2019高考数学大二轮复习专题2函数与导数第2讲综合大题部分真题押题精练文

第2讲 综合大题部分

1.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2

＋(2a ＋1)x .

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a

－2. 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝＋＋x .

若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，

故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

若a <0，则当x ∈(0，－12a

)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－12a

，＋∞)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(0，－12a )上单调递增，在(－12a

，＋∞)上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f (－12a )＝ln(－12a )－1－14a

. 所以f (x )≤－34a －2等价于ln(－12a )－1－14a ≤－34a －2，即ln(－12a )＋12a

＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x

－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.

所以当x >0时，g (x )≤0.

从而当a <0时，ln(－12a )＋12a

＋1≤0， 即f (x )≤－34a

－2. 2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x .

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围．

解析：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x

.

令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2.

当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0；

当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0；

当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.

所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．

(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x .

当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ，则h ′(x )＝－x e x <0(x >0)．

因此h (x )在[0，＋∞)单调递减．而h (0)＝1，

故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.

当00(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)单调递增． 而g (0)＝0，故e x

≥x ＋1.

当0(1－x )(1＋x )2，(1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)＝－x (x 2＋x ＋a －1)，取x 0＝5－4a －12

，则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0，故f (x 0)－ax 0－1>0， 即f (x 0)>ax 0＋1.

当a ≤0时，取x 0＝5－12

，则x 0∈(0,1)， f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1.

综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．

3．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ax2＋x －1ex

. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程；

(2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥0.

解析：(1)f ′(x )＝－ax2＋－

＋2ex ，f ′(0)＝2.

因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是

2x －y －1＝0.

(2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥(x 2＋x －1＋e

x ＋1)e －x . 令g (x )＝x 2＋x －1＋e x ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1

. 当x ＜－1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；

当x ＞－1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．

所以g (x )≥g (－1)＝0. 因此f (x )＋e≥0.

1.已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x

(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；

(2)当a ≤12

时，讨论函数f (x )的单调性． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ，x ∈(0，＋∞)，

所以f ′(x )＝1x ＋1，f ′(1)＝11

＋1＝2， f (1)＝ln 1＋1＝1，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.

(2)因为f (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x

， 所以f ′(x )＝1x ＋a －a －1x2＝ax2＋x －a ＋1x2

(x ∈(0，＋∞))．(不可忽视函数的定义域) 令g (x )＝ax 2

＋x －a ＋1(x ∈(0，＋∞))，

①当a ＝0时，g (x )＝x ＋1，而x >0，

所以g (x )>0，f ′(x )>0，

所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

②当a ≠0时，g (x )＝(ax ＋1－a )(x ＋1)＝a (x －a －1a

)(x ＋1)． (i)当a <0时，a －1a

>0， 当x ∈(0，a －1a

)时，g (x )>0，f ′(x )>0， 故函数f (x )在(0，a －1a

)上单调递增， 当x ∈(a －1a

，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0， 故函数f (x )在(a －1a

，＋∞)上单调递减． (ii)当0

<0， 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0，所以f ′(x )>0，

即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

(iii)当a ＝1时，a －1a

＝0， 故当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0，所以f ′(x )>0，

即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

(iv)当a >1时，a －1a

>0， 当x ∈(0，a －1a )时，g (x )<0，f ′(x )<0，