动态规划方法求解线性规划问题(2020年九月整理).doc
什么是动态规划算法，常见的动态规划问题分析与求解
什么是动态规划算法，常见的动态规划问题分析与求解理解动态规划动态规划中递推式的求解⽅法不是动态规划的本质。
我曾经给学校参加NOIP的同学多次讲过动态规划，我试着讲⼀下我理解的动态规划，争取深⼊浅出。
希望你看了我的答案，能够喜欢上动态规划。
0. 动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移⽅程的定义。
引⾃维基百科dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的⽅式去解决。
本题下的其他答案，⼤多都是在说递推的求解⽅法，但如何拆分问题，才是动态规划的核⼼。
⽽拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移⽅程的定义。
1. 什么是状态的定义？⾸先想说⼤家千万不要被下⾯的数学式吓到，这⾥只涉及到了函数相关的知识。
我们先来看⼀个动态规划的教学必备题：给定⼀个数列，长度为N，求这个数列的最长上升（递增）⼦数列（LIS）的长度.以 1 7 2 8 3 4 为例。
这个数列的最长递增⼦数列是 1 2 3 4，长度为4；次长的长度为3，包括 1 7 8; 1 2 3 等.要解决这个问题，我们⾸先要定义这个问题和这个问题的⼦问题。
有⼈可能会问了，题⽬都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字⾯上看，找不出⼦问题，⽽没有⼦问题，这个题⽬就没办法解决。
所以我们来重新定义这个问题：给定⼀个数列，长度为N，设为：以数列中第k项结尾的最长递增⼦序列的长度.求中的最⼤值.显然，这个新问题与原问题等价。
⽽对于来讲，都是的⼦问题：因为以第k项结尾的最长递增⼦序列（下称LIS），包含着以第中某项结尾的LIS。
上述的新问题也可以叫做状态，定义中的“为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。
线性规划问题求解
线性规划简介线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，称为线性规划（Linear programming），英文缩写LP。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力、物力等资源，使经济效果达到最好，为做出最优决策提供科学依据。
一般地，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
线性规划的模型建立从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3……，xn），其中n为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案。
2、目标函数是决策变量的线性函数。
根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
3、约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
线性规划的模型的求解1 在系统中安装“规划求解”Office20031.1 启动excel。
打开“工具”菜单，如果没有“规划求解”，单击“加载宏”。
弹出以下窗口：1.2 在复选框中选中“规划求解”，单击“确定”后返回excel。
这时在“工具”菜单中出现“规划求解”，关闭“工具”菜单。
Office20071.1 启动excel。
打开“数据”选项卡，如果没有“规划求解”，单击“菜单”——“Excel选项”。
弹出以下窗口：按钮。
弹出以下窗口：1.2 在复选框中选中“规划求解”，单击“确定”后返回excel。
这时，在“数据”选项卡中出现“规划求解”。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
在线性规划中，我们需要找到一组变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列线性约束条件。
动态规划方法可以帮助我们高效地解决这类问题。
首先，我们需要明确线性规划问题的数学模型。
假设我们有n个变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn) ≤ b1, g2(x1, x2, ..., xn) ≤ b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) ≤ bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个关于变量x1, x2, ..., xn的线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是关于变量x1, x2, ..., xn的线性不等式，b1, b2, ..., bm是常数。
接下来，我们可以使用动态规划方法求解线性规划问题的最优解。
具体步骤如下：1. 定义状态：我们需要定义子问题的状态。
在这里，我们可以将线性规划问题的状态定义为子问题的目标函数值。
2. 确定状态转移方程：我们需要确定子问题之间的转移关系。
在这里，我们可以使用递推的方式来定义子问题之间的关系。
