《大学物理学》习题解答(第12章 静电场中的导体和电介质)(1)

E1 0 ， (r R1 ) ； E2

Q1er (Q Q2 )er ， ( R1 r R2 ) ； E3 1 ， ( R2 r ) ； 2 4 0 r 4 0 r 2
Q1 Q2 4 0 R2
外球面的电势
VR2
R2
E
3
dr
R2
内外球面电势差
6 5 6
根据球形电容器的电容公式，得：
C 4 0
R1 R2 4.58 102 F R2 R1
解得： q (4 0V0
Q ) R1 R2 E1 [ R1V0 R1Q ]er 2 4 0 R2 r 2 r
( R1 r R2 )
所以，球外壳内电场
壳外电场
E2 [
R1V0 ( R2 R1 )Q ]er 4 0 R2 r 2 r2
R2
( R2 r )
qBR d1 qCL d 2 0； 0S 0S d1Q d1 d 2
解上面的方程组得：
qBR q AL Q d1d 2 ； 0 S d1 d 2
qCL q AR Q d1d 2 0 S d1 d 2
故有
U BA
【12.5】 如图所示，在真空中将半径为 R 的金属球接地，在与球 O 相距为 r(r>R)处放置一点电荷 q，不计 接地导线上电荷的影响，求金属球表面上的感应电荷总量。 R 【12.5 解】金属球表面以及球内各点电势相同，等于 0，这是点电荷 q 和金属 q 球表面各处的感应电荷 dq ' 共同激发的。 选取一个特殊点——球心， 该点的电 势为
E1
qer ( q Q )er ， ( R1 r R2 ) ； E 2 ， ( R2 r ) 2 4 0 r 4 0 r 2

球的电势为：
R2 q 1 1 (q Q) q Q V0 E dr E1 dr E2 dr 4 0 R1 R2 4 0 R2 4 0 R1 4 0 R2 R1 R1 R2
B
A
C
qBR ；C 板左右两面分别带电荷 qCL 和 qCR 。
（1）依照静电平衡时导体上电荷分布的规律，有
qBL qBR 0 ； qCL qCR 0 ； qBL qCR ； qBR q AL ；
q AL q AR Q ；
d1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d2
q AR qCL
Q Q ； qBR qCL 2 2
第 12 章
静电场中的导体和电介质
【12.1】半径为 R1 的金属球 A 位于同心的金属球壳内，球壳的内、外半径分别为 R2、R3 （ R2 R3 ） 。 现在使金属球 A 带电量为 Q ，则此球壳的电势为多少？ 【12.1 解】根据高斯定理，可求得 B 球壳外的电场强度: E


ˆr Qe 4 0 r 2
（2）求各区域的电势：

球外壳内电势 V E dr
r

E dr E
1
2
dr = [ R1V0
r
R2
(r R1 )Q 1 ] ( R1 r R2 ) 4 0 R2 r ( R2 r )
壳外电势
V E2 dr [ R1V0
r
( R2 R1 )Q 1 ] 4 0 R2 r
【12.3】有两个同心球面，半径分别为 R1 10.0 cm ， R2 12.0 cm ，两球面都均匀带电。已知两球面之 间的电势差 U VR1 VR2 90 V ，外球面的电势是 V R 2 750 V 。求各球面的带电量。 【12.3 解】设内球面带电 Q1 ，外球面带电 Q2 。先用高斯定理求得空间各处场强
U VR2 VR1
R1
E
2
dr
Q1 1 1 ( ) 4 0 R1 R2
可得：
Q1 6 109 C ，
Q2 4 109 C
【12.4】如图所示，三块平行导体平板 A，B，C 的面积均为 S，其中 A 板带电 Q，B，C 板不带电，A 和 B 间相距为 d1,A 和 C 之间相距为 d2,求（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差； （2）将 B，C 导体 板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。 【12.4 解】 设 A 板左右两面分别带电荷 q AL 和 q AR ； B 板左右两面分别带电荷 qBL 和
Q 4 0 R3
( R3 r )
B 球壳为等势体，其电势为
V
R3
E dr
Q 4 0
R3
r
dr
2
【12.2】一导体球半径为 R1,外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为 Q,而内球的电势为 V0.求此系统的电势和电场分布。 【12.2 解】已知内球电势为 V0 ，外球壳带电 Q 。 （1）先求各区域的电场强度：设内球带电荷 q 。由高斯定理，有
习题 12－4 图
解上面的方程组得：
qBL q AL q AR qCR
故有
VBA
Qd1 Qd 2 ； VAC 2 0 S 2 0 S
（2）B、C 两导体接地， U BC 0 ，则有
qBL qCR 0 ； q AL q AR Q ； qBR q AL ； qCL q AR ； d 2Q ； d1 d 2 U AC
O
r
习题 12－5 图
V
q 4 0 r

S
dq ' q 1 dq ' 0 4 0 R 4 0 r 4 0 R S q ' dq '
S
由此求得感应电荷总量
R q r
【12.6】 地球和电离层可当作一个球形电容器， 它们之间相距约为 100 km， 试估算地球电离层系统的电容， 设地球与电离层之间为真空。 【12.8 解】地球半径为 R1 6.37 10 m ；电离层半径 R2 1.00 10 m+R1 6.47 10 m