新课标高中数学必修二全册导学案及答案
【新教材精创】8.4.1 平面 导学案(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】8.4.1 平面（人教A版）1.正确理解平面的概念;2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.1.数学抽象:平面概念的理解;2.逻辑推理:点线共面、多点共线,多线共点问题;3.直观想象:点、直线、平面之间的位置关系.重点:1、平面的概念及表示;2、平面的三个基本事实和推论,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点:平面的三个基本事实的掌握与运用.一、预习导入阅读课本124-127页,填写。
1、平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是__________________的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成_______,且横边长等于其邻边长的_______.如图(1).②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用_______画出来或者不画.如图(2).(3)平面的表示平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等.2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达点A在直线l上,则_______, 点A在直线l外,则_______;点A在平面α内,则_______, 点A在平面α外,则_______;直线l在平面α内,则_______, 直线l在平面α外,则_______;平面α与平面β相交直线l,则______________.3、平面的基本事实基本事实1的三个推论推论1:经过____________________________,有且只有一个平面. 推论2:经过_____________________,有且只有一个平面.推论3:经过_____________________,有且只有一个平面.1.下列说法:①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)32. 三条直线两两相交,可以确定平面的个数是()(A)1个(B)1个或2个(C)1个或3个(D)3个3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则()(A)C∈α(B)C∉α(C)AB⊄α(D)AB∩α=C4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P 与直线DE的位置关系是____________________________.题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换例1根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l, P∉α,Q∈l,Q∈α．跟踪训练一1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.题型二 点线共面例2 如图,l 1∩l 2=A,l 2∩l 3=B,l 1∩l 3=C,求证直线l 1,l 2,l 3在同一平面内.跟踪训练二1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3题型三 多点共线、多线共点问题例3如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点,F 为AA 1的中点.求证:CE,D 1F,DA 三线交于一点.跟踪训练三1．如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M,则下列结论正确的是( )(A)A,M,O 三点共线(B)A,M,O,A 1不共面(C)A,M,C,O 不共面(D)B,B 1,O,M 共面1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是()(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α(D)a∈α,A∈a⇒A∈α2.下列图形中不一定是平面图形的是()(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形(D)四边相等的四边形3.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是()4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.5.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB, A1D1,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.答案小试牛刀1. B2．C3．A4. 点P在直线DE上自主探究例1【答案】见详细解析.【详细解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.跟踪训练一【答案】1、D.2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.【详细解析】1.选D,D选项的表述有问题.2. 在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.例2【答案】见详细解析．【详细解析】因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.跟踪训练二1、【答案】D．【详细解析】两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D．例3 【答案】见详细解析．【详细解析】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF12A1B.又因为A1B D1C,所以EF12D1C,所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.跟踪训练三1．【答案】A.【详细解析】连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M ∈A 1C,所以M ∈平面ACC 1A 1,又M ∈平面AB 1D 1,所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,同理O 也在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,所以A,M,O 三点共线.故选A. 当堂检测1-3. BDD 4. ①③④.5．【答案】（ 1）见详细解析（ 2）43√10.【详细解析】 (1)如图,设M,N,P 三点确定的平面为α,则α与平面ABB 1A 1交于MP. 设MP∩A 1B 1=R,则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线. 设RN∩B 1C 1=Q,则PQ 是α与平面BB 1C 1C 的交线.(2)因为正方体的棱长为8 cm,M,P 分别为AB,BB 1的中点, 所以B 1R=BM=4 cm. 在△RA 1N 中,=,所以B 1Q=412×4=43(cm). 在Rt △PB 1Q 中, PB 1=4 cm,B 1Q= 43cm,所以PQ=√42+（ 43）2=43√10(cm).。
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含配套练习及答案
9.1随机抽样考点学习目标核心素养抽样调查理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概念数学抽象简单随机抽样理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法数学抽象、逻辑推理分层随机抽样理解分层随机抽样的概念，并会解决相关问题数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P173－P187的内容，思考以下问题：1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？2.什么叫简单随机抽样？3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？4.抽签法是如何操作的？5.随机数法是如何操作的？6.什么叫分层随机抽样？7.分层随机抽样适用于什么情况？8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？9.获取数据的途径有哪些？1.全面调查与抽样调查（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ.（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ.（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ.（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ.（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样（1）有放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n <N ）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样.（2）不放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.（3）简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. （4）简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. （5）简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.■名师点拨 （1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n 个个体作为样本，一次性批量随机抽取n 个个体作为样本，两种方法是等价的.（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性.3.总体平均数与样本平均数 （1）总体平均数①一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，则称Y －＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N ＝1N ∑Ni ＝1Y i为总体均值，又称总体平均数.②如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k （k ≤N ）个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数f i （i ＝1，2，…，k ），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y －＝1N ∑ki ＝1f i Yi Ｗ.（2）样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n 的样本，它们的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，则称y －＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n ∑ni ＝1y i 为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y －去估计总体平均数Y －.4.分层随机抽样 （1）分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ.（2）比例分配在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.5.分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M 和N ，抽取的样本量分别为m 和n .我们用X 1，X 2，…，X M 表示第1层各个个体的变量值，用x 1，x 2，…，x m 表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y 1，Y 2，…，Y N 表示第2层各个个体的变量值，用y 1，y 2，…，y n 表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为X －＝X 1＋X 2＋…＋X M M ＝1M ∑Mi ＝1X i ，x －＝x 1＋x 2＋…＋x m m ＝1m ∑mi ＝1x i.②第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y －Y 1＋Y 2＋…＋Y N N 1N ∑Ni ＝1Y i，y －＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n ∑ni ＝1y i.③总体平均数和样本平均数分别为W －＝∑Mi ＝1X i ＋∑Ni ＝1Y i M ＋N ，w －＝∑mi ＝1x i ＋∑ni ＝1yim ＋nＷ.（2）由于用第1层的样本平均数x －可以估计第1层的总体平均数X －，用第2层的样本平均数y －可以估计第2层的总体平均数Y －.因此我们可以用M ×x －＋N ×y －M ＋N ＝M M ＋N x －＋N M ＋N y－估计总体平均数W －.（3）在比例分配的分层随机抽样中，m M ＝n N ＝m ＋n M ＋N ，可得M M ＋N x －＋N M ＋N y －＝m m ＋n x －＋n m ＋n y －＝w －.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w －估计总体平均数W －.6.获取数据的途径获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）高考考生的身体检查，是抽样调查.（ ）（2）某养鱼专业户要了解鱼塘中鱼的平均质量，是抽样调查.（ ） （3）在简单随机抽样中，一次可以抽取多个个体.（ ） （4）抽签法和随机数法都是简单随机抽样.（ ）（5）无论是抽签法还是随机数法，每一个个体被抽到的机会都是均等的.（ ） （6）在分层随机抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关.（ ）答案：（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√ （6）× 抽签法中确保样本代表性的关键是（ ） A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取D.抽取不放回解析：选B.逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取（个体被重复取出可不算再放回）也不影响样本的代表性，制签也一样.为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求（ ） A.每层等可能抽取 B.每层抽取的个体数相等C.