形，结合条件求解即可；（3）假设存在这样的菱形，当EM EN =时，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，利用勾股定理求出两条线段长，根据相等关系列方程求解即可确定结论存在与否．【详解】（1）解：如图所示：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝8cm ，∠A ＝∠ABC ＝90°，在Rt △ABD 中由勾股定理得10BD ===（cm ），由题意得：DE ＝2t cm ，BF ＝t cm ，∴()10DF BD BF t =-=-cm ，∵△EFD ∽△ABD ，∴DE DF DA DB =，∴210810t t -=，解得207t =∴当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD ；（2）解：△EFD 为等腰三角形有三种情况：①EF ＝DE 时，点E 在DF 的垂直平分线上，过点E 作EG ⊥DF 于点G ，如图所示：则11022t DG DF -==cm ，在Rt △DEG 中，4cos 15DG DE Ð==，∴5DG ＝4DE ，∴105422t t -´=´，解得：5021t =；②EF ＝DF 时，点F 在DE 的垂直平分线上，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，如图所示：则12DH DE t ==cm ，在Rt △DHF 中，4cos 15DH DF Ð==，∴5DH ＝4DF ，∴()5410t t =-，解得409t =，∵40 3.69>，∴不合题意舍去；③DE ＝DF 时，则2t ＝10－t ，解得：103t =；综上：当t 的值为5021或103时，△EFD 为等腰三角形；（3）解：不存在．假设△EMN 沿直线MN 翻折后点E 落在点E ¢处，由折叠得：EM E M ¢=，EN E N ¢=，当翻折后的四边形为菱形时，EM E M E N E N ¢¢¢===，∴EM ＝EN ，∴22EM EN =，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，如图所示：则四边形EQCD 为矩形，∴EQ ＝CD ＝6cm ，CQ ＝DE ＝2t cm ，∴51382844NQ BC CQ BN t t t æö=--=--=-ç÷èø，∴222222131696852100416EN EQ NQ t t t æö=+=+-=-+ç÷èø，∵563AM AB BM t æö=-=-ç÷èøcm ，()82AE t =-cm ，∴()2222225616825210039ME AM AE t t t t æö=+=-+-=-+ç÷èø，∴22611695210052100916t t t t -+=-+，此方程无解，∴不存在这样的菱形．14．（2022秋·江苏·九年级期中）(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，那么BC 和AB 有怎样的数量关系？试证明你的结论”老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答小明：AB =2B C ．证明：把△ABC 沿着AC 翻折，得到△AD C ．∴∠ACD =∠ACB =90°，∴∠BCD =∠ACD +∠ACB =90°+90°=180°，即：点B 、C 、D 在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）(2)【变式拓展】如图2，在△ABC 中，把（1）中条件“∠ACB =90°”改为“∠ACB =135°”，保持“∠BAC =30°”不变，则2AB = 2BC ．(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D 是△ABC 内一点，AD =AC ，∠BAD =∠CAD =20°，∠ADB +∠ACB =210°，探求AD 、DB 、BC 三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)222BD BC AD +=，理由见解析【分析】（1）根据翻折的性质得出点B 、C 、D 共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；（2）把∆ABC 沿着AC 翻折，得到∆ADC ，根据翻折的性质得出∆ABD 为等边三角形，由题意确定∠BCD =90°，运用勾股定理即可得出结论；（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．【详解】（1）证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=2BC；（2）如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，由翻折得：AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，∴∠BAD=60°，∴∆ABD为等边三角形，∴AB=BD，∵∠ACB=∠ACD=135°，∴∠BCD=90°，2222\=+=，BD BC CD BC2即22AB BC=；2（3）222+=；BD BC AD理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，∵∠BAD=∠CAD=20°，∴∠EAB=20°，∴∠EAC=60°，∵∠ACB +∠ADB =210°，∠AEB =∠ADB ，∴∠ACB =∠AEB =210°，∴∠EBC =360°-210°-60°=90°，∵AD =AC ，AE =AD ，∴AE =AC ，∴△AEC 为等边三角形，∴EC =AE =AD ，在Rt △EBC 中，222BE BC EC +=，∵BC =BD ，EC =AD ，∴222BD BC AD +=．15．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1，P 是O e 外的一点，直线PO 分别交O e 于点A ，B ．(1)探究证明：如图2，在O e 上任取一点C (不与点A ，B 重合)，连接PC ，求证：<AP PC ；(2)直接应用：如图3，在Rt ABC △中，=90ACB а，3AB AC ==，以BC 为直径的半圆O 交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，则AP 的最小值是 ．(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，=60A а，M 是AD 的中点，N 是AB 边上一动点，将AMN V 沿MN 所在的直线翻折得到A MN ¢V ，连接A B ¢，则A B ¢长度的最小值为 ．(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点()2,3A -，点()4,5B ，分别以1，2为半径作A e 、B e ，M ，N 分别是A e ，B e 上的动点，直接写出PM PN +的最小值为 ．【答案】(1)见解析321-(4)7【分析】(1)在POC △中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；(2)连接OA 交O e 于点P ，根据勾股定理求得OA ，进而求得AP ；(3)A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，故连接BM ，求得BM ，进而求得A B ¢的最小值；(4)作点A 关于x 轴的对称点C ，连接CB 交x 轴于点P ，求出BC 的长，进而求得PM PN +的最小值．（1）证明：如图1，<PO OC PC -Q ，()<AP OA OC PC \+-，OA OC =Q ，<AP PC \；（2）解：如图2，连接OA ，交半O e 于点P ，13==22CO BC \，在Rt AOC V 中，OA ===∴32AP OA OP =-=，\AP 32，32；（3）解：如图3，连接BM 、BD ，交M ⊙于点1A ，∵四边形ABCD 是菱形，AB AD \=，=60BAM аQ ，ABD \V 是等边三角形，∵M 是AD 的中点，A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，=90AMB \а，1112AM A M AD ===，BM \==，∴111A B BM A M =-=，A B \¢1-，1；（4）解：如图4，作点A 关于x 轴的对称点C ，连接BC ，交x 轴于点P ，交B e 于点N ，连接PA 交A e 于M ，PA PC \=，PA PB PC PB BC \+=+=，∵点()2,3A -，点()4,5B ，∴点(2,3)C --，10BC \==，∵分别以1，2为半径作A e 、B e ，=1AM \，2BN =，PM PN \+PA PB AM BN =+-- 1012=--=7，故答案是：7．16．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数32y x =-的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x …2-1-012 (32)y x =-…4a2-14…请按要求完成下列各小题：(1)a 的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A ．函数图像关于x 轴对称B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大②直接写出不等式1324x <-<的解集为______．(4)将该函数图像在直线1y =上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线1y =进行翻折，得到新函数图像，若经过点()2,0-的一次函数y kx b =+图像与新函数图像W 只有1个交点时，请直接写出k 满足的条件______．【答案】(1)1(2)见解析(3)①BC ；②2<<1x --或12x <<(4)3k ³或3k <-或13k =【分析】（1）把=1x -代入32y x =-即可求出a 的值；（2）先描点再连线画出函数图像即可；（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y 轴对称，关于x 轴不对称，即可判断A 错误；根据函数图象可判断当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，得出B 正确；根据函数图象可判断当0x >时，y 随x 的增大而增大，得出C 正确；②根据函数图象写出不等式的解集即可；（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k 的范围即可．【详解】（1）解：把=1x -代入32y x =-得：3121y =´--=，即1a =，故答案为：1．（2）解：该函数的图象，如图所示：（3）解：①A ．函数图像关于y 轴对称，故A 错误；B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，故B 正确；C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大，故C 正确；故答案为：BC ；②根据函数图象可知，当2<<1x --或12x <<时，1324x <-<；故答案为：2<<1x --或12x <<；（4）解：如图所示：设点()2,4A ，()1,1B ，()0,4C ，()11D -,，()2,4E -，设AB 的解析式为11y k x b =+，把()2,4A ，()1,1B 代入得：1111241k b k b +=ìí+=î，解得：1132k b =ìí=-î，AB 的解析式为：()321y x x =->，设CD 的解析式为22y k x b =+，把()0,4C ，()11D -,代入得：22141b k b =ìí-+=î，解得：2234k b =ìí=î，CD 的解析式为：()3410y x x =+-<<，设DE 的解析式为33y k x b =+，把()11D -,，()2,4E -代入得：3333241k b k b -+=ìí-+=î，解得：3332k b =-ìí=-î，DE 的解析式为：()341y x x =--<-，根据图像可知，当直线y kx b =+经过()2,0-和点()1,1B 时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，把()2,0-，()1,1B 代入得：201k b k b -+=ìí+=î，解得：13k =；∵123k k ==，∴AB CD ∥，根据图像可知，当直线y kx b =+与AB 平行时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，且此时直线y kx b =+绕点()2,0-继续逆时针旋转，直到与DE 平行之前，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，∴当3k ³或3k <-时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点；综上分析可知，当3k ³或3k <-或13k =时直线y kx b =+与图像W 只有一个交点．故答案为：3k ³或3k <-或13k =．17．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2（3）Q （0）或（4，0）或（5，0）或（0）或（2，0）或（1，0）．【详解】试题分析：（1）由已知抛物线可求得A 、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N 的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC 与AB 的垂直平分线的交点，即直线y =x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q （x ，0），当BC 为平行四边形的边时，则有BQ ∥PC 且BQ =PC ，从而可用x 表示出P 点的坐标，代入抛物线解析式可得到x 的方程，可求得Q 点坐标，当BC 为平行四边形的对角线时，由B 、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）在2=23y x x --中，令y =0可得x 2﹣2x ﹣3=0，解得x =﹣1或x =3，∴A （﹣1，0），B （3，0），令x =0可得y =﹣3，又抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ，∴C （0，3），设曲线N 的解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 的坐标代入可得：09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得：123a b c =-ìï=íï=î，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为223y x x =-++；（2）设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点，∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ，又线段AB 的解析式为曲线N 的对称轴，即x =1，∴M （1，1），∴MB△ABC（3）设Q （t ，0），则BQ =|t ﹣3|．①当BC 为平行四边形的边时，如图1，则有BQ ∥PC ，∴P 点纵坐标为3，即过C 点与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q ，当点P 在曲线M 上时，在2=23y x x --中，令y =3可解得x或x =1，∴PCPC﹣1．。