假设dp[i]表示目标函数值为i时的最优解，那么我们可以得到状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i - c1] + v1, dp[i - c2] +v2, ..., dp[i - cn] + vn)，其中ci表示第i个约束条件的系数，vi表示第i个约束条件的常数。
3. 初始化边界条件：我们需要初始化子问题的边界条件。
在这里，我们可以将dp[0]初始化为0，表示目标函数值为0时的最优解。
4. 递推求解：我们可以使用动态规划的递推方式来求解子问题的最优解。
从dp[1]开始，依次计算dp[2], dp[3], ..., dp[k]，直到dp[m]，其中m为目标函数的最大值或最小值。
线性规划问题的求解
线性规划问题的求解在数学中，线性规划 (Linear Programming，简称LP) 问题是目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
线性规划是最优化问题中的重要领域之一。
很多运筹学中的实际问题都可以用线性规划来表述。
线性规划的某些特殊情况，例如网络流、多商品流量等问题，都被认为非常重要，并有大量对其算法的专门研究。
很多其他种类的最优化问题算法都可以分拆成线性规划子问题，然后求得解。
在历史上，由线性规划引申出的很多概念，启发了最优化理论的核心概念，诸如“对偶”、“分解”、“凸性”的重要性及其一般化等。
我们在以前的学习过程中曾经接触过最简单的线性规划——平面规划，但由于其是在平面上求解，形式较为简单，通过作图和平移目标函数即可得到最优解。
但是通过对平面规划的类比，我们可以得出求解线性规划问题的一般方法——单纯形法。
几何上，线性约束条件的集合相当于一个凸包或凸集，叫做可行域。
因为目标函数亦是线性的，所以其极值点会自动成为最值点。
线性目标函数亦暗示其最优解只会出现在其可行域的边界点中。
在两种情况下线性规划问题没有最优解。
其中一种是在约束条件相互矛盾的情况下（例如x≥ 2 和x≤ 1），其可行域将会变成空集，问题没有解，因此亦没有最优解。
在这种情况下，该线性规划问题会被称之为“不可行”。
另一种情况是，约束条件的多面体可以在目标函数的方向无界（例如： maxz=x+ 3 x2 s.t. x1≥ 0, x2≥ 0, x1 + x2≥ 10），目标函数可以取得任意大1的数值，所以没有最优解。
除了以上两种病态的情况以外（问题通常都会受到资源的限制，如上面的例子），最优解永远都能够在多面体的顶点中取得。
但最优解未必是唯一的：有可能出现一组最优解，覆盖多面体的一条边、一个面、甚至是整个多面体（最后一种情况会在目标函数只能等于0的情况下出现）。
在使用单纯形法求解线性规划问题之前，我们首先需要了解什么是标准型，这是线性规划问题中最常用也最直观的形式。
动态规划模型的建立与求解步骤
动态规划模型的建立与求解步骤动态规划（Dynamic Programming）是一种通过分解复杂问题为简单的子问题，并将其结果保存起来以便重复使用的方法。
其基本思想是从问题的边界条件开始，通过递推式逐步求解更大规模的子问题，直到最终解决整个问题。
动态规划常见的应用包括路径规划、背包问题、字符串匹配等。
下面将介绍动态规划模型的建立与求解步骤，以了解如何使用动态规划解决实际问题。
一、确定状态：在使用动态规划解决问题之前，首先需要确定问题的状态。
状态就是问题需要求解的子问题的集合，每个状态都对应一个解。
二、确定初始条件：初始条件是指在递推关系中最小的、无需依赖于其他状态的子问题的解。
它们可以给出问题的边界，为递推过程提供起点。
三、确定状态转移方程：状态转移方程是把大问题分解为小问题的规律。
通过观察和思考，可以找出问题的递推关系，即大问题如何由小问题组成。
四、确定计算顺序：确定计算顺序是指确定问题的求解顺序，通常是按照自底向上或自顶向下的顺序进行计算。
自底向上是从初始条件开始，逐步计算直到求解整个问题；自顶向下是从大问题开始逐步分解为小问题，直到达到初始条件。
五、实现状态转移方程：通过编程实现状态转移方程，并根据计算顺序逐步求解子问题。
可以使用递归或循环的方法进行实现。
六、求解最优解：根据问题的定义和要求，确定如何从求解的子问题中得到最优解。
通常最优解是基于一些目标函数或约束条件来定义的。
七、分析复杂度：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以确定算法的效率和可行性。
综上所述，建立和求解动态规划模型的步骤可以概括为以下几个阶段：确定状态、确定初始条件、确定状态转移方程、确定计算顺序、实现状态转移方程、求解最优解和分析复杂度。
根据具体问题的特点和要求，可以灵活选择和调整这些步骤，以得到最优的解决方案。
【精选】线性规划问题的求解步骤
必修五《考一本》第27课时
【例4】
某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要 在A、B两种设备上加工, 在每台A、B设备上加工 1件甲设备所需工时分别为1h, 2h, 加工1件乙设备 所需工时分别为2h, 1h, A、B两种设备每月有效使 用台时数分别为400h和500h, 如何安排生产可使 收入最大？
线性规划问题的求解步骤：
（1）画可行域：画出线性约束条件所确定 的平面区域；
（2）过原点作目标函数所表示的直线的平 行直线l0;
（3）平移直线l0，观察确定可行域内最优 解的位置；
（4）求最值：解有关方程组求出最优解， 将最优解代入目标函数求最值.
