分析力学,拉格朗日方程
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当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显 当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数， 系统的动能可写成： 含时间 t 。系统的动能可写成：
∂ ri ∂ ri & & qk ＋ ri ＝ ∑ ∂t k =1 ∂ q k
n ∂ ri 1 p n ∂ ri & & V ＝ ∑ mi ∑ k = 1 ∂ q qk ∑ ∂ q ql 2 i =1 k l l = 1
振动系统的自由度
振动系统力学模型中若有n个质点和 个刚体 那么它的自由度DOF 振动系统力学模型中若有 个质点和m个刚体，那么它的自由度 个质点和 个刚体， 必定满足下列方程： 必定满足下列方程： DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数） （约束方程数）
第5章 分析力学基础
例 5.1 图 (a)中，质量用一 中 根弹簧悬挂。 根弹簧悬挂。图（b）中质 ） 量用一根长度为l， 量用一根长度为 ，变形可忽 略的悬丝悬挂。 略的悬丝悬挂。分析系统的 自由度， 自由度，并建立系统的广义 坐标。 坐标。
5.2 虚位移原理
p ∂ ri δ W ＝∑ ∑ Fi i =1 ∂ q k =1 k p ∂ ri 其中， 其中， Qk ＝∑ Fi ∂ qk i =1 义力。 义力。
这样，虚功方程可以写成： 这样，虚功方程可以写成：
n
δ qk
(k = 1, 2, L, n) 为与广义坐标qk 对应的广
& y = tan θ & x
自由度数为2 小于广义坐标数。 自由度数为2，小于广义坐标数。
第5章 分析力学基础 虚位移
5.2 虚位移原理
所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的 所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的 坐标微小改变量。 坐标微小改变量。 虚位移只是约束允许的可能位移 不一定是系统的真实位移。 系统的真实位移 虚位移只是约束允许的可能位移 ，并不一定是系统的真实位移。它 与时间t 的变化无关。 与时间 的变化无关。 表示，真实微小位移用d表示。 虚位移用δ 表示，真实微小位移用d表示。
5.1 自由度和广义坐标
自由度
完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。 完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。
广义坐标
用某一组独立坐标（参数） 用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的 位置，则这组坐标称为广义坐标。 位置，则这组坐标称为广义坐标。
一般地， 一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目 与自由度相等。 与自由度相等。 约束
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 其数学表达式为: 其数学表达式为:
δ W = ∑F ⋅δ r = 0
虚功
力在虚位移上的元功称为虚功。 力在虚位移上的元功称为虚功。
力的分类
作用于系统的力可分为两类：约束反力和主动力。 作用于系统的力可分为两类：约束反力和主动力。 约束作用于系统的力。 约束作用于系统的力。 在系统运动或平衡中处于主导地位。 在系统运动或平衡中处于主导地位。
理想约束
在虚位移上不做功的约束称为理想约束。 在虚位移上不做功的约束称为理想约束。
2 2 x1 + y1 = l12
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = l22
利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为 计算的公式， 利用自由度 计算的公式 DOF ＝３×２－４＝２ 设刚性杆l 刚性杆l 设刚性杆 1与x轴的夹角为θ 1 ，刚性杆 2与x轴的夹角为θ 2 ，方向如 轴的夹角为 轴的夹角为 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， θ 1和θ 2可以作 为双摆的广义坐标。 为双摆的广义坐标。
第5章 分析力学基础
5.1 自由度和广义坐标
wenku.baidu.com
右图表示由刚性杆l 和质量m 及刚性杆l 例 5.2 右图表示由刚性杆 1和质量 1及刚性杆 2 和质量m 组成的两个单摆在O’ 和质量 2组成的两个单摆在 处用铰链连接成 双摆，并通过铰链O与固定点连接 与固定点连接， 双摆，并通过铰链 与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度， 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 由于双摆只能在平面内摆动，因此， ， ， 而双摆的长度l 不变， 而双摆的长度 1和l 2不变，即
改变求和的次序， 改变求和的次序，得：
1 n n V ＝ ∑∑ 2 k =1 l =1
p ∑ mi ∂ ri ⋅ ∂ ri i =1 ∂ qk ∂ ql
qk ql & &
1 n n & & V ＝ ∑∑ mk l qk ql 2 k =1 l =1 p ∂ ri ∂ ri & & 为广义速度， 为广义质量系数， qk 和 ql 为广义速度， mk l 为广义质量系数， k l ＝ ∑ mi m ⋅ 其中， 其中， 。 ∂ qk ∂ ql i =1
振动理论及其应用
第5章 分析力学基础
5.1 自由度和广义坐标 5.2 虚位移原理 5.3 动能和势能 5.4 D’Alembert原理 D’Alembert原理 5.5 Lagrange方程 方程 5.6 哈密尔顿原理
第5章 分析力学基础 分析力学
5.1 自由度和广义坐标
分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 它从能量的观点，统一建立起系统动能、 它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关 是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。 系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。
动能
第5章 分析力学基础
