华师版九年级上册第二十四章 8 24.4 第3课时 坡度问题学案
华东师大版九年级上 24.4.3 解直角三角形(坡比、坡角) 导学案
数
学
班级 课时 24.4.3
九年级 1
主 备 人 学习小主人
屈超
新知探究
解直角三角形（坡比、坡角）
1．理解坡角、坡度，运用数学语言来表达实际问题中各种数量的关系，建构数学模型． 2．经历探究解直角三角形在实际生活中的应用的过程，发展思维能力． 3．发展合作、交流、探究意识和科学的态度，以及空间想像力．
重点：理解坡角、坡度。 难点：综用数学语言来表达实际问题中各种数量的关系，建构数学模型。
导
学
过
程 方法 释疑达标 指导
学 习 内 容 自 学 展 示 问题 导入
一个公共房屋门前的台阶共高出地面 1.2 米.台阶被拆除后，换成供轮椅 行走的斜坡． 根据这个城市的规定， 轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过 30°． 从 斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到 0.1 米） 思考：你觉得应如何来刻画一个坡面的倾斜程度？ 1．解直角三角形问题分为两种情况：（1）（2） 2．在操场上一点 A 测得操场旗杆顶端的仰角为 30°再向旗杆方向前进 20 米,又测得旗杆的顶端的仰角为 45°,求这个旗杆的高度．（精确到 1 米）
还有：_____________________________________________________
个人评价 组长评价
42
10．一段河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α 和坝底宽 AD。 （单位是米，结果保留根号） B 6 A E F 4 C
i 1: 3
α D
拓展 应用
某市为加固长 90 米，高 30 米，坝顶宽为 6 米，迎水坡和背水坡坡度都是 1：1 的横断面 是梯形的防洪大坝，要将大坝加高 2 米，背水坡坡度改为 1：1.5， 已知坝顶宽不变，求大坝横截面积增加多少平方米。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课教案_1
《解直角三角形的应用》(坡度、坡角等）教学设计《解直角三角形的应用（坡度、坡角等）》教学设计教学思路本节课研究的是坡度坡角问题，它实质是利用解直角三角形的知识来解决新问题，通过学生对正切知识的复习和对本节知识的预习，理解坡度和坡角的相关概念，并利用新知识解决学生生活中比较熟悉的问题，让学生体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求。
通过对综合性实际问题的解决，提高学生解决实际问题的能力，并获得解答应用题的一些经验，有效完成本节课的教学任务。
教学内容本节内容是华师大版九年级上册第二十四章24.4第三节知识。
教学目标一、知识与能力1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、能应用解直角三角形的知识解答综合的实际问题；3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
二、数学思考1、把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
三、情感态度和价值观通过本节课的学习，一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度。
教学重点理解坡度和坡角的概念．教学难点利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题．A┌ 教师准备幻灯片、三角板学生准备预习新课，完成导学案“温故互查”和“设问导读”教学过程一、导入新课在我们的生活中有很多的山坡，有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡缓程度呢？这就是我们今天要学习的内容。
二、明确目标学生齐读学习目标学习目标：1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决．2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
重点、难点1.利用坡度、坡角解直角三角形；2.解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第3课时 坡度问题【含答案】
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案第24章 解直角三角形24.4解直角三角形 第3课时 坡度问题学习目标：1.理解坡度、坡角的概念（重点）.2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的______（或坡比），记作i ，即i=l h.坡度通常写成1：m 的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=lh=tan α.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____. 合作探究一、探究过程探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题 【典例精析】例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i ’=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈31)？【归纳总结】根据坡度的定义i ＝hl ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .【针对训练】1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）; （3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ; （4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m.第1题图 第2题图2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m二、课堂小结坡度、坡比问题图解坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______.当堂检测1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度AC 为6米，斜面坡度为1：3，则斜坡AB 的长为（ ） A ．210米B ．3米C ．6米D ．12米第1题图 第2题图2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ） A ．3m B ．3m C ．12m D ．6m3．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了 米．4. 如图，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯宽度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需______元.第4题图第5题图5．一座拦河大坝的横截面如图所示，已知AB＝20 m，斜坡AB的坡比是1∶2，斜坡DC的坡比是3∶4，则DC的长是米．6．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1：，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝4千米．若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米（结果精确到0.01千米.参考数据：≈1.414，≈1.732）？能力提升7．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡度i＝12∶5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗（参考数据：tan48.8°≈1.14）？参考答案自主学习 一、新知预习坡度 坡角 大 陡 合作探究一、探究过程 【典例精析】例 解：如图，作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F.∵斜坡AB 的坡度i ＝1：3，∴tanA ＝，∴α≈18.4°.∴＝.∴AE ＝69m.∴AB ＝≈72.7（m ）.∵斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，∴tan ∠D ＝＝.∴＝.∴DF ＝57.5m.∴AD ＝AE +EF +DF ＝69+6+57.5＝132.5（m ）．故斜坡AB 的坡面角α约为18.4°，坝底宽AD 的长是132.5m ，斜坡AB 的长是72.7m ．【针对训练】1.（1）1∶3（2）21.8 （3）9 4∶3 （4）4∶3 52.A 二、课堂小结 h ∶l 当堂检测1. A2.B3.54.905.6. 解：作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，∵∠CBA ＝45°，BC ＝4千米，∴CD ＝ BD ＝4千米．∵坡面AC 的坡度i ＝1：，∴31＝.∴AD ＝CD ＝4.∴AC ＝＝8千米.∵AB ＝AD +BD ，∴AB ＝（4+4）千米.又∵AC +CB ＝（8+4）千米，∴AC +CB ﹣AB ＝8+4﹣4﹣4≈2.73（千米）．答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73千米．7. 解：（1）设AE ＝5x ，∵斜坡AB 的坡比为i ＝12∶5，∴BE ＝12x ，由勾股定理，得AE 2+ BE 2＝AB 2，即（5x ）2+（12x ）2＝262，解得x ＝2，∴BE ＝12x ＝24米.（2）如图，作FH⊥AD于H，连接F A.由（1）知AE=10米.由题意，得AH＝11+10＝21（米）.在Rt△AFH中，tan∠F AH＝＝≈1.14，则∠F AH≈48.8°.∵48.8°＜50°，∴这样改造能确保安全．。