每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N iN （i ＝1，2，…，k ）个个体（其中i 是层的序号，k 是总层数，n 为抽取的样本容量，N i 是第i 层中的个体数，N 是总体容量）D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制解析：选C.分层随机抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样. A 中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A 不正确； B 中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数，显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B 也不正确；C 中，对于第i 层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i 无关，即对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C 正确；D 显然不正确.从一批零件中抽取10个，测得它们的长度（单位：cm ）如下： 22.36 22.35 22.33 22.35 22.37 22.34 22.3822.36 22.32 22.35由此估计这批零件的平均长度. 在此统计活动中：（1）总体为 ； （2）个体为 ； （3）样本为 ； （4）样本量为 Ｗ.答案：（1）这批零件的长度 （2）每个零件的长度 （3）抽取的10个零件的长度 （4）10一个班共有54人，其中男同学、女同学之比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为 ，每个女同学被抽取的可能性为 Ｗ.解析：男、女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×59＝30（人），女同学共有54×49＝24（人），所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝16.答案：16 16总体、样本等概念辨析题为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，下面说法正确的是（ ）A.1 000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本量是100【解析】 根据调查的目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100.故答案为D.【答案】 D此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位.为了了解全年级240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（）A.总体是240B.个体是每一个学生C.样本容量是40名学生D.样本量为40解析：选D.本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标，故A、B不正确.而样本量是数量，故C不正确.由此可见，研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么.简单随机抽样的概念下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作.【解】（1）不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.（2）不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.（3）不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点.下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；（2）某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品；（3）某班级有4个小组，每组共有12个同学.班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；（4）中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码.解：简单随机抽样要求：被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样.所以（1）不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；（2）不是，被抽取的样本的总体个数不确定；（3）不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；（4）是，它属于简单随机抽样中的随机数法.抽签法及随机数法的应用某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程.【解】（1）利用抽签法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03， (50)第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签.第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀.第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码.对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.（2）利用随机数法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3， (50)第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本.第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数.对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.（1）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：①编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号.（例如该题中50名同学，可以直接利用学号）②号签要求大小、形状完全相同.③号签要搅拌均匀.④抽取号签时要逐一、不放回抽取.（2）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数.从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请选用合适的方法确定这5架钢琴.解：第一步，将20架钢琴编号，号码是0，1， (19)第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签.第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀.第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号.第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象.分层随机抽样中的有关计算（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为 Ｗ.（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑 a b c 剪纸xyz其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人.【解析】 （1）设该单位老年职工人数为x ，由题意得3x ＝430－160，解得x ＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18. （2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以“剪纸”社团的人数为800×25＝320；因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310＝96.由题意知，抽样比为50800＝116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116＝6.法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×25＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝310，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×310＝6.【答案】 （1）18 （2）6分层随机抽样中有关计算的方法（1）抽样比＝该层样本量n 总样本量N ＝该层抽取的个体数该层的个体数.（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解.1.为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为（ ）A.3B.4C.5D.6解析：选 B.根据分层随机抽样的特点可知，抽样比为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工 人.解析：抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×18＝10.答案：10样本平均数的求法（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8.求甲在本次游戏中的平均成绩.（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值.【解】 （1）甲在本次游戏中的平均成绩为6＋3×7＋4×8＋9＋1010＝7.8.（2）合在一起后的样本均值为10×5＋8×610＋8＝50＋4818＝499.在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m ，平均值为x ；第二层的样本量为n ，平均值为y ，则样本的平均值为mx ＋nym ＋n.某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间（单位：h ），数据如下.甲 6 6.5 7 7.5 8 乙 6 7 8 9 10 11 12 丙34.567.5910.51213.5（1（2）估计这个学校高一的学生中，一周的锻炼时间超过10个小时的百分比； （3）估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间.解：（1）由题干中的表格可知，按分层随机抽样的方法从甲、乙、丙3个班中分别抽取5个，7个，8个学生.故三个班学生人数之比为5∶7∶8.（2）由题意知，抽取的20个学生中，一周的锻炼时间超过10小时的有5人，故一周的锻炼时间超过10个小时的百分比为520＝25%.（3）从甲班抽取的5名学生的总时间为6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35. 从乙班抽取的7名学生的总时间为6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63.从丙班抽取的8名学生的总时间为3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66. 则35＋63＋665＋7＋8＝16420＝8.2. 即这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2小时.1.在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性（ ） A.与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等 C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些 D.每个个体被抽中的可能性无法确定解析：选B.在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关. 2.若对某校1 200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（ ）A.120名学生B.1 200名学生C.120名学生的成绩D.1 200名学生的成绩解析：选C.本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本.3.（2019·广西钦州市期末考试）某中学共有1 000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（ ）A.20B.25C.30D.35解析：选D.高一年级抽取的人数为3501 000×100＝35.故选D.4.在调查某中学的学生身高时，利用分层抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为165.试估计该中学所有学生的平均身高是多少？解：20×170＋15×16520＋15＝5 87535＝16767.即该中学所有学生的平均身高为16767.[A 基础达标]1.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是（ ）A.总体B.个体C.样本量D.从总体中抽取的一个样本解析：选A.根据题意，结合总体、样本、个体、样本量的定义可知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体.2.下列调查的样本合理的是（ ）①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查. A.①② B.②④ C.①④D.③④解析：选B.①中样本不具有代表性、有效性，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系；③中样本缺乏代表性；而②④是合理的样本.3.从一群玩游戏的小孩中随机抽出k 人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏.过了一会儿，再从中任取m 人，发现其中有n 个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（ ）A.knm B.k ＋m －n C.km nD.不能估计解析：选C.设参加游戏的小孩有x 人，则k x ＝n m ，x ＝kmn.4.（2019·河北省枣强中学期末考试）某中学高二年级共有学生2 400人，为了解他们的身体状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生为（ ）A.1 260人B.1 230人C.1 200人D.1 140人解析：选D.设女生总人数为x 人，由分层随机抽样的方法，可得抽取女生人数为80－42＝38（人），所以802 400＝38x，解得x ＝1 140.故选D.5.（2019·河北省石家庄市期末考试）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是（ ）A.7，11，19B.7，12，17C.6，13，17D.6，12，18解析：选D.