几何中的分类讨论问题(二)
八年级数学几何题分类讨论
八年级数学几何题分类讨论八年级数学几何题主要涉及以下几个方面的分类讨论：一、点、线、面的性质1.点：讨论点的坐标、距离、中点等问题。
2.直线：讨论直线的斜率、截距、垂直平分线等问题。
3.平面：讨论平面的法向量、点到平面的距离、平面之间的位置关系等问题。
二、直线与角1.直线：讨论直线的位置关系、平行、相交、异面等问题。
2.角：讨论角的大小、角度、三角形的角度和、角的平分线等问题。
三、三角形1.分类：根据边长、角度、形状等特点进行分类讨论。
2.性质：讨论三角形的性质，如稳定性、等腰三角形、等边三角形等的性质。
3.判定方法：讨论判定三角形全等、相似的方法，如SSS、SAS、ASA等。
4.实际问题：利用三角形解决实际问题，如测量、建筑等领域的应用。
四、平行四边形1.性质：讨论平行四边形的性质，如对角线、中点、平行四边形面积等问题。
2.判定方法：讨论判定平行四边形的方法，如矩形、菱形、正方形的判定方法。
3.实际问题：利用平行四边形解决实际问题，如测量、设计等领域的应用。
五、矩形、菱形和正方形1.性质：讨论矩形、菱形和正方形的性质，如对角线、中点、面积、周长等问题。
2.判定方法：讨论判定矩形、菱形和正方形的方法，如对角线相等、菱形对角线垂直等方法。
3.实际问题：利用矩形、菱形和正方形解决实际问题，如测量、设计、建筑等领域的应用。
在解决几何题时，关键是要熟悉各种图形的性质和判定方法，掌握分类讨论的思想，同时要注意将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
初二分类讨论练习题
初二分类讨论练习题分类讨论是数学中常用的解题方法之一，通过将问题分解为若干个同类子问题来解决整体问题。
在初二数学学习中，分类思维的训练对于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力是十分重要的。
本文将给出一些初二分类讨论的练习题，帮助学生加深对该解题方法的理解和运用。
一、排列组合类练习题1. 一个三位数，各位数字均不相同，且都是奇数，有多少个？解析：首先，百位数有5个选择（1、3、5、7、9），十位数有4个选择（0除外），个位数有3个选择，所以总共的不同三位奇数有15个。
2. 一桶里共有红球、蓝球、黄球各若干个，其中红球至少有两个，蓝球至少有三个，黄球至少有四个。
问这桶球中至少有几个球？解析：设红球个数为x，蓝球个数为y，黄球个数为z，根据题意，可列出不等式组如下：x >= 2y >= 3z >= 4求解这个不等式组，我们可以得到最少球的个数为2+3+4=9个。
二、几何形状类练习题1. 如图所示，已知矩形ABCD的长为6cm，宽为4cm，将其四个角各剪去一个相同的小正方形，则所得图形的面积为多少？解析：设每个小正方形的边长为x cm，根据题意，可列出如下方程：(6-2x)(4-2x) = 24将方程化简并解方程，得到x=1，故每个小正方形的边长为1cm，所得图形的面积为24-4=20平方厘米。
2. 如图所示，正三角形ABC的边长为8cm，点P在边BC上，且AP的长度为5cm，则三角形ABP的面积为多少？解析：根据正三角形的性质，角APB也是一个等边三角形，所以三角形ABP的面积为1/2 * 5 * 4 = 10平方厘米。
三、代数方程类练习题1. 一个数的九倍减去这个数的四倍等于24，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可列出方程9x - 4x = 24解方程得到x = 4，所以这个数是4。
2. 一个三位数能被3整除，且百位、十位、个位数字之和为15，求这个三位数是多少？解析：首先，百位数字至少为1，因为3个位数的情况下最小值为102。
(精心整理)相似三角形分类讨论
D C BA DCBA CBACBACB CP《相似三角形中分类讨论思想的运用》一、温故知新：1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？二、新知学习： 题组一:1.例1.如图所示，在ABC ∆中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ∆与ABC ∆相似，则AQ 的长为2.变式一：如图所示，在ABC ∆中，P 是AC 上一点，过P点的直线截ABC ∆交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ∆中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ∆，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条.探究：如果ABC ∆是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？题组二:1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM=CBCBCB2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= .3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合），2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．三、课后反思：1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题.ACD ACDDC BAD CBAQPCBA CB ACB AAB C 四、检测反馈:1．已知在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,AB=5,AC=3,点D 是射线BC 上的一点，（不与端点B 重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，则BD= 2．