(完整版)几何图形折叠问题
几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理． 二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。
(完整版)立体几何的翻折问题
E H
2
2
3
2
3
4
CH 2 15 CH 2 16
D C
F2* 3 * 3源自54
2 CH 2
4 Q
3
CH
3 4 21
B
cos CFH [ 1 , 1]
43
4
4
22
CFH
的取值范围是[ 3
,
2 3
]
，
但异面直线
BE 与
CH
所成角的范围是（ 3
, ]
2
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向量法：建立空间直角坐标系
A
设二面角 A BD C 的大小为q ，
E
则D( 1 ,0，0),C(0， 3 ,0), A(0， 3 cosq , 3 sinq )
D
2
2
2
2
B(1 ,0，0) 2
E( 1 , 3 cosq , 3 sinq )
变式：取BC中点K，连接EK, DK,则将ABD沿BD旋转
过程中，令二面角A - BD - C的平面角为，则（ ） A. E ' FK B. E ' FK C. E ' DK D. E ' DK
D E A
F
B
E'
C
K
A'
E'
D
F C
K B
①特例法
当 0时，EFK 0
E'DK
当 180o时， EFK 180o EDK 故答案为 B.
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专题50 圆中的翻折综合问题(原卷版)
专题50 圆中的翻折综合问题1、如图，将半径为12的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）A ．42B ．82C ．6D ．622、已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm3、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.24、如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．5、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.26、如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm ，点P 在半径AO 上运动，点Q 在弧AB 上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O ，则OP 的最大距离为 ．7、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，将沿直线AB 折叠，折叠后如右图，则⊙O 到所作的圆的切线OC 的长为（ ）A ．22B ．5C ．3D ．118、如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．1309、如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD⊙ABD ．CD 平分⊙ACB11、如图，⊙ABC 内接于⊙O ，BC=22，⊙BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵ AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则⊙MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．812、如图，在⊙O 中，点C 在优弧⊙ACB 上，将弧沿⊙BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．14、如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵ AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：⊙⊙ACB=120°，⊙⊙ACD 是等边三角形，⊙EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）14、如图，将︵ AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC=BD ；（2）若AC=1，CD=4，︵ AB =120°，求弦AB 的长和圆的半径．15、如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将︵ CD 沿CD 翻折后，点A与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP=OA ，连接PC（1）求CD 的长；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）点G 为︵ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ．交︵ BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题37 图形变换模型之翻折(折叠)模型(解析版)
专题37图形变换模型之翻折（折叠）模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。
无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。
本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型【模型解读】10,3【答案】【分析】根据折叠的性质得出中，勾股定理建立方程，求得Rt DBE【详解】解：∵四边形AOBCA．6B．325【答案】B【分析】连接BF交AE于点H，根据勾股定理求出答案．BFC90∵将ABE 沿直线AE 翻折，点落 点B 、F 关于AE 对称，BH 又3AB ∵，2AE AB BE \=+FE BE EC ∵，90BFC 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到BMP MBC ，再由平行线的性质证明（2）如图，延长,MN BC【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．例4．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形的对称中心，点E 为边AB 上的动点，连接EO 并延长交边形A EFD ，边A E 交边BC 于点G ，连接OG OC 、A ．18－3B ．92【答案】D 【分析】在EA 上截取EM 也就最短，而当OM AB 时，就可以根据勾股定理计算GH由折叠得：MEO GEO，又∵最短时，OGOM OG，OM此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心， 中，∵点O为矩形ABCD在OGC长度是矩形对角线长度的一半，即是OCB．83A．823【答案】B【分析】据矩形的性质得到CD由折叠得：EF BD ，OB OD ，90BOF DOE ，∵四边形ABCD 是矩形，AD BC ∥OBF ODE ，(ASA)BFO DEO △≌△，OE OF ，四边形BEDF 是菱形．故答案为：菱形．（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形，4，8AD ，3BF ，8BC AD ，CD 835CF BC BF ，2228445BD BC CD ，如图，设EF 与BD 交于点M ，过点∵四边形ABCD 是矩形，OA OB ，90OBA OBC ，OAB OBA ，设OAB OBA ，则90OBC ，由折叠得：90A B F ABC ，B F 90BB F A B B ，BB F OBC ，AB B OBA ，A B AC ∥∵，AB B AOB ，180OAB OBA AOB ∵，180 ，即3180 ，60 ，60BAC ， tan tan 60BC BAC AB （），理由如下：如图，过点E 作EG BC 于G ，设EF 交BD模型2.正方形中的翻折模型【模型解读】【答案】38【分析】连接BB ，过点F 别表示出,,AE EH HD ，证明222B F B C CF ，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（点E为正方形ABCD AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．【答案】（1）522）见解析；（3）12，理由见解析设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得1AE EB 设DG x ，则2AG x 根据折叠，可得GH GD x ，2CH CD ，在Rt BEC △中，222212EC EB BC ，∴52EH ，在Rt ,Rt AEG GHE 中，222222,AG AE GE GH EH GE ∴ 2222152x x 解得：51x ∴GD【模型解读】【答案】2.8【分析】作EH BD于H，根据折叠的性质得到22A．①②④B．①②③【答案】B【分析】连接AC，得到ACD的度数即可判断求出,C CHF【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为点O折叠菱形，使B，B 两点重合，【答案】4【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形点F 是AB 上一点，以EF 为对称轴将得点H 落到EG 上，连接AG A ．90CEFB ．CE 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道∵120CBA ， CBM 设BF a ， 4FG AF ∵点E 是AD 的中点，折叠后点易知点C G F ,,共线， CF 模型4.三角形中的翻折模型【模型解读】例1．（2023·内江九年级期中）如图，在Rt ABC 的纸片中，∠C ＝90°，AC ＝7，AB ＝25．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将 ADB 折叠得到ADB ，AB 与边BC 交于点E ．若DEB △为直角三角形，则BD 的长是_____．【答案】17或754【分析】由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB 为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．【详解】解：在Rt ABC 中，24BC ，（1）当90EDB 时，如图1，过点B ′作B F AC ，交AC 的延长线于点F ，由折叠得：25AB AB ，BD B D CF ，设BD x ，则B D CF x ，24B F CD x ，在Rt AFB 中，由勾股定理得：222(7)(24)25x x ，即：2170x x ，解得：10x （舍去），217x ，因此，17BD ．（2）当90DEB 时，如图2，此时点E 与点C 重合，由折叠得：25AB AB ，则25718B C ，设BD x ，则B D x ，24CD x ，在Rt △B CD ¢中，由勾股定理得：222(24)18x x ，解得：754x ，因此754BD ．故答案为：17或754．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．【答案】377【分析】过点G 作GM DE 73DM MEAG GE ，设3,GE 222GM DG DM ，在Rt △∵CD 平分ACB 交AB 于点【答案】210【分析】取BC中点AD CD DE x15BG ，从而推导出2设EF a ，由折叠可知又由折叠得ACB∴cos cosABC的中位线，∵DG是AHC【答案】22m n九年级校考期末）如图，O 是ABC 的外接圆，A ．40B ．【答案】B 【分析】连接BC ，根据直径所对的圆周角是直角求出据优弧 AC 所对的圆周角为ACD 的度数．AB ∵是直径，90ACB 20BAC ∵，90B 根据翻折的性质， AC 所对的圆周角为180ADC B ， 70ACD CDB A【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键．例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形且CD OB∥，将扇形沿CD是．【答案】233【详解】过点O 作OE 等边三角形，即EOC ∴OC OE EC OA ∵120AOB ，CD OB ∥∵OE CD ，∴DOE 3【答案】A【分析】根据折叠的性质可得AD ＝CD ；根据线段中点的定义可得AD ＝BD ；根据垂径定理可作判断③；延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断④．