九年级数学上册24.4.3用解直角三角形解坡角问题学案华东师大版
AB C┌ 用解直角三角形解坡角问题一、学习目标1.掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系。
2.利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题。
二、学习重点重点: .掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系 难点：把实际问题转化为数学问题。
三、自主预习(一）旧知回顾仰角：_________________________________________________________________ 俯角：__________________________________________________________________方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． (二)自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念。
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
坡角与坡度之间的关系是：i ＝lh=tana 。
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
6．如上图坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____．四、合作探究1、如图，有一斜坡AB 长40m ，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求坡角∠ABC 的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).分析：在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平ABCD行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
五、巩固反馈1.一坡面的坡角为600，则坡度i=2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 .3.如图3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 54.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角 ； (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)2.01:2.51:2αβB CA DE Fα5米A B图32019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．42．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠03．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A． B． C． D．4．如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q5．下列各数中是有理数的是（）A．πB．0 C．2D．356．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90o D．绕原点顺时针旋转90o7．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（）A．B．C．D．89153）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间9．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．310．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)11．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．912．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知反比例函数y=2mx，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____．14．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为1003米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）15．如图，AB∥CD，BE交CD于点D，CE⊥BE于点E，若∠B=34°，则∠C的大小为________度．16．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．17．如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB：CD等于______．18．若m、n 是方程x2+2018x﹣1=0 的两个根，则m2n+mn2﹣mn=_________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．求证：△ADE∽△MAB；求DE的长．20．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？⨯的矩形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正21．（6分）如图，在65方形的顶点上.∆，其面积为5，点C在小正方在图中画出以线段AB为底边的等腰CABW，其面积为16，点D和点E均在小正方形的顶点形的顶点上；在图中面出以线段AB为一边的ABDE上；连接CE，并直接写出线段CE的长.22．（8分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A：菜包、B：面包、C：鸡蛋、D：油条．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个．按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．23．（8分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为»BD的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝13，求⊙O的半径．24．（10分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：一个水瓶与一个水杯分别是多少元？甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）25．（10分）某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据统计图的信息解决下列问题：本次调查的学生有多少人？补全上面的条形统计图；扇形统计图中C对应的中心角度数是；若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？26．（12分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m 名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：m= ；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 ；已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球活动．27．（12分）化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中31x =．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【详解】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴12AC AD AB AC ==， ∴2ACD ABC S AD S AC V V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABC S V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1． 