08年高考数学江西卷(理)最后一题研究

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08年高考数学江西卷（理）最后一题有点难
22．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝x +11＋a +11＋8
+ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间；
（2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2． 令ax
c x b 8,==,则第(2)等价于:若a,b,c>0,abc=8求证:
上式不等式(1)与2004年西部奥林匹克设a,b,c 是正数，求证：12222+++<c b b b a a
类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。

出。

另外，2003年中国数学奥林匹克第三题：
给定正数n,求最小正数λ,)(2
2212π
θ=n ,就有n θθθcos ...cos cos 21∙∙
答案:当当n=33222tan ,tan θθ=c 即得(1)右边的等式。

2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。

由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。

所以第（2）小题不宜作高考题。

此题也引起了张景中院士的兴趣，在“张景中院士解江西高考压轴题”一贴中
2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。

22．解：()1、当8a =时，(
)13f x =+，求得()
f x '=， 于是当(0,1]x ∈时，()0f x '≥；而当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≤．
即()f x 在(0,1]中单调递增，而在[1,)+∞中单调递减．
（2）.对任意给定的0a >，0x >
，由()f x =， 若令8b ax =，则8abx =…①，而(
)f x =+…② （一）、先证()1f x >
11x >+
11a >+
11b >+，
又由28a b x +++≥≥=，得6a b x ++≥．所以
2 只要证(1)(1)8
ab ab a b ab >+++，即8(1)(1)ab a b +>++，即7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得()2f x <．综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．
说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。

问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。

平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。

2008-07-1221:03scpajmb的发言：
确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道2005年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。

当然，宋老师也是不等式高手。

我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。