【详解】过D 作DD'⊥BC ，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD ＝CD'，∠ABC ＝∠CBD'，∴AC ＝CD'＝CD ，故①正确；∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝BD ，∵AC ＝CD'，故②正确；∴»¼=AC CD ，由折叠得： BD BD ，∴»»»+=AC BDBC ；故③正确；延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，∵OD ⊥AB ，∴∠ACE ＝∠BCE ，∴CD 不平分∠ACB ，故④错误；故选：A ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将 BC沿BC 翻折交AB 于点D ．再将 BD沿AB 翻折交BC 于点E ．若 BE DE ，设ABC ，则 所在的范围是（）A ．21.922.3B ．22.322.7C ．22.723.1D ．23.123.5【答案】B 【分析】将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明 ===AC DCDE EB ，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得∠B 的度数．【答案】33【分析】过点P作PT AB角三角形求出AB，求出PT由题意得AB 垂直平分线段∵OA OK ，∴OA OK ∴sin 602AH OA A ．5【答案】CA．3B2【答案】C【分析】根据折叠的性质，得出中，由特殊锐角的三角函数可求在Rt BEKA． 1,2B．(-【答案】D【分析】首先证明AOB D125OC OC，可得1C F 建方程求出EF即可解决问题．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在的半径为AB的中点D．若O由垂径定理可知OD又5OB∵OD OB【答案】37【分析】如解析中的图，连结EF、AC’，可得AC’=AD=ACEF的长，最后根据勾股定理可得答案．【详解】解：连结AD、AC则AC’=AD=AC，EO EF当E、O、F三点共线时，【答案】33 或33【分析】分两种情况：当点ABEM 为矩形6AB ME 可得GFE BEF ，于是则90AME ，∵点E 为边∵四边形ABCD 为矩形，BC 90AME A B ，同理可得：3B E ，FP EP 在Rt B HE 中，2EH B E ∵B EH FPK △∽△，B E B FP 332FP EP ，32PK ，tan30【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，斜边AB翻折，使点B落在直角边AC【答案】5cm 3【分析】先利用勾股定理求出1cmCE ，设DB【详解】解：在Rt【答案】307【分析】过点D 作DH 由勾股定理可求AB 【详解】解：如图，过点∵将ADC 沿直线CD 翻折，DH AC ∵，DF BC DF DH ，DCF 22236AB AC BC ∵12ABC S AC BC ∵【答案】16【分析】可证ADE AED ，从而可得AD 2A EBC C A C A E ，即可求解．【答案】373 /337【分析】过点C 作CH AD 交AD 的延长线于点120,60ADC ABC HDC ，进而求得∵在ABCD Y 中，6AB ，8BC ， ∴120,60ADC ABC HDC ，在Rt ECH △中，22HC CD DH 【答案】5【分析】由矩形的性质可知 设cm BE x ，则EG EC BC 得3cm AG BE ，5cm EG EC 【详解】解：由矩形的性质可知：【答案】101【分析】根据翻折的性质，证明【详解】由翻折的性质可知，在∵3AB ， BE AB∵长方形ABCD，AD【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．14．（2023春·湖北武汉·点D，E分别为AB BC，将纸片沿B E 翻折，点三角形时，CE的长为______【答案】1或422【分析】分两种情况：当B C DE 时，此时可得E 是BC 的中点，得1CE ；当B C B E 重合，AE 是BAC 的平分线，由勾股定理易得结果．【详解】解：∵90B Ð=°，2AB BC ，∴45A C ；①如图，当B C DE 时，由折叠性质得：45EC B C ，CB E C B E ，∴904545CEF B FE EC B ；②如图，当B C B E 时，B C B C 、∴90CB E C B E ，∴EB ∴AE 是BAC 的平分线，∴BE B 由勾股定理222AC AB ，∴B 在Rt EB C △中，B C B E ，由勾股定理得：【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟练掌握这些知识是关键，注意分类讨论．15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形与OA，OB相切于点E，F．已知AOB【答案】2π3cm 3【分析】根据折叠的性质得出AOC AOC S S 扇形即可求解．∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点又OA OC ∴OA OC(1)求证：AMB BMP【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到BMP MBC，再由平行线的性质证明MN BC,【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为并展开探究．【答案】（1）72,1x （2）证明见解析，拓展应用：512【分析】（1）利用等边对等角求出,ABC ACB 的长，翻折得到ABD CBD,BDC BDE BC BE ，利用三角形内角和定理求出，BDC ，AE AB BE。
专题08 翻折、对称、折叠问题(原卷版)
专题08 翻折、对称、折叠问题【例1】如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,4)C ，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若2AF EF =，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为3(2，0)，点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．【变式训练1】图①，抛物线22y x bx c =-++过(1,0)A -、(3,0)B 两点，交y 轴于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D 是抛物线对称轴上一动点，当BCD ∆是以BC 为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，求点E 的坐标．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(6,0)A -、(2,0)B 、(0,6)C 三点，其顶点为D ，连接AD ，点P 是线段AD 上一个动点（不与A 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为点E ，连接AE ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果点P 的坐标为(,)x y ，PAE ∆的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）过点(3,)P m -作x 轴的垂线，垂足为点F ，连接EF ，把PEF ∆沿直线EF 折叠，点P 的对应点为点?P ，求出?P 的坐标．（直接写出结果）【例2】如图1，经过原点O 的抛物线2(y ax bx a =+、b 为常数，0)a ≠与x 轴相交于另一点(3,0)A ．直线:l y x =在第一象限内和此抛物线相交于点(5,)B t ，与抛物线的对称轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上找一点P ，使以点P 、O 、C 为顶点的三角形与以点A 、O 、B 为顶点的三角形相似，求满足条件的点P 的坐标；（3）直线l 沿着x 轴向右平移得到直线l '，l '与线段OA 相交于点M ，与x 轴下方的抛物线相交于点N ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ．把MEN ∆沿直线l '折叠，当点E '恰好落在抛物线上时（图2)，求直线l '的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3)，直线l '与y 轴相交于点K ，把MOK ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到△M OK ''，点F 为直线l '上的动点．当△MFK ''为等腰三角形时，求满足条件的点F 的坐标．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2318(0)y ax ax a a =+-≠，交x 轴于点A 、C 两点，与y 轴交于点B ，且32AC OB =．（1）求a 的值；（2）连接AB 、BC ，点D 为BC 上一点，直线AD 交对称轴左侧的抛物线于点P ，当290OBA DAB ∠+∠=︒时，求P 点坐标．（3）在（2）的条件下，在AB 上取点E ，在AC 上取点Q ，使:BE AQ =连接EQ ，且AD 平分线段EQ ，在第二象限取点R ，使射线QR x ⊥轴于点Q ，M 为射线OB 上的一点，在QR 边上取点N ，将OMN ∠沿MN 折叠，使MO 的对应线段所在的直线与射线QR 交于点K ，得到MNK ∆，MNK ∆的面积为4时，求MKN ∠的度数．【变式训练2】在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2y ax bx c =++与其“梦想直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ，tan ABO ∠=(1,0)B ，点A 横坐标为2-，4BC =．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将ACM ∆以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若AMN ∆为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME ∆沿ME 所在直线翻折，得到FM E ∆，当FM E ∆与AM E ∆重叠部分的面积是AMC ∆面积的14时，请直接写出线段AM 的长．【变式训练1】如图，抛物线2y ax bx =+x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线与y 轴交于点Q ，连接BQ 、DQ ，点P 为抛物线上的一个动点（点P 与点Q 不重合），且PBD BDQ S S ∆∆=，请求出所有满足条件的点P 的横坐标．【变式训练2】如图，已知抛物线(6)(2)C，交x轴于点A和点B（点=+-过点(0,2)y a x xA在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；∆是等腰三角形时，求点M的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE∆沿CE所在的直线对折，点P落在（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将PCE坐标平面内的点P'处．求当点P'恰好落在直线AD上时点P的横坐标．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数22(0)y ax ax c a =-+≠的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点(0,6)C ，连接AC ，已知3tan 4OAC ∠=．（1）点A 的坐标是（2）若点P 是抛物线上的任意一点，连接PA 、PC ． ①当APC ∆与AOC ∆的面积相等时，求点P 的坐标；②把PAC ∆沿着AC 翻折，若点P 与抛物线对称轴上的点Q 重合，直接写出点P 的横坐标．【例4】如图，抛物线22(0)y x x a a =--+≠与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线12y x a =-分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线MA 相交于N 点． （1）若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示点M 、A 的坐标；（2）将NAC ∆沿y 轴翻折，若点N 的对称点N '恰好落在抛物线上，AN '与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△N CD '的面积；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y ax ax =-+的图象与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3CAO ∠=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDF FDP S S ∆∆=时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将PCD ∆沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，求OM ON的值．【变式训练2】如图，抛物线2y ax bx =+经过点(A -，与x 轴相交于B ，C 两点，且B 点坐标为(1,0)-．（1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）抛物线与y 轴交于点Q ，连接BQ ，DQ ，在抛物线上有一个动点P ，且PBD BDQ S S ∆∆=，求满足条件的点P 的横坐标．【变式训练3】如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；。
部编数学七年级上册专题13与角相关的旋转(翻折)问题专项讲练(解析版)含答案
专题13 与角相关的旋转（翻折）问题专项讲练与角有关的旋转（翻折）问题属于人教版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。
绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。
本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】【解题技巧】1、角度旋转问题解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。
三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。
抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】题型1：求值问题例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ 的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）12m °+12n °或180°-12m °-12n °【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）①∵∠AOB =60°，∠COD =40°，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，∴∠BOP =12∠AOB =30°，∠BOQ =12∠COD =20°，∴∠POQ =50°，故答案为：50°；②解：∵∠AOB =60°，∠BOC =α=80°，∴∠AOC =140°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =70°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=80°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =60°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =20°，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =70°-20°=50°；③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB =60°，∠BOC =α=130°，∴∠AOC =360°-60°-130°=170°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =85°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=130°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =85°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =85°-40°=45°，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =85°+45°=130°；（2）当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图2，∴∠AOC = m °+ a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12(m °+ a °)，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)- n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =12(m °+ a °)-12(-n °+ a °) =12m °+12n °，当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图3，∵∠AOB =m °，∠BOC =α，∴∠AOC =360°-m °-a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =180°12-(m °+ a °)，∵∠COD =n °，∠BOC =α，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)-n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =180°12-(m °+ a °)+12(-n °+ a °) =180°-12m °-12n °，综上所述，若∠AOB =m °，∠COD =n °，则∠POQ =12m °+12n °或180°-12m °-12n °．故答案为：12m °+12n °或180°-12m °-12n °．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB ＝90°，∠COD ＝60°，按如图1所示摆放，将OA 、OC 边重合在直线MN 上，OB 、OD 边在直线MN 的两侧：（1）保持∠AOB 不动，将∠COD 绕点O 旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC +∠BOD ＝ ；②∠BOC ﹣∠AOD ＝ ．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）设OC 绕点O 逆时针旋转n °，则OD 也绕点O 逆时针旋转n °，①0＜n °≤150°时，如图4，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12[90°﹣（n ﹣60°）]=12（150﹣n ）°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE ﹣∠BOF ＝15°；②150°＜n °≤180°时，如图5，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12(n−150)°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE +∠BOF ＝15°；③180°＜n °≤330°时，如图6，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12(n−150)°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF +∠COD +∠COE ＝165°；④330°＜n °≤360°时，如图7，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12[360﹣（n ﹣150）]°=12（510﹣n ）°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF ﹣∠COD ﹣∠COE ＝15°；综上，∠EOF ＝15°或165°．变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【解析】（1）3AON t Ð=，∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°，∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°，解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度∵90MON Ð=°，OC 平分MON Ð，∴45CON COM Ð=Ð=°∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°，∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°，()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．题型2：定值问题（角度不变问题）例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，且∠AOC ＝∠AOD ，射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ，运动时间为t 秒（0＜t ＜12，本题出现的角均小于平角）（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；（3）当射线OM在∠COB内部，且7COM2BONMONÐ+ÐÐ是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O 逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，列出等量关系式求出t ；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C ′在B 下方时，当C ′在B 上方时，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP ﹣∠MON ′|的值不变，求出这个定值及其对应的t 的取值范围．【解答过程】解：（1）∵OM 为∠AOB 的角平分线、∠AOB ＝40°，∴∠MOB ＝20°．∵∠MON ＝70°，∴∠BON ＝∠MON ﹣∠MOB ＝50°．∵ON 为∠BOD 的角平分线，∴∠BON ＝∠DON ＝50°．∴∠CON ＝∠COD ﹣∠DON ＝10°∴∠BOC ＝∠DON ﹣∠CON ＝40°．故答案为：40°．（2）如图①：①逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，根据题意可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝∠BOD ﹣4t ＝100°﹣4t ．∠BON ′=12∠BOD ′=12(100°−4t)=50°﹣2t ，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，即40°﹣4t =12（50°﹣2t ），解得：t ＝5（s ）．当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．顺时针旋转时：如图②，同理当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．当C ′在B 上方时，即OC ′与OB 重合，由题意可求OC ′与OB 重合用的时间＝∠AOC ÷4+∠AOB ÷6＝（∠AOB +∠BOC ）÷4+∠AOB ÷6=803（s ）．∴OC ′与OB 重合之后，∠BOC ′＝6（t −803）（s ）．∴∠BOD ′＝∠BOC ′+60°＝6（t −803）+60°＝6t ﹣100°．∴∠BON ′=12∠BOD′=12（6t ﹣100°）＝3t ﹣50°，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，∴6（t −803）=12（3t ﹣50°），解得：t ＝30（s ）综上所述t 的值为5或30．②逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，如图③根据①可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝100°﹣4t ，∠BON ′＝50°﹣2t ．∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝140°﹣4t ，∴∠AOP =12∠AOD′=12∠(140°−4t)=70°﹣2t ，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝30°﹣2t ，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝70°﹣2t ，∴|∠BOP ﹣∠MON ′|＝|30°﹣2t ﹣70°+2t |＝40°，此段时间0≤t ≤10s ；如图④当C ′在B 下方时，设经过OB 后运动时间为t 2，同理可知，∠BOC ′＝4t 2，∠BOD ′＝60°﹣4t 2，∴∠MON′=12∠BON′=30−2t 2，∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝100°﹣4t 2，∴∠AOP =12∠AOD′=50°−2t 2，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝10°﹣2t 2，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝50°﹣2t 2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此时：10＜t≤20；顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，设经过OB后运动时间为t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON′=12∠BOD′=10°+3t1，∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此时：20＜t≤803；当C′在B上方时，如图⑥，设经过OB后运动时间为t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON′=50°+3t3，∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此时：803＜t≤50．综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∠BOC＝60°，∴∠MOC＝∠MOB=12又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∠AOC，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P是直线AB上一点，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．