在等腰ABC ∆中，AB=AC ，若一条中线长为6厘米，另一条中线为9厘米，则等腰ABC ∆的底边长为3. AD ∥BC,∠D=90°,DC=6,AD=2,BC=4.若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求DP 的长.4.如图,4,3,90==︒=∠=∠AC BC ABD ACB ，当ABC ∆与ADB ∆相似时 ，求AD 的长.5.拓展题：如图：在⊿ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8. P 、Q 分别为AC 、BA 上的动点，且BQ=2AP,联结PQ,设AP=x.① 在点P 、点Q 移动的过程中，⊿APQ 能否与⊿ABC 相似？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由。
圆的分类讨论例题及习题
圆的分类讨论例题及习题圆中的分类讨论题------之两解情况一、根据点与圆的位置分类例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。
解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。
PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - :H .所以，圆0的直径为2或6。
练习1:若。
0所在平面内一点P 到。
0上的点的最大距离为a ,最 小距离为b ，则此圆的半径为（）2: P 在。
0内，距圆心0的距离为4,。
0半径长为5,经过P 点， 有多少条？解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方 根的2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共 有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。
3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0有何位置关系？二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后 由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。
（2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？ （ 2或8cm ）k _________ 止 ______________ ________ LAP . 定点 交于。
第3讲 分类讨论思想在解析几何中的应用(原卷版)
第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。
有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法。
是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。
分类讨论思想在数学问题具有明显的。
逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。
解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。
也是高考常考查的知识点。
【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．Δ＜0 Δ＞0 【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. ．【思维提升】涉及到直线的方程问题。
若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。
这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。
【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过()2,0A ,()0,2B ,()2,4C 三点的圆与直线240kx y k -+-=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．无法确定【变式 1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线1:480l ax y ++=与直线2:3(1)60l x a y ++-=平行，则a 的值为（ ）A. 4-B. 3C. 3或4-D. 3-或6【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆1O ：()22325x y +-=，圆2O ：()()2261125x y -+-=，下列直线中，与圆1O ，2O 都相切的是（ ） A ．34370x y +-=B ．34320x y ++=C ．43160x y --=D ．43340x y -+=【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点()2,4P 引圆()()22111x y -+-=的切线，则切线的方程为（ ） A ．2x =-或4340x y +-= B ．4340x y -+= C ．2x =或4340x y -+=D ．4340x y +-=【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．2、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 3、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。
