高考数学专题：导数恒成立问题(含答案)

1、设函数f(x)＝1

3x

3－

a

2x

2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(1)求b，c的值；

(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；

(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

2、已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x>0时，x2

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

3、设函数f(x)＝a e x ln x＋b e x－1

x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)>1.

4、已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x，其中a∈R.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；

(3)若∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

5、若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)

答案： B 2x ln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋3

x.设h(x)＝2ln x＋x＋

3

x

(x＞0)，则h′(x)＝（x＋3）（x－1）

x2.当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时

，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.

故a的取值范围是(－∞，4]．

6、已知函数f(x)＝1

2x

2－a ln x(a∈R)．

(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；

(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

7、已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)内总不是单调函数，求m 的取值范围．

8、已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a .

(1)求f (x )的单调区间；

(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |＞0.

9、已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．

(1)证明：f (x )是R 上的偶函数；

(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)

＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．

答案：

1、

解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， 由题意得⎩⎨⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧c ＝1，

b ＝0.

(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.

所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，

依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时， a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22即可，

所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．

2、【解析】 (1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .

又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.

当x ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．

所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值． (2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x ， 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)>0，

故g (x )在R 上单调递增．又g (0)＝1>0， 因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 20时，x 20时，x 2

取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2