简记为“画、作、移、求”四步.
【例1】
营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至 少提供0.075kg的碳水化合物, 0.06kg的蛋白质, 0.06kg的脂肪. 1kg食物A含有0.105kg碳水化合物, 0.07kg蛋白质, 0.14kg脂肪, 花费28元; 而1kg食物B 含有0.105kg碳水化合物, 0.14kg蛋白质, 0.07kg脂 肪, 花费21元; 为了满足营养专家指出的日常饮食 要求,同时使花费最低, 需要同时食用食物A和食 物B多少kg ?
【例2】
要将两种大小不同的钢板截成A、B、C
三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的
小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
Байду номын сангаас
2
3
各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C 三种规格成品, 且使所用钢板张数最少?
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。
它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。
可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。
0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。
完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。
3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。
4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。
5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。
以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。
线性规划问题
线性规划问题线性规划是一种常见的优化问题求解方法，用于解决线性约束条件下的目标最大化或最小化问题。
其数学表达形式为：找到一组变量的取值，使得目标函数在满足一组线性约束条件下达到最大（最小）值。
线性规划问题的一般形式如下：目标函数：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n$约束条件：\[\begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &\leq b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &\leq b_2 \\&\vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n &\leq b_m \\x_1, x_2, \ldots, x_n &\geq 0\end{align*}\]其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是决策变量，$c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是目标函数的系数，$a_{ij}$ 是约束条件中的系数，$b_1, b_2, \ldots,b_m$ 是约束条件的右侧常数。
为了解决线性规划问题，我们需要经历以下步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题的需求，明确需要求解的决策变量。
例如，在生产计划问题中，决策变量可能是生产的数量或分配的资源。
2. 建立数学模型：基于实际问题，将目标函数和约束条件转化为数学表达式。
确定好目标函数和约束条件之后，可以得到线性规划问题的标准形式。
3. 确定最优解的性质：线性规划问题有三种可能的解：无解、有界解和无界解。
通过分析约束条件的线性关系，可以判断问题的解空间。
4. 求解最优解：常用的线性规划求解方法有单纯形法、内点法、二阶锥规划等。
通过计算机算法，可以找到目标函数在满足约束条件下的最大（最小）值，并得到相应的决策变量取值。
《动态规划算法》课件
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划算法分析
动态规划算法分析
1.定义状态：将原问题分解为多个子问题，并定义子问题的状态。
状
态一般是原问题的一些维度，例如，问题规模、位置等等。
2.设计状态转移方程：通过观察子问题之间的关系，设计出状态之间
的转移方程。
状态转移方程可以描述子问题之间的依赖关系，并且可以通
过子问题的解来求解当前问题。
3.初始化边界条件：确定初始状态和边界条件，并将其存储在备忘录