分类讨论专题讲解——4.解析几何中的分类情形
因此点 落在双曲线 上．
（3）设所在抛物线的方程为 ．
将 代入方程，得 ，即 ．
当 时， ，此时点 的轨迹落在抛物线上；
当 时， ，此时点 的轨迹落在圆上；
当 且 时， ，此时点 的轨迹落在椭圆上；
当 时， ，此时点 的轨迹落在双曲上．
课后练习：
1．（选）正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 和4的矩形，则它的的体积为＿＿ ＿＿．
解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ，由已知得
，解得，
所以，椭圆 的标准方程为
（2）设 ，其中 ．由已知 及点 在椭圆 上可得
．
整理得 ，其中 ．
① 时．化简得
所以点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段．
② 时，方程变形为 ，其中
当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足 的部分．
分类讨论的步骤一般可分为以下几步：
①确定讨论的对象及其范围；
②确定分类讨论的标准，正确进行分类；
③逐步讨论，分级进行；
④归纳整合，作出结论．
【典型例题讲解】
Байду номын сангаас【例1】在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 两点．
（1）求证：“如果直线 过点 ，那么 ”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真明题还是假命题，并说明理由．
年级：高三辅导科目：数学课时数：3
课题
分类讨论专题讲解——4.解析几何中的分类情形
教学目的
1.能够就不同的问题进行了合理的分类，不重不漏；
教学内容
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、探索性，能训练人的思维挑理性和概括性，所以在高考题中占有重要的位置．
分类讨论思想在几何中的应用
分类讨论思想．．．．．．在几何中的应用1.如果两个角的两条边分别垂直，那么这两个角 。
2.如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角 。
3.等腰三角形有一个角为50度，其它各角是 。
4.在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，则BC 的长是 。
5.在同一平面内，过已知直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线 。
6.等腰三角形的一边为8cm ，另一边为11cm ，则这个三角形的周长为 cm 。
7.在△ABC 中，BC ＝6，它的外接圆的半径为2，∠A ＝ 。
8.在⊙O 中，两条弦AB 和CD 互相平行，且AB ＝6，CD ＝8，⊙O 的半径为15，则AB 与CD 之间的距离为 。
9. 在△ABC 中，三边为整数时，且BC 的取值范围是2＜BC ＜12，则AC ＝ ，AB ＝ 。
10.等腰△ABC 中的其中一边为2cm ，且有一个角为30°，则这个△的周长是 cm 。
11.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 点作直线L ∥AB,在直线L 上取一点D ，使AD ＝AB ，求∠BAD 的度数。
12.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，它的内接矩形EFGH 的面积为35，E 、H 两点分别在AC 、BC 边上，线段FG 落在AB 边上，求AF 和GB 的长。
13. 已知在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，S △ABC＝53，求∠ABC 的度数和AC 的长。
14.知在△ABC 中，cos A ＝54，∠B ＝45°，且其中一边上的高为3，求△ABC 各边长。
15.已知直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DA ⊥AB ，CD ＝2，AB ＝3,AD ＝7，在AD 上取一点P ，使以P 、A 、B 为顶点的和以P 、C 、D 为顶点的两个三角形相似，求PD 的长。
16.如图，直线y ＝kx+b 交x 轴于B ，C 点在线段AB 上，若△AOC 是等腰三角形，求直线OC 解析式。
人教版七年级数学上册简单的几何图形 第四讲 有关角的分类讨论问题
探究二：角的分类讨论
引发分类讨论的起因是各 种不确定性 引发角的分类讨论的 起因主要由： （1）角的分类的不确定； （2）角的一边的位置的不 确定．
能力提升
方法探究一：怎样做到不重复、不遗漏初探
例1．如图，你知道以A为定点的角有哪些吗？除了以A为定点的角 A 外，图中还有那些角？你会将它们表示出来吗？
【解析】以 A 为定点的角有 BAD 、 BAE 、
BAC 、 DAE 、 DAC 、 EAC ，其他
的角有 B 、 C 、 1 、 2 、 、 ．
B
：由角的一边的位置不确定性引发的分类讨论问题
反思： （1）此题哪些地 方容易出错？ （2）错误的原因 是什么？ （3）通过正解， 能找到本类问题的解 决方法吗？ （4）分类讨论法 的重点是什么？
指点迷津
有关角的分类讨论问题
课标引路
两个难点
知识梳理
探究一：什么是分类讨论
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给的对象不能进 行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同和不同点，将对象分 为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解 决，这一思想方法，我们称之为分类讨论思想．
