拉氏反变换方法：

f (t) ut t et 1 t et ,t 0
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 Fs
1
s2 2s 3 s 2
，求其反变换。
解：令F
s
as b
s2 2s
3
s
c
2
as bs 2 cs2 2s 3 1
a 1 ,b 0, c 1
s p1 s p2
s pn1 s pn
e e e f t L1 F s c1 p1t c2 p2t cn pnt 1 t
例2 4
求X s
s2
s
3 3s
2
的拉氏反变换
X
s
s2
s
3 3s
2
s
s3
1s
2
c1 s 1
c2 s2
c1
s
s3
1s
2
s
1
s1
§4拉氏反变换方法：
1. 利用拉氏变换表（附录A） 2. 利用部分分式展开法，然后再
利用已知函数的拉氏变换和拉 氏变换的性质
控制系统象函数的一般形式：
使分子为零的S值称为 函数的零点
bss abss ab ab Fs
m
m1
s
0
1
m1
m
n
n1
s
1
n1
n
n m
将分母因式分解后，包括三种不 同的极点情况，采用部分分式法进行
1)
d
s2
1
a c d 0 a c 1
(a c d ) s2 (a b c)s b 1 a b c 0 b 1
b 1
d 1
F (s)
as 1 s2
c s
s
1 1
(a
c)s s2
1
s
1 1
F (s)
s 1 s2
s
1 1
1 s
1 s2
s
1 1
§拉氏变换公式表
F (s)
(s
1 p1)(s
p2)
s2
(
p1
1 p2)s
p1
p2
s2
2s
1
(
2
w2)
(s
1 )2
w2
(s
w )2
w2
1 w
sin
wt
e
t
1 w
3，当解出 s 为重根，即 D(s) (sa)n ，用凑分法分解。
例：F
(s)
s2
1 (s 1)
as s2
b
c s
d s 1
(as
b)(s
1)
cs(s
s
L1
s2 2s
s 13
3
Fs
s2 2s 3
s 13
s
3
13
s
2
12
s
1
1
其中：
3
s2 2s
s 13
3
s
13
s1
2
2
d ds
s2
2s
3
s 1
2s 2
s 1
0
1
1 d2
2!
ds
2
s2
2s
3
s1
1 2
d ds
2s
2
s1
1
即：F s
1 2
t
cos
3t
3
2
3
Байду номын сангаас
1 2
t
s
in
3 2
t
1
1(t )
3、含有多重极点情况：
F
s
b0 sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
n m
b0 sm b1sm1
s p1 s p2
bm1s
s pl
bm
s p1
1
s p1 1
3
3
F
(s)
1 3
s
2
s 2s
3
1 3
s
1
2
1 3
s 11
s12 2
1 3
s
1
2
1 3
s 1 s12
2
1 3
s
1 12
2
1 3
s
1
2
f (t) 1 et cos 2t 1 et sin 2t 1 e2t
3
32
3
2
X s 2 1
s1 s2
c2
s
s3
1s
2 s
2
s2
1
xt 2et e2t 1t
2、含有共扼复极点情况：
例2 5
L1
s
3
s
1 s2
s
-1 0 1
s3
s
1 s2
s
s1 s s2 s 1
a1s s2 s
a2 1
a3 s
通分、比较系数 s 1
s 1
a1s a2 s sa33s2s2 s s1ss21s 1 s
F(s)
N (s)
k1 k2 .... kn
(s p1)(s p2) (s pn) s p1 s p2
s pn
其中 ki F (s) (s pi) |s pi ，则：f (t) k1e p1t k2 e p2t .... kn e pnt
2，当解出s等于一对共轭复根，即 s p1,2 jw ，则：
1
s p1
2
s p2
l
s pl
其中 k 的求法：
F s s p1 s p1
1
d ds
F ss
p1
s p1
j
1 dj
j!
ds
j
Fs
s
p1
s p1
1
1 d 1
1!
ds
1
F ss p1
s p1
例2 7
求
:
L1 F
s
2
13
s
1 1
f t t2 et et 1t
3、典型信号拉氏变换
f (t)
F (s)
f (t)
(t) 1
eat
u (t )
1 s
sin wt
tn
n!
cos wt
s n 1
F (s)
1 sa
w s2 w2
s s2 w2
f (t)
tn eat
F (s)
n!
( s a ) n 1
a1 a3 s2 a2 a3 s a3 s 1 有：a1 a3 0
a2 0 a1 1
a2 a3 1 a3 1
s2
s s 1
1 s
s 1 3 2 2
s
1 2
2
3 2
3
3 2
1 s
s1
2
s
1 2
2
2
3 2
3
3
2
3
s
1 2
2
1
3 2
2
s
e e f (t)
w eat sin wt (sa)2 w2
sa eat cos wt (sa)2 w2
WELL
三、拉氏反变换
通常F(s)能表示为有理真分式形式： F (s) 令D(s)=0,求出F（s）的极点。
N (s) D(s)
m
bk
k 1
n
ai
sk si
,n
m。
i1
1，当解出 s pi , (i 1,2,......n) 为单根时，对F(s)作因式分解：
拉氏反变换
1、只含有不同单极点情况：
b ss abss ab ab Fs
m
m1
s
0
1
m1
m
n
n1
s
1
n1
n
n m
b s b s b b m
m1
s
0
1
m1
m
s p s p s p
1
2
n
ck为极点s pk上的留数，ck F s s pk s p
k
c1 c2 cn1 cn