第七章习题与解答

第七章 非线性控制系统分析

7-1 设一阶非线性系统的微分方程为

3x x x

+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解：令 x

=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 32

1110()()() 系统平衡状态 x e =-+011,,

其中：0=e x ： 稳定的平衡状态；

1,1+-=e x ： 不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。

可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-x 时，x t ()→∞。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~x

x 平面上任意分布。 7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1) x x

x ++=0 (2) ⎩⎨⎧+=+=212

2112x x x x x x

解：（1）系统方程为 ⎩⎨

⎧<=-+II >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x

令0x x

== ，得平衡点：0e x =。

系统特征方程及特征根：

21,2

21,21:10,()2:10, 1.618,0.618

()

s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩

稳定的焦点鞍点

(, ) , , x f x x x x dx

dx

x

x x dx dx x x x x x

==--=--==--=-+=αα

β11

1

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

<-=

>--=)

0(11

:II )

0(1

1:

I x x β

αβ

α

计算列表

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。

图解7-2（a ）系统相平面图

（2） x

x x 112=+ ①

2122x x x

+= ② 由式①： x x

x 211=- ③

式③代入②： (

)( )x x x x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④

令

x x 110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨

⎧-==--414

.0414

.20122

,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式

x x dx

dx x x x 1111112===+α x x

112

=-α

计算列表

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b ）所示。

7-3 已知系统运动方程为 sin x x +=0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

解：求平衡点，令 x x ==0 得 s i n x =0

平衡点 x k k e ==±±π

(,,,012 )。

将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。

设 F x x x ()

sin =+=0

∂∂∂∂F x x F

x x x

x e

e

∆∆+=0

∆∆

cos x x x e +⋅=0 ⎩⎨

⎧±±±===∆-∆±±===∆+∆)

,5,3,1(0),4,2,0(0

k k x x x k k x x x e e π

π

特征方程及特征根： k 为偶数时 s j 21210

+==±λ, （中心点）

图解7-2（b ）系统相平面图

k 为奇数时 s 212101-==±λ, （鞍点）

用等倾斜线法作相平面

sin sin sin x

dx

dx x x

x x

x +=⋅+==α

01

作出系统相平面图如图解7-3所示。

7-4 若非线性系统的微分方程为

(1) ( .) x x

x x x +-++=30502 (2) x

xx x ++=0 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解：（1） 由原方程得

(, )( .) . x f x x x x x x x x x x ==----=-+--305305222 令

x x 110== 得 x x x x +=+=2

10()

解出奇点 x e =-01,

在奇点处线性化处理。

在x e =0处：

图解7-3

x 5.0x x )5.0x 6(x )x 21(x

x )x

,x (f x x

)x

,x (f x

x x 0x x 0x

x 0x

0x +-=⋅+-+⋅--=⋅∂∂+⋅∂∂=========

即 . x

x x -+=050 特征方程及特征根

s j 12205054

2

0250984,....=±-=± （不稳定的焦点）

在x e =-1处：

x x x

x

x x x

x

x x

x 5.0)5.06()21(01

01

+=⋅+-+⋅--==-==-= 即 . x

x x --=050 特征根 ⎩⎨

⎧-=+±=718

.0218

.1245.05.022

,1s （鞍点） 概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：

（2）由原方程

(, ) x f x x xx x ==-- 令 x x

==0 得奇点 x e =0,在奇点处线性化

( ) x

f

x

x f

x

x

x x x x x x

x x

x x x x =⋅+

⋅=--⋅-⋅========∂∂∂∂0000

1

得 x x =- 即 x

x +=0 特征根 s j 12,=±。奇点x e =0（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。

图解7-4（1）

图解7-4（2）