怎样运用分类讨论思想解答几何中的动点问题
数学篇几何动点问题一直是初中几何中的一个难点，因为点运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种.同学们在求解此类问题时常常因为考虑不周导致漏解而出错.因此，解答动点问题尤其要注意分类讨论.下面就如何运用分类讨论思想解答两类几何图形中的动点问题进行分析，以供参考.一、运用分类讨论思想解答等腰三角形中的动点问题等腰三角形具有两条边相等、底角相等的特点，在求解涉及等腰三角形的动点问题时，由于边的不确定性或角的不确定，需要运用分类讨论思想，从动态的角度逐一讨论三角形的三边两两相等的三种情况，或三角形的三个角为其顶角的三种可能性，然后综合所有分类的结果确定最终答案.例1如图1，在直角坐标系中，已知点P (-2,-1)，点T （t ,0）是x 轴上的一个动点.（1）求点P 关于原点的对称点P ′的坐标；（2）当[t ]取何值时，△P ′TO是等腰三角形？图1图1-1分析：第（1）问求P 点的对称点P ′比较简单，利用对称性即可解答.第（2）问，T 是x 轴上的动点，它在运动的过程中△P ′TO 可能是等腰三角形但顶点未确定，需要分情况讨论.解：（1）∵P (-2,-1)，∴P 关于原点的对称点P ′坐标为（2，-1），（2）由（1）知P ′（2，-1），作图如图1-1所示，①当△P ′TO 中，点P ′为顶点时，T 点为图1-1中T 4点，此时P ′T =P ′O ，T 坐标为T 4(4,0)，②当△P ′TO 中，点T 为顶点时，T 点为图1-1中T 2点，此时TO =TP ′，又∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(2-t )2+(-1-0)2解得，t =54，此时点T 坐标为T 2（54，0），③当△P ′TO 中，点O 为顶点时，T 点为图1-1中T 1和T 3点，此时TO =P ′O ，∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(0-2)2+[0-(-1)]2，解得，t =±5，此时T 点坐标为T 1(-5，0)和T 3（5，0），综合①②③可知，当t 取-5、54、5、4时，△P ′TO 是等腰三角形.评注：本题看似简单，实则非常复杂.由于题目中没有明确等腰三角形的顶点，且T 为坐标轴上的一个动点，所以点T 、O 、P 均有可能为等腰三角形顶角的顶点，需要对此进怎样运用分类讨论思想解答几何中盐城市新洋初级中学吉华丽解法荟萃32数学篇行分类讨论.二、运用分类讨论思想解答圆中的动点问题圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性.圆的这些特性决定了与圆有关的动点问题可能存在多解.在解题时，我们可以根据题目要求初步绘制“圆”可能存在的位置，然后依据分类标准（比如x 轴、y 轴等）逐一分类讨论，做到不重不漏，最后综合所有情况得到完整答案.例2如图2，直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .（1）求M ，N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线y=-43x +4相切，求点P 的坐标.图2图2-1分析：这是一个直线与圆相结合的题目.第（1）问，我们借助直线方程y=-43x +4可以直接求出M 、N 的坐标.第（2）问P 点在坐标轴上，到底在x 轴还是y 轴不确定，所以以P 点为圆心，半径为125的圆也具有不确定性，需要借助分类讨论思想加以讨论.解：（1）∵直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，∴令x =0，y =4，即N （0，4）.同理可得M （3，0）.（2）经过分析发现P 点可能在x 轴上或y 轴上，通过作图发现可能有4种情况，如图2-1所示.①当P 在x 轴上时，设P （x 0，0），则圆P可能是图2-1中的两个虚线圆.125=43x ，解得x 0=0或6，此情况下P 点坐标为P 1（0，0）P 2（6，0）；②当P 在y 轴上时，设P （0，y 0），则圆P可能是图2-1中的两个实线圆.125=|-43×0-y 0+4|4，解得y 0=0或8，此情况下P 坐标为P 3（0，0）和P 4（0，8），由此可见P 1和P 3重合，是同一个点.综合①②，符合条件的P 点一共有3个，分表为（0，0）、（6，0）、（0，8）.评注：审题时一定要充分挖掘隐含条件，“点P 在坐标轴上”就是一个不确定的表述，可能存在多种情况.另外作图要准确，可以通过作图的方式大致确定点的位置，预估答案.此外，该题还有一个关键之处，即“点到直线的距离公式”.考试中常用的有两种公式，分别为：①设直线方程为一般式Ax +By +C =0，点P 的坐标为（x 0，y 0），则点P 到直线L 的距离为：d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B2；②当P (x 0,y 0)，直线L 的方程为截距式y =kx +b ，则P 点到直线的距离为d =|kx 0-y 0+b |1+k2.总之，动点问题常常要借助分类讨论思想辅助解题.一般涉及到与“直角三角形”“等腰三角形”“相似三角形”“圆”等相关的动点问题，往往具有不确定性，存在多解的情况.解法荟萃。
几何图形中的分类讨论(圆专题)
圆与圆相切的位置关系不确定
已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm， 则这两个圆的圆心距为 。
相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性
通过本节课的学习你有哪些收获？
与圆有关的分类讨论，常根据位置关系不确定进行分类：
1、点与圆的位置关系不确定
2、点在圆上位置不确定
3、两弦与圆心的位置关系不确定 4、圆与圆相切的位置关系不确定 5、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性