故选C考点：相似三角形的判定与性质.2．C【解析】【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，∴k≠0，则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，故选C.【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.3．B【解析】A C D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形试题解析：选项,,交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.4．D【解析】∵实数-3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q．故选D．5．B【解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C是无理数，故本选项错误；D故选B．【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．6．C【解析】分析：根据旋转的定义得到即可．详解：因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B，故选C．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．7．D【解析】【分析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行.【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D是正确答案，故本题正确答案为D选项.【点睛】本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键.8．D【解析】【详解】3+，∵23，∴3+5到6之间．故选D．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键．9．D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=1．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．10．A【解析】【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．11．A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键. 12．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项正确；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．m＞1．【解析】分析：根据反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．详解：∵反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣1＞0，解得：m＞1．故答案为m＞1．点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣1＞0是解题的关键．14．100（【解析】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得，然后计算AD+BD即可．详解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中，∵tanA=CD AD，∴=100，在Rt△BCD中，，∴（答：A、B两点间的距离为100（故答案为100（点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．15．56【解析】【详解】解：∵AB ∥CD,34B ∠=o ，∴34CDE B ∠=∠=o ，又∵CE ⊥BE ，∴Rt △CDE 中,903456C ∠=-=o o o ，故答案为56.16．1或5.【解析】【分析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．【详解】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1， ①如图，小正方形平移距离为1厘米；②如图，小正方形平移距离为4+1＝5厘米．故答案为1或5，【点睛】此题考查了平移的性质，要明确，平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答． 17．2：1．【解析】【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长EO 交CD 于点F ，可得OF ⊥CD ，由AB//CD ，可得△AOB ∽△DOC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得AB OE CD OF=，由此即可求得答案. 【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长EO 交CD 于点F ，∵AB//CD，∴∠OFD=∠OEA=90°，即OF⊥CD，∵AB//CD，∴△AOB∽△DOC，又∵OE⊥AB，OF⊥CD，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB OECD OF=23，故答案为：2：1．【点睛】本题考查了相似三角形的的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键. 18．1【解析】【分析】根据根与系数的关系得到m+n=﹣2018，mn=﹣1，把m2n+mm2﹣mn分解因式得到mn（m+n﹣1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m、n 是方程x2+2018x﹣1=0 的两个根，则原式=mn（m+n﹣1）=﹣1×（﹣2018﹣1）=﹣1×（﹣1）=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根分别为与，则解题时要注意这两个关系的合理应用．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）24 5.试题分析：利用矩形角相等的性质证明△DAE∽△AMB. 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AMB，又∵∠DEA=∠B=90°，∴△DAE∽△AMB.（2）由（1）知△DAE∽△AMB，∴DE：AD=AB：AM，∵M是边BC的中点，BC=6，∴BM=3，又∵AB=4，∠B=90°，∴AM=5，∴DE：6=4：5，∴DE=245．20．每件衬衫应降价1元.【解析】【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.【详解】解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得（40-x）（1+2x）=110,整理，得x2-30x+10=0,解得x1=10，x2=1．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x1=10应舍去，∴x=1.答：每件衬衫应降价1元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，CE（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出符合题意的答案；（3）连接CE，根据勾股定理求出CE的长写出即可.【详解】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示；CE＝5.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键.22．（1）不可能；（2）1 6 .【解析】【分析】（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；故答案为不可能；（2）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=21 126．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式mn计算事件A或事件B的概率．23．⊙O的半径为256．如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。
24.4+第3课时+坡角(或坡比)+课件+++++2023-2024学年华东师大版九年级数学上册
水坡BC的坡比为3∶5，大坝高DE＝24 m，坝顶宽CD＝12 m，
求下底AB.
合作探究
解:∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE∥CF.
∵梯形ABCD，∴AB∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF＝CD＝12 m.
∵DE＝24 m，DE∶AE＝8∶5，∴AE＝15 m.
1.回顾:在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注
明斜坡的
倾斜程度
.