（1）如图1，若∠APC=40°，求∠DPE的度数；（2）如图1，若∠APC=a，直接写出∠DPE的度数（用含a的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC和∠DPE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB 的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON ，代入∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON 求出即可；（2）求出∠BOC ＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM ＝∠BOM ＝60°，代入∠CON ＝∠MON +∠COM 求出即可；（3）用∠AOM 和∠CON 表示出∠AON ，然后列出方程整理即可得解．【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC ＝60°，∴∠BON ＝∠AOC ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON ＝30°，故答案为：30°；（2）∵∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝120°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠COM ＝∠BOM ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠CON ＝∠MON +∠COM ＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，理由是：∵∠MON ＝90°，∠AOC ＝60°，∴∠AON ＝90°﹣∠AOM ，∠AON ＝60°﹣∠NOC ，∴90°﹣∠AOM ＝60°﹣∠NOC ，∴∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，故∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系为：∠AOM ﹣∠NOC ＝30°．题型4：分类讨论问题例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板OAB 和直角三角板OCD ）如图1所示放置，两个顶点重合于点O ，OC 与OB 重合，且60AOB Ð=°，30A Ð=°，45OCD ODC Ð=Ð=°，90COD ABO Ð=Ð=°．将三角板OCD 绕着点O 逆时针旋转一周，旋转过程中，OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，（AOD Ð和BOC Ð均是指小于180°的角）探究EOF Ð的度数．（1）当三角板OCD 绕点O 旋转至如图2的位置时，OB 与OD 重合，AOC Ð=______°，EOF Ð=______°．（2）三角板OCD 绕点O 旋转过程中，EOF Ð的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当COD Ð的度数为a ()0180a °<<°时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出EOF Ð的度数．（用含a 的式子来表示）【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）1302EOF a =°+或11502a °-【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．【详解】（1）如图，由OB 与OD 重合，∵60AOB Ð=°，90COD BOC Ð=Ð=°，∴6090150AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=°+°=°．又∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴1452BOE BOC Ð=Ð=°，1302DOF AOD Ð=Ð=°，∴453075EOF BOE EOF Ð=Ð+Ð=°+°=°．故答案为：150°；75°；（2）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°()13602COD AOD =°-Ð-Ð+30°()1360902AOC =°-°-Ð+30°()12702AOD =°-Ð+30°11652AOD =°-Ð．∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð，∴111656010522EOF AOD AOD Ð=Ð+°-Ð-°=°．（3）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()1111++2222AOF AOD COD AOC AOC a Ð=Ð=ÐÐ=Ð，∴EOF AOF AOB BOE Ð=Ð+Ð-Ð=11+22AOC a Ð+60°-1-302AOC а=1302a °+；如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()()1111136036018022222AOF AOD COD AOC AOC AOC a a Ð=Ð=°-Ð-Ð=°--Ð=°--Ð∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð111130180601502222AOC AOC a a =Ð+°+°--Ð-°=°-．综上所述，1302EOF a Ð=°+或11502a °-．【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC 和∠AOB 都是锐角，射线OB 在∠AOC 内部，AOB a Ð=，BOC b Ð=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，填空：①当40a =°，70b =°时，COM Ð=______，CON Ð=______，MON Ð=______；②MON Ð=______（用含有a 或b 的代数式表示）．(2)如图（3），P 为∠AOB 内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有a 或b 的代数式表示）(3)如图（4），当40a =°，70b =°时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分∠POQ ，ON 平分∠POA ，那么多少分钟时，∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2°°°a ；(2)12a ，11802a °-；(3)48分钟时，∠MON 的度数是40°【解析】(1)①Q OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，当40a =°，70b =°时，COM Ð=113522BOC Ð=b =°，CON Ð=()111()55222AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=a +b =°，MON Ð=()11120222CON COM a b b a Ð-=+-==°②MON Ð()111222CON COM =Ð-=a +b -b =a ，故答案为：135,55,20,2°°°a (2)①Q OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，\()12MON POB POA Ð=Ð+Ð 1122AOB =Ð=a ②Q OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，\()12MON BOQ QOA Ð=Ð+Ð()1136018022AOB =°-Ð=°-a 故答案为：12a ，11802a °-(3)根据题意POQ BOC Ð=Ð=bQ OM 平分∠POQ ，113522POM POQ \Ð=Ð=b =°如图，当OP 在AOB Ð的外部时，Q MON 的度数是40°MON PON POM Ð=Ð+Q 5PON \Ð=°Q ON 平分∠POA ，210POA PON \Ð=Ð=°，120POC \Ð=°，则OP 旋转了360120240°-°=°240548\¸=分，即48分钟时，∠MON 的度数是40°如图，OP 在AOB Ð的内部时，MON POM PON Ð=Ð-ÐQ 即4035PON °=°-Ð5PON \Ð=-°此情况不存在，综上所述，48分钟时，∠MON 的度数是40°变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若12COD AOB Ð=Ð，则COD Ð是ACB Ð的内半角．（1）如图1，已知80AOB °Ð=，25AOC °Ð=，COD Ð是AOB Ð的内半角，则BOD Ð=________；（2）如图2，已知68AOB °Ð=，将AOB Ð绕点O 按顺时针方向旋转一个角度()060a a °<<得COD Ð，当旋转的角度a 为何值时，COB Ð是AOD Ð的内半角；（3）已知30AOB °Ð=，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O 以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．如图2，∵BOC Ð是AOD Ð的内半角，AOC BOD a Ð=Ð=，如图4，∵AOD Ð是BOC Ð的内半角，360AOC BOD a Ð=Ð=-，【折叠（翻折）问题】【解题技巧】折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设x 列方程。
初中数学《翻折专题》经典题型50例
翻折练习1一．选择题（共37小题）1．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝＝2，（故④正确）；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．2．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A1+∠A1DB＝90°，即AB⊥CE，再根据勾股定理可得AB＝＝3，最后利用面积法得出AB×CE＝BC×AC，可得CE＝＝，进而依据A1C ＝AC＝4，即可得到A1E＝．【解答】解：∵A1D∥BC，∴∠B＝∠A1DB，由折叠可得，∠A1＝∠A，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A1+∠A1DB＝90°，∴AB⊥CE，∵∠ACB＝90°，AC＝4，，∴AB＝＝3，∵AB×CE＝BC×AC，∴CE＝＝，又∵A1C＝AC＝4，∴A1E＝4﹣＝，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到CE⊥AB以及面积法的运用．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出AB＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC＝30°，在根据折叠的性质得BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中可计算出CF＝，BF＝2CF＝，则EF＝2﹣，在Rt△DEF中计算出FD＝1﹣，ED＝﹣1，然后利用S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝2，∴∠BAC＝30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中，CF＝＝，BF＝2CF＝，∴EF＝2﹣，在Rt△DEF中，FD＝EF＝1﹣，ED＝FD＝﹣1，∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE＝2×BC•AD+AD•ED＝2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）＝1．故选：A．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．4．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG＝GC；通过证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC＝S△GCE﹣S，求得面积比较即可．△FEC【解答】解：①正确．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝GC；③正确．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由：∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3．故④不正确．∴正确的个数有3个．故选：C．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．5．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP 并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠P AB+∠PBA＝90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC＝90°，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．【解答】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP＝EB，∴∠EBP＝∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE＝EB，∴AE＝EP，∴∠P AB＝∠APE，∵∠P AB+∠PBA+∠APB＝180°，即∠P AB+∠PBA+∠APE+∠BPE＝2（∠P AB+∠PBA）＝180°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，由折叠得：BC＝PC，∴∠BPC＝∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠ABP＝∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE＝30°时，才有∠FPC＝∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF＝EC，AD＝BC＝PC，∠ADF＝∠EPC＝90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF＝∠APB＝90°，∠F AD＝∠ABP，当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（）A．