• （1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d=11-2t， 当t＞5.5时，函数表达式为d=2t-11； （2）两圆 相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外 切，由题意，可得11-2t=1+1+t，t=3； ②当两 圆第一次内切，由题意，可得11-2t=1+t-1，t= 11/3； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t11=1+t-1，t=11； ④当两圆第二次外切，由题 意，可得2t-11=1+t+1，t=13． 所以，点A出发 后3秒、 11/3秒、11秒、13秒时两圆相切
根据某一标准将数学对象分为不同种 类，然后分别对它们进行讨论，得出各 种情况下相应结论的数学思想方法。
分类讨论是一种重要的数学思想方法也是一种解题的策略！ 在几何图形中，我们常根据位置关系不确定进行分类。 大多数表现为没有图，或题意不明确。
1、若点P是⊙O所在平面内的一点，到 ⊙O上各点最小距离是1，到⊙O的最大距 3 或 4 离是7，该圆的半径为____________
1、相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以 2cm/s和1cm/s的速度在直线l上同时向右平移，经过 t（s）后点A，B分别平移到点A1，B1的位置，⊙A1的 半径为1cm，以B为圆心BB1为半径作⊙B ． （2） 问A出发后多少秒， ⊙A1恰好与⊙B相切． （1）试写出点A1B之间的距离d（cm ）与时间t（s） 之间的函数表达式；
几何图形中的分类讨论
通过以上练习中，思 考有哪些问题需要分 类讨论？
第一关
例:如图，B(－1,0)，点C在y轴的正半轴上， ∠CBO＝60°，CA平行于x轴，∠CBA＝90°.点 P从点Q(5,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长 y 的速度运动，运动时间为t秒． (1)当t为何值时， C △BCP为直角三角形 A
A (2)当t为何值时， △ABP为等腰三角形。 B C
O
ห้องสมุดไป่ตู้Q x
第三关
例:(3)以点P为圆心， 2 3 为半径的圆与直线BC相 切， 求t的值； y A B C
O Q x
分类讨论的一般原则：
统一标准，不重不漏
分类讨论的一般步骤 ： 1、正确选择分类的标准; （即从哪个角度分，怎么分） 2、画出符合条件的所有图形; 3、逐类讨论解决；
4、归纳并作出结论.
几何图形中常见的分类讨论 1.直角三角形
直角边 斜边
底 2.等腰三角形 腰
优弧 3.圆周角 劣弧
4.直线与圆相切：位置不确定
分类讨论注意事项：统一标准，不重不漏
检测时用心专注，相信自己一定行！
B
O
Q x
1、正确选择分类的标准; （即从哪个角度分，怎么分） 2、画出符合条件的所有图形; 3、逐类讨论解决； 4、归纳并作出结论.
第二关
例:如图，B(－1,0)，点C在y轴的正半轴上， ∠CBO＝60°，CA平行于x轴，∠CBA＝90°.点 P从点Q(5,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长 y 的速度运动，运动时间为t秒．
专题02 数轴多动点问题中的分类讨论(原卷版)
（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为____________．
利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示1和4的两点的距离是，数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是．
（2）|a﹣1|＝2，则a＝，|a﹣1|+|a+3|＝6，则a＝．
（3）当|a﹣1|+|a+3|取最小值时，此时符合条件的非负整数a是．
（4）如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是50；
（1）若点P到点M点N的距离相等，则点P对应的数为：．
（2）数轴上是否存在点P到点M点N的距离之和为8，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由．
（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度，从运动，它们同时出发几分钟后P点到点M点N的距离相等．
②点Q到达点C后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，求再经过几秒钟，点P与点Q能相遇．
③在②的条件下，点Q改变方向后，直接写出又经过几秒钟点P与点Q相距3个单位．
例6．（2021·重庆一中月考）如图，数轴上有三点A，B，C，表示的数分别是 ， ，3，请回答：
（1）若使C，B两点的距离等于A，B两点的距离，即 ，则需将点C向左移动_______个单位长度；
（1）直接写出点A表示的数为，点B表示的数为，并在数轴上将A，B表示出来；
（2）点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
①如果点P到点A、点B的距离相等，那么x＝；
初中几何分类讨论解题的诱发因素