5.3 动能和势能
设质量为m 设质量为 i的质点在某位置时的速度是
& ri ，则质点在此位置的动能为
1 & & V ＝ mi ri ⋅ ri 2
其中, 其中
n
1 p & & 若振动系统由p个质点组成 个质点组成， 若振动系统由 个质点组成，则系统的动能为 V ＝ ∑ mi ri ⋅ ri 2 i =1
2.1 自由度和广义坐标
(a)
（b） ）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 对图（ ）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。 因此它的约束方程为零，自由度为 。 对图（ ）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程： 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
i i i =1
p
其中， 为作用于质点系的主动力， r 为虚位移。上式也称为虚功方程 虚功方程。 其中，Fi为作用于质点系的主动力， δri为虚位移。上式也称为虚功方程。
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间 若系统有 个自由度，任意一点的坐标矢量可以用 个广义坐标和时间 个自由度 t来表示，即： ＝ r ( q ， ， ， ， ) 来表示， 来表示 r q L q t
δ W ＝∑ Q δ q ＝ 0
k k k =1
由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择， 由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成 立时， 立时，有：
Qk ＝ 0
(k = 1, 2, L, n)
虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，n 个自由度的系统达到平衡 虚位移原理可表述为：在理想约束情况下， 可表述为 的充要条件是n 个广义力都等于零。 的充要条件是 个广义力都等于零。
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有： 由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程， 代入虚功方程，得：
p n
∂ ri δ ri ＝ ∑ δ qk k =1 ∂ q k
n
∂ ri δ W ＝ ∑ Fi ∑ δ qk i =1 k =1 ∂ q k
对换求和的次序， 对换求和的次序，得：
n
第5章 分析力学基础
刚体的自由度
一个刚体在空间需要6个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置， 一个刚体在空间需要 个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置， 个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置 因此它的自由度为6。 个无约束刚体组成的系统自由度为 个无约束刚体组成的系统自由度为6m。 因此它的自由度为 。m个无约束刚体组成的系统自由度为 。
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。 对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
第5章 分析力学基础 质点的自由度
5.1 自由度和广义坐标
质点在空间需要3个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 质点在空间需要 个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置 它的自由度为3。 个毫不相干 个毫不相干、 它的自由度为 。n个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为 3n。 。
第5章 分析力学基础 完整约束
5.1 自由度和广义坐标
当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 称为完整约束。显然， 和例5 的约束都是完整约束。 称为完整约束。显然，例5.1和例5.2的约束都是完整约束。
f i ( x, y, z, t ) = 0
虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
虚位移原理
第5章 分析力学基础
5.2 虚位移原理
第5章 分析力学基础 不完整约束
5.1 自由度和广义坐标
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数， 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。 义坐标数。 刚体A通过三个点放置 例 5.3 刚体 通过三个点放置 平面上， 在xoy 平面上，其中的两个接 触点可在平面上作无摩擦自由 滑动， 点有一个刀片， 滑动，而P点有一个刀片，使 点有一个刀片 其只能沿刀片方向移动，分析 其只能沿刀片方向移动， 冰刀系统的广义坐标和自由度。 冰刀系统的广义坐标和自由度。 由于刚体A在 平面中移动 因此需要三个广义坐标(x, 和 描述其 平面中移动， 解 由于刚体 在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标 y和θ)描述其 在任意时刻的位置。 在任意时刻的位置。 而刚体A只能沿刀片方向移动， 只能沿刀片方向移动 而刚体 只能沿刀片方向移动，因 此有约束方程： 此有约束方程：
x2 + y2 + z2 = l 2
这样， 就再不独立。若用球面坐标r 来表示， 这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标 、ψ 和ϕ 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用ψ 和ϕ 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬 时的位置， 广义坐标数为2，自由度为2。 时的位置，即广义坐标数为 ，自由度为 。
定常约束
当约束方程与时间t 无关时，称为定常约束。例5.1和例5.2的约束都是定 和例5 当约束方程与时间 无关时，称为定常约束。 常约束。 常约束。
不完整约束