由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1∶2∶3，所以抽取人数：老年人：16×36＝6，中年人：26×36＝12，青年人：36×36＝18.故选D.6.为了考察某地6月份最高气温的情况，随机抽取了5天，所得数据约为29，29，31，30，31，则该地6月份最高气温的平均值约为 Ｗ.解析：29＋29＋31×2＋305＝30.答案：307.（2019·四川省遂宁市期末考试）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为 Ｗ.解析：用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为200× 2 0003 500＋2 000＋4 500＝40.答案：408.（2019·福建省三明市期末质量检测）某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为k ∶5∶4，抽取的样本中高一学生为120人，则k 的值为 Ｗ.解析：由题意可得，120300＝k k ＋5＋4，解得k ＝6.答案：69.某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序.解：第一步：先确定艺人：（1）将30名内地艺人从1到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明的箱子中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出.（2）运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人.第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.10.某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示：管理 技术开发 营销 生产 合计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 合计1603204801 0402 000（1（2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽选出席人？解：（1）用分层随机抽样法，并按老年职工4人，中年职工12人，青年职工24人抽取. （2）用分层随机抽样法，并按管理岗位2人，技术开发岗位4人，营销岗位6人，生产岗位13人抽取.[B 能力提升]11.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A.4B.5C.6D.7解析：选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×110＝2，抽取的果蔬类的种数为20×210＝4，二者之和为6种，故选C. 12.（2019·湖南省张家界市期末）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣 人”.解析：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣487×7 2508 750＋7 250＋8 350＝145（人）.答案：14513.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作为样本.若用分层随机抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取 名.解析：由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100.若用分层随机抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取40200×100＝20（名）.答案：2014.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定：（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.。
人教A版高中数学必修二全册全册导学案
人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。
3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。
【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。
（2）空间几何体的概念：（3探究2新知1：（1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴 探究31、 棱柱：2、棱柱的分类：（1）按侧棱及底面垂直及否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究41、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''中被截去一部ABCD A B C D分，其中''EH A D。
新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)
人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1． 指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式． 对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2， 所以指数函数的解析式为y ＝2x ， 所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64． 题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ， 即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时 指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1． 知识点 解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33， 又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32． 题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__． 思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ． 知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值 典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1． 角度2 两个特殊对数值的应用 典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80． 规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0， 所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625， 所以log 5 625＝4． 题型对数恒等式的应用典例剖析 典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3， 即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点 积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点 换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析 典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7． 规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y． 规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1， 即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。
人教版高中数学必修2全册导学案及答案
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导学案及答案第一章函数与导数1.1 函数的概念与表示学习目标：1. 了解函数的基本概念；2. 掌握用集合、映射等方法表示函数的方法。
学习内容：1. 函数的定义；2. 函数的表示方法；3. 函数的性质。
学习方法指导：1. 仔细阅读教材相关内容，理解函数的定义；2. 注意区分自变量和因变量的概念；3. 多做一些例题，加深对函数表示方法的理解。
习题：1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(1)的值；2. 函数y = x^2的图象为抛物线，确定该函数的定义域和值域。
答案：1. 将x = 1带入函数f(x)，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
2. 函数y = x^2的定义域为全体实数集R，值域为非负实数集[0,+∞)。
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人教课标版(B版)高中数学必修2导学案-棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征一．学习要点：棱柱、棱锥和棱台的几何结构特征 二．学习过程： 1．多面体观察·探索·研究：多面体的哪些性质可以作为它的特征性质？多面体的每个面都是多边形.（圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质.多面体的有关概念：（a ） 多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体. （b ） （c ） （d ） （e ） (f)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果 其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.特别说明：我们所说的多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体. (g)多面体的分类：按照围成它的面的个数分为四面体、五面体、六面体…… (h)几何体的截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形，叫做这个几何体的截面. 2．棱柱观察·探索·研究：棱柱有哪些性质？哪些性质可以作为棱柱的特征性质？ (1) 棱柱的特征性质：棱柱有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行. (2)棱柱的有关概念：(a)棱柱：将一个多边形上各点沿着同一方向移动相同的距离所形成的几何体. (b)棱柱的底面：棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面. (c)棱柱的侧面：除底面外的各面叫做棱柱的侧面. (d)棱柱的侧棱：两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. (e)棱柱的高：棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高. (3)棱柱的表示法：棱柱ABCDE 11111A B C D E ，或棱柱1AC ． (4)棱柱的分类：按底面多边形的边数分类： 三棱柱、四棱柱、五棱柱……按侧棱与底面的位置关系及底面的形状分类： ✦ 斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱. ✦ 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱. ✦ 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (5) 特殊的四棱柱：平行六面体：底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.长方体：底面是矩形的直平行六面体叫做长方体. 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.3.棱锥(1)棱锥的特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (2) 棱锥的有关概念：(a)棱锥的侧面：棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面. (b)棱锥的顶点：棱锥的各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. (c)棱锥的侧棱：棱锥的相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. (d)棱锥的底面：多边形叫做棱锥的底面. (e)棱锥的高：顶点到底面的距离叫做棱锥的高. (3)棱锥的表示法：棱锥S ABCDE ，或棱锥S AC ． (4)棱锥的分类：(5)按底面多边形的边数分类： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……四棱柱 平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体(6)正棱锥与非正棱锥：正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥.棱锥的斜高：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高.4. 棱台(1)棱台的有关概念：(a) 棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台. (b)棱台的底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面. (c)棱台的侧面：棱台中除上、下底面的其他各面叫做棱台的侧面. (d)棱台的侧棱：棱台的相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱. (e)棱台的高：棱台两底面间的距离叫做棱台的高. (f) (g)(2) 例1 四棱台的高和斜高.课堂练习：1．教材第8、10页练习题2．下列说法正确的是（）A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱不全相等C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体D．棱柱至少有两个面平行3．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面的形状是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形4．长方体的全面积等于11，所有的棱长之和是24，则这个长方体的对角线长为（）A．BC．5D．65．具备下列哪个条件的多面体是棱台（）A．两底面是相似多边形的多面体B．侧面是梯形的多面体C．两底面平行的多面体D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体6．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，使它们重叠起来组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长的对角线的长度是（）AB．C．D．7．已知正三棱锥P111A B C的底面边长为2，侧棱长为3．正三棱台ABC111A B C的下底边长为7，把正三棱锥的底面与正三棱台的上底面重叠，恰好能够拼成一个正三棱锥，求棱台和新的三棱锥的侧棱长.PCBAA1B1C1。