初中几何分类讨论解题的诱发因素作者：韦玉来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期分类讨论是初中数学常用的重要思想方法，解答的关键在于正确认识问题中的诱发因素，从而进行正确的分类解答.引起分类讨论的原因多种多样，本文以一些几何探究型题目为例，探讨引发分类讨论的若干因素.一、所涉及的点的位置不确定【例2】如图2，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E.（1）求证：EB=EC=ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF·DC.若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由.解析：（1）连结BD、OE，易证EB=EC=ED.（2）在△DEC中，由于ED=EC，因此∠C=∠CDE.由三角形内角和定理，有∠DEC=180°-2∠C.据题意可知∠DEC的大小不确定，点F所在的位置也就无法确定，故需对∠DEC加以分类讨论，才能解决这一问题.①当∠DEC>∠C时，有180°-2∠C>∠C，即当0°②当∠DEC=∠C时，即∠DEC=∠C=60°，此时C点即为满足条件的F点，于是DF=DC=DE，仍有BC2=4DF·DC.③当∠DEC∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.三、所涉及的等腰三角形的底边不确定【例3】已知二次函数y=12x2-x+m的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于B、C两点（点B在点C的左边），P为它的顶点.（1）试确定m的值；（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求直线AD的解析式；（3）在y轴的正半轴上是否存在点M，使△PCM为等腰三角形.若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.所以，当t=1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.通过分类讨论，便于对各种错综复杂的情况完整清晰地进行讨论和研究，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力，有助于学生思维能力的培养.由于分类讨论题具有明显的逻辑性、综合性和探索性，体现了“考查数学能力的要求”，所以在中考中有重要的位置.因此教师必须有意识地给予引导，使学生能正确认识分类讨论的诱发因素，确定问题的分类标准，进而正确地进行分类讨论.（责任编辑金铃）。
初中几何分类讨论问题经典题例析
初中数学分类讨论问题经典题例析(几何部分)山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406） 张荣建在几何计算中，根据题设条件常常可以做出形状不同的独立图形，因而必须针对不同图形进行分类求解。
1、三角形形状不确定时，需考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形、三角形的高在三角形内还是三角形外等情况画出不同图形，分别求解。
经典题1、已知△ABC 的AB=32,AC=2,BC 边上的高AD=3，求BC 长。
分析：三角形的高AD 与AB 、AC 的关系不确定，符合条件的图形有图1和图2，所以要在两个图形中分别求解。
解：在图1中，∵A D ⊥BC,∴BD=3)3(22222=-=-AD AB ，CD=1)3(22222=-=-AD AC ，∴BC=BD+CD=4。
在图2中，同理求得：BD=3，CD=1，BC=BD-CD=3-1=2。
经典题2、平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，A E ：CE=2：3，AB=5，BE=3.求平行四边形的面积。
解：符合条件的图形有两个，如图3和图4，在图3中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()36436=⨯+。
在图４中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()12436=⨯-。
经典题３、已知△ABC 的AB=32,AC=2, BC 边上的高AD=3，有一个正方形的一边在已知△ABC 的AB 边上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求这个正方形的面积。
分析：正方形与三角形的位置关系有两种情况，如图５和图６，所以要在两个图形中分别求解。
解：由经典题1，BC=4或BC=2,当BC=4时，∵()2222216232BC AC AB ==+=+，∴△ABC 为直角三角形，所以图５符合题意，设正方形边长为x ，∵G E ∥AB ，∴3132323422232+=∴-=∴-=∴=x x ，x ，x x ，CA CE AB GE ，即正方形边长为3132+。
图形运动中等腰三角形分类讨论(2)有答案
图形中的等腰三角形分类讨论1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。
知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
一．等腰三角形的性质：二．等腰三角形常见题型分类：三．函数背景下的等腰三角形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。
例1.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5,AB DC ==AD =2，BC =8，MEN B ∠=∠． MEN ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF 。
（★★★★）（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若AEF △为等腰三角形，求出BE 的长．C【参考教法】：一．题目分析，和学生一起寻找题目中的已知两或是特殊条件：（以提问式引导学生分析） 1.题目中的梯形有哪些已知？ 提示：各边已知，且为等腰三角形；2.题中有什么特殊的图形没？提示：相似基本型（一线三角）B AEF C ∠=∠=∠。
