圆锥曲线综合总复习
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姓 名
年级
性 别
学 校
学 科
教师
上课日期
上课时间
课题
圆锥曲线复习
一、定义
1.椭圆 上一点 到焦点 的距离为2， 为 的中点， 是椭圆的中心，则 的值是4。
2．设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为7．
3抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
所以直线AB的方程为：
五、定点、定值问题
17、已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ， 求证： 为定值.
证明：设交点
由 消去y得
则有
所以 为定值
18.已知椭圆C中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，短轴长为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线 ： 与椭圆交于不同的两点 （ 不是椭圆的左、右顶点），且以 为直径的圆经过椭圆的右顶点 ．求证：直线 过定点，并求出定点的坐标．
（Ⅱ）在 上是否存在点 ，使得对任意直线 ，直线 ， ， 的斜率始终成等差数列，若存在求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
试题解析：（Ⅰ）焦点 ∵直线 的斜率不为 ，所以设 ，
， 由 得 ， ， ，
， ，
∴ ，∴ ．∴直线 的斜率 ，
∵ ，∴ ，∴直线 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ， ，同理 ， ，∵直线 ， ， 的斜率始终成等差数列，
当m= 时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为 = ，此时点P的坐标是( , )；
当m=- 时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为 = ，此时点P的坐标是( , )。
20.设AB是过椭圆 中心的弦，F1是椭圆的上焦点，
（1）若△ABF1面积为4 ，求直线AB的方程；（2）求△ABF1面积的最大值。
七 垂直关系
21.已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，短轴的两个端点分别为 、 。
(1)若 为等边三角形，求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的短轴长为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程。
解：（1）设椭圆 的方程为 （ ）。
根据题意知 ，解得 ， ，故椭圆 的方程为 。
（2）容易求得椭圆 的方程为 。
解答：连PF，当A、P、F三点共线时， 最小，此时AF的方程为 即y=2 (x-1),代入y2=4x得P(2,Βιβλιοθήκη Baidu )，
4．已知点（－2，3）与抛物线 （ ）的焦点的距离是5，则 =____4_____．
二、标准方程
5.根据下列条件求椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点 到两焦点的距离之和为26；
6.与曲线 共焦点，而与 共渐近线的双曲线方程为(A)
7.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（B）
A．y 2=-2xB．y2=-4xC．y2=2xD．y2=-4x或y2=-36x
三 几何性质
8．双曲线 的一个焦点是 ， 则m的值是__-2______ _。
四 直线与圆锥曲线
14.若直线 与椭圆 有两个公共点，则实数 的取值范围为。
15.设椭圆 的左右两个焦点分别为 、 ，过右焦点 且与 轴垂直的直线 与椭圆C相交，其中一个交点为 。
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线 交椭圆C于另一点N，求 的面积。
解：由（1）点B（0， ）， ，直线BF2的方程为：
解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，则
解得 ∴椭圆C的标准方程为 ．……… 4分
（Ⅱ）由方程组 消去 ，得 ………… 6分
由题意△ ，整理得： ①…………7分
设 ，则 ， ……… 8分
由已知， ，且椭圆的右顶点为 ，∴ ………… 10分
即 ，也即 ，
整理得 ．解得 或 ，均满足①…………… 11分
9．如果双曲线的渐近线方程为 ，则离心率为______ 或 ______
10.椭圆 和双曲线 有相同的焦点，则实数 的值是（B）
25 9
11．抛物线 的焦点坐标是（B）．
A． B． C． D．
12.已知点 是椭圆 上的一点， 、 为焦点，若 ，则 的面积为 。
13.椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上，若 ，则 2； 120O。
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，不符合题意舍去；
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，
故直线 过定点，且定点的坐标为 ．……………………… 13分
六、最值问题
19.在椭圆 求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。
解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆 相切，则 ，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,Δ=0,解得m= .
解：（1）设AB：y=kx，代入椭圆 ，得x2= = ，∴x1=-x2= ，
又，S△ABF1= |OF1|·|x1-x2|=2|x1-x2|=4 ，∴|x1-x2|=2 ，
∴ =5，∴k= ，∴直线AB的方程为y= x。
（2）S△ABF1= |OF1|·|x1-x2|=4· ，∴当k=0时，(S△ABF1)Max=12。▋
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 。
由 ，得 。
设 ， ，则 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，即
，
解得 ，即 。故直线 的方程为 或 。
八 存在性问题
22．如图，已知抛物线 ： ，过焦点 斜率大于零的直线 交抛物线于 、 两点，且与其准线交于点 ．（Ⅰ）若线段 的长为 ，求直线 的方程；
消去y得： ，解得
所以点N的坐标为（ ， ）
所以
定理在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则 .
16.已知一直线与椭圆 相交于 、 两点,弦 的中点坐标为 ，求直线AB的方程.