或者递推式中。
边界条件是指最简单的子问题的解，其它子问题将通过边
界条件和状态转移方程来求解。
4.使用递推或者递归方式求解子问题：根据状态转移方程和边界条件，采用递推或者递归的方式求解子问题。
递归方式可以通过备忘录记录已经
求解的子问题的解来避免重复计算。
5.求解原问题：通过求解子问题，根据状态转移方程和边界条件，得
到原问题的解。
总结来说，动态规划算法是一种非常有效的算法思想，能够在优化问
题中快速求解最优解。
通过定义状态、设计状态转移方程、初始化边界条件、递推求解子问题的方式，可以高效地求解原问题。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种通过将问题分解成子问题并以最优子结构性质递归地求解的方法。
在线性规划问题中，我们希翼找到一组变量的最优值，使得目标函数达到最大或者最小值，同时满足一组线性约束条件。
首先，我们需要明确线性规划问题的数学模型。
假设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn) ≤ b1, h(x1, x2, ..., xn) ≤ b2, ..., 其中g和h为线性函数，b1, b2, ...为常数。
接下来，我们将问题转化为动态规划的形式。
定义状态变量dp[i1, i2, ..., in]表示在决策变量x1, x2, ..., xn取值为i1, i2, ..., in时的最优解。
则我们可以得到如下的状态转移方程：dp[i1, i2, ..., in] = max/min {dp[i1-a1, i2-a2, ..., in-an] + c}其中，a1, a2, ..., an为决策变量的系数，c为常数项。
这个方程的意义是，在决策变量x1, x2, ..., xn取值为i1, i2, ..., in时，最优解可以通过在决策变量取值为i1-a1, i2-a2, ..., in-an的情况下的最优解加之c来得到。
我们可以使用动态规划的方法，从决策变量的边界条件开始，逐步计算出所有状态变量的最优解。
具体步骤如下：1. 初始化边界条件：根据约束条件设置决策变量的取值范围，并计算出边界条件下的最优解。
2. 逐步计算状态变量的最优解：从边界条件开始，按照状态转移方程计算出所有状态变量的最优解。
可以使用递归或者迭代的方法进行计算。
3. 根据最优解得到最优解决策：根据计算得到的最优解，反向推导出决策变量的取值，得到最优解决策。
4. 检验最优解：将最优解代入目标函数和约束条件中，验证是否满足所有约束条件，并计算目标函数的值。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划方法是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，最大化或者最小化一个线性目标函数。
动态规划方法通过将问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
首先，我们需要定义线性规划问题的数学模型。
假设我们有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1,x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是一组线性函数，b1, b2, ..., bm是一组常数。
接下来，我们可以使用动态规划方法来求解线性规划问题。
动态规划方法的核心思想是将原问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示子问题的最优解，其中i表示决策变量的个数，j表示目标函数的取值。
具体的求解过程如下：1. 初始化dp数组。
将dp数组的所有元素初始化为无穷大（对于最小化问题）或者负无穷大（对于最大化问题），并将dp[0][0]初始化为0。
2. 逐步求解子问题。
从dp[1][1]开始，挨次计算dp[i][j]的值。
对于每一个dp[i][j]，我们需要考虑两种情况：选择第i个决策变量和不选择第i个决策变量。
如果选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j-c[i]] + f[i]，其中c[i]表示第i个决策变量的系数，f[i]表示第i个决策变量的目标函数系数。
如果不选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j]。
动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧
动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧动态规划应用 - 动态规划解决问题的思路与技巧动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法思想，用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