13B．C．D．12【分析】利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，∴＝2，GC＝BG＝12，∴AG＝24，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过E点作EF⊥BC于点F，∴EF＝AG＝12，∴＝2，∴FC＝6，设BD＝x，则DE＝x，∴DF＝24﹣x﹣6＝18﹣x，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得：x＝13，则BD＝13．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG 的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．8．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（）A．B．C．2D．3【分析】作辅助线，根据点B的坐标，求出OB和正方形的边长，由正方形的对角线互相垂直平分得：DQ是梯形CMNA的中位线，则CM+AN＝2DQ＝7，证明△CMO≌△ONA，则ON＝CM，所以ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，根据勾股定理列方程求出x的值，并取舍，再根据正方形的边长求出OP的长．【解答】解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示，连接OB、AC，交于点D，过点D、A作x轴的垂线，垂足分别为Q、N，设CB′交x轴于M，则CM∥QD∥AN，∵四边形OABC是正方形，∴OD＝BD，OB⊥AC，∵O（0，0），B（1，7），∴D（，），即DQ＝由勾股定理得：OB＝＝＝5，∵△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝AO＝5，∵DQ是梯形CMNA的中位线，∴CM+AN＝2DQ＝7，∵∠COA＝90°，∴∠COM+∠AON＝90°，∵∠CMO＝90°，∴∠COM+∠MCO＝90°，∴∠AON＝∠MCO，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∵∠CMO＝∠ONA＝90°，∴△CMO≌△ONA，∴ON＝CM，∴ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，在Rt△AON中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x＝3或4，当x＝4时，CM＝3，此时点B在第二象限，不符合题意，∴x＝3，∴OM＝3，∵A′B′＝PM＝5，∴OP＝a＝2，故选：C．【点评】本题是翻折变换问题，考查了翻折的性质和正方形及坐标与图形的性质，首先明确翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；利用三角形全等和梯形中位线的性质，得出直角三角形两直角边的和为7，设未知数，根据勾股定理列方程得出结论．9．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF＝AB；②∠BAF ＝∠CAF；③S四边形ADFE＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对折的性质可得AE＝EF，∠DAF＝∠DF A，∠EAF＝∠AFE，∠BAC＝∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE＝EF，BF＝FC，但并不能说明AE＝EC，∴不能说明EF是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB＝AC，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④∠BDF＝∠BAF+∠DF A，∠FEC＝∠EAF+∠AFE，∴∠BDF+∠FEC＝∠BAC+∠DFE＝2∠BAC，故④对．正确的有两个，故选B．【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等．10．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN 的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）A．2B．4C．D．【分析】首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM＝1：4，然后设DN＝x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．【解答】解：过点N作NG⊥BC于G，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，∴CD＝NG，CG＝DN，∠ANM＝∠CMN，由折叠的性质可得：AM＝CM，∠AMN＝∠CMN，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形，∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM＝1：4，设DN＝x，则AN＝AM＝CM＝CN＝4x，AD＝BC＝5x，CG＝x，∴BM＝x，GM＝3x，在Rt△CGN中，NG＝＝x，在Rt△MNG中，MN＝＝2x，∴＝2．故选：D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．11．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为（）A．B．C．D．【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长，得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，依据△GPH≌△BCM，可得GH＝BM，再利用勾股定理得出BM，即可得到GH的长．【解答】解：设CM＝x，设HC＝y，则BH＝HM＝3﹣y，故y2+x2＝（3﹣y）2，整理得：y＝﹣x2+，即CH＝﹣x2+，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由题意可得：ED＝1.5，DM＝3﹣x，∠EMH＝∠B＝90°，故∠HMC+∠EMD＝90°，∵∠HMC+∠MHC＝90°，∴∠EMD＝∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴＝，即＝，解得：x1＝1，x2＝3（不合题意），∴CM＝1，如图，连接BM，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BM⊥GH，∴∠PGH＝∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH＝BM，∴GH＝BM＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．12．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B 落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用翻折不变性可得AE＝AB＝10，推出DE＝8，EC＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，可得x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，可得y＝3，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADER中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（）个①∠M＝∠DAB′；②PB＝PB′；；④MB′＝CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′＝B′P．A．2B．3C．4D．5【分析】根据∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①；利用折叠的性质可判断出△B'AP≌△BAP，继而可判断出②；设AE＝x，表示出EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的长度，继而可判断出③；利用反证法判断④，最后看得出的结果能证明出来；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，从而可判断出⑤．综合起来即可得出最终的答案．【解答】解：连接AB'，①由题意得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠M＝∠CB'E＝∠DAB'，故可得①正确；②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，∴PB＝PB'，故可得②正确；③在Rt△ADB'可得，B'D＝＝3，从而可得CB'＝5﹣3＝2，设AE＝x，则EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4﹣）2+4＝x2﹣25，解得：x＝，即AE＝．故可得③正确；④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，故有∠BAB'＝∠DAB'，而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'，即假设不成立．故可得④错误．⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，∴∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，∴EB'＝B'P，故可得⑤正确．综上可得①②③⑤正确，共四个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．14．如图，已知△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．【分析】首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝BC，∴AF＝AB＝，∴AC＝＝＝2，由折叠的性质得：AB′＝AB＝2，∠B′＝∠B＝30°，∵∠B′CD＝∠CAB+∠B＝60°，∴∠CDB′＝90°，∵B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，∴CD＝B′C＝﹣1，B′D＝B′C•cos∠B′＝（2﹣2）×＝3﹣，∴DE＝＝＝，∴S阴影＝AC•DE＝×2×＝．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．15．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据中点定义可得DE＝CE，再根据翻折的性质可得DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，从而得到CE＝EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝FG，设CG＝a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD＝BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．【解答】解：连接EG，∵点E是边CD的中点，∴DE＝CE，∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴CE＝EF，在Rt△ECG和Rt△EFG中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG＝FG，设CG＝a，∵＝，∴GB＝4a，∴BC＝CG+BG＝a+4a＝5a，在矩形ABCD中，AD＝BC＝5a，∴AF＝5a，AG＝AF+FG＝5a+a＝6a，在Rt△ABG中，AB＝＝＝2a，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．则阴影部分的周长＝矩形的周长＝2（10+5）＝30．故选：D．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，EC＝2cm，AD上有一点P，P A＝6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是（）cm．A．4B．4.5C．4D．4【分析】首先过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，由矩形ABCD与PF⊥AD，易证得四边形PQHD是矩形，即可求得DH＝PQ，DH＝PD，又由折叠的性质，可得QE＝PQ，然后设PQ＝xcm，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，∴∠DHQ＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝5cm，∴DE＝CD﹣EC＝5﹣2＝3（cm），∵PF⊥AD，∴∠FPD＝90°，∴四边形PQHD是矩形，∴QH＝PD＝AB﹣P A＝10﹣6＝4（cm），DH＝PQ，∵将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，∴PQ＝EQ，设PQ＝xcm，则QE＝DH＝xcm，∴EH＝DH﹣DE＝x﹣3（cm），在Rt△EQH中，QE2＝QH2+EH2，即x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝4．∴PQ＝4cm．故选：D．【点评】此题考查了折叠性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E为AC、BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，使点C的对应点C′落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为（）A．