预习导学
2.观察“图24.4.5”，填空:坡面的 铅垂高度
平长度
(l)的比叫做坡面的 坡度(或坡比)
i＝
和
水平面 的夹角叫做
，坡度通常写成
中，由tan α＝
，所以
(h)和
，记作
i
水
，即
1∶m 的形式，如i＝1∶6. 坡面
∵CF＝DE＝24 m，CF∶BF＝3∶5，∴BF＝40 m.
∴AB＝AE＋EF＋BF＝15＋12＋40＝67 m.
合作探究
5.如图，长6米的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善
楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为
45°，求调整后的楼梯AC的长.
合作探究
解:在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，由sin∠ABD＝ ，有
了20 m，求此时小球距离地面的高度.
解:如图，∵tan
A＝ ＝ ，
∴设BC＝x(x＞0)，则AC＝2x.
在Rt△ABC中，AB＝20米，由勾股定理可知AB2＝
AC2＋BC2，即400＝x2＋4x2，解得x＝4 ，∴BC＝4 米.
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡度问题教案新版华东师大版
第3课时 坡度问题1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念．2．掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解与坡度有关的实际问题．重点解决有关坡度的实际问题．难点解决有关坡角的实际问题．一、情境引入教师展示图片,引出问题．读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i ＝h l.坡度通常写成1∶m 的形式,如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有i ＝h l＝tan α.显然,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡．二、探究新知教师利用课件展示例1,例2,结合前面所学知识,可由学生自主完成,小组讨论,教师适当给予分析,最后作出点评．例1 如图,一段路基的横截面是梯形,高为4.2米,上底宽为12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°,求路基下底的宽．(精确到0.1米)解:作DE⊥AB ,CF ⊥AB,垂足分别为点E,F. 知DE ＝CF ＝4.2,EF ＝CD ＝12.51,在Rt △ADE 中,∵DE AE ＝4.2AE＝tan 32°, ∴AE ＝ 4.2tan 32°≈6.72. 在Rt △BCF 中,同理可得BF ＝ 4.2tan 28°≈7.90. ∴AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1(米)答:路基下底的宽约为27.1米．例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC＝30°,斜坡AB 长为12米,为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1∶3(即CD 与BC 的长度之比)．A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.解:在Rt △ABC 中,∠ABC ＝30°, 则易求得AC ＝6,BC ＝6 3.在Rt △BDC 中,i ＝DC BC ＝13, 易得DC ＝13BC ＝23, ∴AD ＝AC －DC ＝(6－23)米．三、练习巩固教师利用课件展示练习,可由学生独立完成,其中第1,2,3,4题由学生抢答,第5题教师点名上台展示,再给予点评．1．已知一坡面的坡度i ＝1∶3,则坡角α为( )A ．15°B ．20°C ．30°D ．45°2．彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米,则他离地面的高度为( )A ．25 3 米B ．50米C ．25米D ．50 3 米3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝底宽126米,斜坡的坡比是1∶3,则此处大坝的坡角和高分别是________米．4．如图,一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角α是________．5．如图,已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°,沿着坡角为30°的斜坡前进400 m 到点D 处,测得点A 的仰角为60°,求AB 的高度．四、小结与作业小结1．本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题．2．本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想．布置作业从教材相应练习和“习题24.4”中选取．本节课以实际情境,引导学生将实际问题抽象为数学问题,构造几何模型,应用三角函数的知识解决问题．在整体设计上,由易到难,难度层层推进,尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中,让学生经历知识的形成过程,体会数形结合的数学思想,进一步培养学生应用数学的意识．。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课教案_3
解直角三角形（3）编写人： 审核人：一、激情引趣，导入新课在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，何为表明倾斜程度呢？二、展示目标，学生自学学习目标：1、理解坡角、坡度的概念；2、运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题；3、注意数形结合的数学思想和方法。
学生自学：自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念，并完成下面填空。
1、阅读，并完成坡度的概念，坡度与坡角的关系。
（结合图6-34）：(1)_____________________________叫做坡角，记作(2)坡面的_________h 和_________的比叫做_________（或叫做坡比），一般用_____表示。
常写成ｉ＝（或写成i=1:m ）的形式。
(3)思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？i ＝_____________＝____________，显然，坡度越大，坡角___________，坡面_________________。
2、练习(参考右图)：（1）斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。
（2）斜坡的坡角是450 ，则坡度是 _______。
（3）斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______。