(word完整版)新课标高中数学必修二导学案(2).doc
目录1.11.1.1 1.1.2 1 61.21.2.11.2.2 1.2.3 .10 15§1.3119 223 272.1.1 292.1.2 332.1.32.1.4 372.2.12.2.2 402.2.3 442.2.4 472.3.1 502.3.2 532.3.32.3.4 57603.1.1 643.1.2 673.2.1 703.2.2 733.2.3 763.3.13.3.2 793.3.33.3.4 824.1.185 4.1.288 4.2.191 4.2.294 4.2.397 4.3.1100 4.3.2103106第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第 1 课时多面体的结构特征【学习目标】1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．【知识梳理】1．空间几何体(1)概念：如果只考虑物体的＿＿和＿＿，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)特殊的几何体①多面体：一般地，由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点．②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的2．多面体的结构特征(1) 棱柱的结构特征：一般地，有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．(2) 棱锥的结构特征：一般地，有一个面是，其余各面都是，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．(3) 棱台的结构特征：用一个于棱锥底面的平面去截棱锥，之间的部分，这样的多面体叫做棱台．思考探究[ 情境导学 ] 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．本节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体．探究点一空间几何体的类型思考 1观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？答 :思考 2如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？思考 3 观察图 (2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16) 中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？答 :[ 小结 ]我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．思考 4 观察图 (1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12) 中组成几何体的每个面有何共同特点？答 :[ 小结 ]由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．探究点二棱柱的结构特征思考 1我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？图1图2答 :思考 2 为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？答 :思考 3棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？答 :思考 4 一个棱柱至少有几个侧面？一个 N 棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？答 :思考 5有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？答 :[ 小结 ]在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱；思考 1 图 1 中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF — A′ B′C′ D′ E′ F′ .例 1试判断下列说法是否正确：(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．答 :[ 反思与感悟 ] 概念辨析题常用方法： (1) 利用常见几何体举反例； (2) 从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．跟踪训练1根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：(1)由 6 个平行四边形围成的几何体．(2) 由 8 个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余 6 个面都是平行四边形．答 :探究点三棱锥的结构特征答 :思考 2参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？答 :思考 3 类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示思考 1 中的三个棱锥？答 :思考 4 一个棱锥至少有几个面？一个 N 棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？答 :思考 5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？答 :思考 6棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？答 :例 2 如图，几何体中，四边形 AA1B1B 为边长为 3 的正方形， CC1＝ 2， CC1∥AA1，CC1∥BB 1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为 2 的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．答 :[ 反思与感悟 ] 认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．跟踪训练2若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高． (过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离)答 :探究点四棱台的结构特征思考 1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？答 :思考 2 仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？答 :思考 3 根据三棱锥、四棱锥、五棱锥的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台？如何用字母表示棱台？答 :思考 4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？答 :例 3 有下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有()A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个[ 反思与感悟 ] 一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据．跟踪训练3已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8 的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为17，求四棱台的高．答 :【随堂练习】1．下列说法中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．下列说法中，正确的是()A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形3．下列说法错误的是()A ．多面体至少有四个面B ．九棱柱有9 条侧棱， 9 个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形．②所有的棱长都相等．③棱柱中至少有 2 个面的形状完全相同．④相邻两个面的交线叫做侧棱．【课堂小结】1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．2．对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．第 2 课时旋转体与简单组合体的结构特征【学习目标】 1.认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．【知识梳理】1．圆柱及其有关的概念以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做．叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的．2．圆锥的概念以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做＿3．圆台的概念也有轴、底面、侧面、母线．4．球及其有关的概念以半圆的直径所在直线为，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做，简称球．半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的．球常用表示球心的字母O 表示．5．简单组合体(1) 概念：由组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2) 基本形式：一种是由简单几何体而成，另一种是由简单几何体或一部分而成．思考探究[ 情境导学 ]举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．探究点一圆柱的结构特征思考 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如何定义的？答 :思考 2如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？答 :探究点二圆锥的结构特征思考 1类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？答 :思考 2类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？答 :思考 3经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？答 :探究点三圆台的结构特征思考 1 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台．圆台可以由什么平面图形旋转而形成？思考 2 与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？答 :思考3圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？答 :例 1 用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，求圆台的母线长．答 :[ 反思与感悟 ]用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质( 与底面全等或相似 )，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面) 的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得．跟踪训练1将例1中“截去的圆锥的母线长是 3 cm”改为“圆锥SO 的母线长为16 cm”其余条件不变，则结果如何？答 :探究点四球的结构特征思考类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？答 :例 2判断下列各命题是否正确：(1)三棱柱有 6 个顶点，三棱锥有 4 个顶点；(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(5)到定点的距离等于定长的点的集合是球．答 :跟踪训练2下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3探究点五简单组合体的结构特征思考1现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何答 :思考 2 观察教材图 1.1－11 中(1) 、 (3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？答 :例 3描述下列几何体的结构特征．答 :跟踪训练 3 数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？答 :【随堂练习】1．下图是由哪个平面图形旋转得到的()2．下列说法正确的是()A ．圆锥的母线长等于底面圆直径B ．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心3．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱4．以下说法中：①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于 1.②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱．③过圆台侧面上每一点的母线都相等．正确的序号为________．5.如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？【课堂小结】(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台．(2)球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点 (球心 )的距离等于定长 (半径 )的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．§1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影 1.2.2空间几何体的三视图【学习目标】 1.了解投影、中心投影和平行投影的概念；2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型．