B．C．或D．或【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．【解答】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，∴DC'∥CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，经检验：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如图，当∠DC'A＝90°时，∠DCB＝90°，由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B与CE重合，由∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，∴CD＝；综上所述，CD的长为或．故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G 在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，可得即a2+（2b）2＝（3a）2，进而得出的值．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．如图，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为（）A．6B．5C．4D．3【分析】设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x．∵D是BC的中点，∴BD＝＝3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，解得：x＝5．AN＝5．故选：B．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN＝AN＝x，BN＝9﹣x，从而列出关于x的方程是解题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出＝＝．【解答】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称﹣最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．22．一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．2B．C．D．【分析】在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN﹣MN＝EM．设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解方程即可得到EM的长．【解答】解：∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，在Rt△ABD中，BD＝＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，∴MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．故选：D．【点评】本题考查折叠问题，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当A1E⊥AB时，的值等于（）A．B．C．D．【分析】先延长AB，D1A1交于点G，根据三角形三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，在Rt△A1GE中，依据勾股定理可得A1E2+GE2＝A1G2，进而得出方程x2+（x+2）2＝（2x）2，据此可得AE＝1+，即可得出的值．【解答】解：如图所示，延长AB，D1A1交于点G，∵A1E⊥AB，∠EA1C＝∠A＝120°，∴∠G＝120°﹣90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，∴∠G＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，∴GE＝1+x+1＝x+2，∵Rt△A1GE中，A1E2+GE2＝A1G2，∴x2+（x+2）2＝（2x）2，解得x＝1+，（负值已舍去）∴AE＝1+，∴＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．解题时注意方程思想的运用．24．如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（）A．B．C．2D．【分析】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，由平行线的性质得出HAE＝∠B＝45°，得出△BPE 和△AEH是等腰直角三角形，得出BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，GM＝HP＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理求出GH＝，得出PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出PF＝2﹣4，再由三角函数定义即可得出结果．【解答】解：过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，如图所示：则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAE＝∠B＝45°，∴△BPE和△AEH是等腰直角三角形，∴BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，∴GM＝HP＝2+1＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理得：12+GH2＝（2）2，解得：GH＝±（负值舍去），∴GH＝，∴PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得：32+（﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝2﹣4，∴PF＝2﹣4，∴tan∠EFG＝tan∠EFB＝＝＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．25．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G．若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为（）A．B．C．D．2【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，∴OG＝GH•sin60°＝2×＝，由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，∴PG＝＝，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC＝180°，∴∠MCG+∠OMC＝180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM＝CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM＝OG＝，根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，∴DN+CM＝2PG＝，∴DN＝﹣；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．26．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A 恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG．其中正确结论的序号是（）A．①②③④⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①④⑤【分析】①根据折叠的性质我们能得出∠ADG＝∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；②由tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，即可求得tan∠AED＝＞2，即可得②错误；③由AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得即可求得S△AGD＞S△OGD；④我们根据折叠的性质就能得出AE＝EF，AG＝GF，只要再证出AE＝AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度数进行求解，①中应经求出了∠AGD的度数，那么就能求出∠AGE的度数，在直角三角形AED中，有了∠ADE 的度数，就能求出∠AED的度数，这样得出AE＝AG后就能证出AEFG是菱形了．⑤我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．【解答】解：∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F 重合，∴∠GAD＝45°，∠ADG＝∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝112.5°，∴①正确．∵tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED＝＞2，∴②错误．∵AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，∴③错误．根据题意可得：AE＝EF，AG＝FG，又∵EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，又∵∠AEG＝∠FEG，。
初中数学几何最值专题24：翻折理解型最值(最全修正版)
翻折理解型最值【例题精讲】例1、如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为。
解析提示：总结：例2、如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕FG的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10．则AE的最大值是，最小值是。
解析提示：总结：例3、如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折叠EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB ＝8cm，BC＝10cm，则折痕EF的最大值是。
解析提示：总结：例4、动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD 边上移动．求：（1）当点Q与点D重合时，A′C的长是多少？（2）点A′在BC边上可移动的最大距离是多少？解析提示：总结：针对训练1、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为。
2、如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于。
3、动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为。
(完整版)立体几何中的翻折问题
从而O1F= O1AO1C
AC 所以sin∠O1FE=
O1E O1F
=2 =
3 13
.又O1E=OO1·sin30°=
13 .
4
3,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连接O1F,
则EF是O1F在平面AOC内的射影.
由线面垂直得AC⊥O1F，
所以∠O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.
由已知，OA=3，OO1= 3，O1C=1，
所以O1A= OA2 OO12 =2 3 ,AC= O1A2 O1C2 = 13 ，
H
又因为BC⊂平面β，所以BC⊥D′E， 所以BC⊥α. 而D′C ⊂ α，所以BC⊥D′C， 所以∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角.
由于∠D′CA=45°，
所以二面角β-BC-γ的大小为45°.
VD' - ABC
=
1 3
SDABC
•
D'O
=
1 3
•
1 2
AC
•
BC
•
D'O
=
1 3
ga2
g
6 4
a
=
6 12
a3
规律小结：
分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不 变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系.
如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为 3 的等
腰梯形（如图①）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②).
(1)证明：AC⊥BO1； (2)求二面角O—AC—O1的正弦值.
立体几何中的翻折问题
如有一只小虫要从A爬到点M， 所走的最短路径是什么？
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翻折专题
1.（本小题10分）（Ⅰ）如图1，在平面直角坐标系中，将矩形纸片的顶点与原点O重合，边放在轴的正半轴上，边放在y轴的正半轴上，
．将纸片折叠，使点落在边上的点处，过点作⊥于点，折痕所在直线与直线相交于点P，连结OP．求证：四边形
是菱形；
（Ⅱ）设点P坐标是，点P的轨迹称为折叠曲线，求与的函数关系式（用含
的代数式表示）；
（Ⅲ）将矩形纸片如图2放置，，，将纸片折叠，当点与点
重合时，折痕与的延长线交于点．试问在这条折叠曲线上是否存在点，使得△K CF 的面积是△KOC面积的，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案（Ⅰ）由题意知OM=ME,ⅠOMN=ⅠEMN,
∵OM∥EP,∴∠OMN=∠MPE.∴∠EMN=∠MPE.∴ME= EP.∴OM= EP.∴四边形OMEP是平行四边形.