三、小组合作，深层探究看完课本后，对于课本中的例4，有不懂的地方，同桌之间交流，再解决不了得地方小组讨论解决，然后自己做完，同桌之间相互检查，做错的地方相互讨论指正。
例4：如图24.4.6,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底宽为12.51米.其坡面的坡角分别是32o 和28o .求路基下底的宽.(精确到0.1米）四、教师点拨，释疑解难1、变式训练：一段路基的横断面是梯形，上底宽6m，路基高4m，斜坡AB的坡度i=1∶，斜坡CD的坡度i=1∶1，求：（1）路基底AD与斜坡AB的长度。
（2）斜坡CD的坡角α。
（结果可保留根号）2、完成书上练习五、训练检测，巩固新知1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了_____米．2.如图1，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为_____．3.如图2，已知一商场自动扶梯的长ɭ为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____4.如图3，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（） A.1：3 B.1：2.6 C.1:2.4 D.1:2六、拓展延伸，涵养智能如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高I0米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固。
24.4 第3课时 坡度问题(说课稿)-2022-2023学年九年级上册初三数学同步备课(华东师大版
24.4 第3课时坡度问题（说课稿）-2022-2023学年九年级上册初三数学同步备课（华东师大版）一、教材解读本节课是初三数学同步备课教材中的第3课时，主要讲解坡度问题。
在学生掌握了直线的斜率的概念之后，进一步引入了坡度的概念。
通过本节课的学习，旨在帮助学生理解坡度的含义及其计算方法，并能够应用到实际问题中。
二、教学目标1.理解坡度的概念，能够准确描述坡度的含义；2.掌握计算坡度的方法，能够对给定的直线求解坡度；3.能够运用坡度的概念和计算方法解决实际问题。
三、教学重点1.坡度的概念及其含义；2.坡度的计算方法。
四、教学难点1.运用坡度的概念解决实际问题；2.深化学生对坡度计算方法的理解。
五、教学准备1.教材《初三数学同步备课》；2.粉笔、黑板；3.计算器。
六、教学过程1. 导入与知识呈现老师可从生活中的实例开始，引导学生思考坡度的概念。
例如，山地公路、楼梯的坡度等，通过现实生活中的例子帮助学生理解什么是坡度。
2. 坡度的定义与计算方法在引入坡度的概念之后，老师可通过黑板上的示意图和公式，详细解释坡度的定义和计算方法。
在解释过程中，要注意将坡度与直线的斜率进行对比，帮助学生发现二者之间的联系和区别。
3. 坡度的应用举例为了帮助学生更好地理解坡度的应用，老师可以设计一些案例，让学生进行计算和分析。
例如，某段公路的起点海拔为100米，终点海拔为300米，两点之间的距离为500米，请计算这段公路的坡度。
通过这类例题的练习，让学生熟悉坡度的计算过程，并能够将其应用到实际问题中。
4. 拓展与延伸为了拓展学生的思维，老师可组织学生进行一些拓展和延伸训练。
例如，对于一幅地图上两个城市的海拔高度和距离信息，让学生计算两个城市之间的坡度，并比较不同路径的坡度，从而引发学生对于地理信息的分析能力。
七、课堂互动通过课堂互动，增加学生的参与度，加强他们对于坡度概念和计算方法的理解。
例如，设计一些小组活动让学生合作解决坡度问题，并在课堂上进行展示和讨论。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版12
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版121．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h . 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求．解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)．∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)． ∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)． 答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝ih，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》教学案例_11
三角板
教学环节
教学内容
设计意图
导入、板书课题
学习目标
自学交流
【学习过程】
一、板书课题
讲述：同学们，今天我们来学习第25章
24.4.3解直角三角形（板书课题）
二、出示学习目标
（一）过渡语：要达到什么样的学习目标呢？请看：
（二）出示学习目标
学习目标
1、认识仰角、俯角的概念。
2、பைடு நூலகம்利用直角三角形的知识解决实际问题。
2、一飞机在1500米的高空中测得地面控制塔的俯角为 ，求这时收音机距指挥塔的直线距离是多少米？
教学环节
教学内容
设计意图
（1）内容总结
仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。
俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。
四、反馈拓展
（一）拓展题：
1、如图2，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，求树高AB
2、如图3，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 m，则下面结论中正确的是（）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°
3、如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（）．
A．1200m B．2400m C．400 m D．1200 m
教学环节
教学内容
设计意图
一课一练
华东师大版九年级数学上册 导学案设计：24.4.3解直角三角形——坡度
1 / 224.4．3 解直角三角形—坡度教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念； 教学重点：理解坡度和坡角的概念教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题一、复习提问：仰角： 俯角：二、坡度、坡角的概念 几个概念： 1、铅垂高度h 2、水平长度l3、坡度（坡比）i :坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比lh i =4、坡角α：坡面与水平面的夹角α. αtan ==lhi 显然，坡度i 越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