【知识梳理】投影(1)投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做．(2) 投影的分类①中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于．②平行投影：在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做．2．三视图(1)三视图的分类①正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的②侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的③俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的(2)三视图的画法要求①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的、、看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的，长度与的长度一样，侧视图放在正视图的右边，高度与的高度一样，宽度与的宽度一样．③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡部分用虚线画出．[ 情境导学 ] 从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上．探究点一中心投影与平行投影导引在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11 页，然后思考下列问题．思考 1什么是投影、投影线、投影面吗？答 :思考 2不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？答 :[ 小结 ]我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．思考 3用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？答 :思考 4 用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？答 :思考 5 用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？答 :思考 6 一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？答 :例 1如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E、F 分别是 AA1、C1D 1的中点，G 是正方形 BCC1B1 的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________． (填序号 )[ 反思与感悟 ]画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．跟踪训练1如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD ′ A′、面 BCC ′ B′的中心，则四边形B FD ′ E 在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的 ________．探究点二柱、锥、台、球的三视图导引把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形．从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面．思考 1如图，设长方体的长、宽、高分别为a、 b、 c，那么其三视图分别是什么？答 :思考 2三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量 (长、宽、高 )? 答 :[ 小结 ]一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽．思考 3圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？答 :思考 4球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？答 :探究点三简单组合体的三视图思考 1 在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？思考 2如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出？(标出字母 )答 :例 2如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图．(单位： cm)答 :[ 反思与感悟 ] (1)在画三视图时，务必做到正 (视图 )侧 (视图 )高平齐，正(视图 )俯 (视图 )长对正，俯 (视图 )侧 (视图 )宽相等． (2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方．跟踪训练2某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()探究点四将三视图还原成几何体思考下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图．答 :例 3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．答 :[ 反思与感悟 ]通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体跟踪训练3下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状．答 :【随堂练习】1．如图所示，在正方体ABCD － A1B1C1D1中， M， N 分别是 BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面 ADD 1A1上的正投影是 ()2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A ．三棱锥B ．四棱锥C．四棱台D．三棱台3．将正方体 (如图 (1) 所示 )截去两个三棱锥，得到如图 (2) 所示的几何体，则该几何体的侧视图为()5．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．【课堂小结】1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“ 长对正、高平齐、宽相等” 的基本特征．2．几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出正视图；根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图．3．看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线．1.2.3空间几何体的直观图目标 1.掌握斜二测画法的作图规则； 2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．【知识梳理】1．画平面图形直观图的步骤(1) 在已知图形中取互相垂直的x 轴和 y 轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与 y′轴，两轴交于点O′，且使∠ x′ O′ y′＝ 45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面．(2) 已知图形中平行于x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或 y′轴的线段．(3) 已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度，平行于y 轴的线段，长度为原来的．2．立体图形的直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′ O′ y′垂直的轴O′ z′ .且平行于O′ z 的线段长度．其他同平面图形的画法．思考探究[ 情境导学 ] 空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示．空间图形能否在平面中画出来，使得既富有立感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢？这就是空间几何体的直观图．本节我们就来研究这个问题．探究点一水平放置的平面图形的画法导引用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法．思考1把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图．比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答 :思考 2 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答 :思考 3阅读教材16页中的例1，然后自主作出水平放置的正六边形的直观图．答 :[ 小结 ] 上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，斜二测画法的基本步骤和规则：(1)建坐标系，定水平面；。
人教版高一数学必修2全册导学案及答案
人教版高一数学必修2全册导学案及答案第一章：集合及其运算1. 集合的概念及表示方法a) 集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
b) 集合的表示方法：i) 列举法：把集合中的元素逐个列举出来，用大括号括起来表示，如A={1, 2, 3}。
ii) 描述法：用条件描述集合中的元素，如A={x|x是自然数，且x<4}。
2. 集合的运算a) 交集：设A和B为两个集合，A∩B表示同时属于A和B的元素组成的集合。
b) 并集：设A和B为两个集合，A∪B表示属于A或者属于B的元素组成的集合。
c) 差集：设A和B为两个集合，A-B表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
d) 互斥与互补：若A∩B=∅，则A和B互斥；若A∪B=U（全集），则称A和B互为互补集。
练习题：1. 设A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5}，求A∩B和A∪B。
2. 若A={1, 2, 3, 4}，B={2, 3, 4, 5}，求A-B和B-A。
3. 设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，B={3, 4}，求A的补集和B的补集。
答案：1. A∩B={3, 4}，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. A-B={1}，B-A={5}。
3. A的补集U-A={4, 5}，B的补集U-B={1, 2, 5}。
第二章：不等式与不等式组1. 不等式的概念a) 不等式的定义：设a和b是两个实数，用符号"<"表示a小于b，用符号">"表示a大于b，用符号"≤"表示a小于等于b，用符号"≥"表示a大于等于b。
b) 不等式的解集：使不等式不等号成立的实数的集合，称为不等式的解集。
2. 一元一次不等式a) 不等式的性质：两边加上（或减去）同一个实数，不等式的大小方向不变；两边乘以正实数（或除以正实数），不等式的大小方向不变；两边乘以负实数（或除以负实数），不等式的大小方向相反。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1
4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0， 即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0， 即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ， 即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ， 即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解 方法一 直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二 如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)， 所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)， 则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得 －34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析 如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。
新人教版新高考高中数学必修第二册全套导学案课后练习题
平面向量的概念【学习过程】一、问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？二、合作探究探究点1： 向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC→|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③ 探究点2： 向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； （2）AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； （3）BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．探究点3：共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →．（2）与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →． 互动探究1．变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →． 2．变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →．三、学习小结1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示■名师点拨（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．（2）用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ． ■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 四、精炼反馈1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE→平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（ ） ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |． A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC→相等的向量；（2）与OB→长度相等的向量；（3）与DA→共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC→相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB→长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →．（3）与DA→共线的向量为AD →，BC →，CB →．平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF→·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 角度二：平面几何中的平行（或共线）问题如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB→＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝F A →＋AO→＝13BA →＋12AC → ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ， OE→＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO→＝OE →． 又O 为FO→和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD→＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD→|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．探究点2：向量在物理中的应用（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC→|＝|AB →|＝12．5．|AD→|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）． 所以W 1＝F 1·AB→＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB→＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）． 三、学习小结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、精炼反馈1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）． 3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD→－AC →） ＝AB→＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）] ＝AB→＋12（CD →－AB →） ＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB→， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） A ．42 B ．30 C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B 探究点3： 判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 三、学习小结2．余弦定理的推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、精炼反馈1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B．cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12．所以B＝60°，所以A＋C＝120°．2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab ＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，即c2＝a2＋b2－ab．①又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43． 答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．由asin A＝csin C得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b＝c sin Bsin C＝10×sin（A＋C）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．探究点2：已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B，b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．探究点3：判断三角形的形状已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．三、学习小结1．正弦定理2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、精炼反馈1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、合作探究探究点1：测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC＝32×10＝56（海里）．答案：56海里互动探究：变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC＝103．即B，C间的距离为103海里．探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．答案：1006互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin 75°＝3002×2＋6 4＝150＋1503．所以tan α＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63．探究点3：测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BC sin∠ACBsin∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）． 所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°， 所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时） 三、学习小结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 图示南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）四、精炼反馈1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上D ．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v＝（）A．60B．80C．100D．125解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34cos β，sin2α＋cos2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos（α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v＝100．4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123tsin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则 和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ， 则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算 例2：化简：（1）BC→＋AB →； （2）DB→＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0． （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0． 探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 三、学习小结即a ＋b ＝AB＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13． 答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →； （2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ， 则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1： 向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）； （2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→． 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→． （2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →． 探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ． 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ． 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ． 三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|． 又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|， 所以|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 二、新知探究探究1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）． （2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ． 探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线； （2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→． 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． （2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， 则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1． 探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________； （2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →． （1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1． （2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）． 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0． 所以2MN→＝DA →＋CB →， 所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1． 三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ． （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． 四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（ ）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ） A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2． 又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线． 因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ） ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →） ＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7． 探究点2： 向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ） A ．3 B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12． 答案：（1）B （2）B 探究点3： 向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直， 所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0， 所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0． 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， 所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）， 即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ， 而a ，b ，c 为单位向量， 则a 2＝b 2＝c 2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为。
高一数学人教A版必修二新导学案答案（2013高考）
高一数学必修2导学案答案【答案01】棱柱、棱锥、棱台的结构特征问题 1 ：若干个平面多变性能够围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点问题2：一个平面图形绕它旋转所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
问题3：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与地面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
四棱柱表示为棱柱AC′,按边分三、四、五棱柱。
按侧棱分直棱柱、斜棱柱、正棱柱。