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数， 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。 义坐标数。
∂ ri ∂ ri & & qk ＋ ri ＝ ∑ ∂t k =1 ∂ q k
n ∂ ri 1 p n ∂ ri & & V ＝ ∑ mi ∑ k = 1 ∂ q qk ∑ ∂ q ql 2 i =1 k l l = 1
振动系统的自由度
振动系统力学模型中若有n个质点和 个刚体 那么它的自由度DOF 振动系统力学模型中若有 个质点和m个刚体，那么它的自由度 个质点和 个刚体， 必定满足下列方程： 必定满足下列方程： DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数） （约束方程数）
第5章 分析力学基础
例 5.1 图 (a)中，质量用一 中 根弹簧悬挂。 根弹簧悬挂。图（b）中质 ） 量用一根长度为l， 量用一根长度为 ，变形可忽 略的悬丝悬挂。 略的悬丝悬挂。分析系统的 自由度， 自由度，并建立系统的广义 坐标。 坐标。
5.2 虚位移原理
p ∂ ri δ W ＝∑ ∑ Fi i =1 ∂ q k =1 k p ∂ ri 其中， 其中， Qk ＝∑ Fi ∂ qk i =1 义力。 义力。
这样，虚功方程可以写成： 这样，虚功方程可以写成：
n
δ qk
(k = 1, 2, L, n) 为与广义坐标qk 对应的广
& y = tan θ & x
自由度数为2 小于广义坐标数。 自由度数为2，小于广义坐标数。
第5章 分析力学基础 虚位移
5.2 虚位移原理
所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的 所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的 坐标微小改变量。 坐标微小改变量。 虚位移只是约束允许的可能位移 不一定是系统的真实位移。 系统的真实位移 虚位移只是约束允许的可能位移 ，并不一定是系统的真实位移。它 与时间t 的变化无关。 与时间 的变化无关。 表示，真实微小位移用d表示。 虚位移用δ 表示，真实微小位移用d表示。
5.1 自由度和广义坐标
自由度
完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。 完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。
广义坐标
用某一组独立坐标（参数） 用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的 位置，则这组坐标称为广义坐标。 位置，则这组坐标称为广义坐标。
一般地， 一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目 与自由度相等。 与自由度相等。 约束
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 其数学表达式为: 其数学表达式为:
δ W = ∑F ⋅δ r = 0
虚功
力在虚位移上的元功称为虚功。 力在虚位移上的元功称为虚功。
力的分类
作用于系统的力可分为两类：约束反力和主动力。 作用于系统的力可分为两类：约束反力和主动力。 约束作用于系统的力。 约束作用于系统的力。 在系统运动或平衡中处于主导地位。 在系统运动或平衡中处于主导地位。
理想约束
在虚位移上不做功的约束称为理想约束。 在虚位移上不做功的约束称为理想约束。
2 2 x1 + y1 = l12
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = l22
利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为 计算的公式， 利用自由度 计算的公式 DOF ＝３×２－４＝２ 设刚性杆l 刚性杆l 设刚性杆 1与x轴的夹角为θ 1 ，刚性杆 2与x轴的夹角为θ 2 ，方向如 轴的夹角为 轴的夹角为 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， θ 1和θ 2可以作 为双摆的广义坐标。 为双摆的广义坐标。
第5章 分析力学基础
5.1 自由度和广义坐标
wenku.baidu.com
右图表示由刚性杆l 和质量m 及刚性杆l 例 5.2 右图表示由刚性杆 1和质量 1及刚性杆 2 和质量m 组成的两个单摆在O’ 和质量 2组成的两个单摆在 处用铰链连接成 双摆，并通过铰链O与固定点连接 与固定点连接， 双摆，并通过铰链 与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度， 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 由于双摆只能在平面内摆动，因此， ， ， 而双摆的长度l 不变， 而双摆的长度 1和l 2不变，即
改变求和的次序， 改变求和的次序，得：
1 n n V ＝ ∑∑ 2 k =1 l =1
p ∑ mi ∂ ri ⋅ ∂ ri i =1 ∂ qk ∂ ql
qk ql & &
1 n n & & V ＝ ∑∑ mk l qk ql 2 k =1 l =1 p ∂ ri ∂ ri & & 为广义速度， 为广义质量系数， qk 和 ql 为广义速度， mk l 为广义质量系数， k l ＝ ∑ mi m ⋅ 其中， 其中， 。 ∂ qk ∂ ql i =1
振动理论及其应用
第5章 分析力学基础
5.1 自由度和广义坐标 5.2 虚位移原理 5.3 动能和势能 5.4 D’Alembert原理 D’Alembert原理 5.5 Lagrange方程 方程 5.6 哈密尔顿原理
第5章 分析力学基础 分析力学
5.1 自由度和广义坐标
分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 它从能量的观点，统一建立起系统动能、 它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关 是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。 系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。
动能
第5章 分析力学基础
5.3 动能和势能
设质量为m 设质量为 i的质点在某位置时的速度是
& ri ，则质点在此位置的动能为
1 & & V ＝ mi ri ⋅ ri 2
其中, 其中
n
1 p & & 若振动系统由p个质点组成 个质点组成， 若振动系统由 个质点组成，则系统的动能为 V ＝ ∑ mi ri ⋅ ri 2 i =1
