人教培优 易错 难题平行四边形辅导专题训练含详细答案
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.
(1)①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系,不必证明;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图3、4),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图4为例简要说明理由.
(3)在第(2)题图4中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=1
2
,求BE2+DG2的值.
【答案】(1)①BG⊥DE,BG=DE;②BG⊥DE,证明见解析;(2)BG⊥DE,证明见解析;(3)16.25.
【解析】
分析:(1)①根据正方形的性质,显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE,从而判断两条直线之间的关系;
②结合正方形的性质,根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE,从而证明结论;
(2)根据两条对应边的比相等,且夹角相等可以判定上述两个三角形相似,从而可以得到(1)中的位置关系仍然成立;
(3)连接BE、DG.根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.
详解:(1)①BG⊥DE,BG=DE;
②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE,
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHG=90°,
∴BG⊥DE.
(2)∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,
∴BC CG b
==,
DC CE a
又∵∠BCG=∠DCE,
∴△BCG∽△DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHG=90°,
∴BG⊥DE.
(3)连接BE、DG.
根据题意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,
∵BG⊥DE,∠BCD=∠ECG=90°
∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.
点睛:此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD 的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:四边形BCFD是菱形;
(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析(2)3
【解析】
(1)∵AF∥BC,∴∠DCB=∠CDF,∠FBC=∠BFD,
∵点E为CD的中点,∴DE=EC,
在△BCE与△FDE中,
FBC BFD
DCB CDF
DE EC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△BCE≌△FDE,∴DF=BC,
又∵DF∥BC,∴四边形BCDF为平行四边形,∵BD=BC,∴四边形BCFD是菱形;
(2)∵四边形BCFD是菱形,∴BD=DF=BC=2,
在Rt△BAD中,AB=223
BD AD
-=,
∵AF=AD+DF=1+2=3,在Rt△BAF中,BF=22
AB AF
+=23.
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以
4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t 秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)能,t=10;(3)t=15
2
或12.
【解析】
【分析】
(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;
(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;
(3)△DEF为直角三角形,分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.
【详解】
解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,
∴AB=1
2AC=
1
2
×60=30cm,
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,
∴DF=1
2
CD=2t,∴DF=AE;
(2)能,
∵DF∥AB,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10,∴当t=10时,AEFD是菱形;
(3)若△DEF为直角三角形,有两种情况:
①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,
则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:t=15
2
,
②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,
则AE=2AD,即2t2(604t)
=-,解得:t=12,
综上所述,当t=15
2
或12时,△DEF为直角三角形.
4.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的结论;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中