通过将大问题划分为小问题，并将小问题的解存储起来以避免重复计算，可以在一定程度上优化问题的求解过程。
本文将介绍动态规划的应用，并提供一些思路与技巧。
一、动态规划的基本思路动态规划问题通常可以由以下步骤解决：1. 定义状态：将问题划分成若干子问题，并确定每个子问题需要记录的状态。
2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，建立状态转移方程，以表达子问题的最优解与更小规模子问题的关系。
3. 初始化边界条件：确定最小规模子问题的解，并初始化状态转移方程中需要用到的边界条件。
4. 递推求解：按照状态转移方程的定义，从较小规模的子问题开始逐步推导出较大规模的问题的解。
5. 求解目标问题：根据最终推导出的状态，得到原始问题的最优解。
二、动态规划的技巧与优化1. 滚动数组：为了降低空间复杂度，可以使用滚动数组来存储状态。
滚动数组只记录当前状态与之前一部分状态相关的信息，避免了存储所有状态的需求。
2. 状态压缩：对于某些问题，可以将状态压缩成一个整数，从而大幅减小状态的数量。
例如，当问题中涉及到某些特定的组合或排列时，可以使用二进制位来表示状态。
3. 前缀和与差分数组：对于某些问题，可以通过计算前缀和或差分数组，将问题转化为求解累加或差对应数组中的某个区间的值的问题，从而简化计算过程。
4. 贪心思想：有些动态规划问题可以结合贪心思想，在每个阶段选择局部最优解，然后得到全局最优解。
5. 双重循环与多重循环：在实际解决问题时，可以使用双重循环或多重循环来遍历状态空间，求解问题的最优解。
三、动态规划的实际应用动态规划广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 最短路径问题：例如，求解两点之间的最短路径、最小生成树等。
线性规划学习线性规划的解法
线性规划学习线性规划的解法线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
线性规划的主要目标是在给定的线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法。
Ⅰ. 线性规划的基本概念线性规划问题通常可以表示为以下形式：给定一组线性约束条件和一个线性目标函数，求解目标函数的最大值或最小值。
其中，线性约束条件可以表示为一组形如ax1 + bx2 + … + c ≤ d的不等式，线性目标函数为z = cx1 + dx2 + … + e。
Ⅱ. 线性规划的解法线性规划问题的求解方法有多种，下面将介绍其中两种常用的解法：单纯形法和内点法。
1. 单纯形法单纯形法是一种逐步改进的方法，通过迭代寻找最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行基本解。
（2）选择进基变量：从非基变量中选择一个可以增大目标函数值的变量作为进基变量。
（3）选择出基变量：由于选择进基变量而产生的新的解是非可行解，需要选择一个基变量作为出基变量，并进行调整。
（4）迭代：重复进行步骤2和步骤3，直到找到满足条件的最优解。
2. 内点法内点法是一种基于迭代的方法，通过寻找线性规划问题的可行解来逼近最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行解。
（2）构造路径方程：引入一个路径参数，并构造路径方程，将线性规划问题转化为一系列等价的非线性问题。
（3）迭代：通过求解路径方程的解，逐步逼近最优解。
Ⅲ. 实例分析下面通过一个实例来说明线性规划问题的解法。
假设有一家制造公司生产两种产品A和B，分别需要通过机器X和机器Y进行加工。
机器X每小时可工作6小时，机器Y每小时可工作4小时。
产品A通过机器X加工需要1小时，产品B需要2小时；产品A通过机器Y加工需要2小时，产品B需要1小时。
产品A的利润为3万元，产品B的利润为2万元。
问该公司如何安排生产，才能使利润最大化？解：首先，设产品A的产量为x，产品B的产量为y，则目标函数为z = 3x + 2y。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化方法，可以用来求解线性规划问题。
线性规划是一种数学建模方法，用于在给定的一组约束条件下，寻觅使目标函数最大（或者最小）的变量值。
本文将介绍动态规划方法在解决线性规划问题中的应用。
一、线性规划问题的定义和形式线性规划问题可以用下列形式来描述：目标函数：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中，c₁、c₂、...、cₙ为目标函数的系数，x₁、x₂、...、xₙ为变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的常数。
目标是找到使目标函数最大（或者最小）的变量值。