3.题目中有相似三角形吗？提示：ABE FEC ∆∆∽。
二．求解函数关系式，由相似可以直接得出，你自己求解吧！（如学生不会，提醒学生找x 与y 有关的相似三角形，用比例式求解，本题ABE FEC ∆∆∽）； 三．当AEF △为等腰三角形时： 1.需要讨论吗？提示：需要，分三类；2.怎么讨论？提示：分AE EF AE AF EF AF ===、、三类讨论；3.怎么计算？你能求解看看吗？提示：当等腰三角形不能直接利用边相等求解时，通过“画底边上的高线”辅助线，再利用三角比求解。
等腰三角形中的分类讨论问题归类
等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。
本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。
通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。
一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。
首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。
其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。
此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。
这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。
二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。
例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。
初一几何分类讨论例题
初一几何分类讨论例题几何学是数学的重要组成部分，它探索、研究和描绘空间结构，在日常生活中也有重要作用。
尤其在初中学习中，几何学的知识是很重要的，而在学习几何学的过程中，讨论例题可以帮助学生更好地理解概念和方法。
本文将重点介绍初一学生讨论几何问题的例题，以帮助他们掌握几何知识。
一、分类讨论1.积问题初一几何分类讨论中，面积问题是一个重要的分类。
例题如下：（1）一块面积为10方厘米的矩形，把它切成两块，一块面积为4平方厘米，另一块面积为多少平方厘米？（2）两个矩形的宽相等，一块的面积是4平方厘米，另一块的面积是6平方厘米，那么这两个矩形的边长分别是多少？（3）一块圆形桌布的边缘有一个半径为3厘米的圆。
这块桌布的面积是多少？2.度问题初一几何分类讨论中，角度问题也是一个重要的分类。
例题如下：（1）一个正六边形，每个内角等于多少度？（2）一个六边形的内角之和等于1260度，那么每个内角等于多少度？（3）三角形的内角之和等于180度，三个内角的大小分别是多少度？3. 体积问题初一几何分类讨论中，体积问题也是一个重要的分类。
例题如下：（1）一个立方体的体积是14平方厘米，那么它的棱长是多少？（2）一个圆柱体的体积是54立方厘米，那么它的底面半径和高度分别是多少？（3）一个球体的体积是27立方厘米，那么球体的半径是多少？二、解决方法1.积问题（1）此题是一个减法问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可以得出：一块面积为4平方厘米的矩形即为长为2厘米、宽也是2厘米；因此，另一块面积为：10-4=6方厘米。
（2）此题是一个方程问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可得出：4=ax，6=bx，其中a和b是两个矩形的边长，即a=2厘米，b=3厘米。
（3）此题可以利用圆的面积公式求得，即面积=πr，其中r是半径，r=3厘米，因此面积为：π*3=28.274（保留小数点后两位）平方厘米2.度问题（1）此题可以利用多边形内角和公式求得，即内角和=（n-2）*180°，其中n是多边形的边数，即此处n=6，内角和=（6-2）*180°=720°，内角等于720°÷6=120°；（2）此处n=6，内角和=1260°，内角等于1260°÷6=210°；（3）此题可以利用三角形内角和公式求得，即内角和=180°，其中A B C分别是三角形的三个内角，由此可得A+B+C=180°，解得每个内角等于60°。
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几何中的分类讨论问题
【典型例题】
例 1 已知抛物线22)1(t t x a y +--=（a ，t 是不为0的常数）的顶点是A,另一条抛物线
122+-=x x y 的顶点是B ．
（1）写出A ，B 两点的坐标；（2）试证A 点在抛物线122+-=x x y 上；（3）如果抛物线22)1(t t x a y +--=经过B 点，求a 的值．问：这条抛物线与x 轴的两个交点B ，C 和这条抛物线的顶点A 能否构成直角三角形？若能，试求出t 的值；若不能，请说明理由．
例2 如图，在直角坐标系中，⊙O 与x 轴交于A ，B 两点，⊙O 的半径为2，C ，D ，M 三点的坐标分别为（3，0），（0，6），（0，m ），且0＜m ＜6．（1）求经过C 、D 两点的直线的解析式； （2）当点M 在线段OD 上移动时，直线CM 与⊙O 有哪几种位置关系？求出每种位置关系时
m 取值范围．
①
②
例3 如图，⊙O 与直线MN 相切于A ，连结OA ，在OA 上任取一点O 1，以O 1为圆心作圆与⊙O 相切于B ，交直线MN 于C ，D ．设⊙O 的半径为1，OO 1的长为x （0＜x ≤1），以CD 为边向上作正方形，其面积为y 。
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）在这正方形中，设CD 的对边所在的直线为l ，问当x 为何值时，l 与⊙O 相切、相离、相交？