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
四棱锥表示为棱锥S-ABCD 按边分三、四、五棱锥，按底面多边形分正棱锥，一般棱锥。
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
四棱台表示为棱台ABCD-A′B′C′D′按边分三、四、五棱台，按底面多边形分正棱台，一般棱台。
问题4：四棱柱（底面变成平行四边形）→平行六面体（侧棱与底面垂直）→直平行六面体（底面为矩形）→长方体（底面为正方形）→正四棱柱（侧棱与底面边长相等）→正方形。
问题5：（1）不一定是，例：（2）不是，如五棱柱等例1：是例2：3个达标检测：1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.【答案02】圆柱、锥、台、球、组合体的结构特征问题1：它们都是旋转体问题2：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
旋转轴叫做圆柱的轴，垂直与轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，不垂直与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
高中数学必修二 8 3 2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 导学案
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法；2．会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积；3.会用球的体积与表面积公式解决实际问题；4．会解决球的切、接问题．1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。
1．圆柱、圆锥、圆台的表面积2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式V圆柱＝(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝(r是底面半径，h是高)，V圆台＝(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．3．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝，即球的表面积等于它的大圆面积的倍．4．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ 3.一、探索新知思考1：圆柱的展开图是什么？怎么求它的表面积？思考2：圆锥的展开图是什么？怎么求它的表面积？思考3：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ，它的表面积是什么？思考4：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？思考5：根据圆台的特征，如何求圆台的体积？思考6：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？1.球的表面积公式：24S R π=球（R 为球的半径）例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m ，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？思考7：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。
高中数学必修2导学案322直线的两点式方程
直线的两点式方程【学习目标】1.把握直线方程的两点式．2．把握直线方程的截距式．3．进一步稳固截距的概念．【重点】利用两点式、截距式求直线方程．【难点】两点式、截距式的使用条件．【预习案】【导学提示】1．直线的两点式方程2．直线的截距式方程3．线段的中点坐标【探究案】一、利用两点式求直线方程例1.三角形的三个顶点A(－2,2)，B(3,2)，C(3,0)，求这个三角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的方程．迁移与应用△ABC三个顶点的坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在直线的方程．二、利用截距式求直线方程例2. 直线l过点P(4,3)，且在x轴、y轴上的截距之比为4∶3，求直线l的方程．迁移与应用过点P(4,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程怎样？三、直线方程的综合应用例3.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带肯定重量的行李，假如超过规定，那么需要购置行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)之间的关系可用直线AB的方程表示．试求：(1)直线AB的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李？迁移与应用一根弹簧，挂5 kg的物体时，长10 cm；挂8 kg的物体时，长16 cm.弹簧长度l (cm)和所挂物体的质量W(kg)之间的关系可以用直线方程来表示．用两点式表示这个方程，并且依据这个方程，求弹簧长为12 cm时所挂物体的质量．【训练案】1．一条直线不与坐标轴平行或重合，那么它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式2．过两点(6,2)，(3,2)的直线方程是()A．x＝5B．y＝2 C．x＋y＝2 D．x＝23．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是()A.x－3＋y4＝1 B.x3＋y－4＝1 C.x－3－y4＝1 D.x4＋y－3＝14．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为________．【自主区】【使用说明】老师书写二次备课，同学书写收获与总结.。
最新新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案](可编辑)名师优秀教案
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新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]（可编辑）新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点:空间直线,平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义,判定和性质。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言,图形语言和符号语言的转化。
平行,垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4.了解多面体的概念和分类.【课堂互动】自学评价棱柱的定义:表示法:思考:棱柱的特点:.【答】棱锥的定义:表示法:思考:棱锥的特点:.【答】3.棱台的定义:表示法:思考:棱台的特点:.【答】4.多面体的定义:5.多面体的分类:?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥;丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。
以上各命题中,真命题的个数是 (A)A.0B. 1C. 2D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法:?画上四棱柱的底面----画一个四边形;?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考7页例1?画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去.互助参考7页例1点评:1被遮挡的线要画成虚线2画台由锥截得思维点拔:解柱、锥、台概念性问题和画图需要:1.准确地理解柱、锥、台的定义2.灵活理解柱、锥、台的特点:例如:棱锥的特点是:?两个底面是全等的多边形;?多边形的对应边互相平行;?棱柱的侧面都是平行四边形。
高中数学(必修二)导学案
高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。
祝学习愉快！。
高中数学必修二导学案-圆的一般方程
4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。
新课标高中数学必修二全册导学案与答案
A． cm2B． cm2C． cm2D．3 cm2
B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为（）
A．2B．4C．8D．12
C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）
A．必须都是直角三角形B．至多只能有一个直角三角形
A.1个B.无数个C.一个也没有D.1个或无数个
B7、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的_________倍.
七、小结与反思：
【励志良言】“三心二意”另解：信心、恒心、决心；创意、乐意。
1.2.1空间几何体的三视图
一、学习目标：
知识与技能：（1）掌握画三视图的基本技能;（2）丰富空间想象力
12、在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．
13、高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是______．
14如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：源自A．①②B．①C．③④D．①②③④
B2、已知正三角形ABC的边长为 ，那么它的平面直观图的面积为
七、小结与反思：
【励志良言】生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。
高一数学必修2导学案主备人:备课时间:备课组长:
空间几何体结构周测试
一、选择题：（50分）
1、在棱柱中（）
A．只有两个面平行B．所有的棱都平行
B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 立体几何导学案含含配套练习答案
8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征考点学习目标核心素养棱柱的结构特征理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别直观想象棱锥、棱台的结构特征理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别直观想象应用几何体的平面展开图能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形直观想象问题导学预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：1．空间几何体的定义是什么？2．空间几何体分为哪几类？3．常见的多面体有哪些？4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征结构特征及分类图形及记法棱柱结构特征(1)有两个面(底面)互相平行(2)其余各面都是四边形(3)相邻两个四边形的公共边都互相平行记作棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…续表结构特征及分类图形及记法棱锥结构特征(1)有一个面(底面)是多边形(2)其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形记作棱锥S-ABCD 分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……棱台结构特征(1)上下底面互相平行，且是相似图形(2)各侧棱延长线相交于一点(或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台)记作棱台ABCD-A′B′C′D′分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形．( )(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． ( ) (3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√下面多面体中，是棱柱的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足. 下面四个几何体中，是棱台的是( )解析：选C.A 项中的几何体是棱柱．B 项中的几何体是棱锥；D 项中的几何体的棱AA ′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.每个面都可作为底面，有4个．下列说法正确的有________．(填序号)①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③.答案：①③棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．1．下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形解析：选D.由棱柱的定义可知，选D.2．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点1．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点解析：选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．2．下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为()解析：选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C.棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是四边形．(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是()A．①③B．③④C．①②④D．①②解析：选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为60 5＝12(cm)．答案：125．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体．(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.[A基础达标]1．下列说法正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．2．具备下列条件的多面体是棱台的是()A ．两底面是相似多边形的多面体B ．侧面是梯形的多面体C ．两底面平行的多面体D ．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点． 