预习自测1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度 ，坡角 ，2、若一斜坡的坡面的余弦为10103，则坡度为 ,3、 堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）（1） 若AB=10,CD=4,高h=4，则坡度i = ,AD=（2）AB=10,CD=4 ,51=i ,则DE= ，三、探究例1、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC ∥AB,迎水坡AD 长为32米，上底DC 长为2米，背水坡BC 长也为2米，又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB 的长.例2、铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中i =1:1.5是坡度每修1m 长的这种路基,需要土石多少立方?当堂达标1、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）2、.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6m,坝长50m,求：① 加宽部分横断面的面积② 完成这一工程需要的土方是多少？A B C D E FA DCBEF HGABCDEFA BCDEF10m 1.2m i=1:1.52 / 2课后作业1、热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋 高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ）2、如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°． （1）求坡高CD ; （2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米，sin12°≈0.208,cos12°≈0.978,tan12°≈0.213，sin5°≈0.087,cos5°≈0.996,tan5°≈0.087）思考题1、水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为16 3米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度．DCB A5°12°。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡度问题教案华东师大版
第3课时 坡度问题1．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求． 解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)． ∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)．∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)．答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
新华东师大版九年级数学上册：24.4《解直角三角形3》教案
24.4 解直角三角形（ 3）教课目标： 弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比） 、坡角等看法；教课要点： 理解坡度和坡角的看法教课难点： 利用坡度和坡角等条件，解决有关的实质问题教课过程：一、复习发问：什么叫仰角、俯角？二、坡度、坡角的看法几个看法： 1、铅垂高度 h2、水平长度l3、坡度（坡比） i : 坡面的铅垂高度 h 和水平长度 l 的比h 1 1itanll mh4、坡角：坡面与水平面的夹角. h tanil明显，坡度 i 越大，坡角就越大，坡面就越陡。
练习： 1、沿山坡行进 10 米，相应高升5 米，则山坡坡度1，坡角 3 0°，32、若一斜坡的坡面的余弦为3 10，则坡度 i 1 ，1033、堤坝横断面是等腰梯形， （以下列图）DC若 AB=10，CD=4，高 h=4，则坡度 i = 4，AD= 5①3AB1EF，则 h 2，②若 AB=10， CD=4 ， i5例 1、书 P115 例 4例 2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD ，DC ∥AB ，迎水坡 AD 长为2 3 米，上底 DC 长为2 米，背水坡 BC 长也为 2 米，又测得∠ DAB=30°，∠ CBA=60°，求下底AB 的长 .解：过 D 、 C 分别作 DE ⊥AB 于 E ， CF ⊥ AB 于 F ，DC在直角△ ADE 中，∠ A=30°， AD=23∴ DE=AD sin30 °= 3 ，AE=AD cos30°=3.30A°E60F °B在直角△ CBF 中， BF=BC cos60°=1∴ AB=AE+EF+BF=3+2+1=6答：下底的长为 6 米。
思虑：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？说明：以上解法表现了“转变”思想，把梯形的有关问题转变成解直角三角形可多角度的解析，增添辅助线，灵巧、合适地构造直角三角形，使解法合理化。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》教学案例_8
24.4解直角三角形－－ 坡度、坡角问题教学目标1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形知识解决有关实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,建立数学模型.学习重点难点重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。
难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。
一、知识储备1、直角三角形中各元素之间的关系①角的关系：∠A+∠B=900（两锐角互余）②边的关系：c b a 222=+（勾股定理）③边角的关系：SinA=c a cosA=c b tanA=b a cotA=ab （三角函数） 2、如何选用三角函数二、学生自学（教师强调）1、坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan α＝ ．2、坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．3、坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比）， 记作i ，即=i ．(坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6或i=3:1) 注意事项：①坡度常写成i=1∶m 的形式，如i=1∶6②坡度是一个比值，不是度数③同一坡面，任何一点的坡度相同例、如图，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底宽为12．5米，其坡面AD 的坡角为32°，坡面BC 的坡度为i=1:2．求路基下底的宽．（精确到1米）（参考数据sin320≈0.5,tan 320 ≈0.6)练习、一长为200米的水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶3．求：（1）坝底AD 为 ，斜坡AB 的长度为（2）斜坡CD 的坡角α为（3）为了提高拦水能力，背水坡的坡度需由原来的i 1=1:3改成i 3=1:5，问需要多少土方才能完成加固？例、如图，某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，从山底B 到山顶A 的坡角是30°，斜坡AB 长为100米．根据地形，要求修好的公路路面BD 的坡度为i=1：5（假定A ，D 两点处于同一直线上）．为了减少工程量，若AD ≤20米，则直接开挖修建公路；若AD ＞20米，就要重新设计．问这段公路是否需要重新设计？练习：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 米。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》教学案例_0