2.1 自由度和广义坐标
(a)
（b） ）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 对图（ ）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。 因此它的约束方程为零，自由度为 。 对图（ ）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程： 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
i i i =1
p
其中， 为作用于质点系的主动力， r 为虚位移。上式也称为虚功方程 虚功方程。 其中，Fi为作用于质点系的主动力， δri为虚位移。上式也称为虚功方程。
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间 若系统有 个自由度，任意一点的坐标矢量可以用 个广义坐标和时间 个自由度 t来表示，即： ＝ r ( q ， ， ， ， ) 来表示， 来表示 r q L q t
δ W ＝∑ Q δ q ＝ 0
k k k =1
由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择， 由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成 立时， 立时，有：
Qk ＝ 0
(k = 1, 2, L, n)
虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，n 个自由度的系统达到平衡 虚位移原理可表述为：在理想约束情况下， 可表述为 的充要条件是n 个广义力都等于零。 的充要条件是 个广义力都等于零。
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有： 由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程， 代入虚功方程，得：
p n
∂ ri δ ri ＝ ∑ δ qk k =1 ∂ q k
n
∂ ri δ W ＝ ∑ Fi ∑ δ qk i =1 k =1 ∂ q k
对换求和的次序， 对换求和的次序，得：
n
第5章 分析力学基础
刚体的自由度
一个刚体在空间需要6个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置， 一个刚体在空间需要 个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置， 个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置 因此它的自由度为6。 个无约束刚体组成的系统自由度为 个无约束刚体组成的系统自由度为6m。 因此它的自由度为 。m个无约束刚体组成的系统自由度为 。
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。 对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
第5章 分析力学基础 质点的自由度
5.1 自由度和广义坐标
质点在空间需要3个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 质点在空间需要 个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置 它的自由度为3。 个毫不相干 个毫不相干、 它的自由度为 。n个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为 3n。 。
第5章 分析力学基础 完整约束
5.1 自由度和广义坐标
当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 称为完整约束。显然， 和例5 的约束都是完整约束。 称为完整约束。显然，例5.1和例5.2的约束都是完整约束。
f i ( x, y, z, t ) = 0
虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。 作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
虚位移原理
第5章 分析力学基础
5.2 虚位移原理
第5章 分析力学基础 不完整约束
5.1 自由度和广义坐标
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数， 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。 义坐标数。 刚体A通过三个点放置 例 5.3 刚体 通过三个点放置 平面上， 在xoy 平面上，其中的两个接 触点可在平面上作无摩擦自由 滑动， 点有一个刀片， 滑动，而P点有一个刀片，使 点有一个刀片 其只能沿刀片方向移动，分析 其只能沿刀片方向移动， 冰刀系统的广义坐标和自由度。 冰刀系统的广义坐标和自由度。 由于刚体A在 平面中移动 因此需要三个广义坐标(x, 和 描述其 平面中移动， 解 由于刚体 在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标 y和θ)描述其 在任意时刻的位置。 在任意时刻的位置。 而刚体A只能沿刀片方向移动， 只能沿刀片方向移动 而刚体 只能沿刀片方向移动，因 此有约束方程： 此有约束方程：
x2 + y2 + z2 = l 2
这样， 就再不独立。若用球面坐标r 来表示， 这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标 、ψ 和ϕ 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用ψ 和ϕ 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬 时的位置， 广义坐标数为2，自由度为2。 时的位置，即广义坐标数为 ，自由度为 。
定常约束
当约束方程与时间t 无关时，称为定常约束。例5.1和例5.2的约束都是定 和例5 当约束方程与时间 无关时，称为定常约束。 常约束。 常约束。
不完整约束
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数， 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。 义坐标数。