例4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）CD ⊥AB 于E ．（1）当点P 在⊙O 上运动时（不考虑点P 与A 、C 、D 重合的情形），∠APC 与∠APD 的关系如何？说明理由；（2）当PC ⊥AD 时，证明：四边形DBCF 是菱形．
例5 已知：在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=4cm ，AB=8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的中点，若P 为AB 边上的一个动点，PQ ∥BC ，且交AC 于点Q ，以PQ 为一边，在点A 的异侧作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积为y ．（1）如图，当AP=3cm 时，
求y 的值；（2）设AP=x cm ，试用含x 的代数式表示y （cm 2）；（3）当y =2cm 2
时，试确定点P 的位置．
C
【经典练习】
一、填空。
1．在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别是3和2，则∠BAC 的度数为 。
2．从不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线，交⊙O 于B 、C ，且AB·AC=64，OA=10，则⊙O 的半径等于 。
3．在直径为20cm 的圆中，有一弦长为16cm ，则其所对弓形的高为 。
4．半径为5cm 的圆中有两条平行弦，长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦的距离为 。
5．⊙O 的半径是15，弦PQ∥MN，且PQ=18cm ，MN=24cm ，则以两平行弦为底的梯形的面积为 。
6．在△ABC 中，已知∠A=60°，高BE ，CF 相交于点O ，则∠BOC= ． 7．在△ABC 中，已知∠A=50°，H 是垂心，则∠BHC= 度．
8．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为 ．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
10．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，底边长为 ． 二、选择。
1．已知线段AB 的长为10cm ，点A ，B 到直线l 的距离分别为6cm 和4cm ，符合条件的直线
l 的条数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知等腰△ABC 的底边BC 的长为BC=8cm ，且cm BC AC 2=-，则腰AC 的长为（ ） A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm
3．在Rt △ABC 中，斜边为26cm ，内切圆的半径为4cm ，那么它的两条直角边的长分别为（ ）
cm ．
A ．26和8
B ．16和8
C ．10和24
D ．7和27
4．已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可
作出（ ） A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
5．已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3条构造三角形，最多能构成形状或大小不同的三角形个数是（ ） A ．5
B ．7
C ．8
D ．10
6．如图1，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA 、OB 将其裁成1:3两部分，用所得的扇形
圆或圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
A ．
1
B ．1
C ．1或3
D ．
1或3
7．如图3，以A 、B 两点为其中两个顶点作位置不同的正方形一共可以作（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．A 是半径为5的⊙O 内的一点，且OA=3，过点A 且长小于8的弦有（ ）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．4条
9．⊙O 的直径为10cm ，弦AB=8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长为整数，则满足条件的点
P 有（ ） A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．5个
10．如图4，⊙O 1与⊙O 2相交，P 是⊙O 1上的一点，过P 点作⊙O 2的切线，则切线的条数可
能是（ ） A ．1，2
B ．1，3
C ．1，2，3
D ．1，2，3，4
11．已知：如图，在直角梯形COAB 中，CB ∥OA ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C 的坐标分别为A （10，0），B （4，8），C （0，8），D 为OA 的中点，动点P 自A 点出发沿A →B →C →O 的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t 秒．
（1）动点P 从A 到B 的移动过程中，设△APD 的面积为S ，试写出S 与t 的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S 的最大值。
（2）动点P 从A 出发，经过几秒钟线段PD 将梯形COAB 的面积分成1:3两部分？求此时P 点的坐标．
图1
A
B
图3
图4。