九年级数学学科电子讲课稿修改、补充栏课题：24.4.3——解直角三角形（3）主备：第 10 周教学目标：1.知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系。
2.能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
教学重点：解决有关坡度的实际问题教学难点：理解坡度的有关术语教法：三疑三探。
学法：自学、合作、探究教具学具：多媒体教学过程：一、设疑自探（10分钟）（一）复习提问，导入新课前面我们研究了与仰角、俯角、方位角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题。
(二）出示学习目标1.知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系。
2.能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
（三）根据课题和学习目标，提出问题看到这个课题和学习目标，你想知道什么？请提出来。
预设：1.什么是坡角和坡度？2.如何解决坡度相关的问题？3.利用解直角三角形的知识解决坡度相关问题时应注意些什么？同学们提的问题都很好（真好），大多都是我们本节应该学习的知识，老师将大家提出的问题归纳、整理、补充为下面的自探提示，希望能为大家本节的学习提供帮助。
请看：（四）出示自探提示，组织学生自探。
（ 6 分钟）自探提示：看课本P115—116内容，思考解决以下问题：（1）认真完成“读一读”，理解一下概念：①.坡面的和的比叫做坡面的坡度（或坡比）记作，即。
②. 与的夹角叫做坡度。
③.如果坡角记作α，坡度记作i，那么就有i= 。
显然，坡度越大，坡角就，坡面就。
（2）自学“例4”，认真思考下列问题：①.四边形ABCD是梯形，例中是如何做辅助线把四边形进行分割的？②.例题中通过辅助线把四边形分割成形和形。
③.这样，就把实际问题转化为直角三角形的问题。
二、解疑合探（15分钟）（一）小组合探。
1.小组内讨论解决自探中未解决的问题；（二）全班合探。
1.学生展示与评价；2.教师点拨或精讲。
（1）在这类实际问题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的是什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题。
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一．导
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图，坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的______（或坡比），记作i ，即i=
l
h
.坡度通常写成1：m 的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=
l
h
=tan α.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____. 二．思
阅读课本完成探究一
探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题 【典例精析】
例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i’=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈
3
1)？
【归纳总结】根据坡度的定义i ＝h
l ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .
【针对训练】
1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;
（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）; （3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ; （4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.
若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m.
第1题图 第2题图
2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m
第1题图第2题图
2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）
A．3m B．35m C．12m D．6m
3．小明沿着坡度为1：3的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了米．
4. 如图，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯宽度为1.5米，
地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需______元.
第4题图第5题图
5．一座拦河大坝的横截面如图所示，已知AB＝20 m，斜坡AB的坡比是1∶2，斜坡DC 的坡比是3∶4，则DC的长是米．
6．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1：3，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝42千米．若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米（结果精确到0.01千米.参考数据：2≈1.414，3≈1.732）？
能力提升
7．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡度i＝12∶5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；
（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗（参考数据：tan48.8°≈1.14）？
四、课堂小结、形成网络。