又∵ME= EP, ∴四边形OMEP是菱形.
（Ⅱ）∵四边形OMEP是菱形, ∴OP=PE∴，∵EQ=OA=m,PQ=y,
∴PE=m－y. ∴.
∵∴
∴.
（Ⅲ）假设折叠曲线上存在点K满足条件.
当.作KG⊥DC于G, KH⊥OC于H.设K(x,y),则
.当. ∴F(12,－5) ∴ CF=
5.
∵, ∴=×，∴. 7’
∴K().∵点K在上, ∴=.化简得:
解得:
当时，.∴存在点K(，).
2.如图，将一个正方形纸片AOCD，放置在平面直角坐标系中，点A（0，4），点O（0，0），点D在第一象限．点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接OP，O H．设P点的横坐标为m．
（Ⅰ）若∠APO=60°，求∠OPG的大小；
（Ⅱ）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；
（Ⅲ）设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
答案详解【解答】解：（1）Ⅰ正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，ⅠⅠPOC=ⅠOPG，
∵四边形AOCD是正方形，∴AD∥OC∴∠APO=∠POC∴∠APO=∠OPG，
∵∠APO=60°，∴∠OPG=60°，
（2）△PDH的周长不发生变化，理由：如图，过B作OQ⊥PG，垂足为Q．
∴∠DAO=90°，∴∠DAO=∠PQO=90°，由（1）知，∠APO=∠OPG，∵OP=OP，
∴△AOP≌△QOP，∴AP=QP，AO=QO，∵AO=OC，∴OC=OQ，∵∠OCD=∠OQH=90°，OH=OH，∴Rt△OCH≌Rt△OQH，∴CH=QH，∴△PDH的周长l=PD+DH+PH=PD+DH+P Q+QH
=PD+PQ+DH+QH=PD+AP+DH+CH=AD+CD=8，
∴△PDH的周长不发生变化，周长为定值8；
（3）如图2，过点F作FM⊥OA，
由折叠知，△EON与△EPN关于直线EF对称，∴△EON≌△EPN，∴ON=PN，EP=EO，E N⊥PO，∵∠A=∠ENO，∠AON=∠AOP，∴△EON∽△POA，∴①，
设AP=x，∵点A（0，4），∴OA=4，∴OP==，
∴ON=OP=，将OP，ON代入①式得，OE=PE=（16+x2），
∵∠EFM+∠OEN=90°，∠AOP+∠OEN=90°，∴∠EFM=∠AOP，
在Rt△EFM和Rt△POA中，，
∴Rt △EFM ≌Rt △POA （ASA ），∴EM=AP=x ．∴FG=CF=OM=OE ﹣EM=（16+x 2）﹣x
=
x 2﹣x+2，
∴S 梯形EFGP =S 梯形OCFE =
（FG+OE ）×
BC= 【
x 2﹣x+2+
（16+x 2）】×
4=（x ﹣2）2+6，
∴当x=2时，S 梯形EFGP 最小，最小值是6，∴AP=2，∴P （2，4）．
3..已知点
，点为直线
上的动点，设。
（1）如图1，若点且
，
，求与之间的函数关系式。
（2）在（1）的条件下，是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。
（3）如图2，当点的坐标为时，在轴上另取两点，，且。
线段
在
轴上平移，线段
平移至何处时，四边形的周长最小？求出此时点的坐标。
答案详解
解：（1）如图1所示，过点作轴于点。
因为，所以
，。
因为，
所以，，所以，又因为，所以，所以，即，故（）。
（2）因为二次函数对称轴为：，所以根据二次函数图象的性质，时有
最大值，此时。
（3）如图2所示，过点作轴，令，连接，作点关于轴对称的点，当、、三点共线时，最小，又因为、为定值，所以此时四边形的周
长最小，因为，，设直线的解析式为：，所以将，代入，可得：
，解得：，所以，因为点为直线与轴交点，所以点坐标为。
4.如图①,在矩形ABCD中, , ,将矩形折叠,使B落在边(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边(含端点)交于点F,然后展开铺平,则以B、E、F
为顶点的称为矩形ABCD的“折痕三角形”
(Ⅰ)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕”是一个三角形;
(Ⅱ)如图②,当“折痕”的顶点E位于AD的中点时,求出点F的坐标;
(Ⅲ)如图③,在矩形ABCD中,该矩形是否存在面积最大的“折痕”?若存在,请求出此最大面积,并求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(I)由折叠的定义可以知道,为矩形ABCD的“折痕三角形”时,, 是等腰三角形. 因此，本题正确答案是:等腰;
如图②所示, 折痕垂直平分BE,,
点A在BE的垂直平分线上,即折痕经过点A, 四边形ABEF为正方
形, ,
点F的坐标为;
矩形ABCD存在面积最大的折痕
,
(1)当F在BC上时,如图②所示, ,即当F与C重合时,面积最大为4;
(2)当F在CD上时,如图③所示,
过F作交AB于点H,交BE于K, •
,
••
,
,
即当F为CD的中点时,的面积最大为4; 下面求面积最大时,点E的坐标,
(1)当F与点C重合时,如图④所示,由折叠可以知道:,
在中,,
, 点E的坐标;
(2)当F在DC中点时,点E与点A重合,如图⑤所示,此时,
综上所述,折痕的最大面积为4时,点E的坐标为或
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是(0，4)，现有两动点P、Q，点P从点0出发沿线段OC(不包括端点O、C)以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C
运动，点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C，D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P、Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t＝2时，PQ＝ 2 5 .
(1)求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
(2)连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△A EF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S 的值.
(3)在(2)的条件下，t为何值时，PQ∥AF？
答案
解：(1)t=2时，OP=2×2=4，CQ=2×1=2，
又∵A(0，4)，∴OA=4，∴点D的坐标为(8，4)，点P运动到点C的时间为：8÷2=4秒，点Q运动到点D的时间为：4÷1=4秒，∵点P、Q同时出发，同时停止，∴0＜t＜4；(2)△AEF的面积S不变，为32．
∴QF=2DQ=2(4-t)，
= 12QF(AD+CE)，= 12×2(4-t)×(8+ 8t4-t)，=32-8t+8t，=32是定值，∴△AEF的面积S不变，为32；
(3)由翻折的性质AF=AQ，
故答案为：(1)0＜t＜4；(2)ⅠAEF的面积S不变，为32;(3)6-2 5.
6.如图,将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中,其中,,P为AB 边上一个动点,折叠该纸片,使O点与P点重合,折痕l与OP交于点M,与对角线AC交于Q 点
(Ⅰ)若点P的坐标为,求点M的坐标;
(Ⅱ)若点P的坐标为
(1)求点M的坐标(用含t的式子表示)(直接写出答案)
(2)求点Q的坐标(用含t的式子表示)(直接写出答案)
(Ⅲ)当点P在边AB上移动时,的度数是否发生变化?如果你认为不发生变化,写出它的角度的大小.并说明理由;如果你认为发生变化,也说明理由.
答案详解解：(Ⅰ)过M作轴于点E,如图1,
根据题意可以知道M为OP中点,为OA中点,,
,点坐标为;
(Ⅱ)(1)同(Ⅰ),当时,可得;
(2)设直线OP的解析式为,把代入可求得,直线OP解析式为
,又,可设直线MQ解析式为,且过点, 把M点坐标代入可得,计算得出,
直线l解析式为,又直线AC解析式为,
联立直线l和直线AC的解析式可得,计算得出
,点坐标为;
(Ⅲ)不变化,.理由如下:由(Ⅱ)(2)可以知道Q点坐标为,
,又,,
,是以OP为斜边的等腰直角三角形,
,即不变化.。