二、动态规划方法求解线性规划问题的基本思想动态规划方法可以将线性规划问题转化为一个多阶段决策问题，并通过递推的方式求解最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式：将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构建动态规划模型：定义状态和状态转移方程。
3. 初始化：确定初始状态和初始条件。
4. 递推求解：根据状态转移方程，逐步计算得到最优解。
5. 回溯得到最优解：根据递推过程中记录的状态，回溯得到最优解。
三、动态规划方法求解线性规划问题的具体步骤1. 将线性规划问题转化为标准形式：将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
例如，将约束条件 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ ≤ b₁转化为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + x₃ = b₁，其中 x₃为松弛变量。
2. 构建动态规划模型：定义状态和状态转移方程。
定义状态：设 f(i,j) 表示前 i 个约束条件中，使得目标函数最大（或者最小）的变量值。
状态转移方程：f(i,j) = max/min { f(i-1,j), f(i-1,j-aᵢ₋₁₁x₁ - aᵢ₋₁₂x₂) +cᵢ₋₁x₁ + cᵢ₋₁x₂ }其中，f(i-1,j) 表示不使用第 i 个约束条件时的最优解，f(i-1,j-aᵢ₋₁₁x₁ -aᵢ₋₁₂x₂) + cᵢ₋₁x₁ + cᵢ₋₁x₂表示使用第 i 个约束条件时的最优解。
动态规划求解线性规划问题的探索
动态规划求解线性规划问题的探索
余
楠
提出问题
某企业生产产品A和产品B，产品A卖 两万元，产品B卖一万元，每单位A产品消 耗甲资源2单位，乙资源3单位。每单位B 产品消耗甲资源3单位，乙资源2单位。假 设企业拥有甲资源15单位，乙资源24单位， 那么企业生产A产品和B产品各多少时利润 最大？
i 1,2,3 n
在此为方便讨论只针对 ci 0 和 aij 0 情况进 行详细讨论
在此建立动态规划模型： 阶段： 1,2n, 表示 x1 , x2 xn的过 k 程； 状态变量Ski i 1,2 m：表示第k阶段到 第m阶段所拥有的第i种资源总量； 决策变量 u k：求 xk 的值，即 uk xk ；
问题求解
首先，设A产品生产产量为 x1 ，B 产品的生产产量为 x 2 。求解如下线性 规划问题：
Max z 2 x1 x2 2 x1 3 x2 15 3 x1 2 x2 24 x1 , x2 0
现考虑使用动态规划方法求解该问题，建立 动态规划模型如下： x x 阶段：K=1,2,3，表示 x1 ， 2， 3的过程 状态变量Ski i 1,2：表示第k阶段到第二阶段 所拥有的第i种资源总量； 决策变量u k ：求 x k的值，即 uk xk；
Maxcn xn
1
中间步骤与（1）类似，省略中间步骤
当k=1时：
f1 S1i Maxv1 S1i , x1 f 2 S 2 0 x1 S11 a11 0 x S a 1 1m m1 S n1 S nm Maxc1 x1 Maxc2 x2 Max Maxcn 1 xn 1 Min , a1n amn 0 xn 1 S n 1,1 a1,n 1 0 x1 b1 a11 0 x b a 0 x S 1 m m1 n 1 n 1, m am , n 1
第5章线性规划问题
j 1 n
即：
n aij x j bi (bi 0, i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, n) j
max Z CX
用矩阵的形式表示为： 其中：C c1 c2 cn
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2
第5章 线性规划方法
Linear Programming
线性规划是最优规划模型的一种，在地理 系统中，经常碰到制定最优规划方案的问 题，如：
在区域工业规划中，要谋求制定最优的工业 结构与投资规划，使工业经济发展快，效益好。 在城市规划中，要使社会、经济与环境协调 起来，使城市达到最优状态。
任何规划问题，均有两个基本部分，即 规划目标和约束条件。
AX b X 0
(b 0)
a1n x1 x a2 n X 2 amn xn
b1 b b 2 bm
（二）非标准形化为标准形的方法
1 将常数项都化为非负数；
这个问题的数学模型可表示为:
minS= 2x1+1.6x2
6x1+2x2 ≧ 12 2x1+2x2 ≧ 8 4x1+12x2 ≧24 x1≧0 , x2 ≧0
线性规划问题是满足下述特点的最 优决策问题：
①每个问题的决策方案可用一组变量的取值表示， 这组变量称为决策变量； ②有一定的约束条件，约束条件是决策变量的线 性等式或不等式； ③有一个可表示为决策变量的线性函数的决策目 标（称为目标函数），决策目的是使目标函数 达到最大或最小。
规划目标即为规划方案优劣的准则； 约束条件为规划的限制条件，比如资源、资金、 技术、政策限制等； 解决问题的定量方法就是最优规划模型。