万有引力定律优秀教案

六万有引力和天体运动

（一）开普勒行星定律

1.第一定律——轨道定律

所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于所有椭圆的一个焦点上。

因此地球公转时有近日点和远日点

2.第二定律——面积定律

太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

因此行星的公转速率是不均匀的，在近日点最快，在远日点最慢。

3.第三定律——周期定律

所有行星椭圆轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的平方的比值都相等。

R 3

T 2 ＝k k是与行星无关，而与太阳有关的量。

（1）若公转轨道为圆，那么R就是指半径。

（2）第三定律针对的是绕同一中心天体运动的各星体，若中心天体不同，不能死套周期定律：

例如比较地球和火星，就有R地3

T地2

＝

R火3

T火2

＝k

k是一个与中心天体太阳有关的常数，与行星无关。

例如比较月球和人造卫星，就有R月3

T月2

＝

R卫3

T卫2

＝k ′

k ′是一个与中心天体地球相关的常数，与卫星无关。

例如行星的卫星并非主要绕太阳运动，不能直接和行星比较，即R地3

T地2

≠

R月3

T月2

例1.已知日地距离为1.5亿千米，火星公转周期为1.88年，据此可推算得火星到太阳的距离约为A. 1.2亿千米 B. 2.3亿千米

C. 4.6亿千米

D. 6.9亿千米

解：B

（二）万有引力定律

1.基本概念

（1）表述：自然界中任何两个物体都是相互吸引的——引力普遍存在；

引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比——F万∝m1m2 R 2

（2）公式：F万＝G m1m2 R 2

其中G称为引力常量，适用于任何物体，由卡文迪许首先测出。它在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互作用力：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。

（3）定律的适用范围：

①定律只适用于质点间的相互作用，公式中的R是所研究的两质点间的距离。

②定律还可用于两均匀球体间的相互作用，公式中的R是两球心间的距离。

③定律还可用于一均匀球体和球体外另一质点间的相互作用，公式中的R是球心与质点间的距离。

例2.已知月球中心到地球中心的距离约是地球半径的60倍，两者质量之比M月∶M地＝1∶81。问由地球飞往月球的飞船距月球中心多远时，地球与月球对飞船的万有引力的合力恰好为零？

解：设飞船质量为m，所求距离为d，据平衡条件有

G M月m

d 2＝G

M地m

(60R地－d)2

解得d＝6 R地

2.万有引力和重力

（1）地面上物体的重力mg是地球对该物体的万有引力的一个分力。

随着纬度的升高，物体所需向心力减小，物体的重力逐渐增大。

事实上，地球表面的物体受到的万有引力和重力十分接近。

例如，在赤道上的一个质量为1kg的物体，用F万＝G Mm

R 2计算出来的万有

引力是9.830N，用F向＝m 4π2

T 2R计算出来的的向心力是0.034N，那么物体受到

的重力是mg＝F万－F向＝9.796N。因此（2）在地面及附近，可认为

mg＝G Mm R 2

那么重力加速度g＝G M

R 2——黄金代换

例3.已知地球的半径约为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T。又知月球的公转可看做匀速圆周运动，试用上述物理量表达出地月距离L（L远大于R）。

解：L远大于R，可将地球和月球视为质点，由万有引力定律和牛顿第二定律有

G Mm月

L 2＝m月

4π2

T 2L ①

在地球表面，有m物g＝G Mm物

R 2②

联立①、②式解得L＝3gR 2T 2

4π2

（3）地球表面附近高度为h（h＜＜R）的地方，仍可视为重力等于万有引力：

mg ′＝G Mm

(R＋h)2

故距地面高度为h的地方，重力加速度g ′＝GM

(R＋h)2 ＝

R2

(R＋h)2

g

可见，随高度的增大，重力加速度迅速减小。

例4.在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h时所经历的时间为t。在某高山顶上测得物体下落同样的高度

所需时间增加了Δt 。已知地球半径为R ，试用上述各量表达山的高度H 。

解：设地面的重力加速度为g ，据直线运动规律有g ＝ 2h

t

2

设高山顶上的重力加速度为g ′，同理有g ′＝ 2h

(t ＋Δt ) 2

则 g

g ′

＝ ( t ＋Δt t )2 ①

在地面附近，可认为重力等于万有引力，有 mg ＝G Mm R 2

mg ′＝G Mm

(R ＋H )2

则 g

g ′

＝ ( R ＋H R )2 ②

联立①②式得 t ＋Δt t ＝ R ＋H R 解得H ＝ Δt

t R

3.

利用万有引力定律测量天体质量和密度

（1） 以天体表面的物体为研究对象

设星球半径为R ，在天体表面有：

mg ＝G

Mm

R 2

得M ＝

gR 2 G ；而V ＝ 4 3πR 3 ，则ρ＝ M V ＝ 3g

4πGR

例5. 已知地球表面的重力加速度为9.8m/s 2，地球半径为6.4×103km ，引力常量为6.67×10－11

N ·m 2/kg 2。（1）

试估算地球的平均密度。（2）已知地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，试

估算地核的平均密度。

解：设地面上有一质量为m 的物体，它所受到的地球引力近似等于它的重力：

mg ＝G Mm R 2 得 M 地＝gR 2

G

ρ地＝ M 地 V 地 ＝ 3g

4πGR ＝ 3×9.8 4×3.14×6.67×10－

11×6.4×106 kg/m 3＝5.48×103kg/m 3 ρ核＝ 0.34M 地 0.16V 地

＝ 17

8 ρ地＝11.6×103kg/m 3

例6. 宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过5t 的时间后小球才落回原处（地球重力加速度取g ＝10m/s 2，空气阻力不计），求：（1）该星球表面附近的重力加速度；（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，求该星球的质量和地球质量之比。

解：物体作竖直上抛运动时，上升时间t ＝ v

a