解：设交点 ，则有 ，
（2）-（1）得
即 ，又直线AB过点（1，1）
∴ 恒成立，
即 恒成立．∴ ，把 ， 代入上式，得 恒成立， ．∴存在点 或 ，使得对任意直线 ，直线 ， ， 的斜率始终成等差数列．
年级
性 别
学 校
学 科
教师
上课日期
上课时间
课题
圆锥曲线复习
一、定义
1.椭圆 上一点 到焦点 的距离为2， 为 的中点， 是椭圆的中心，则 的值是4。
2．设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为7．
3抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
所以直线AB的方程为：
五、定点、定值问题
17、已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ， 求证： 为定值.
证明：设交点
由 消去y得
则有
所以 为定值
18.已知椭圆C中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，短轴长为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线 ： 与椭圆交于不同的两点 （ 不是椭圆的左、右顶点），且以 为直径的圆经过椭圆的右顶点 ．求证：直线 过定点，并求出定点的坐标．
（Ⅱ）在 上是否存在点 ，使得对任意直线 ，直线 ， ， 的斜率始终成等差数列，若存在求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
试题解析：（Ⅰ）焦点 ∵直线 的斜率不为 ，所以设 ，
， 由 得 ， ， ，
， ，
∴ ，∴ ．∴直线 的斜率 ，
∵ ，∴ ，∴直线 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ， ，同理 ， ，∵直线 ， ， 的斜率始终成等差数列，
当m= 时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为 = ，此时点P的坐标是( , )；
当m=- 时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为 = ，此时点P的坐标是( , )。
20.设AB是过椭圆 中心的弦，F1是椭圆的上焦点，
（1）若△ABF1面积为4 ，求直线AB的方程；（2）求△ABF1面积的最大值。
七 垂直关系
21.已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，短轴的两个端点分别为 、 。
(1)若 为等边三角形，求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的短轴长为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程。
解：（1）设椭圆 的方程为 （ ）。
根据题意知 ，解得 ， ，故椭圆 的方程为 。
（2）容易求得椭圆 的方程为 。
解答：连PF，当A、P、F三点共线时， 最小，此时AF的方程为 即y=2 (x-1),代入y2=4x得P(2,Βιβλιοθήκη Baidu )，
4．已知点（－2，3）与抛物线 （ ）的焦点的距离是5，则 =____4_____．
二、标准方程
5.根据下列条件求椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点 到两焦点的距离之和为26；
6.与曲线 共焦点，而与 共渐近线的双曲线方程为(A)
7.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（B）
A．y 2=-2xB．y2=-4xC．y2=2xD．y2=-4x或y2=-36x
三 几何性质
8．双曲线 的一个焦点是 ， 则m的值是__-2______ _。
四 直线与圆锥曲线
14.若直线 与椭圆 有两个公共点，则实数 的取值范围为。
15.设椭圆 的左右两个焦点分别为 、 ，过右焦点 且与 轴垂直的直线 与椭圆C相交，其中一个交点为 。
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线 交椭圆C于另一点N，求 的面积。
解：由（1）点B（0， ）， ，直线BF2的方程为：
解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，则
解得 ∴椭圆C的标准方程为 ．……… 4分
（Ⅱ）由方程组 消去 ，得 ………… 6分
由题意△ ，整理得： ①…………7分
设 ，则 ， ……… 8分
由已知， ，且椭圆的右顶点为 ，∴ ………… 10分
即 ，也即 ，
整理得 ．解得 或 ，均满足①…………… 11分
9．如果双曲线的渐近线方程为 ，则离心率为______ 或 ______
10.椭圆 和双曲线 有相同的焦点，则实数 的值是（B）
25 9
11．抛物线 的焦点坐标是（B）．
A． B． C． D．
12.已知点 是椭圆 上的一点， 、 为焦点，若 ，则 的面积为 。
13.椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上，若 ，则 2； 120O。
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，不符合题意舍去；
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，
故直线 过定点，且定点的坐标为 ．……………………… 13分
六、最值问题
19.在椭圆 求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。
解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆 相切，则 ，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,Δ=0,解得m= .
解：（1）设AB：y=kx，代入椭圆 ，得x2= = ，∴x1=-x2= ，
又，S△ABF1= |OF1|·|x1-x2|=2|x1-x2|=4 ，∴|x1-x2|=2 ，
∴ =5，∴k= ，∴直线AB的方程为y= x。
（2）S△ABF1= |OF1|·|x1-x2|=4· ，∴当k=0时，(S△ABF1)Max=12。▋
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 。
由 ，得 。
设 ， ，则 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，即
，
解得 ，即 。故直线 的方程为 或 。
八 存在性问题
22．如图，已知抛物线 ： ，过焦点 斜率大于零的直线 交抛物线于 、 两点，且与其准线交于点 ．（Ⅰ）若线段 的长为 ，求直线 的方程；
消去y得： ，解得
所以点N的坐标为（ ， ）
所以
定理在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则 .
16.已知一直线与椭圆 相交于 、 两点,弦 的中点坐标为 ，求直线AB的方程.
解：设交点 ，则有 ，
（2）-（1）得
即 ，又直线AB过点（1，1）
∴ 恒成立，
即 恒成立．∴ ，把 ， 代入上式，得 恒成立， ．∴存在点 或 ，使得对任意直线 ，直线 ， ， 的斜率始终成等差数列．