3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( ) A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥D ．六棱锥解析：选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C.C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱． 6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)． 答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱． 解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱． 答案：5 6 98．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．答案：①②9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10．画出如图所示的几何体的表面展开图．解：表面展开图如图所示：(答案不唯一)[B能力提升]11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．至多有一个是直角三角形B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥AA1C1D1的三个侧面都是直角三角形．13．长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：32，25，26，显然最小值是3 2.答案：3 214．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABF A1DCED1.[C拓展探究]15．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征考点学习目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特征进行相关运算直观想象、数学运算问题导学预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体■名师点拨(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体■名师点拨(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径■名师点拨(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√下列几何体中不是旋转体的是()解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：B可以旋转得到如图的图形的是()解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】 A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解：(1)以AB 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD 边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．(4)以AD 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．【解】 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm ，4r cm.过轴SO 作截面，如图所示，则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA ，所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台O ′O 的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．。
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141.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A例1：如图，截面BCEF把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ） A ．三棱柱 B ．四棱柱 C ．五棱柱 D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ） A ．3B ．23C ．33D ．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2 D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ） A ．必须都是直角三角形 B ．至多只能有一个直角三角形 C ．至多只能有两个直角三角形 D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。
1.1.2圆柱、锥、台、球、组合体的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
会用语言概述圆柱、锥、台、组合体的结构特征。
会表示圆柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
ABCDA 1B 1C 1D 1E F3、情感态度与价值观：感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，同时提高观察能力。
培养空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、锥、台的结构特征。
学习难点：圆柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:棱柱：棱锥：棱台：五、学习过程：A问题1：观察下列图形探究各自的特点及共同点A问题2：什么是圆柱、锥、台？有何特征？如何表示？A问题3:什么是球？有何特征？如何表示？A问题4：什么叫简单组合体？简单组合体构成的两种基本形式是一：；二：。
A例1：底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？A例2：已知球的半径为10cm，一个截面圆的面积是36cm2，则球心到截面圆圆心的距离是 .六、达标测试A1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C DA2、下列说法正确的是（）A．圆锥的母线长等于底面圆直径 B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行 D．球的直径必过球心A3、下列说法正确的个数为（）①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形②连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线③圆柱的任意两条母线互相平行A．0 B.1 C.2 D.3A4、下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）A．圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台B5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为 ( )A.8:27B.2:3C.4:9D.2:9B6、A、B为球面上不同两点，则通过A、B所有大圆的个数（）A.1个B.无数个C. 一个也没有D.1个或无数个B7、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.七、小结与反思：【励志良言】“三心二意”另解：信心、恒心、决心；创意、乐意。
1.2.1空间几何体的三视图一、学习目标：知识与技能：（1）掌握画三视图的基本技能;（2）丰富空间想象力过程与方法：主要通过亲身实践，动手作图，体会三视图的作用情感态度与价值观：（1）提高空间想象力（2）体会三视图的作用二、学习重点、难点：学习重点：画出简单组合体的三视图学习难点：识别三视图所表示的空间几何体三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:圆柱：圆锥：圆台：五、学习过程：A问题１:什么是投影、投影线、投影面？投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影A问题2:什么是中心投影、平行投影？物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．A问题3.(1).光线叫做几何体的正视图.(2).光线叫做几何体侧视图.(3).光线叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
A例１.根据长方体的模型，请您画出它们的三视图，并观察三种图形之间的关系．三视图的画法规则: 、、。
A例２.请您画出圆柱、圆锥、圆台、球的三视图六、达标测试A1、两条相交直线的平行投影是（）A．两条相交直线 B．一条直线C．两条平行线 D．两条相交直线或一条直线A2、如果一个几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（）A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥D．圆柱B3、课本15页1.、2、3、4题七、小结与反思：【励志良言】当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。
学习会使你永远立于不败之地。
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:1.2.2空间几何体的直观图一、学习目标： 知识与技能：（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
过程与方法：通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
情感态度与价值观：（1）提高空间想象力与直观感受。
（2）体会对比在学习中的作用。
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、学习重点、难点：学习重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。
学习难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。
三、 使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。
3、A 类是自主探究，B 类是合作交流。
四、知识链接: 正视图： 侧视图： 俯视图：五、学习过程：A 例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。
强调斜二测画法的步骤。
B 例2.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm 、3cm 、2cm 的长方体1111ABCD A BCD 的直观图。
B例3.课本P1８图1.2-１３，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。
六、达标测试A1、利用斜二测画法得到的下列结论正确的是（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形A．①② B．① C．③④D．①②③④B2、已知正三角形ABC的边长为a，那么它的平面直观图的面积为七、小结与反思：【励志良言】生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。
高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:空间几何体结构周测试一、选择题：（50分）1、在棱柱中（）C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也互相平行2、下列说法错误的是（）A：由两个棱锥可以拼成一个新的棱锥 B：由两个棱台可以拼成一个新的棱台C：由两个圆锥可以拼成一个新的圆锥 D：由两个圆台可以拼成一个新的圆台3、下列说法正确的是（）A：以直角三角形的一边为轴旋转而成几何体是圆锥B：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面C：以直角梯形的一腰为轴旋转成的是圆台D：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在的圆的半径等于圆锥底面圆的半径4、下列关于长方体的叙述不正确的是（）A：长方体的表面共有24个直角B：长方体中相对的面都互相平行C：长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离：D；两底面间的棱互相平行且相等的六面体是长方体5、将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）6、如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、4、6 D．5、6、47、如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B l＝1，AB＝2，B l C l＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A l B l＝1，AB＝2，B1C l＝1.5，BC＝3，A l C l＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A18、有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；其中正确的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）9、下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形10、图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）二、填空题（20分）11、如图，长方体ABCD—A1B l C l D1中，AD＝3，AA l＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C l的最短距离为___ ___．12、在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为___ __．13、高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是__ ____．14如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是__ __．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题（30分）15、（15分）长方体的全面积是11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长？16、（15分）一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱。